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CALCULO I.

ARLEY VILLAREAL CASTAÑEDA. CONTADURIA PUBLICA-SEMESTRE I. JORNADA NOCTURNA-MIERCOLES.

CORPORACION UNIVERSITARIA REMINGTON.

PALMIRA FEBRERO 5 DEL 2013.

CONTENIDO.



PRODUCTO NOTABLE.



CASOS DE FACTORIZACION.



ECUACIONES DE PRIMER GRADO.



ECUACIONES CUADRATICAS.

PRODUCTO NOTABLE.

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado 2

2

a + 2ab + b = (a + b)

2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Demostración:

2

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a + 2 2 2ab + b debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

2

2

2

a – 2ab + b = (a – b)

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Demostración:

2

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a – 2 2 2ab + b debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)

2

(a + b) (a – b) = a – b

2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) 2 2 (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a – b

Otros casos de productos notables (o especiales): Producto de dos binomios con un término común, de la forma

2

x + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) Demostración:

Veamos un ejemplo explicativo: Tenemos la expresión algebraica 2

x + 9 x + 14 obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 ) ¿Cómo llegamos a la expresión? a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x

2

b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos: 2

x + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 ) 2

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

2

x + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b) Demostración:

2

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

2

x – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b) Demostración:

2

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b). Producto de dos binomios con un término común, de la forma

2

mnx + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).

Demostración:

2

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx + ab + (mb + na)debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).

Cubo de una suma 3

2

2

3

3

a + 3a b + 3ab + b = (a + b)

3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a + 2 2 3 3 3a b + 3ab + b debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b) .

Cubo de una diferencia 3

2

2

3

3

a – 3a b + 3ab – b = (a – b)

3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a – 2 2 3 3 3a b + 3ab – b debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b) .

CASOS DE FACTORIZACION. Caso 1 - Factor común. Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.

Caso 2 - Factor por agrupación de términos. En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto. Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos. Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos. Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos términos de la diferencia contenga mas de un término. Caso especial: Se puede dar una expresión de cuatro términos donde tres de ellos formen un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto término se convierta en una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis términos que formen dos trinomios cuadrados perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados.

Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el término que hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, así tendremos un trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados.

Caso 6 - Trinomio de la forma.

Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente: El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado. El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable. El tercer término es independiente (no contiene la variable).

Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer término de cada binomio es la variable y el segundo término en cada uno de los factores (paréntesis), son dos números , uno en cada paréntesis de tal forma que la suma de los dos del coeficiente del segundo término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del trinomio, el signo del segundo término de cada factor depende de lo siguiente:

° Si el signo del tercer término es negativo, entonces uno será positivo y el otro negativo, el mayor de los dos números llevara el signo del segundo término del trinomio y el otro número llevara el signo contrario. ° Si el signo del tercer término es positivo, entonces los dos signos serán iguales (positivos o negativos), serán el signo del segundo término del trinomio.

Caso 7 - Trinomio de la forma

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1. Se procede de la siguiente forma: Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un trinomio de la forma:

y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el número que esta como denominador.

Caso 8 - Cubo perfecto de binomios. Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes condiciones:

° Posee cuatro términos ° El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas). ° El segundo termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. ° El tercer termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último término -multiplicado por la raíz cúbica del primer término. ° Los signos son todos mas o también podría ser positivo el primero y el tercero y negativo el segundo y el cuarto.

Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.

Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos.

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor esta formado por tres términos así: la priemra raíz al cuadrado, la primera raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos formas acuerdo a lo siguiente:

Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales. Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:

Para an-bn con n = par o impar la factorización será:

Para an-bn con n = par la factorización será:

Para an+bn con n = impar la factorización será:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES. Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

2x = 53 + 3 2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x • ½ = 56 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

x = 56 / 2

x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

ECUACIONES CUADRATICAS. Ecuaciones de segundo grado y una incógnita Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación. Ejemplo: Resolver la ecuación

x−1=0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación. Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: 2

ax + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

Solución de ecuaciones cuadráticas 2

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales. Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas: Ejemplos: 2

9x + 6x + 10 = 0 2

3x – 9x + 0 = 0 2

–6x + 0x + 10 = 0

a = 9, b = 6, c = 10 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está) a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

2

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: Solución por factorización En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero. Ejemplos 1) Resolver (x + 3)(2x − 1) = 9 Lo primero es igualar la ecuación a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación: (2x − 3)(x + 4) = 0 Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas: Si 2x − 3 = 0 2x = 3

Si x+4=0 x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas: (x + 3)(2x − 1) = 9 2

2x + 5x − 12 = 0 2

2x + 5x = 12 2

2x − 12 = − 5x En todos los casos la solución por factorización es la misma:

