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ESTRATEGÍAS PEDAGÓGICAS PARA NIÑOS DE PRIMARIA CON DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS PROBLEMAS Y OPERACIONES DE SUMA Y RESTA FICHAS DE TRABAJO Estas fichas corresponden a los contenidos que se presentan en el fascículo núm. 2 (Problemas y operaciones de suma y resta), por lo que su uso apropiado y efectividad requieren de manera indispensable que el maestro lea previamente y en su totalidad dicho fascículo. Es importante advertir al maestro que cada una de estas fichas (lo mismo que las correspondientes al fascículo 1) constituyen meros ejemplos del tipo de actividades que pueden desarrollarse en función de sus objetivos correspondientes. Por tanto, una vez comprendido el objetivo, lo importante y más útil para el maestro será que éste diseñe nuevas actividades orientadas a esos mismos objetivos y que obedezcan a los principios metodológicos que rigen a las que aquí se presentan. 1

1.

Relación de las matemáticas con la realidad. 1. La realidad y los problemas.

¡AH, LOS PROBLEMAS! OBJETIVOS Que el maestro explore las ideas de los niños acerca de qué son los problemas escolares, para qué sirven, si tienen relación con la realidad. Inventar un problema de matemáticas partiendo de un hecho real. Ampliar la noción de “problemas de matemáticas”. MATERIAL Libros de texto abiertos en alguna página en que haya problemas de matemáticas. El maestro muestra los problemas del libro a los niños y les pregunta si los conocen, qué son, cómo saben que son los problemas; para qué se los ponen en la escuela; si saben de alguien a quien le haya sucedido algo parecido; quién puso los problemas en el libro, para qué; si sería posible que ellos inventaran unos, etc. 2

 Una vez que los niños han hablado acerca de los problemas escolares, el maestro les pregunta qué otro tipo de problemas conocen. Luego les pregunta si los problemas de la gente se parecen en algo, en qué son distintos, y si se podrían poner problemas de la gente en los libros.

 El maestro propone que entre todos inventen un problema a partir de algo que le haya sucedido a un miembro del grupo ese día (o en alguna ocasión). El hecho es, por ejemplo, que a Gerardo le metieron 5 goles. El maestro hace preguntas a los niños, como: “¿Y en el equipo de Gerardo cuántos goles había anotado? ¿Con cuántos le van ganando?”. Asimismo, estimula a los niños a que ellos piensen qué cosas necesitarían saber, para que hagan las preguntas.

 Una vez que hay buena información, escriben el problema en el pizarrón e intenta resolverlo. Opinan acerca del contenido del problema: si pusieron pregunta, si la pregunta es contestable, si el problema se entiende, si allí ya dice todo… Luego piensan qué otro problema se diferente se podría proponer a partir de esa misma información. Una vez propuesto, lo escriben en el pizarrón y luego se copia en tarjetas para guardarlo en el “Banco de problemas”. 3

I. Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas (Ficha 1, cont.) (Ver fascículo 2, pág. 97) NOTA: Esta actividad puede retomarse a lo largo del año en el momento que el maestro lo considere conveniente. Recordamos además la convivencia de que el maestro realice una evaluación permanente, mediante una cuidadosa observación del trabajo de los niños.

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I.

Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 2

TRABAJOS DE LA GENTE OBJETIVOS Tomar conciencia de los problemas que surgen en la realidad y de las varias soluciones posibles. Inventar y resolver problemas de matemáticas que se derivan de las situaciones reales analizadas. MATERIAL Hojas y lápices Los niños platican sobre diversos oficios que conocen, por ejemplo, en qué trabajan ellos mismos, en qué trabaja su papá o algún familiar, en qué les gustaría trabajar el día que tengan que hacerlo, etc. 5

El maestro pide a los niños que platiquen a qué tipo de problemas se enfrentan en el trabajo y cómo los resuelven. Por ejemplo, la alumna Irene vende dulces ¿qué problemas tiene que resolver? ¿Cómo lo hace?: tener dulces variados, unos más baratos que otros, de sabores y tamaños diferentes, taparlos con plásticos para que no se resequen o se ensucien, determinar el precio por pieza o por vasito (semillas, cacahuates, etc.), cuidar que no le roben la mercancía, hacer la cuenta de lo comprobado por el cliente, dar bien el cambio, resurtir la mercancía, etc.  Platican acerca de los problemas y las soluciones que conllevan otros oficios que conocen, por ejemplo: la mamá de Maritza es costurera y va a hacer un vestido… ¿qué tiene que pensar? (por ejemplo: en la cantidad de metros de tela, de carretes de hilo, en el corte de la tela para no desaprovechar nada, en el largo del vestido, en utilizar medidas convencionales como el metro, etc.).  Platican acerca de otros problemas que resuelven en su vida diaria, por ejemplo: cómo se vinieron a la escuela ese día, cómo resuelven situaciones en sus juegos (fútbol, “las trais”, la reata…), cuando hacen algún mandado, etc.  Los niños proponen formas de solucionar algún problema sencillo de la vida real que tenga que resolver algún niño (ya sea alumno o un caso ficticio). Por ejemplo: A Susana le dejaron de tarea medir el piso de su casa, pero no tiene regla, ni metro, ¿qué puede hacer? 6

I. Relación de l de las matemáticas con la I. La realidad y los problemas (Ficha 2, cont.) TAREA: De tarea entrevistaron a alguna persona para indagar qué tipo de situaciones son las que comúnmente tiene que resolver en su trabajo, y cómo lo hace. En la sesión de trabajo siguiente cada niño platica al resto del grupo lo que indagó. El maestro inventa problemas a partir de las investigaciones que hicieron los niños. Por ejemplo: Gerardo entrevistó a su tío, quien trabaja en un camión repartidor de refrescos y le contó que un problema muy común es que diariamente se les rompen algunos envases. El maestro inventa un problema al respecto, por ejemplo, si una caja trae 24 refrescos, pero se rompen 9 ¿cuántos refrescos quedan? La complejidad de la estructura de los problemas que el maestro invente dependerá de las posibilidades de los niños, por tanto, puede presentar problemas sencillos o más complicados, por ejemplo “Si diariamente se les rompen 9 envases, ¿cuántos se rompen en 6 días de trabajo?”. 7

NOTA: Se recomienda al maestro que lea las págs. 18 a 29 del fascículo 2, en donde hallará varios ejemplos de diferentes problemas, de acuerdo a su estructura. VARIANTE: Los niños inventan los problemas a partir de las investigaciones que trajeron de tarea; luego las intercambian para que otro compañero resuelva el problema, y finalmente el autor del mismo y quien lo solucionó intercambian opiniones respecto a: -

Si el problema tenía suficientes datos o faltaban algunos Si se entendían en qué consistía el problema en cuestión Si la solución es correcta Si existen otras posibles maneras de solucionar el mismo problema.

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I.

Relación de las matemáticas con la realidad I. La realidad y los problemas. Ficha 3.

OBJETIVOS Analizar los elementos componentes de una situación presentada en una imagen. Inventar problemas no numéricos que sean derivados de lo analizado en las imágenes. MATERIAL Para cada niño, una secuencia de imágenes recortadas de fotonovelas o historietas (aproximadamente 5 imágenes). Cada niño ordena sus imágenes en secuencia. Luego inventa un problema que haya acontecido a los personajes, de acuerdo con lo que se observa en la secuencia y lo escribe en una hoja; si algún niño tiene dificultades en escritura, puede relatar oralmente el problema, o bien ser ayudado por otro compañero para escribirlo. 9

 Intercambian con otro compañero las imágenes y el problema inventado.  Opinan qué tan acertado es el problema que inventó el compañero en función de las imágenes. VARIANTES 1.- Los niños ordenan la secuencia.

 Inventan entre todos un problema, lo escriben y depositan en el Banco de problemas (ver fascículo 2, pág. 97) para que sea utilizado posteriormente como una idea de dónde partir para inventar problemas numéricos. 2.- Más adelante, ya que los niños estén trabajando con nociones aritméticas, el maestro les propondrá que a partir de la secuencia de imágenes inventen problemas que tengan que ver, por ejemplo, con resta, o con división, etc.

 Intercambian las tarjetas y los compañeros resuelven el problema.

10

 El autor del problema y el que resuelve confrontan si el problema se entendía, si había suficientes datos, si la resolución fue adecuada, etc. I.

Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 4

¿QUÉ LE PASA A ESTA GENTE? OBJETIVOS Analizar los elementos componentes de una situación. Inventar problemas numéricas o no numéricas derivcadas del contexto que proporciona la situación analizada. MATERIAL Fotografías recortdas de periódicos o revistas. El maestro pide a los alumnos que para la clase siguiente lleven algunas fotos recortadas de periódicos o revistas (él mismo lleva varias). 11

Entrega una a cada niño, les pide que adivinen qué problema tiene el personaje de la fotografía y piensen maneras posibles de solucionarlos. El maestro favorece que los niños realicen un cuidadoso análisis de la situación que la imagen presente.  Escriben en una tarjeta en qué consiste el problema del personaje y cómo se puede solucionar. Posteriormente intercambian opiniones acerca del trabajo realizado por cada uno. VARIANTE MATERIAL Los problemas inventados por los niños al trabajar esta ficha. El maestro propicia que los niños reflexionen acerca del tipo de lenguaje que se emplea en la redacción de problemas de los libros de texto. Los anima a retomar los problemas que habían elaborado (a partir de fotos de periódico y a escribirlos de forma similar al estilo de redacción de los problemas escolares. 12

Uno de los niños lo escribe en el pizarrón o en una hoja y los demás opinan qué se debe poner o qué hay que cambiar. I. Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 5 LO QUE CUENTAN LOS CUENTOS OBJETIVOS Reflexionar sobre situaciones problemáticas y anticipar las posibles formas de solución. MATERIAL Papel y lápiz. Un cuento corto o una fábula. El maestro lee el cuento a los niños, deteniéndose cuando alguno de los personajes se encuentre en una situación problemática. Los invita parta que digan lo que harían ellos para solucionar el problema, si estuvieran en el lugar del personaje. Continúa leyendo para saber cómo se resolvió este problema y luego pide a los niños que opinen sobre lo que ellos 13

propusieron y lo que hizo el personaje, analizando las ventajas y desventajas de las distintas proposiciones. I. Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 6 ¿ADIVINO O NO ADIVINO? OBJETIVOS Analizar textos para encontrar las relaciones entre las ideas. Distinguir la información pertinente de la no pertinente en un contexto determinado. Crear relaciones nuevas ideas. MATERIALES Textos escritos en tarjetas: adivinanzas, coplas breves, refranes, (cada texto escrito en una tarjeta diferente). Para una variedad de estos textos el maestro puede tomarlos de los libros de lectura de 2º y 3er años de primaria, de la SEP. El maestro pide a los niños que digan algunas adivinanzas que sepan para que todos vayan intentando adivinar. 14

Hecho lo anterior, les dices que va a leerles unos textos que encontró en un libro, para que ellos digan si, en primer lugar, se trata o no de una adivinanza. Lee textos como: “Te haré una pregunta sola Para no serte molesto; Piensa y contéstame esto: ¿Qué animal come con la cola?” Luego pregunta a los alumnos si es o no una adivinanza y cómo supieron. (Respuesta: Todos, porque ninguno se la quita para comer) Analizan por qué es tal respuesta a la adivinanza. El maestro va entonces leyendo varios textos, intercalado entre las adivinanzas otros que sean coplas populares o pequeños poemas que no requieren de la búsqueda de una respuesta, como:



“Soy panadero famoso. Pan calientito y sabroso Es el mío, qué ricura. Hago bollos excelentes, Y aunque el horno esté caliente

“Todos echan despedida, Pero como yo ninguna: Una, dos, tres, cuatro, cinco Cinco, cuatro, tres, dos, una Cuatro por siete veintiocho, 15

No sufro las quemaduras”.

Tres por siete son veintiuna”.

I. Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 6 (cont.). Al terminar de leer cada texto, el maestro, igual que en el anterior, pregunta a los niños: ¿Es o no una adivinanza? ¿Cómo supieron? ¿Tenemos que adivinar algo? ¿Por qué?. El maestro procura incluir también adivinanzas que no tiene una pregunta claramente expresada, adivinanzas que lo son, aunque entre sus palabras no tengan una pregunta redactada sino que se puede deducir que es adivinanza a través de un análisis y síntesis de sus partes. Ejemplos. 1. Soy una cajita blanca como la cal todos me pueden abrir nadie me puede cerrar.

2. Blanca por dentro verde por fuera si quieres que te lo diga, espera

3. Oro no es, plátano es.

4. Hago paredes pongo cimientos y a los andamios subo contento.

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En estos casos, ante la pregunta “¿es una adivinanza?” sugerimos al lector contestarlas y fijarse muy bien cómo supo, qué pensó, qué descubrió para saber si eran o no adivinanzas. Y en el caso que sí, cuáles serían las respuestas y por qué; que piense qué información es necesaria, o si hay cosas que confunden o no son importantes, por ejemplo: -

INFORMACIÓN NECESARIA cajita blanca todos me pueden abrir nadie me puede cerrar blanca por dentro verde por fuera espera

INFORMACIÓN NO NECESARIA -

como la cal

-

si quieres que te lo diga.

De igual manera, el maestro favorece que los niños hagan un análisis de este tipo con cada texto. Así pues, el maestro va leyendo textos variados intercalando adivinanzas sin pregunta o con “pregunta escondida”, para que los niños analicen los textos y decidan si se trata o no de una adivinanza y, en el caso que sí, cuál podría ser la respuesta y por qué. 17

El maestro retoma uno de los textos que los niños han determinado como “no adivinanzas” y pide que entre todos lo conviertan en adivinanza, es decir, lo utilicen para partir de esa idea e inventar una adivinanza, por ejemplo:



“Soy la mejor costurera coso trajes de primavera y corto sedas sin miedo… aunque a veces, con la prisa, por coser bien una sisa me coso ¡caramba! Un dedo”. Adivinanzas que pudieran, por ejemplo, inventarse colectivamente: “adivina de qué color es el hilo de la costurera. No es del color de la hierba, es del color del algodón”.  En alguna ocasión posterior el maestro entrega a cada niño un texto que no sea adivinanza para que ellos inventen una a partir del mismo. Luego cada alumno escribe su adivinanza en una hoja y la intercambia con sus compañeros para descubrir las respuestas. Si el maestro lo considera pertinente, en vez de escribir las adivinanzas e intercambiar las hojas, pueden exponerlas verbalmente al grupo para que adivinen. (Respuestas a las adivinanzas planteadas anteriormente: 18

1. 2. 3. 4.

El huevo La pera El plátano El albañil). I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. La realidad y los problemas. Ficha 7 (cont.). FABULOSAS FÁBULAS

OBJETIVOS Sacar conclusiones a partir de relacionar datos. Distinguir la información pertinente de la no pertinente en un texto. MATERIAL Varias fábulas escritas en tarjetas (las mismas para todos). el maestro lee a los niños una fábula y su moraleja. Luego propicia que analicen qué es la moraleja (una conclusión, una enseñanza o un consejo que se deriva de ciertas situaciones). Una vez que los niños han comprendido en qué consisten las moralejas, el maestro les lee otra fábula sin leerles la moraleja, para que sean ellos 19

quienes la deduzcan al finalizar la lectura. Les explica que van a tratar de descubrir el “consejo” que el autor intenta dar al lector a través de la anécdota que la fábula propone. Al terminar la lectura, propicia la reflexión con preguntas como: ¿Por qué creen que la zorra se portaba así? ¿Ustedes conocen a alguien que se porte parecido a la zorra? ¿Qué nos quiere explicar el autor para que aprendamos a través de la fábula? ¿Qué consejo nos da? Escriban la moraleja que crean que le va a esta fábula. Muchas veces los niños escriben moralejas correctas –aunque sean distintas de la que el autor da- por tanto, será necesario que analicen todas las moralejas que inventaron respecto a su pertenencia (si no tiene que ver con la anécdota, esa moraleja no sirve; otras serán parecidas a la propuesta –por el autor, etc.). El maestro puede buscar distintas fábulas y con ellas hacer variantes de esta actividad. NOTA: Sugerimos buscar fábulas cuyo lenguaje y forma de redacción no sean muy complicados –como habitualmente sucede- pues esto complica considerablemente la actividad, que de por sí no suele ser fácil para los niños.

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I. Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 8 OBJETIVO Establecer relaciones lógicas entre los datos de un texto. Analizar las relaciones entre los datos en situaciones donde hay contradicciones. MATERIAL Tarjetas donde el maestro ha escrito textos disparatados (uno de ellos en cada tarjeta) El maestro lee en voz alta a los niños un texto en donde se plantee situaciones contradictorias por ejemplo: UNA CLARA MAÑANA* Que este cuento verdadero dice mentiras es cosa que debes creer, porque aquí no mentimos más que cuando narramos la verdad. Pues bien, en una clara mañana, en plena medianoche, dos chiquillos muy tontos salieron a la calle a luchar. Y cuando estaban dentro del armario, se pusieron de espalda para mirarse cara a cara. * *

Tradicional estadounidense (adaptación) tomado de Enciclopedia juvenil Groiler, tomo 4, pág. 1200. Ed. Cumbre, México, 1982.

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Hecho esto, y mientras las piernas les temblaban valerosamente, desenvainaron las espadas, se apuntaron bien y se mataron de un tiro. El ruido de las detonaciones hizo que llegara corriendo un policía sordo y paralítico. Apagó la luz para ver mejor a las víctimas que se reían con lágrimas en los ojos, les felicito con una bofetada por lo que habían hecho y los metió en la cárcel. Al terminar de leer les hace preguntas: ¿Encontraron algo diferente o raro en la lectura? ¿de verdad se puede que un policía sordo y para litico llegue corriendo por el ruido de las detonaciones? ¿Por qué creen que está escrito así? ¿Cuáles otros disparates pueden encontrar? Después de analizar dicho texto el maestro escribe en el pizarrón algunos textos como los siguientes (y otros similares que él invente): “Compré 25 mangos, pagué con un billete de $1000 y me dieron de cambio $2500” “Traía 250 canicas, presté 926 y me quedaron 3” “Tenía 18 canicas, perdí el juego y gané 34” “Llevé 50 dulces a la escuela, los estuve regalando; ¿Cuántos más tengo AHORA?” “Mi abuelita me paga $10 por cada lombriz que le saco a la tierra de sus macetas. Saqué 15 lombrices y me gané $75” El maestro propone a los niños encontrar el disparate o la contradicción en cada texto.

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Justifican por qué son disparates y explican que tendría que decir para que el texto fuera correcto, sin disparates. I. Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 9 ¿SON O NO SON? OBJETIVO Analizar textos para detectar los elementos que componen a los problemas escolares. MATERIAL Tarjetas en las que el maestro ha escrito previamente un texto diferente en cada una. Los textos son de las siguientes clases: Problemas escolares de matemáticas típicos (se pueden tomar del libro de texto que corresponde a los niños). Problemas cuya pregunta no está redactada de la manera convencional; ejemplo: “Una maestra compró lápices compró”. Textos que no son problemas, aunque pudieran parecerlo a primera vista. Ejemplos: “Para hacer 25 sopes Doña Juana necesita comprar manteca y 2 kilos de masa”. ¿”En la 23

escuela compraron cajas de gises, algunos estaban rotos”. “Las tortillas subieron de precio, nosotros comemos muchas tortillas. ¿Cuánto van a costar los datos que venden en la calle?”. El maestro explica a los niños que va a hacerles varias lecturas de las cuales unas son problemas y otras no; el juego consiste en descubrir cuáles sí son problemas, cuáles no, y explicar por qué. En todos los casos, después de leer cada texto, el maestro entrega las tarjetas a los niños para que las relean si es necesario y luego favorece la reflexión con preguntas como: ¿Este es un problema o no? ¿Cómo supieron? De todo lo que les acabo de leer díganme como supieron que sí era un problema.. ¿Tiene una pregunta esto que les leí? ¿Para qué se la pusieron? ¿Cómo supieron que no era un problema? ¿Le falta algo por decir?... etc. Inventan problemas a partir de los textos que habían clasificado como no-problema. Analizan si la información es suficiente, discuten qué datos necesitan ponerlo o quitarle) para convertir el texto en un problema, etc. Una vez que están de acuerdo lo escriben en una tarjeta y lo guardan en el “Banco de problemas” (ver fascículo 2, pág. 97)



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I. Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 10 DIFERENCIAS ENTRE ADIVINANZAS Y PROBLEMAS ESCRITOS OBJETIVO - Reflexionar acerca de las diferencias que existen entre las adivinanzas y los problemas escritos. MATERIAL - Los niños traen (de tarea) varias adivinanzas; el maestro ha preparado otras de antemano. Los niños leen por turnos una adivinanza que hayan traído para que el resto del grupo la adivine. El maestro les pregunta cómo le hacen para adivinar en qué se tienen que fijar. Analizan las “pistas” que una adivinanza proporciona para poderla adivinar, es decir los elementos sin los cuales no podría descubrirse la respuesta, a fin de 25

que distingan entre las “pistas” necesarias y los “adornos” poéticos del lenguaje en que está redactada la adivinanza (es decir, descubran la información necesaria). Ejemplo ocurrido en una sesión de nuestro trabajo: Maritza: “Muchos soldaditos con gorritos de colores se prenden y se apagan con mil amores, ¿qué es?”. Pedro: ¡Los cerillos! Experimentador: ¿Cómo supiste? ¿En qué te fijaste? ¿Cuáles son las “pistas” que te permitieron adivinar? Cristina: “Muchos soldaditos” es “pista”, pero no tanto. Exp.: ¿Y si no dijera “soldaditos” podríamos adivinar?. Irene: Sí. Exp. Que dijera, por ejemplo, ¿qué…?. Cristina: “Palitos”. Exp. “Hombrecitos”, u otra cosa, ¿no? Maritza: Sí. Exp. “Con gorritos de colores” ¿es una pista para adivinar? Cristina: Sí sirve. Irene: “Se prende y se apagan” también sirve. 26

Exp.: “Con mil amores” ¿sirve? Cristina: Eso es el “rollo”. Es puro adorno. Exp. Si dijera “muchos soldaditos con gorritos de colores se prenden y se apagan”… ¡y ya! ¿Con eso es suficiente para adivinar, o necesitamos “con mil amores”? Irene: Ya puedo adivinar. Cristina: Es que el “rollo” es para que se oyera más bonito. El maestro lee a los alumnos un texto como: un camión se paró una vez y subieron 7 personas; luego hizo otra parada, bajaron 3 personas y subieron 5; luego se volvió a parar y bajaron 2 personas. ¿Comó se llamaba el chofer? Los niños opinan si ésa es o no una adivinanza; si la pregunta se puede contestar o no; que otras preguntas podrían inventar que se puedan contestar de acuerdo con las “pistas” que el texto proporciona. Inventan preguntas para el texto, las escriben en el pizarrón, y las analizan para ver si pueden contestarlas o no, si la pregunta hecha se relaciona con la situación planteada o si se desvía hacia otros contextos.  lee el texto original y alguna de las preguntas inventadas, ejemplo: “Un camión se paró… y bajaron 2 personas. ¿Cuántas personas quedaron en el camión?”



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El maestro les pregunta si lo que acaba de leer es una adivinanza o no, si se parece a otras cosas que ellos hacen en la escuela.

 Propicia que los niños descubran las semejanzas y diferencias que hay entre las adivinanzas y los problemas escolares; les pregunta si trabajan utilizando el mismo tipo d procedimiento o si hacen algo diferente cuando obtienen la respuesta de una adivinanza y la de un problema escolar. Se asegura que los alumnos hayan comprendido que las adivinanzas procuran esconder una respuesta que se puede deducir de las pistas del texto, y que en los problemas se toman en cuenta las “pistas” (datos) pero para llegar a la respuesta el proceso que s sigue es muy distinto al caso de las adivinanzas. Recordamos al maestro que si bien nos apoyamos en las adivinanzas en cuanto a la necesidad de encontrar las relaciones entre las ideas y “pistas” dadas para descubrir la respuesta, a fin de hacer luego un trabajo similar con las relaciones entre los datos de un problema para resolver la incógnita, es muy importante dirigir el trabajo de modo que los niños vean claramente la diferencia entre las adivinanzas y los problemas matemáticos; que en éstos la respuesta (excepto cuando se solicita una estimación del resultado) es precisa, verificable y comprobable).

