INSTITUCION EDUCATIVA LAS FLORES ALGEBRA GRADO OCTAVO LIC. RAÚL EMIRO PINO S. CODAZZIhttp://pinomat.jimdo.com/ Una alu
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INSTITUCION EDUCATIVA LAS FLORES ALGEBRA GRADO OCTAVO LIC. RAÚL EMIRO PINO S. CODAZZIhttp://pinomat.jimdo.com/
Una alumna de la I.E. “Las Flores”, posee un terreno en el corregimiento de Casacará, lo divide en parcelas como muestra la figura. Su padre desea encontrar su área total . ¿Cómo lo harías? 1 1
x
x
1 http://pinomat.jimdo.com/
x 2 x 2
2
X
2
4(1X ) 4(1)
2
X
2
4X 4
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a
a
a
b b
a
b
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b
a b
2
a b
2
a ab ab b 2
a 2ab b 2
DEDUCCION DE LA FORMULA
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2
2
PRODUCTOS NOTABLES Son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. CUADRADO DE UN BINOMIO CUADARADO DE UNA SUMA: el cuadrado de una suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más dos veces la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad, es decir.http://pinomat.jimdo.com/
a
b a
a b
a
2
a 2ab b b b Segunda cantidad b Primera cantidad a 2
2
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porque (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a2+ ab + ab + b2 ejemplo: = a2 + 2ab + b2 a)(x+ 3)2 = x2 + 2.x.3 + 32 = x2 + 6x + 9 b)(3a+ 5)2 = (3a)2 + 2.3a.5 + 52 = 9a2 + 30a + 25 c)(2m2+ 3)2 = (2m2)2 + 2.2m2.3 + 32 = 4m4 + 12m2 + 9 http://pinomat.jimdo.com/
d)(4x+ 3y)2 = (4x)2 + 2.4x.3y + (3y)2 e) x3+ y 2 2
= 16x2 + 24xy + 9y2 = (x3)2 + 2.x3.y + y 2 2
2
= x6 + x3y + y2 4
CUADRADO DE UNA DIFERENCIA: el cuadrado de una diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos dos veces la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad, es decir. http://pinomat.jimdo.com/
a
b b2
b
a-b
a b
2
a-b ab – b2
(a – b)2
a
a 2ab b 2
Segunda cantidad Primera cantidad
2
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porque (a-b)(a-b) = a(a-b) - b(a-b) = a2- ab - ab + b2 2 2 = a 2ab + b ejemplo: a)(x - 5)2 = x2 - 2.x.5 + 52 = x2 - 10x + 25 b)(4a - 2)2 = (4a)2 - 2.4a.2 + 22 = 16a2 - 16a + 4 c)(m2-1)2
= (m2)2 - 2.m2.1 + 12 = m4 - 2m2 + 1 http://pinomat.jimdo.com/
d)(4x- 3y)2 = (4x)2 - 2.4x.3y + (3y)2 = 16x2 - 24xy+ 9y2 e) x3- y 2 = (x3)2 - 2.x3.y + y 2 2
2
2
= x6 - x3y + y2 4 CUBO DE UN BINOMIO CUBO DE UNA SUMA 2.2= 4
a) (x+2)3 = x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8 http://pinomat.jimdo.com/
b) (2x + 5)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.5 + 3.2x.52 + 53 2x.2x= 4x23
5x5= 25
= 8x3 + 60x2 + 150x + 125 CUBO DE UN BINOMIO
CUBO DE UNA SUMA El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera más tres veces el cuadrado de la primera por la segunda más tres veces la primera por el cuadrado de la segunda mas el cubo de la segunda, es decir http://pinomat.jimdo.com/
Cubo del Binomio (a + b)3
b
a
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(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 porque (a+b)3 = (a+b)(a+b)2 2 2 (a + 2ab + b ) = (a+b) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 2.2= 4
ejemplo:
a) (x+2)3 = x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
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b) (2x + 5)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.5 + 3.2x.52 + 53 2x.2x= 4x23
5x5= 25
= 8x3 + 60x2 + 150x + 125 c) (m + 1)3 = m3 + 3.m2.1 + 3.m.12 + 13 = m3 + 3m2 + 3m + 1
d) (4x + 3y)3
= (4x)3 + 3.(4x)2.3y + 3.4x.(3y)2 + (3y)3 = 64x33 + 144x2y + 108xy2 + 27y3 Quieres tocar el cielo, debes estudiar con disciplina, dedicación y empeño http://pinomat.jimdo.com/
CUBO DE UNA DIFERENCIA (a-b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 a) (x-2)3 = x3 - 3.x2.2 + 3.x.22 - 23 = x3 - 6x2 + 12x - 8 b) (4x - 5)3 = (4x)3 - 3.(4x)2.5 + 3.4x.52 - 53 = 64x3 - 240x2 + 300x - 125 c) (3 - y)3 = 33 - 3.32.y + 3.3.y2 - y3 = 27 – 27y + 9y2 - y3 http://pinomat.jimdo.com/