2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:

Ahora, si x=0 o si x− 4 = 0 x=4 Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:

Soluciones:

Solución por completación de cuadrados Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo: 2

(ax + b) = n 2

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b) , es el cuadrado de la suma de un binomio. Partiendo de una ecuación del tipo 2

x + bx + c = 0 por ejemplo, la ecuación 2

2

x + 8x = 48, que también puede escribirse x + 8x − 48 = 0 2

Al primer miembro de la ecuación (x + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo 2 (ax + b) Que es lo mismo que (ax + b) (ax + b) Que es lo mismo que 2

ax + 2axb + b

2

En nuestro ejemplo 2

x + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser 2 obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a + 2 2 2ab + b ) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (4 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos 2

x + 8x + 16 = 48 + 16 2

x + 8x + 16 = 64 la cual, factorizando, podemos escribir como sigue: (x + 4) (x + 4) = 64 Que es igual a 2

(x + 4) = 64 Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos queda x+4=8 Entonces x=8−4 x=4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la 2 expresión (x + 4) , que es el cuadrado perfecto de un binomio. Veamos otro ejemplo: Partamos con la ecuación 2

x + 6x − 16 = 0 Hacemos 2

x + 6x = 16 2

Luego, a partir de la expresión x + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una expresión de la 2 forma (ax + b) (cuadrado de la suma de un binomio).

Para encontrar el término que falta hacemos (Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado). Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación: 2

x + 6x = 16 2

x + 6x + 9 = 16 + 9 2

x + 6x + 9 = 25 factorizamos, y queda (x +3) (x + 3) = 25 2

(x + 3) = 25 2

2

La expresión x + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3) , y así la ecuación se resuelve con facilidad: Extraemos raíz cuadrada

, y queda x + 3 = 5 y x + 3 = −5 2

2

(pues 5 = 5 y también (−5) = 5 Entonces x=5−3 x=2 Y x=−5−3 x=−8 La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.

Otro ejemplo para analizar y estudiar: 2

Resolver la ecuación: x – 6x + 8 = 0 2

2

Veamos: Con los términos x y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3) , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, dejamos las equis (x) a la izquierda y pasamos el 8 a la derecha de la igualdad: 2

x – 6x = − 8 y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado de binomio: ¿Cómo encontramos el término que falta?, haciendo

2

x – 6x = −8

/+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuación)

2

x − 6x + 9 = − 8 + 9 2

(x – 3) = 1 Extraemos las raíces cuadradas

y queda x–3=1

y x − 3 = −1

Si x–3=1 x=1+3 x=4 Si x – 3 = −1 x = −1 + 3 x=2 Por lo tanto x1 = 4 y x2 = 2 Debemos hacer notar que el método de completar cuadrados terminará en lo mismo que la fórmula general, porque es de este método de donde sale dicha fórmula, usada en el método que vemos a continuación.

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula. La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, seacompleta o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización. Ejemplo: 2

Resolver la ecuación 2x + 3x − 5 = 0 Vemos claramente que a = 2,

b=3 y

c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :

y también

Así es que las soluciones son

.

Aquí debemos anotar algo muy importante: En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión 2 cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b − 4ac) sea positivo o cero.

. Esa raíz

2

El radicando b – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces)depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee: Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones. Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución. Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución. En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones. Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a.

Trabajando con ecuaciones de segundo grado Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, 2 2 expresarse en la forma ax + bx + c = 0, donde a, y b son los coeficientes de los términos x y x, respectivamente y c es el término independiente.

Ecuación de segundo grado completa Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero. Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es 2

ax + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero. (Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.) La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es: 2

b=0

y

2

si

c = 0.

ax = 0; si ax + bx = 0; 2

ax + c = 0;

si

c = 0.

b = 0.

Algunos ejemplos, con soluciones 2

1) Resolver: − 5x + 13x + 6 = 0 Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = − 5; b = 13; c = 6. Se aplica la fórmula:

Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −. Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación. Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.

Probando con

, se tiene

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y +6=0

2

son las raíces de − 5x + 13x

2

2.- Resolver: 6x − x = 9 Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: 2

− x + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:

a = −1 ; b = 6 ; c = −9 ; y se aplica la fórmula:

El discriminante (Δ) es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

CONCLUSION.

Con este trabajo de investigación pude comprender como factorizar polinomios y binomios, sus diferentes propiedades, diferenciar los tipos de ecuaciones y la forma en que se deben de resolver. Para concluir hay que destacar que sólo la experiencia mejora los resultados y que para ello hay que practicar con ejercicios y aplicándolos a la vida diaria.

BIBLIOGRAFIA.

www.profesorenlinea.com www.vitutor.com www.wikipedia.org.