 Inventan preguntas para otros textos y las contestan tomando en cuenta las “pistas” (datos) que éstos proporcionan. 28

Ejemplo de un texto: “El chofer del taxi chocó y le rompió los dos faros al coche: cada faro vale $2,500”. I. Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 11 DEL PROBLEMA REAL AL PROBLEMA ESCRITO OBJETIVOS Reflexionar acerca de si los problemas escolares guardan relación con problemas de la realidad. Analizar un problema presentado por escrito. Reflexionar sobre el sentido de las operaciones. MATERIAL Problemas escritos en tarjetas (redactados a la manera de los problemas escolares típicos); corcholatas (u otro material similar, de acuerdo a lo que pida el problema planteado). Situación 1 El maestro plantea a los niños un problema real que se necesita resolver en clase, por ejemplo: Vamos a repartir estas corcholatas, son 50, ¿cuántas le tocan a cada uno? Los niños resuelven el problema como puedan, ya sea que 29

solamente logren hacer aproximaciones, hagan cálculo mental o resuelvan el problema con la ayuda del material (ej., repartiendo las corcholatas). Situación 2 El maestro entrega a los niños una tarjeta en la que se encuentra la situación que realizaron inicialmente (1), pero redactada a la manera del problema escolar clásico; por ejemplo: “María va a repartir 50 hojas a 4 niños, ¿cuántas le tocan a cada niño? Los niños resuelven el problema utilizando las estrategias y el material que requieran. El maestro propicia que los niños: Encuentren las semejanzas y diferencias existentes entre los problemas de las situaciones 1 y 2. Tomen conciencia de los procedimientos que emplearon para resolver ambos problemas: si hicieron el mismo tipo de operación en ambos casos; si fueron estrategias diferentes; si se parecerá la forma de resolverlos porque los problemas se parecen, etc. Reflexionen si los problemas escolares tendrán alguna relación con problemas de la realidad. NOTA 1. En la actividad el maestro debe tomar en cuenta el tipo de problemas que presente a los niños (pueden ser de suma, resta, multiplicación o división y de diferentes grados de 30

complejidad, dependiendo del nivel de los niños). Las únicas condiciones son: a) que en la situación 1 proponga un problema real, es decir, que por algún motivo se necesite resolver en clase; b) que las situaciones 1 y 2 refieran a la misma estructura y cantidades del problema. 2. Se puede seguir trabajando con una situación más, en la que cambian un poco las cantidades en juego pero la estructura del problema es la misma. Los niños resuelven y luego analizan en qué se parece esta última un poco las cantidades en juego pero la estructuración del problema es la misma. Los niños resuelven y luego analizan en qué se parece esta última situación a los problemas anteriores (1 y 2) y por qué se resuelven de la misma manera aunque las cantidades hayan cambiado.

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I. Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 12 SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS OBJETIVOS Analizar los textos de los problemas escolares para detectar los elementos que los componen. MATERIAL Libros de textos de matemáticas de diferentes grados. El maestro pide niños que recuerden algún problema de matemáticas que les haya puesto su profesor en la escuela. Les ayuda con preguntas con preguntas como: ¿De qué se trataba? ¿Quién era el personaje? ¿Qué le pasaba? ¿Quería comprar algo? ¿Se perdió dinero?... etc. Anota por separado en el pizarrón los datos correspondientes a cada problema que los niños van recordando; una vez que se tienen los dos o tres problemas, el maestro les pregunta si creen que se parece en algo. Los alumnos darán 32

respuestas muy diversas, como: “en nada” “en que tienen números”, “en que los escriben”, “en que se tienen que sumar o restar”, etc. El maestro va retomando esas respuestas para hacerles nuevas preguntas que les lleven a reflexionar, por ejemplo: ¿Y por qué les podrán los números?, ¿Para qué los escriben?, ¿A alguien le sucede alguna cosa en la historia que nos cuenta el problema? ¿Qué le pasaba a Tomás? (ejemplo retomando del problema que un niño recordó) ¿Qué le pasaba al conductor del camión?, ¿Se parecen en algo esos problemas?, ¿En qué son diferentes?, ¿Por qué le ponen una pregunta a los problemas?, ¿Todos tienen pregunta?, ¿Ustedes qué harían en lugar de Don Tomás?, ¿Y si fueron ustedes el chofer del camión? ¿Nosotros podríamos ayudarles en algo? ¿Les podríamos dar una idea de lo que pueden hacer? ¿En todos los problemas hay algo que resolver?, ¿Se parecen en eso?...etc.

 El maestro lee a los niños algunos problemas de diferentes grados escolares. Les pide que descubran si se parecen en algo un problema de primer año y uno de quinto, por ejemplo; luego los anima a buscar en qué son diferentes uno del otro. Hacen lo anterior con otros pares de problemas de diferentes grados. VARIANTE El maestro les entrega por escrito un problema de un grado escolar más alto, o bien que tenga un grado de dificultad mayor al que los niños puedan manejar. 33

 Leen el problema y lo comentan.  El maestro les propone: ¿Qué le pondrían y qué le quitarán a este problema para poder entenderlo y resolverlo.  Los niños modifican el problema y lo convierten en uno que ellos pueden resolver.  Analizan si después de los cambios seguirán siendo el mismo problema que originalmente se les presentó, o no.

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I. Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 13 ¿QUÉ NOS IRAN A PREGUNTAR? OBJETIVOS Favorecer el análisis de los datos componentes de un problema escolar de matemáticas. Anticipar posibles problemas que pudieran derivarse de un conjunto de datos. MATERIAL Problemas escritos en tarjetas (pueden tomarse del libro de texto correspondiente al grado escolar que cursan los niños). El maestro lee en voz alta a los niños un problema de matemáticas. A medida que va leyendo se detiene y va haciendo preguntas a los niños. Por ejemplo, el maestro lee: … los recolectores de manzanas ganan $168.00 por hora…

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Después de asegurarse que los niños comprenden en qué consiste el oficio de recolector de fruta y el pago a destajo por hora trabajada, pregunta a los alumnos: ¿Por qué creen que nos aclaran cuánto ganan por hora? ¿Qué creen que nos va a preguntar? Otro ejemplo: En el taller de la escuela hay 46 desarmadores y 25 pinzas; pregunta a los niños: ¿Por qué nos aclaran que hay dos tipos diferentes de herramientas? ¿Qué creen que nos vas a preguntar? Otro ejemplo: En el taller de la escuela hay 46 desarmadores y 25 pinzas; pregunta a los niños: ¿Por qué nos aclaran que hay dos tipos diferentes de herramientas? ¿Qué nos pueden preguntar? Los niños proponen diversas preguntas para el problema. El maestro termina de leer el problema del libro: ¿Cuántas herramientas hay en total? Entre todos opinan si alguna de las preguntas propuestas por los niños podría estar en vez de la que está en el libro.  Analizan las preguntas propuestas por los niños respecto a si podrían contestarse o no de acuerdo con los datos que se tienen y por qué.

 

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I. Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 14 INVENTAMOS PROBLEMAS USANDO ENUNCIADOS OBJETIVO Establecer relaciones entre ideas tales que las situaciones y cantidades en juego guarden entre sí la lógica necesaria para planear u problema, ya sea matemático o no. MATERIAL Enunciados escritos por los niños. Una bolsa de plástico. Cada niño escribe un enunciado breve en un papelito, lo dobla y mete a la bolsa. 37

Por turnos cada niño saca uno de los papelitos, y de acuerdo con el enunciado que le salio, inventa un problema. Ejemplo de posibles enunciados y problemas: ENUNCIADO Mi perro come carne croquetas

EJEMPLO DE PROBLEMAS INVENTADOS y El perro como una vez al día (ejemplo de no –problema). El perro come 2 kilos de carne al día ¿Cuántos kilos se come en una semana? (problema matemático) Mi mamá quiere regalar el perro porque dice que cuesta mucho alimentarlo, pero yo no quiero que lo regale ¿Qué hago? (problema no matemático).

El maestro propicia que los alumnos intercambien opiniones acerca de cómo estaba redactado cada problema; si es o no problema; si se puede resolver o no; si se tiene que hacer operaciones para resolverlo, ¿cuáles?; si los datos son suficientes; si no es problema ¿qué faltaría al texto para que lo fuera?; etc. 38

 Guardan los problemas propuestos en el Banco de problemas (ver fascículo 2, Pág.97).

I. Relación de las matemáticas con la realidad. I. La realidad y los problemas. Ficha 15 INVENTAMOS PROBLEMAS CON LA BARAJA OBJETIVO Establecer relaciones entre las ideas tales que las situaciones y cantidades en juego guarden entre sí la lógica necesaria para plantear un problema matemático. MATERIAL Un mazo de barajas de póker revueltas. Una calculadora

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El maestro explica a los niños que en esta actividad los ases de la baraja valen 1 punto y las cartas que tienen muñecos (J, Q, K) valen cero puntos. Entrega a cada niño 4 o 6 cartas (según las cantidades que puedan manejar los niños: decenas o centenas). En caso de trabajar con 4 cartas el niño elige un par de ellas, y de acuerdo a los puntos de cada una decide qué número va a formar con ellos, por ejemplo, sí le salió un 7 y un 3 tiene la opción de formar el 73 ó el 73. Hace lo mismo con el otro par de cartas restantes. Por ejemplo, con un 5 y un cero puede formar 50 ó 05. Con las dos cantidades formadas el niño inventa un problema, por ejemplo: “Tenía 73 estampas y se me perdieron 5 ¿Cuántas me quedan? Esta actividad intenta que los niños busquen la manera de que un problema sea lógico n cuanto a la estructura y las cantidades que intervienen en él, y no tanto que utilicen correctamente los algoritmos de las operaciones; por ello, si lo necesitan pueden auxiliarse de calculadoras para revisar si el orden de las cantidades y la operación que han propuesto son pertinente.

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 Intercambian los problemas escritos en tarjetas para resolver cada uno el que otro compañero inventó.  El maestro propicia el análisis y la discusión por parte de los alumnos acerca de cómo estaba propuesto cada problema.  El maestro puede variar la cantidad de cartas que entregue a los alumnos; por ejemplo, si desea que las cantidades en juego incluyan centenas, entrega 6 cartas y el niño elige primero 3 de ellas para formar la primera cantidad, luego las otras 3.  Si a los niños les cuesta trabajo encontrar un tema o contexto para el problema que van a inventar pueden, además de usar las barajas, recurrir a las frases que se proponen en la ficha 12, 14.  Guardan los problemas en el banco de Problemas (ver fascículo 2, pág. 97).

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I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 16 LA CANTIDAD CONOCIDA Y LA DESCONOCIDA OBJETIVOS Descubrir la importancia de detectar y relacionar los datos de un problema para encontrar la incógnita. Reflexionar acerca de la suficiencia o insuficiencia de los datos de un problema para descubrir la incógnita. 42

Propiciar la toma de conciencia de la operación u operaciones usadas para resolver un problema. MATERIAL Para cada alumno: alrededor de 30 garbanzos u otros objetos similares, lápiz y papel. El maestro pone en la caja una cantidad de garbanzos (menor a 30), por ejemplo 19, ciudadano que los niños no vean cuántos puso. Luego les pregunta cómo pueden hacer, sin equivocarse y sin tanteos, para saber exactamente cuántos garbanzos puso en la caja. Puede ocurrir que algunos se aventuren a decir números al azar, intentando adivinar, y otros digan que sólo es posible destapando la caja para contar los garbanzos. El maestro aclara que no se trata de adivinar sino de saber con certeza. Para los niños que piden el conteo de garbanzos el maestro accede, pero sólo les muestra una parte de éstos; saca un puño de garbanzos de la caja y los deja contar (supongamos 11 garbanzos). Hecho esto, el maestro orienta la reflexión acerca de si con dicha parte les es suficiente para saber la cantidad total de garbanzos que quedaron y por qué. Lo más probable es que los niños pidan contar los garbanzos que quedaron en la caja, lo cual les permite (contarán entonces 8). Cada quien hace el cálculo respectivo para luego indicar su resultado. 43

Es muy importante pedir a los niños que verbalicen su estrategia de resolución y que se ponga especial atención en dos aspectos. 1) En la verbalización de la acción: si el niño, al referirse a los garbanzos, dice que los juntó, puso, agregó, sumo, quitó, etc. (relación de los datos). 2) Sobre el número de datos o cantidades en juego, esto es, 2 datos (11 y 8) para encontrar la incógnita (19). Estos dos aspectos son básicos y muy importantes en todas las situaciones que el maestro plantee en relación con el sentido de las operaciones.