CUBO DE UNA DIFERENCIA: El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera menos tres veces el cuadrado de la primera por la segunda más tres veces la primera por el cuadrado de la segunda menos el cubo de la segunda, es decir
(a-b) = a - 3a b + 3ab - b 3
3
2
2
3
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Cubo del Binomio (a - b)3 b
a-b
a a
(a – b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3
a
b
b
b a-b a-b b(a –b)2 b(a2 -2ab + b2) a2b
a b – 2ab + b3 2
2
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ab(a2 ab) b– ab2
a
a
b
3
a a a a
a-b
a a-b http://pinomat.jimdo.com/
b a-b
b
a
b
3
3 (a – b ) ab a3 - b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) (a – b ) a2 http://pinomat.jimdo.com/
(a – b ) b2
(a-b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 porque (a-b)3 = (a-b)(a-b)2 = (a-b)(a2 - 2ab + b2) = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 ejemplo: a) (x-2)3 = x3 - 3.x2.2 + 3.x.22 - 23 = x3 - 6x2 + 12x - 8 http://pinomat.jimdo.com/
b) (4x - 5)3 = (4x)3 - 3.(4x)2.5 + 3.4x.52 - 53 = 64x3 - 240x2 + 300x - 125 c) (3 - y)3 = 33 - 3.32.y + 3.3.y2 - y3 = 27 – 27y + 9y2 - y3 d) (4x - 3y)3 = (4x)3 - 3.(4x)2.3y + 3.4x.(3y)2 - (3y)3 = 64x3 - 144x2y + 108xy2 - 27y3 http://pinomat.jimdo.com/
SUMA POR DIFERENCIA (a+b)(a-b)= a2 - b2 porque (a+b)(a-b) = a(a-b) + b(a-b) = a2- ab + ab - b2 ejemplo:
= a2 - b 2
a) (x + 5)(x - 5) = x2 - 52 = x2 - 25 b) (a2 + 3)(a2 - 3) = (a2)2 - 32 = a4 - 9
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SUMA POR DIFERENCIA: El producto de una suma (a+b) por la diferencia (a-b), es igual al cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término. Es decir a-b b a-b a
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a+b
(a+b)(a-b)= a2 - b2 porque (a+b)(a-b) = a(a-b) + b(a-b) = a2- ab + ab - b2 ejemplo:
= a2 - b 2
a) (x + 5)(x - 5) = x2 - 52 = x2 - 25 b) (a2 + 3)(a2 - 3) = (a2)2 - 32 = a4 - 9 c) (m + 5n)(m – 5n) = m2 – (5n)2 2 2 http://pinomat.jimdo.com/ = m – 25n
d) (6x + 2y)(6x – 2y) = (6x)2 – (2y)2 = 36x2 – 4y2 EL BINOMIO DE NEWTON POTENCIA DE UN BINOMIO: Un producto notable muy utilizado en la matemática es el llamado Binomio de Newton. En este binomio es muy interesante describir y aplicar las reglas que permiten hallar el exponente, el signo y el coeficiente de cada término http://pinomat.jimdo.com/
(a+b)0 = 1 (a+b)1 = a+b (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 http://pinomat.jimdo.com/
EL TRIÁNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los términos que se obtienen en el desarrollo del binomio de Newton se pueden disponer en forma de triángulo. Este arreglo de números se llama triángulo de Pascal. Una vez construido el triángulo de pascal se utiliza para hallar el valor de los coeficientes del binomio de Newton http://pinomat.jimdo.com/
=1
(a+b)0 (a+b)1
=1a + 1b
(a+b)2
=1a2 + 2 2ab + 1b2
(a+b)3
=1 a3 + 33a2b+ 33ab2 +1b3
(a+b)4
=1 a4 + 44a3b+ 66a2b2 4ab 4 3 +1b4 1
1
5 6
10 15
10 20
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5 15
1 6
1
PRODUCTO DE BINOMIOS DE LA FORMA (x + a) (x + b) (x + a)(x + b) = x2 + xb +ax +ab = x2 + (a + b)x +ab El coeficiente x2 es la unidad El coeficiente de x es la suma algebraica (a + b) de los términos independientes. El término independiente es el producto (ab) de los términos independientes de los binomios dados. ejemplo: http://pinomat.jimdo.com/
a) (x 3 x+4 4) = x2 x x + 3)(x =+ 7 ( )( ) = + 122 b) (x 4) = x – x x + 3)(x 3 x–4 =– 1 ( )( ) = – 12 12 c) (xx – 3)(x 3 x + 44) = x2 + x =+ 1 ( )( ) = – 12 12 d) (x 3 x – 4) x x – 3)(x 4 = x2 =– 7 ( )( ) = + 12 12 http://pinomat.jimdo.com/
e) (x 8 x–5 5) = x2 x + 8)(x =+ 3 ( )( ) = – 40 40
x
f) (a2 + 9)(a2 - 2) = a4 + 7a2 – 18 g) (ax+1 – 6)(ax+1 – 5) = a2x+1 – 11ax+1 + 30
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