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2.1 PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano tiene como eje central el trabajo de conjuntos, ya sea de números o de otras entidades. Para esto debemos tener claro además, cuales son los conjuntos de los números y sus propiedades. (Figura 2.1) Figura 2.1 Conjuntos Numéricos

Naturales o Positivos Enteros

Negativos

Racionales Números Reales Irracionales

Naturales y el cero

Decimales exactos Fraccionarios

Puros

Decimales periodicos Mixtos

Un conjunto es una lista, colección o agrupación de objetos bien definidos, los que se llaman elementos, y se escriben entre llaves separados por comas. Un conjunto puede ser descrito de dos formas: i) Por Extensión: Cuando se indican todos los elementos que lo forman. ii) Por Comprensión: Cuando se indican sus elementos por medio de una propiedad precisa, que permita identificarlos a todos ellos y sólo a ellos. El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo: Podemos definir la relación como La correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS elementos del primer conjunto con UNO o MÁS elementos del segundo conjunto.

Cuando hablamos de relaciones en las matemáticas no es un concepto tan lejano a lo que se conoce como una relación entre otros entes (personas, objetos, etc.); hablamos de la relación que existe entre Chile y Argentina, una relación que los une, es “estar dentro del mismo continente”; o tal vez hablar de la relación que existe entre un colegio y un grupo de adolescentes que pertenecen al establecimiento, la relación es “ser estudiante del Colegio”. Ahora bien, en matemática, el concepto no es tan lejano a lo que se ha comentado. Una relación matemática debe tener presente el Plano Cartesiano, (Figura 2.2). Que está compuesto por el eje

(eje de las abscisas) y el eje

(eje de las ordenadas).

Cuando se trabaja con el plano cartesiano, se está trabajando con pares ordenados,

, donde

es la primera componente e

es la segunda

componente. En el plano cartesiano se ubican puntos mediante pares ordenados , representa un punto donde

es la posición del eje de las abscisas e

, es

la posición del eje de las ordenas, estas se grafican como se muestran en la (Figura 2.3). El par ordenado

, representa un único punto en el plano

cartesiano, y un punto está representado por un único par ordenado.

Figura 2.3 Puntos en el Plano Cartesiano

Figura 2.2 Plano Cartesiano

I Cuadrante

II Cuadrante

Y

Y

5

4

3

I Cuadrante

II Cuadrante

(3,5)

4 3

2

2 1

1

X

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

-1 -2

IIICuadrante

-2

IV Cuadrante

-3

(-2,-3) -4

-3 -4

III Cuadrante

IV Cuadrante

El plano cartesiano, es un sistema de

Puntos localizados en el plano

referencia respecto a dos ejes que se

cartesiano.

cortan en un punto llamado origen de coordenadas.

En

coordenadas

el

plano,

cartesianas

las (o

rectangulares) son las abscisas y las ordenadas abscisas

respectivamente. son

las

Las

primeras

componentes del par ordenado y las ordenadas las segundas componentes.

Para poder entender las funciones, debemos comprender el

“Producto

Cartesiano”, su definición, sus propiedades y la importancia de ésta en la ciencia de las matemáticas.

Definición Nº1: Producto Cartesiano Dado dos conjuntos simbolizado por

, se llama Producto Cartesiano de

, al conjunto de todos los pares ordenados cuyas primeras

componentes pertenecen al conjunto

y las segundas componentes pertenecen

al conjunto . Por comprensión:

EJEMPLO Nº1: Si

Luego, notemos que

en ese orden

entonces:

y

Observación:

EJEMPLO Nº2: Si Por extensión: Por compresión: Se representa gráficamente como lo muestra la figura 2.4.

.

Figura 2.4 Producto Cartesiano de Y

2

1

(0,0) -2

(1,0)

(2,0)

1

2

(1,-1)

(2,-1)

-1

(0,-1)

X

-1

-2

Si el conjunto

tiene

elementos y el conjunto

tiene

elementos, entonces la

cantidad de pares ordenados que existe en el producto cartesiano (

). Es decir, si tenemos que si

es la cardinalidad (cantidad de elementos) de y

entonces

Del ejemplo anterior, notemos que:

Observación: Si

o bien

entonces

EJEMPLO Nº3: Si Entonces, Por comprensión: Por extensión:

(números naturales múltiplos de 2) y

es y

la de

Notemos que:

Luego 2.1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO La representación grafica del producto cartesiano puede darse de dos maneras, a través del plano cartesiano o a través de la representación del diagrama sagital. Al graficar en el plano cartesiano, debemos considerar los conjuntos en los cuales estamos trabajando. El producto cartesiano pueden resultar ser: puntos, segmentos, rectas, rayos o regiones rectangulares. EJEMPLO Nº4: Sea

Notemos que

Figura 2.5 Representación Gráfica de y

3

(-1,2)

(0,2)

(1,2)

(-1,1)

(0,1)

(1,1)

(-1,0)

(0,0)

(1,0)

-1

2

1

1

Y

EJEMPLO Nº5: Si

y

Figura 2.6 Representación Gráfica en el plano de la región Y

3 2 1 X

-3

-2

-1

1

2

3

-1

Sea

Luego el producto cartesiano .La

representación sagital viene dada por la figura 2.7 Figura 2.7 Representación Sagital

A

B

Producto Cartesiano de El producto cartesiano definido sobre , significa tomar como primera componente un elemento del conjunto A y como segunda componente también un elemento del conjunto A. Esto es:

EJEMPLO Nº5: El producto cartesiano definido en el conjunto

viene dado por

Escrito por Comprensión: Escrito por Extensión:

2.1.2 PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO Sean

y

, conjuntos no vacíos, se cumple que:

(a) El producto cartesiano de dos conjuntos

, es vacio si, y sólo si uno de los

conjuntos es vacio. (b) El producto cartesiano de dos conjuntos

es conmutativo si, y sólo si uno de

los conjuntos es vacío. (c)

Distributividad del producto cartesiano respecto a: i.

(La unión)

ii.

(La intersección)

iii.

(La diferencia)