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• Eddy R. Vélez

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#% !4 − x 2 , !!!!! x ≤ 2 144) Sea   la   función   f : ! " !   tal   que   f ( x ) = $ ,   el   conjunto   de   valores   %& ! − 2, !!!!!!!!!! x > 2 para  el  cual  se  cumple  que   µ ( f ( x )) = 1 ,  es  el  intervalo:   a) b) c) d) e)

(−4, 4)   [0, 4)   (−∞, 2) ∪ [2, +∞)   (−∞, −2] ∪ (2. + ∞)   (−2, 2)  

Respuesta:  e)     145) Se   definen   las   funciones   de   variable   real   ua   y   f   con   las   siguientes   reglas   de   correspondencia:  

"1, x > a   ua ( x ) = # $0, x ≤ a

()

()

()

f x = u2 x − u5 x  

y  

Identifique  la  proposición  VERDADERA.   a) El  rango  de   f  es  el  intervalo   [ 0,1] .   b) f  es  creciente  en  todo  su  dominio.   c) f (3) + f (−3) = 0   d) ∀x1, x2 ∈ dom f $% f ( x1 ) = f ( x2 ) → ( x1 = x2 )&'   e) f  es  acotada.  

(

)

Respuesta:  e)    

()

146) La  gráfica  de  la  función    f    tal  que   f x = x −1 − x , x ∈ !  es:                     (a)                    

   

   

 

 

 

 

       (d)    

 (b)  

 

 

 

 

 

 

             (e)  

                     (c)  

Respuesta:  d)     Página  32  de  48  

⎧⎪3sgn ( x − 1) , 147) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función  de  variable  real  dada  por   f ( x ) = ⎨ ⎪⎩ µ ( x ) − 1 ,   148) Dadas  las  funciones  de  variable  real  f,  g  y  h  ,  tal  que:  

x>0   x≤0

"$ x +1 , x > 0 #% −x , x > 1                       h x = $   f x = µ x                                       g x = # ,x ≤ 0 $% 2 %& 1- x , x ≤ 1

()

()

()

()

Determine  la  regla  de  correspondencia  de  la  función:  (2f  –  3(g +  h)).  

3𝑥 − 9      𝑠𝑖  𝑥 ≤ 0 (𝑥) = −4      𝑠𝑖  0 < 𝑥 ≤ 1       −1        𝑠𝑖    𝑥 > 1

Respuesta:   2𝑓  –  3 𝑔   +  ℎ   149) Determine  el  valor  de  verdad  de:  

( ( ))

a) sgn µ −1 > 0  

(

)

b) µ sgn(0) = 1  

( ( ( ))) = −1  

c) sgn sgn µ 2

d) Para  x ∈ "#0,1$% ,     !" x #$ > 0   Respuesta:  a)  0,  b)  0,  c)  0,  d)  0     150) Calcule:  

(

)

( )  

µ 3− 17 + sgn e 2 1− 2 − 3 − 4

Respuesta:  ¼    

−

()

( )

( ) 1 + µ (3) −5 + 2sgn (5)

151) Al  calcular:  

9 a)       4

1 + µ e − sgn −π 2 −3 + µ −π

7 b)       4

3 c)       4

se  obtiene:     d)  

1     4

e)

5       4

Respuesta:  e)  

 

()

152) Sea  la  función   f : ! " !  definida  por   f x = 1− x a) b) c) d)

f f f f

e)

rg f = −∞,1  

()

1+sgn x

.  Entonces  es  VERDAD  que:  

 es  creciente.    es  impar.    es  inyectiva.    es  acotada  superiormente.  

(

)

Respuesta:  d)        

Página  33  de  48  

153) Sean  las  funciones  de   ! " !  tales  que:  

# x ≤ −2 % x −1, % f x = $ x + 2, −2 < x ≤ 1   % x >1 % 2sgn x , &

()

# x≤0 % 1− x , % g x = $ x 2 + x, 0 < x ≤ 2   % 4, x>2 % &

()

 

()

Entonces  es  VERDAD  que   a)     −

5   4

()

b)   − 1    

 

( ) ( )  es  igual  a:   ( f g ) (−4)

g 4 − 2g 0 + f 1

c)   −

3     4

d)  

1     3

e)  

2   3 Respuesta:  d)  

  154) Sean  las  funciones   f : ! " !  y   g : ! " !  definidas  por:  

 

"x % 2sgn $ −1' #2 & f x = " x %     1+ µ $ ' # 3&

()

 

El  valor  de   a) b) c) d) e)

" x% sgn $ − ' # e& g x = x   − −2 eπ

()

 

( )  es  igual  a:   g ( eπ ) f 9

2   3 −3   3   1 −   3 1   − eπ

Respuesta:  c)  

 

155) Sea   la   función   f : ! " !   definida   por   f x = !#" x $&% − x .   Identifique   la   proposición   VERDADERA:   a) f  es  acotada.   b) f  es  inyectiva.   c) f  es  estrictamente  creciente  en  todo  su  dominio.   d) f  es  impar.   e) f  no  es  periódica.   Respuesta:  a)     156) Dada  la  función  de  variable  real:    𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥 !  

()

a) Realice  el  análisis  necesario  y  bosqueje  la  gráfica  de   f ,  si   x ∈ #$−2,3%&   b) Determine  el  rango  de  la  función  para  el  intervalo  del  dominio  especificado  e  indique   si  la  función  es  periódica,  acotada  o  par.     Página  34  de  48  

157) Dada  la  función  de  variable  real:    𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥   a) Realice  el  análisis  necesario  y  bosqueje  la  gráfica  de   f ,  si   x ∈ #$−2,3%&   b) Determine  el  rango  de  la  función  para  el  intervalo  del  dominio  especificado  e  indique   si  la  función  es  periódica,  acotada  o  par.     2 158) Sea  la  función   f : ! " ! ,  tal  que   f x = x + 3x  

()

Determine  la  regla  de  correspondencia  y  la  gráfica  de:  

( ) ( ( )) h ( x ) = µ ( f ( x ))  

a) g x = sgn f x  

b)

  159) Si  se  definen  las  funciones   f : ! " !  y   g : ! " ! :  

()

()

f x = sgn x  

 

 

#% 2 x −1, x < −1   g x =$ &% x +1, x ≥ −1

()

Entonces  es  VERDAD  que:   a) g ! f  no  existe.   b) g ! f  es  una  función  par.  

"$ 2, x ≥ 0   % 1, x < 0

( g ! f ) ( x) = #$

c)

! 0, x < 0 ## x = " 1, x = 0   # 2, x > 0 #$

d)

(g ! f )( )

e)

( g ! f ) (0) = 0   Respuesta:  d)  

 

160) Sean  las  funciones   f : ! " !  y   g : ! " !  definidas  por:    

# % µ x , f x =$ % x −1, &

()

()

x ≥4 x