 Una vez resuelto el problema, éste se retoma y se hacen preguntas en relación a las cantidades que se conocían (11 y 8) y la que se desconocía (19). El maestro pide a los niños que inventen nombres que en adelante puedan usar para referirse a dichas cantidades. Los niños suelen, por ejemplo, proponer para las primeras (los datos): “la cantidad conocida”, “la cantidad desconocida”, “la cantidad visible”, etc. y para la segunda la (incógnita) “la cantidad escondida”, etc. 44

 Cuando el maestro observa que los alumnos has comprendido que se trata de encontrar un dato no conocido a través de relacionar datos conocidos, propone situaciones más complejas, por ejemplo: 1) les deja contar la cantidad inicial de garbanzos, luego quita una determinada cantidad que también les deja contar y les pide que digan cuántos garbanzos quedaron en la caja. 2) Deja contar la cantidad inicial, agrega una cantidad desconocida, y permite luego contar la cantidad total de garbanzos. Los niños tendrán que descubrir cuántos agregó. 3) Igual que la situación anterior pero sacando una cantidad desconocida. Esta situaciones se complejizan en la ficha siguiente (12, 17) donde la cantidad desconocida se localiza en el estado inicial. Sean cuales fueren los procedimientos de resolución empleados por los niños para resolver las siguientes planteadas, es muy importante que se propicie la confrontación de los mismos:; cómo relacionaron los datos, qué procedimientos son más económicos, quién lo hizo con una cuenta de “poner” o “quitar”, etc., de tal forma que los alumnos vayan viendo que existen varias vías para resolver un mismo problema. Esto significa que el maestro NO DEBE privilegiar las estrategias canónicas (generalmente esperadas) en detrimento de otras igualmente importantes. Los niños pueden recurrir a todo tipo de materiales que necesiten 45

para resolver el problema: contar con los dedos, usar semillas o palitos, dibujar, escribir números u operaciones, etc. Si algunos niños aún no pueden resolver las situaciones porque no saben cómo relacionar los datos, sugerimos trabajar con una cantidad de garbanzos para que ellos reproduzcan las acciones que efectúe el maestro. Ejemplo: se les permite contar la cantidad inicial en la caja (8 garbanzos) a está el maestro le quita una cantidad que ellos desconocen --- (3 garbanzos) 3 les muestra lo que quedó. Si a pesar de disminuir las cantidades el niño no logra resolver el problema, el maestro le da una cantidad igual de garbanzos (8) para que él repita la situación tal como fue realizada y descubra así la cantidad de garbanzos que el maestro quitó. A partir de allí se propicia la reflexión que hemos mencionado acerca de las diferentes cantidades den juego. Cuando los niños han comprendido cómo relacionar las cantidades conocidas para encontrar la cantidad desconocida, el maestro les informa sobre los nombres convencionales: dato e incógnita, que sustituirían en lo sucesivo a los términos hasta entonces usados por los alumnos.

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I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 17 LA FICHA ESCONDIDA OBJETIVOS Los mismos que los de la ficha 12, 16 (“La cantidad conocida y la desconocida). Estimar el valor de la incógnita. MATERIAL 47

-

Para el grupo: un juego de dominó. Para cada alumno: objetos sueltos (palitos o fichas de plástico, etc.), papel y lápiz.

El maestro pregunta a los niños si conocen el juego de dominó, cómo se juega, cómo son las fichas, por qué hay una línea divisoria horizontal en las fichas, etc. Es posible que haya algunos que conozcan el juego y otros que sólo tengan un conocimiento muy vago del mismo. En este caso, se propicia el intercambio de información entre los niños de tal forma que en el grupo se tenga conocimiento del dominó; el maestro puede invertir, si es necesario para ampliar alguna información. (Para desarrollo de esta actividad no hace falta que los niños sepan jugar el dominó, basta que la informaciñon quede en un nivel descriptivo como el que se ha indicado). El maestro propone a los niños un nuevo juego que se llama la ficha escondida: voy a poner dos fichas, una hacia arriba para que se vean los puntos; ustedes tienen que descubrir cuántos puntos tiene esta ficha. Pone un ejemplo:

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Si es necesario, el maestro hace preguntas a los alumnos para que reflexionen acerca de los datos disponibles y qué tienen que hacer para resolver el problema. Por ejemplo: ¿Qué se puede hacer para saber cuántos puntos tiene la ficha escondida? ¿Los 7 puntos que se ven, son suficientes para decir cuántos puntos hay en la ficha escondida? ¿les sirve que les diga cuántos puntos en total conté por las dos fichas”, etc. Al final de estas reflexiones los niños solos, o con ayuda del maestro, tienen que llegar a construir la situación problema: son 13 puntos en total, hay 7 visibles y otros que están escondidos. Para resolver los problemas los niños pueden usar los objetos sueltos, hacer dibujos, operaciones escritas, contar con los dedos, etc. Cada alumno dice la cantidad de puntos que cree que hay en la ficha escondida y justifica su procedimiento. Posteriormente se confrontan todos los procedimientos, se verifican destapando la ficha y finalmente se propicia la reflexión sobre el éxito o fracaso del cálculo. El maestro, para las siguientes situaciones problema que proponga al grupo, hace estimar el valor de la incógnita, es decir, que una vez que los niños sepan, por ejemplo, que el total de puntos es 19 y 8 de los puntos visibles, digan más o menos, como cuántos puntos hay en la ficha escondida. Posteriormente les pide que obtengan el valor exacto de la incógnita para ver quien se aproximó más al resultado. 49

Sugerimos al maestro que en tanto los niños estén descubriendo las relaciones de los datos entre sí dentro del problema, se mantenga proponiendo a éstos situaciones con 12 fichas, como en el ejemplo inicial. Más adelante, cuando hayan comprendido mejor dichas relaciones, puede ampliar el rango numérico trabajando con 3 ó más fichas, por ejemplo: -

Con 5 fichas en total: 2 tapadas y 3 destapadas. Con 4 fichas en total: 1 tapa y 3 destapadas, etc.

En sesiones subsecuentes cuando se repita la actividad, recomendamos trabajar por parejas: Juan pone a su compañera Laura una situación para que encuentre la cantidad de la ficha escondida; luego Laura hace lo mismo con Juan.



VARIANTE La carta escondida. MATERIAL Para todo el grupo: un mazo de barajas de pokér. 50

La actividad se desarrolla de la misma manera, sólo es necesario aclarar los valores para las cartas con letras (A, J, Q y K). Las A valen 1; J, Q y K valen cero; el resto de las cartas valen número que tienen impreso.

I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 18 ¿CUÁNTOS HABÍA AL PRINCIPIO? OBJETIVOS Los mismos que la ficha 12, 16. MATERIAL 51

Del mismo tipo que el de la ficha mencionada (aquí continuamos ejemplificando con los garbanzos pero es conveniente cambiarlos por otro material similar). Hemos separado las situaciones problema indicadas en la ficha 12, 17, debido a que la incógnita en el estado inicial cuele representar mayor dificultad de comprensión de resolución para los niños. El maestro explica a los alumnos que van a continuar el trabajo iniciando en la ficha “La cantidad conocida y la desconocida”, pero ahora se necesita de un niño que funja como testigo o juez, ya que sólo él puede ver la cantidad inicial de garbanzos (incógnita del problema) que el maestro pone en la caja y, por tanto, será quien indique a sus compañeros si el valor que asignen a la incógnita es correcto o no. El maestro propone situaciones de suma y resta con incógnita en estado inicial. Ejemplos: Con resta (x – 5 = 12): coloca una pantalla entre los niños y la caja, pone en está, 17 garbanzos, mismos que el testigo cuenta, luego quita algunos, supongamos 5 y los muestra al grupo. Posteriormente deja contar también los garbanzos de restantes de la caja, y pide que calculen la cantidad inicial. Con suma (x + 7 = 20). El grupo sólo puede ver la transformación (+7() y el estado final (20). 52

En todos los problemas que se trabajen el maestro propicia la confrontación y justificación de los procedimientos para encontrar la incógnita. En dichas justificaciones es importante que los niños reflexionen acerca de que sus procedimientos muy particulares de resolución corresponden a operaciones de suma o resta. En este momento no solicita que escriban operaciones; basta con que verbalicen a qué cuenta remite su procedimiento, como en la ficha “La cantidad conocida y la desconocida”. En estos casos la verificación se hace recurriendo al juez, quien indica a sus compañeros si han logrado o no encontrar el valor exacto de la incógnita les dé ciertas pistas, por ejemplo, el juez dice: “la cantidad desconocida es menor que la tuya”. I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 19 ¡CUÁNTOS DADOS! OBJETIVO Seleccionar los datos pertinentes en situaciones con sobreabundancia de información. MATERIAL Pizarrón, papel y lápices. 53

El maestro escribe en el pizarrón un problema con abundancia de datos, de los cuales la mayor parte resultan innecesarios para la resolución del problema. Ejemplo: “En la farmacia están acomodando las medicinas. En el primer estante de la vitrina pusieron 5 cajas de aspirinas que contienen 10 tiras con 10 aspirinas cada una. También pusieron 10 termómetros y 5 jeringas. En el segundo estante guardaron estante guardaron 2 cajas con 15 frascos de 10 vitaminas cada uno; también pusieron 2 paquetes de algodón y 14 cápsulas de antibiótico sueltas. En el 3er. estante acomodaron 5 cajas de jarabe para la tos, cada caja contiene 4 frascos de jarabe. También pusieron otras cajas de aspirinas, 2 tiras completas de aspirinas y además 7 curitas”. Enseguida plantea una pregunta como, por ejemplo: ¿Cuántas pastillas de aspirinas hay en los estantes? ¿Cuántos jarabes para la tos hay? ¿Cuántas vitaminas hay?, etc. El maestro pide a los niños que resuelvan el problema. Más importantes que su resolución correcta es la discriminación de la información pertinente y necesaria para la resolución, así 54

como la estrategia que utilicen para seleccionar y organizar los datos. Por lo tanto, al final cada niño comenta cómo hizo para resolver el problema.

I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 20 ¡SE ARMÓ EL PROBLEMA! OBJETIVOS. Descubrir la relación existente entre diversas acciones que componen un problema para que éste tenga un significado específico. 55

Tomar conciencia de que sí cambian las acciones cambiará el significado, por tanto los procedimientos para obtener el resultado. MATERIAL El maestro prepara: Una tarjeta donde escriben un problema sencillo (sin texto rebuscado) y recorta sus partes procurando que en uno de los fragmentos quede la situación inicial, en otro la transformación y en otro la pregunta (esto no significa que se va a dividir sólo o necesariamente en 3 partes). Por ejemplo:

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Tarjetas extra donde están escritos diferentes verbos, cantidades o palabras alternativas según el problema que se trate, con la intención de intercambiarlas para modificar el problema original en forma coherente. Pro ejemplo, para el problema anterior:

(Pueden presentarse 2 ó más tarjetas repetidas). El maestro pone sobre la mesa los fragmentos del problema en forma ordenada y pide a los niños que lean el problema y opinen si se puede resolver, qué harían para ello, etc. pueden utilizar la calculadora para ver qué resultado obtiene de la operación que ellos mismos proponen (esta actividad tiene como objetivo analizar los problemas, no perfeccionar la manera de resolver operaciones gráficamente según su algoritmo).

 Muestra luego las tarjetas extra y explica a los niños que pueden utilizar esas tarjetas para intercambiarlas con algunas de las que trae el problema armado. De esta manera, los niños podrán obtener textos como: 57

Puede suceder que al intercambiarse las tarjetas el problema no tenga coherencia, carezca de sentido, la pregunta no sea pertinente o no se pueda resolver, etc. En cada ocasión que el niño intercambia tarjetas (quede o no una buena construcción) el maestro le hace reflexionar acerca de por qué escogió esa tarjeta, si podría haber puesto otra, si cambiaría el sentido del problema, si se puede resolver o no y por qué, que haría para resolverlo, etc. Si el niño desea corregir el problema, se le permite y luego se procede de la manera descrita.

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Es importante recalcar que en el desarrollo de esta actividad, una nueva construcción del problema no suele ser muy fácil para los niños, dadas las características de su pensamiento que no les permite la flexibilidad necesaria para adaptar rápidamente sus hipótesis acerca del problema y modificarlo en función del problema original. En general, tratan de adaptar el problema escrito a su propia idea (que suele ser fija). Esto les lleva a diferentes conductas, como: Tratar de modificar el texto de los fragmentos. Costar o doblar las partes que no les sirven en función de su idea. Formar nuevos fragmentos que se adapten a su idea. E maestro debe de tener en mente que el objetivo no es resolver e problema ni cambiarlo por otro totalmente diferente, sino que el niño se dé cuenta de cómo el cambio de algunos datos transforma el problema o no, lo cual eventualmente puede implicar también la necesidad de cambiar la operación que resuelve el problema original (suma por resta o viceversa).

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I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 21 HACEMOS LAS PREGUNTAS OBJETIVOS Favorecer la comprensión de: Las partes que integran un problema Que a una pregunta corresponde una respuesta Cuáles son los datos pertinentes para la resolución de la pregunta La pertinencia de la pregunta. 60

MATERIAL Gises, pizarrón, lápices, hojas. El maestro escribe en el pizarrón una situación sin formular las preguntas, por ejemplo, “Lucía y su hermana compraron una paleta para cada quien; pagaron ocho pesos cada una”. Pide a los niños que hagan preguntas adecuadas para el texto anterior y las contestes. Entre todos analizan si las preguntas pueden ser contestables o no; si tienen relación con el problema, si los datos de la situación ayudan a resolver la pregunta, si la proposición planteada es en realidad una pregunta o más bien se trata de una respuesta. Otros ejemplos de situaciones problemáticas a las que falta la pregunta podrían ser: “Doña Lucha y su marido llevaron a sus dos hijos al parque. Tomaron un camión que les cobró 9 pesos por persona”. Juancho juega rayuela. Traía 10 monedas, le quedan solamente 6”. “El paquete de galletas Marías trae 50 galletas; Alfredo se comió 7 y yo 6”. 61

“Susi y yo compramos una caja de lápices de colores y nos los repartimos; nos tocaron 12 a cada quien”. De manera intercalada se les plantea a los niños situaciones contradictorias que lleven a reflexionar sobre la imposibilidad de resolver el problema, por ejemplo; yo traía 250 pesos y me robaron 375 pesos. Tenía 5 plátanos, me comí 2 y me quedaron 10. Cambié una moneda de a 100 pesos por 7 de 20 pesos. Nosotros 3 tenemos 23 dulces, los repartimos en igual cantidad y no nos sobraron. I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 22 A PARTIR DE UNO INVENTAMOS OTRO OBJETIVOS Reflexionar sobre las relaciones entre los datos de un problema. Anticipar las operaciones pertinentes para su resolución. 62

MATERIAL Problemas por escrito en tarjetas ( o tomados del Banco de problemas). 3 cajas Tiras de papel o papelitos. El maestro propone el problema a los niños para que lo resuelvan, pero antes de que inicien algún procedimiento les pide que anticipen qué operación harían para obtener el resultado y por qué. Lo resuelven y discuten si sus anticipaciones fueron correctas. Después el maestro les proporciona tres cajas que contienen: la caja: tiras de papelitos, cada uno con un verbo diferentes, de los usualmente presentados en un problema, por ejemplo: ahorrar, comprar, poner, quitar, robar, agregar, etc. Otra 2ª. Caja: papeles con cantidades diferentes. Por ejemplo: 2; 10; 55; 79; 106; etc. 3ª. Caja: diversas preguntas del tipo: ¿Cuántos son? ¿Cuánto le quedó? ¿Cuántos había? ¿Cuánto le costo? ¿Cuánto gastó?, etc. El maestro pide a uno de los niños que escojan una de las cajas y saque de ella un papelito. Después, que sustituya una de las partes del problema planteado, la que el niño crea pertinente, por el dato de ese papel que sacó de la caja. 63

Mi hermano

comió

Unas galletas anoche. Había 36 y quedaron 12. ¿Cuántas galletas comió?

Al cambiar “comió” por “guardó” el texto queda: Mi hermano

guardó

Unas galletas anoche. Había 36 y quedaron 12. ¿Cuántas galletas comió? 64

Lee el nuevo texto formado y discuten si es o no problema, si tiene sentido, si se puede resolver, etc… Después se le pregunta al niño que hizo la sustitución por qué decidió poner ahí su papelito y si a raíz de la discusión de sus compañeros el pensaría en cambiar de opinión con respecto a su primera decisión de sustitución y por qué. Muy probablemente los niños acuerden que si así modificado el texto resulta absurdo deban cambiarse también las cantidades y/o la pregunta; el maestro les permite hacer las modificaciones que crean necesarias. Esta misma secuencia se repite luego con otro niño que es quien modifica el texto.

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Si deciden que alguno de los nuevos problemas surgidos se puede resolver, antes de hacerlo el maestro les vuelve a pedir anticipación acerca de la operación pertinente para resolverlo.

I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 23 ¿SE PUEDE RESOLVER? OBJETIVOS Reflexionar sobre la relación entre lo datos en función de la incógnita. 66

MATERIAL Para todo el grupo: problemas previamente elaborados por el maestro y escritos en tarjetas. Para cada alumno: objetos sueltos (palitos, corcholatas, etc.), lápiz y papel. La intención de esta actividad es plantear a los niños, alternadamente, situaciones de suma y resta, como las siguientes: a) Situaciones con suficiencia de datos que permiten encontrar la incógnita, por ejemplo: “Pamela tenía 27 pesos, y prestó 15 pesos a un compañero de su salón ¿Con cuánto dinero se quedó? b) Situaciones con datos insuficientes para encontrar la incógnita: “Nestor tenía 15 chicles y se comió algunos ¿Cuántos tiene ahora?”. c) La información no es pertinente en cuanto a los datos y la incógnita: “La costurera cose un dobladillo a un vestido café que tiene 4 bolsillos y 6 botones ¿De qué color es el hilo que cose? Con estas situaciones pretendemos que los niños puedan hacer un análisis no sólo del texto sino de las relaciones de los datos entre sí. A partir de dicho análisis se pondrán de acuerdo respecto a si cada una de esas situaciones en principio se pueden resolver: si es posible o no 67

encontrar la incógnita, si la formación es absurda, faltan datos, la pregunta no corresponde al problema, etc. el maestro se mantiene en general como observador de la discusión entre los niños, intervinieron sólo cuando sea necesario, por ejemplo, para hacer preguntas que permitan al grupo descubrir o tomar en cuenta alguna información valiosa que para que ellos era hasta entonces irrelevantes. Para todas las situaciones que los niños determinen que no es posible resolver, les pide que modifiquen el problema cambiando ya sea la pregunta o los datos, etc. de tal forma que el problema pueda ser resuelto. Supongamos que el problema que se está analizando dice: “Un pastor tiene 25 borregos y 7 cabritos ¿Cómo se llama el pastor? Para arreglar el problema los niños proponen cambiar la pregunta y escriben, por ejemplo: ¿Cuántos animales tiene el pastor? Posteriormente resuelven el problema, confrontan los procedimientos de resolución y verifican el valor de la incógnita.

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I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 24 LA COSA ESCONDIDA OBJETIVOS Elaborar e interpretar mensajes gráficos que permitan la resolución de un problema no numérico. 69

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Comprender la funcionalidad y economía de las representaciones escritas.

MATERIAL Pequeños objetos comunes en el salón de clases, papel y lápices. Un alumno sale del salón para no ver en qué sitio sus compañeros esconden un objeto cualquiera. Una vez que el objeto está escondido. Cada alumno hace un mensaje en papel para explicarle al compañero que salió dónde está el objeto. Los que hacen el mensaje no pueden hablar. El compañero regresa al salón, le entregan los mensajes y busca el objeto escondido de acuerdo con la información de los mensajes. Después de un tiempo suficiente para que el niño busque el objeto, ya sea que lo localice o no, se analizan los mensajes que se le dieron y se le pregunta cuál le resultó más útil para saber dónde estaba escondido el objeto, si la información de cada uno de los mensajes fue completa, necesaria o superflua; si no lo encontró con un solo mensaje o con varios y con cuáles, cuál no le sirvió y porqué, etc.

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Si los niños recurrieron exclusivamente al dibujo para realizar la actividad (no necesariamente ese día) incluyendo en la consigna la restricción de que ahora no se vale dibujar. Luego se procede de la manera descrita.

I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 25 ¿DONDE QUEDO? OBJETIVOS Mismos que la ficha I, II., 24. 71

MATERIAL 8 recipientes iguales no transparentes y un objeto pequeño que se pueda esconder debajo de uno de los recipientes. Se colocan los recipientes sobre la mesa formando una hilera. Un alumno se voltea y cierra los ojos para que no vea en cual de los recipientes se esconde un objeto. Una vez que se ha escondido el objeto, los demás niños elaboran cada uno un mensaje por escrito que diga lo necesario para que el niño que no vio descubra dónde está el objeto. A este mismo niño se le da la consigna de que con los mensajes descubra dónde está el objeto. Se le entrega uno de los mensajes y se le pide que indique, en base al mensaje, dónde cree que está éste, pero no se le permite aún destapar el recipiente. De esta misma manera se continúa con cada uno de los demás mensajes, dejando que el niño modifique su hipótesis si lo desea. Al final se destapa el envase que haya elegido (y el correcto en caso de error).

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Ya sea que lo descubra o no, los niños discuten que mensaje o mensajes le sirvieron para descubrir el objeto o si ninguno le sirvió y por qué; si faltaban datos, si no eran claros, y de qué manera se podrían mejorar los mensajes para cumplir su objetivo.

 Intercambian los roles y se vuelve a repetir el juego. Es posible que los niños hagan representaciones o usen estrategias que impidan una resolución correcta del juego a la primera oportunidad: a) mensajes poco claros y/o incompletos, b) no toman en cuenta el lugar del que parten para contar y c) lo relativo de la posición con respecto al que escribe el mensaje y el que lo recibe. El juego se repite intercambio los roles. Poco a poco los niños harán mensajes mejores, mediante la ayuda del maestro si es necesario, en relación con la necesidad de establecer ciertas convenciones. Si los niños sólo dibujan se restringe la consigna: ahora no se vale dibujar. I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 26 TE DIGO COMO Y LO ENCUENTRAS 73

OBJETIVOS Mismos que las fichas I, II., 24 y 25. MATERIAL Opción a) Un tablero de damas o ajedrez, corcholatas iguales, un fríjol. Opción b) El maestro previamente recorta hojas de cuadrícula grande, de manera que obtenga un cuadro de 10 por 10 cuadritos para cada niño; lápices. Si se elige el material de la opción a): Uno de los miembros de la pareja coloca una corcholata en cada uno de los cuadros del tablero; debajo de cualquiera de las corcholatas esconde el fríjol (el compañero no debe ver dónde). El niño que esconde el fríjol hace un mensaje para indicarle a su compañero en qué casilla está y éste pueda encontrarlo. El compañero recibe el mensaje, lo interpreta y busca el fríjol en la casilla donde cree que se encuentra.

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 Si le elige el material de cuadrícula (de 10 por 10 cuadritos). Un niño de la pareja pone una marca con lápiz en una de las casillas, sin que el otro lo vea. El niño que puso la marca hace un mensaje para que su compañero descubra (sin hablar nada) en qué casilla puso la marca y la reproduzca en la casilla. Comparan sus cuadrículas para ver si efectivamente las marcas están en los mismos cuadros.

 En cualquiera de las dos opciones se analizan los mensajes para ver cuáles fueron claros, económicos, si tenían la información necesaria, etc.

 Respecto a la primera situación es posible que los niños hagan representaciones o usen estrategias que impidan una resolución correcta del juego a la primera intención. Pueden ser mensajes poco claros o faltos de información. La segunda situación responde a que los niños en muchas ocasiones no cuentan la casilla de la que parten, dando por resultado mensajes con datos equivocados; puede ocurrir que el receptor no cuente esa casilla y por tanto elija una casilla equivocada.

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Una tercera situación es la relatividad de la derecha y la izquierda, arriba y abajo, del que hace el mensaje con respecto al que lo interpreta, provocando la confusión de donde se debe partir por contar las casillas.  El maestro retoma estas situaciones, y medida que se va repitiendo el juego los niños adoptarán convenciones cada vez más específicas para ser más claros en el mensaje, por ejemplo, un niño emisor del mensaje se pasa al lugar de su compañero, se regresa a su lugar y escribe empezando desde ti izquierda una hacia y ahí esta.  En un segundo momento del juego, si los niños sólo han recurrido al dibujo, el maestro restringe la consigna; por ejemplo, si hacen mensajes de este tipo.

En la siguiente ocasión aclara que ahora no se vale dibujar. - Los números utilizados para el cuadro mágico son nuevos números de una serie que no necesariamente aumenta de uno en uno y no necesariamente parte de 1 (ej.: 2,5,8,11,14,17,20,23,26): 23 8

2 14

1 20

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11

26

5

I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 27 MENSAJES NUMERICOS (1) Esta actividad requiere del trabajo previo con la ficha I, II, 16 “La cantidad conocida y la desconocida”. OBJETIVO Comunicar de manera verbal y gráfica los procedimientos empleados en la resolución de una situación problemática. (En cuanto a la representación gráfica NO se pretende aquí obtener la convencional; si aparecería espontáneamente se maneja y confronta igual que las no convencionales). MATERIAL Para todo el grupo: 1 caja de acrtón pequeña con tapa y objetos sueltos de una misma clase (garbanzos, palitos, etc.). Para cada emisor: objetos sueltos, lápiz y papel.

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El maestro explica que uno de los niños de cada pareja hará el papel de emisor (tiene a su cargo elaborar el mensaje) y su compañero de receptor (quien interpreta el mensaje). Pide a los receptores que salgan un momento del salón y plantea a los emisores alguna de las situaciones problema con garbanzos indicadas en la ficha 12, 16 (La cantidad conocida y desconocida). Los emisores tienen que encontrar la cantidad desconocida del problema y luego comunicar oralmente a su respectivo emisor qué tiene que hacer con los datos para encontrar la cantidad desconocida (o incógnita si ya se maneja el término convencional). Si casa, la pareja pierde. Sin embargo es necesario un análisis acerca del trabajo de emisores y receptores, sobre todo si la pareja perdió, para ver en qué consistió el error o la dificultad. Es importante que ambos emisores obtengan el valor correcto de la incógnita para luego comunicarlo. Si aún después de que cada uno justifique su procedimiento no hay acuerdo entre los emisores respecto al valor de la incógnita, se destapa la caja para verificar y analizan en qué parte del procedimiento se erró y porqué. Se debe insistir con los emisores en que sus mensajes verbales o escritos (cuando toque su turno) sean lo más claro posible, ya que los niños suelen mal interpretar el sentido de la actividad y se esfuerzan en hacer “mensajes difíciles” para que los receptores intenten “adivinar”, y piensan que si lo dicen “en fácil” la actividad no tiene gracia. 78

No es posible dar al maestro una única consigna para que con ella los emisores comprendan inmediatamente qué datos o información interesa que comuniquen y cuál no. A continuación citaremos un ejemplo de consigna que puede darse a los emisores: Juan (emisor), tu tienes que decirle a Laura (receptor) de una forma muy clara y fácil cómo tiene que hacer para encontrar la incógnita que tu encontraste. Recuerda que le puedes decir todo lo que creas necesario, pero no se vale decir la incógnita (su valor). Es posible que en el curso de la actividad tenga que repetirse la consigna (haciendo las modificaciones necesarias) para recordar a los niños la intención del mensaje, qué se podrían comunicar, cuáles no, etc. Cada receptor obedece las instrucciones dadas por su emisor; posteriormente se verifican las incógnitas obtenidas. En este momento se favorece la reflexión sobre el éxito o fracaso del mensaje. El maestro puede hacer preguntas del tipo: ¿Cómo hubieras entendido mejor el mensaje? ¿Qué te debió haber dicho y no te dijo? ¿Se pueden poner de acuerdo en cómo se van a entender con los mensajes de aquí en adelante?, etc. Los roles de emisor y receptor se van intercambiando en las ocasiones subsecuentes. NOTA: en esta actividad, a partir del análisis de los diversos procedimientos expresados en los mensajes, pueden surgir oportunidades para que el maestro trabaje con diferentes propiedades de la adición. 79

I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 28 MENSAJES NÚMERICOS (2) Esta actividad requiere del trabajo previo con las fichas I 2, 16 y I 2, 27. OBJETIVO. Mismo que la ficha I 2, 27. MATERIAL. El mismo que la ficha I 2, 27. La actividad se desarrolla de la misma manera que la ficha I 2, 27, solo que ahora los mensajes se harán por escrito. El maestro después de trabajar con alguna de las situaciones problema de la ficha I 2, 16 (“La cantidad conocida y la desconocida” propone una consigna como la siguiente: Como ahora no se puede hablar, van usar el lápiz y el papel para hacer sus mensajes. En la hoja van a poner un mensaje claro de cómo hicieron con los datos para encontrar también la incógnita. Supongamos que el maestro planteó a los emisores una situación con l siguiente estructura: a-x=c. Pone en la caja 18 garbanzos que deja ver, luego quita algunos sin mostrar la cantidad, finalmente deja contar lo que quedó (7 garbanzos). 80

Una vez resuelto el problema los emisores hacen mensajes sobre el procedimiento empleado por cada uno de ellos; puede ser: con dibujos, letras, números y letras, etc. Por ejemplo: -

A 18 quítale 18 garbanzos hasta que te queden en la caja. De 7 para 18. 000000000000000000 Adivina cuántos garbanzos quitaron de la caja.

El maestro no debe preocuparse por la diversidad de representaciones que surjan, sino porque puedan ser entendidas por los receptores. Para ello es muy valioso todo el diálogo y la confrontación de la pareja emisor – receptor, así como los acuerdos a que puedan llegar. El maestro procura que en lo posible sean los niños mismos quienes vean la necesidad de analizar sus errores y puedan introducir cambios en la información comunicada. NOTA. En el análisis de los mensajes pueden surgir oportunidades p0ara trabajar sobre las propiedades de las operaciones. 81

I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 29 MENSAJES NÚMERICOS (3) Esta actividad requiere del trabajo previo con la ficha I 2., 27 (mensajes numéricos 1). OBJETIVO Propiciar la evolución de las representaciones no convencionales (dibujos, letras, etc.) de los procedimientos de resolución hacia las representaciones convencionales. MATERIAL el mismo que la ficha I 2, 16. Esta actividad se desarrolla de la misma manera que la ficha I 2, 16; es prácticamente una continuación de la misma. Los emisores una vez que encuentran el valor exacto de la incógnita, elaboran un mensaje escrito indicando el procedimiento que siguieron para descubrirla, de modo que los receptores al leerlo sepan a su vez cómo hacer. 82

Ya que el propósito de esta actividad es propiciar un proceso de evolución de las representaciones espontáneas de los procedimientos hasta que los niños puedan acceder a la representación del procedimiento bajo la forma de una ecuación, el maestro establece ciertas restricciones para los mensajes de los emisores. Supongamos que el maestro propone una situación con la siguiente estructura: Y los emisores proponen mensajes como: a) b) c)

000000000000000000000000000 A 19 súmale más garbanzos y llega a 27, etc. De 19 para 27.

Las siguientes consignas son un ejemplo de restricciones, según el tipo de representación que se trate: Para las representaciones con dibujos: Ahora no se vale dibujar. Piensa de qué otra manera puedes hacer su mensaje, pero que siga siendo claro, para que tu compañero al verlo entienda y sepa cómo encontrar la incógnita. 83

Para los mensajes b y c: ahora no se puede usar letras, pero el mensaje tiene que entenderse para que su compañero al verlo sepa como encontrar la incógnita. A menudo sucede que los emisores a pesar de las consignas restrictivas no llegan a escribir ecuaciones; en estos casos el maestro puede proponer el uso de una cuenta u operación, por ejemplo: A ver si puedes hacer tu mensaje usando sólo números, o bien, ¿Y si escribes una cuenta, tu compañero podrá encontrar la cantidad desconocida? El emisor entonces puede proponer mensajes como, por ejemplo: 27 menos 19, ó 27 – 19= .

 En cuanto al uso de los signos + y – en los mensajes como, esperamos que surjan con facilidad pues en general los niños ya lo conocen: el trabajo entonces consiste en ayudarles a relacionar dichos signos con su estrategia de resolución. Por ejemplo, un niño escribe el uso de la ecuación serían: Si esto mismo (19 para 27) lo pudiéramos con una cuenta ¿cómo la pondrías? ¿harías una de suma o de resta? ¿por qué te parece que sería suma? etc. El maestro también pide justificación a aquellos niño que usen los signos + y – en sus mensajes. Por ejemplo, a un niño que escribe “27-19” puede preguntarle: Platícame, ¿Por qué se te ocurrió hacer una resta?, ¿Para qué sirve el signo de menos?, etc. 84

 Debemos aclarar que el uso del cuadro (  ) para representar el lugar de la incógnita surgió espontáneamente en nuestros niños, ya que ellos identificaban el  con la caja usada para meter los garbanzos, es decir, el cuadro significa para ellos la cajita con una cantidad desconocida de garbanzos. Otra representación espontánea de la incógnita consistió en dejar el espacio vacío, por ejemplo: 8 + =12 Creemos que pueden presentarse numerosas formas de representación de la incógnita. Si los niños proponen una forma diferente al  es conveniente aceptarla. El maestro más adelante, cuando lo considere prudente, puede sugerir el uso del cuadro, que es la forma más usual. Aclaramos también que esta actividad, como en general todas las que proponemos, es necesario realizarla en varias ocasiones, en función del proceso de evolución de las representantes usadas por los niños. NOTA. El análisis de los diferentes mensajes puede dar oportunidad para trabajar con las diversas propiedades de las operaciones.

85

I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 30 DIME CUÁL ES OBJETIVO identificar la ecuación canónica que resuelve una situación problema. MATERIAL Alrededor de 30 objetos sueltos (corcholatas, garbanzos, etc.) y tarjetas de papel. El maestro retoma las situaciones problema descritas en la actividad “La cantidad conocida y desconocida” de esta secuencia. A partir de dichas situaciones y de acuerdo con las cantidades que se manejan, escribe varias ecuaciones que resuelvan el problema y otras que aun contenido los datos pertinentes no resuelven el problema. Ejemplo: supongamos que la situación que se propone al grupo equivale a : 12+X=29; las ecuaciones presentadas en la tarjeta son: 1)

29 – 12 = 

2)

12 -  = 29 86

3)

12 + 29 = 

4)

 + 12 = 29

5)

12 – 29 = 

Cada alumno escoge una o varias de las ecuaciones que les parece que resuelven el problema y justifican el porqué de su elección. Los alumnos, si lo desean, pueden usar el material para verificar la pertinencia de su elección. Si las ecuaciones que teniendo datos suficientes y pertinentes no resuelven el problema (como en los incisos 3 y 5). El maestro pregunta, por ejemplo: ¿Y estas cuentas (señala 12+29= y 12-29=) también resuelven el problema? ¿Por qué no lo resuelven? ¿Para que lo puedan resolver, ¿Cómo hay que acomodan los números? Etc. El maestro procede de igual forma las otras situaciones que proponga.

87

I. Relación de las matemáticas con la realidad. II. Sentido de las operaciones. Ficha 31 JUEGOS DE MESA OBJETIVOS Consolidar los procedimientos y representaciones surgidas en las otras actividades de mensajes al relacionarlos y usarlos en otros contextos. Propiciar la estimación del valor y la incógnita. MATERIAL Cualquier juego de mesa donde haya necesidad de contabilizar puntos o casillas, por ejemplo, palitos chinos, rayuela, (ver ficha de apoyo, fascículo 1), cartas, dominó, dados, parkasé, tiro al blanco, (ver fichas de apoyo fascículo 1), etc. Lápiz y papel. Esta ficha no refiere a una actividad particular; puede hacerse con distintos juegos de mesa que se presten para los objetivos que aquí interesan. 88

Sólo con el objeto de ejemplificar las situaciones que se puede derivar de los juegos de ejemplificar las situaciones que se pueden derivar de los juegos de mesa, desarrollaremos los palitos chino y rayuela.

 Palitos chinos. MATERIAL Para todo el grupo desconocen el juego, el maestro u otros compañeros lo explican. Los niños o el maestro pueden sugerir otras modalidades para determinar el ganador, por ejemplo: Gana quien en una ronda obtenga más puntos. Gana quien después de un número determinado de vueltas (2 ó 3) obtenga más puntos. Gana quien llegue primero a cierto puntaje, por ejemplo, a 30 puntos. El maestro propone que en principio todos los palitos valgan 1 punto. Para iniciar el juego es necesario contar la cantidad inicial de palos, por ejemplo, 27. 89

Algunos ejemplos en su primer turno, de esos 27 palos saca 11. El maestro pregunta ¿Con los palos que sacaste puedes saber si ganaste el juego? ¿Cuántos necesitas ganar? ¿Cuántos te faltan?, etc. Hugo sacó la primera vez 12 puntos y ahora otros 13 ¿Cómo cuántos puntos tiene por todos? (estimación). Si tiene 11 palitos y Karina 8 ¿Cuántos palos quedan para el siguiente jugador? Sandra en 2 rondas ganó 24 palitos. Si en la primera ronda ganó 13 palitos ¡Cuántos ganó en la segunda? Aparte de estos ejemplos existen desde luego muchas más situaciones que pueden ser aprovechadas. Recordamos al maestro que en cada situación problema (conviene permitir a los niños que recurran a cualquier material disponible (objetos sueltos), así como al procedimiento que crear más conveniente y posteriormente propicie una confrontación sobre estos últimos. 

Representación de los procedimientos de solución.

El maestro pide a los niños la representación gráfica de su procedimiento. Los niños, después de analizar cada una de las representaciones, votan por la que considere que es más breve y comprensible. 90

El maestro puede aquí también propiciar la evolución de las representaciones, retomando las consignas restrictivas indicadas en la ficha I 2, 29, pues puede ocurrir que los niños en estas situaciones nuevas vuelvan a usar una representación no numérica. 

LA RAYUELA

MATERIAL Para todo el cuerpo: la rayuela indica en la variante 1 de la ficha de apoyo “La rayuela” (fascículo 1, SDN). Para cada niño: 2 corcholatas, objetos sueltos (palitos, semillas, etc.), lápiz y papel.

El maestro muestra el tablero de la rayuela con, por ejemplo, las siguientes cantidades y dice: Vamos a jugar con una rayuela donde se ganan o pierden puntos; si la corcholata cae dentro ganan el número de puntos que indica el círculo, si cae fuera pierden 7 puntos. 91

Los niños acuerdan qué modalidad (de las indicadas en palitos chino) usarán para decidir el ganador. El maestro “regala” de entrada 10 puntos a cada jugador. Eligen la línea de tiro e inician el juego tirando por turnos. Algunos ejemplos de situaciones problemáticas que pueden surgir durante la actividad son: Carlos perdió 7 puntos pero ganó 15 ¿cuántos ganó? Yoya gana 7 puntos, luego pierde 7, pero tiene 10 de la vuelta anterior ¿cuántos puntos tiene en total? Lupe tenía 10 puntos. Tiró su ficha y juntó 25. Al tirar su segunda ficha quedó con 18 puntos ¿qué pasó? David tenía 13 puntos y ahora tiene 15 ¿En cuáles círculos cayeron sus tiradas? El maestro a veces detiene el juego y pide a los niños que reflexionen sobre una determinada situación, intenten resolverla, confronten los procedimientos y los representen gráficamente. NOTA. Estas actividades pueden dar oportunidad para trabajar con las diferentes propiedades de las operaciones. 92

II.

Hacia el algoritmo convencional Ficha 1.

¿CUÁNTAS FICHAS QUEDARON EN LA BOLSA? Nota introductoria. Las cuatro fichas correspondientes a esta parte I)I conforman una secuencia y comparten un mismo objetivo relacionado con el proceso que seguirán los niños para llegar a la comprensión del algoritmo canónico: descubrir la necesidad de utilizar instrumentos de cálculo diferentes del cálculo mental o el conteo, etc., para resolver problemas aditivos en los cuales estos últimos recursos resultan ineficaces. La diferencia entre estas cuatro fichas radica en que los instrumentos de cálculo que se van usando progresivamente, de una ficha a otra, permiten acercarse a la comprensión del algoritmo canónico al representar el problema con materiales que implican cada vez un grado mayor de abstracción. El objetivo es con el nivel que aparece en cada de estas fichas está relacionado precisamente con el nivel de abstracción implicado en el uso de los diferentes instrumentos de cálculo que se usan en ellas.

93

Es conveniente, por tanto, que el maestro conozca la secuencia completa de estas cuatros fichas antes de proponer las actividades, para que tenga una idea global sobre el trabajo que se propone. Aclaramos que el hecho de plantear como última dificultad el uso de lápiz y papel no implica que su empleo esté restringido sólo esa etapa final; si los niños espontáneamente escriben, no hay que pasar por alto ese recurso sino darle el mismo crédito que a los demás y discutir sobre la eficacia de los diferentes recursos. Aclaramos también que los materiales y juegos mencionados en cada ficha (palitos chinos, dominó, fichas) pueden ser cambiados por otros similares y usarse indistintamente en cualquiera de las cuatro fichas. OBJETIVO (Ficha 1) Utilizar un instrumento de cálculo que permite representar y resolver el problema mediante la agrupación y desagrupación de objetos concretos. MATERIAL 1 bolsa o caja 94

Fichas de un mismo color (conveniente tener disponibles alrededor de 200 para el desarrollo de toda la actividad). Entre 10 y 20 fichas sueltas. 10 a 15 bolsitas que contengan 10 fichas cada una, atada cada bolsa con una liga. De 2 a 3 bolsas más grandes, cada una conteniendo 10 de las bolsitas anteriores. Papel y lápiz. El maestro vierte sobre la mesa aproximadamente 120 fichas. Se pretende que la cantidad de fichas sea suficientemente difícil para bloquear recursos como el cálculo mental, el conteo, etc. Esta recomendación vale para la cantidad inicial, y desde luego, para la cantidad que se agrega o se quita. Dependiendo de las magnitudes que los niños sean capaces de manejar, las cantidades pueden aumentarse hasta lograr el propósito deseado. Una vez que las fichas están sobre la mesa el maestro pide a los niños que las cuenten entre todos y se aseguren de que han contado bien. Cuando ya todos saben cuántas son, el maestro las mete dentro de la bolsa o caja, a la vista de los niños. (Se puede pedir a los niños que encuentren una forma de contar rápidamente. Una de ellas pueden ser que cada niño cuente una parte y después se sumen los resultados parciales para obtener la cantidad tital). 95

A continuación, el maestro dice a los niños: voy a agregar a la bolsa algunas fichas; agrega entre 30 y 40 y las muestra para que las cuenten. Enseguida propone: a ver quién encuentra la forma más rápida para saber cuántas fichas hay adentro de la bolsa. Si el propósito de esta actividad se cumple, los niños buscarán una manera rápida de resolver el problema y el cálculo mental o el conteo no les funcionarán. Como los niños han trabajado ya con las actividades del fascículo 1 sobre el SDN pensamos que no tendrán ninguna dificultad para representar las cantidades y después reunirlas en una sola. En caso de que la hubiera, conviene efectuar antes de esta ficha algunas de las actividades sobre SDN, cuyo propósito es la representación de cantidades: (Tiro al blanco, rayuela, etc., fascículo 1). También puede suceder que, teniendo a la mano papel y lápiz, intenten resolver el problema mediante alguna representación gráfica, incluyendo el uso de números. En tal caso, el maestro permite ese recurso. Es muy importante propiciar la confrontación de los procedimientos y que cada niño justifique lo que hizo para resolver el problema; así los alumnos notarán la eficacia de un recurso sobre otro. Un ejemplo de lo que los niños podrían hacer con este material: 96

Suponiendo que la cantidad dentro de la bolsa es 67 y que se hubieran agregado 36 fichas; los alumnos tendrán que representar ambas cantidades: y posteriormente encontrar la suma: 103. Para ello es necesario que se den cuenta que con las 13 fichas sueltas se puede formar una nueva decena (una bolsita con 10) y quedan 3 unidades sueltas. El tipo de material usado permite a los niños operar directamente con los objetos (reunir 10 de las fichas sueltas en una bolsita). La verificación del resuelto debe hacerse directamente con las fichas que hay dentro de la bolsa. Al representar el resultado con números, el maestro propicia la reflexión de los alumnos sobre el origen de cada una de las cifras que forman el resultado, por ejemplo: ¿Qué significa ese 3 (en el espacio 103)? ¿Cómo es que sólo aparecen 3 fichas sueltas, si en las cantidades que se sumaron hay más de tres?, etc. VARIANTES 1. Se desarrolla la misma actividad pero en lugar de agregar fichas a la bolsa, se sacan algunas. En este caso el material permite que los niños al restar en caso necesario, vacíen una bolsita para convertir decenas en unidades simples. 97

2. se plantean diferentes situaciones con las bolsas de fichas, como las siguientes: Tengo 8 bolsitas y 7 fichas sueltas, agrego 3 bolsitas y 4 fichas sueltas, ¿Cuántas tengo ahora? Tenía una bolsa grande, 3 bolsitas y 5 fichas sueltas, saqué 5 bolsitas y 3 fichas sueltas, ¿Cuánto quedó? Para resolver este tipo de problemas, ya sea que los niños opten por utilizar las bolsas de fichas o alguna representación gráfica, es muy importante confrontar los procedimientos. 3. la misma actividad puede complejizarse para suma o para resta, cambiando el lugar de la incógnita. Ejemplos: Hay n en la bolsa, se agrega x y se muestra el total ¿Cuánto se agregó? (a+x=c). Hay n en la bolsa, se saca x se muestra el total ¿Cuánto se sacó? (a-x=c). Había x en la bolsa, los niños ven que se agrega n y también el total ¿Cuánto había en la bolsa? (x+b=c), etc.

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II.

Hacia el algoritmo convencional Ficha 2.

¿CUÁNTOS PUNTIOS HAY? OBJETIVO Utilizar un instrumento de cálculo que permite el uso de objetos concretos con valor simbólico para representar problemas aditivos y recurrir al intercambio de distintos órdenes de unidades para su resolución. (El instrumento — cartoncitos en base 10 — a diferencia de las bolsas de fichas, no permit6e desagrupar fácilmente las 10 unidades que forman una mayor, porque están unidas; de ahí la necesidad de intercambiar unidades por decenas, decenas por centenas, etc., o a la inversa). MATERIAL Material de cartón, base 10 (ver ficha 13ª, fascículo 1): aproximadamente 15 cartones de cada tipo. Un juego de dominó. Papel y lápiz. Si los niños ya han jugado con el dominó probablemente sepan que éste tiene 168 puntos en total; si no, la actividad se inicia pidiendo a los niños que cuenten la totalidad de los puntos (utilizando sus propias estrategias). 99

El maestro coloca en la mesa las fichas de dominó cara abajo y dice: ya sabemos que en total hay 168 puntos en el dominó, vamos a voltear algunas fichas (pone éstas cara arriba) y veamos cuántos puntos contienen entre todas. Cuando los niños han contado propone: A ver quién puede averiguar lo más rápido posible cuántos puntos hay en las fichas que no volteamos (las que están cara abajo); aquí hay un material que tal vez les puede ayudar (ofrece el material de cartón). Si los niños ya han usado los cartones en SDN, ante la sugerencia del maestro es casi seguro que varios intenten resolver el problema con ese material (si no lo conocen tendrán que familiarizarse con él previamente). Al usar los cartones, si los niños no lo dicen espontáneamente, el maestro pregunta a qué se refiere cada una de las cantidades representadas: total de puntos de las fichas volteadas, total de puntos del dominó, total de puntos de las fichas no volteadas, o algún otro. No se descarta la posibilidad de que algunos niños usen representaciones numéricas para resolver el problema. En este caso el maestro debe propiciar la discusión para que encuentren la relación entre la representación escrita y la representación con el material. Es importante destacar que al resolver una situación de resta con el material, es factible representar sólo el minuendo, que en este caso es el total de puntos del dominó: 100

Y Lugo actuar directamente sobre esa cantidad sacando lo que corresponde al sustraendo (cantidad de puntos de las fichas destapadas). Dado que la representación numérica implica traducir el problema del lenguaje verbal al lenguaje gráfico matemático y ese proceso involucra todos los datos (total de puntos: 168; cantidad de puntos en fichas destapadas: a; y cantidad de puntos en fichas tapadas: x) el problema puede conducir a alguna de estas representaciones equivalentes: 168–a=x, a+x=168;

o alguna otra. 101

En este problema, la verificación de los resultados obtenidos por los niños se hace directamente volteando las fichas que quedaron cara abajo y contando sus puntos. VARIANTES Las mismas señaladas en la ficha II, I.

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II. Hacia el algoritmo convencional Ficha 3. GANAMOS JUNTOS OBJETIVO Utilizar un instrumento de cálculo para representar y resolver problemas aditivos, mediante objetos a los que se asigna un valor simbólico y posicional. (En este caso, el instrumento de cálculo – el ábaco- exige un nivel de abstracción más cercano al de la representación escrita). MATERIAL Un ábaco, a diferencia de los materiales que se proponen en las fichas 1 y 2 de esta parte (bolsas y cartoncitos), no están formados concretamente por 10 unidades del orden anterior, por lo tanto, si los niños no lo conocen será necesario establecer las convenciones necesarias para su uso mediante actividades como las que aparecen en la ficha 6 del fascículo 1. En el ábaco, a diferencia de los materiales que se proponen en las fichas 1 y 2 de esta parte (bolsas y cartoncitos), no están formados concretamente por 10 unidades del orden anterior, por o tanto, si los niños no lo conocen será necesario establecer las convenciones necesarias para su uso mediante actividades como las que aparecen en la ficha 6 del fascículo 1. 103

El maestro entrega a cada niño un ábaco y explica: Vamos a jugar con los palitos chinos, cada color tendrá un valor diferentes: los rojos, 5 puntos; amarillos, 8 puntos; verdes, 12 puntos; azules, 15 puntos; el negro no jugará esta vez. Van a tirar por turno. Cada vez que alguien logre sacar un palito, tiene que registrar en su ábaco los puntos que obtenga. Al final haremos una rifa para formar parejas y ganará la que logre reunir más puntos. El propósito es que os niños usan el ábaco en todo el proceso del juego, es decir, individualmente cada quien registra los puntos que obtiene en cada tiro y al formas parejas reúnen la puntuación de dos niños en un solo ábaco. Por ejemplo: Juan logró reunir 2 palitos amarillos, 1 rojo y 4 azules, entonces acumuló en su ábaco: le tocó reunir sus

puntos

con

Javier, quien

logró

reunir: En total juntaron:

104

Por un lado, se prop9icia el uso del ábaco para ir acumulando cantidades pequeñas, (lo que sale en cada tirada); al final hay una situación más cercana a la escritura de la operación porque aparecen dos sumandos, (ábaco de Juan y el de Javier) que se van a reunir en uno solo. Una vez que cada pareja dice cuántos puntos obtuvo, antes de decidir quien ganó, se verifican los resultados recurriendo al total de palitos que cada pareja reunió. Puede ser que en algún momento los niños escriban cantidades, a pesar de que el maestro sugirió usar el ábaco. No es conveniente que el maestro restrinja el uso de lápiz y papel pus justamente a eso queremos llegar, pero es muy importante que los niños expliquen el significado de lo que escribieron y qué relación hay con lo que hizo en el ábaco. VARIANTES 1. El mismo juego descrito, pero utilizando los valores de la base 10: rojos, 1 punto; amarillos, 10 puntos; verdes, 100 puntos; azules, 1000 puntos. 2. Usando los valores de la variante 1, pero en lugar de que cada pareja sume sus puntos, los restan y gana la que se queda con menos puntos. Por ejemplo, Juan acumuló: Javier obtuvo: 105

Restando los de Juan a los de Javier, quedan:

106

II. Hacia el algoritmo convencional Ficha 4. LA SUMA ESTÁ EN CHINO OBJETIVOS Propiciar el uso de la operación escrita en la resolución de problemas aditivos. MATERIAL Lápiz y papel. Una cajita de cartón, con una separación para cada niño. Un juego de palitos chinos. Ábacos. El maestro propone a los niños: Vamos a jugar a los palitos chinos. Usaremos esta caja para que alguien levante un palito lo ponga dentro de ella; hay un espacio para cada quien. Ahora no podemos usar el ábaco para registrar los puntos, sólo lo usaremos al final para verificar; así que cada uno va a registrar como pueda. Os palitos rojos valen 1 punto, amarillos 10; verdes 100 y azules 1000. Al final, por medio de una rifa formaremos parejas para reunir los puntos de cada una. El palito negro no juega. 107

Es muy difícil que los niños puedan llevar mentalmente la cuenta de los puntos que van acumulando, razón por la cual se verán en la necesidad de hacer algún registro. Para hacer necesaria la escritura, se requiere que los palitos que van poniendo en la caja no estén a la vista. Al final, cuando cada pareja diga los puntos que obtuvo, verifican este resultado recurriendo a los palitos que hay dentro de la caja. Sólo hasta este momento se pueden ver. Individualmente los niños pueden recurrir a un registro muy simple, que sólo les ayude a evocar los puntos ganados, por ejemplo: 10 – 1 – 10 – 100 – 1 – 1; otros tal vez agrupen los de un mismo orden: 10 100 1 10 1 1 Para lograr la escritura de la cantidad en la forma convencional, en un segundo juego el maestro pide a los niños que comuniquen por escrito a su pareja la cantidad de puntos obtenidos; posteriormente, que cada miembro de la pareja encuentre la suma y después vean si coinciden. Finalmente, verifican su resultado recurriendo a los palitos que pusieron en la caja. El tipo de escrituras que usen los niños para encontrar la suma pueden ser muy variadas y puede aparecer o no la escritura canónica. El asunto es ver si funcionan o no, es decir, si 108

pudieron o no llegar al resultado correcto. De no ser así, es muy importante que los propios niños descubran la causa del error. En caso de no surgir algo similar a la escritura canónica, el maestro pude proponer que un solo niño registre los puntos de la pareja en un cuadro como el siguiente:

La manera de registrar en el cuadro puede variar de un niño a otro como se muestra en los ejemplos siguientes:

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En los registros (a y b), lo que aparece explícitamente en cada cuadrito, es la cantidad de palitos obtenida por cada niño, mientras que en el registro (C) aparecen las cantidades de puntos. El maestro debe propiciar que los alumnos registren como quieran y posteriormente confrontar los registros para ver cual les parece más claro. Por ejemplo puede preguntar: -

¿Qué ventajas y desventajas tiene? ¿Cuál nos permite saber más rápido la cantidad de puntos de la pareja? ¿Qué pasa si acomodamos de manera diferente los colores de las fichas?

En relación con esta última pregunta, el maestro puede sugerir algunos cambios en el acomodo de los colores, tanto en las cantidades de palitos que tiene cada niño como el total obtenido por la pareja. De esta manera se trataría de que los niños vean que un acomodo diferente dificulta la lectura de las cantidades. Una vez que los alumnos han afianzado una forma de registro como la del ejemplo (B), el maestro puede restringir el uso del cuadro. Puede pedirles que intenten registrar de la misma manera pero sin usarlo. Al parecer un registro como éste: 4 1 3 2 3 5 2 1 7 6 5 3 110

El maestro puede sugerir el uso de la raya para separar el total de las cantidades que se suman y el signo (+) para indicar que se trata de una suma. El ejemplo que aparece arriba se trata de una suma sin llevar. Para propiciar la suma llevando es necesario aumentar la cantidad de palitos de cada color, en estos casos se les debe hacer reflexionar a los niños sobre lo que habría que hacer cuando se obtiene en el cuadro algo como lo siguiente:

Preguntando: ¿Cómo se leería la cantidad total? ¿Cómo se podría hacer para conocer el total de puntos obtenidos? ¿Se podrían hacer equivalencias de palitos de un color a otro? ¿Cómo podemos calcular más rápido la cantidad de puntos?, etc.

111

VARIANTE El mismo desarrollo descrito anteriormente, pero gana la pareja cuya diferencia de puntos, es menor. Sobre esta variante, el maestro puede hacer preguntas como las siguientes: - ¿Qué pasa si Juan y Mario obtiene la misma cantidad de puntos? - Si queremos encontrar la diferencia, es decir, cuántos más tiene Juan y Mario, ¿Cuál cantidad conviene escribir arriba?

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III.

Secuencia para el algoritmo convencional. Ficha 1. ¿CUÁNTOS QUITÉ?

OBJETIVOS Establecer relaciones entre los procedimientos usados en el ábaco para sumar o restar y lo que usan en la operación escrita. Justificar el algoritmo utilizado en las operaciones de suma y resta. MATERIAL Un ábaco para cada pareja. Un juego de cartas para cada grupo, quitando las que tienen figuras de personas (J,Q,K). Papel y lápiz. Al inicio del juego el maestro pide a los niños que representan en su ábaco el número 2000, mismo que será la cantidad de puntos con que ambas parejas van a iniciar el juego. El maestro (o uno de los niños) reparte tres cartas a cada pareja, les pide que con ellas formen el número que quieran, por ejemplo:

113

(385) y que mantengan sus cartas con la figura hacia abajo con los números ocultos para que los niños de la otra pareja no lo vean. Enseguida explica: Ahora se trata de que resten el número que formaron, de la cantidad de puntos que tiñen en el ábaco; luego van a intercambiar sus ábacos y cada pareja tiene que decir cuántos puntos quitó la pareja contraria. Cuando ambas parejas han resuelto el problema, el maestro pregunta, el maestro pregunta a una de ellas, qué resultado encontraron, la otra pareja voltea sus cartas y ven si ambos números son iguales. La otra pareja hace lo mismo. Coincidan o no, el maestro debe pregunta: cómo hicieron para encontrar ese resultado, con el propósito de que los niños expliquen el procedimiento utilizado y hagan conciencia de su funcionalidad o posibles errores. Posteriormente, en caso de que los procedimientos sean distintos, el maestro pregunta cuál de los procedimientos les parece más rápido y fácil, por qué y si podría haber alguna otra manera de resolver el problema. Hay dos posibilidades: Que hayan resuelto el problema con una operación escrita. Que hayan resuelto el problema en el ábaco. 114

Si utilizan una operación escrita, el maestro pregunta si podrían hacer lo mismo en el ábaco; si los niños dicen que no se puede, o si al intentarlo se les dificulta mucho, el maestro puede dar algunas ideas para encauzar el trabajo de los niños, por ejemplo, si una pareja recibió el ábaco así: Y escribieron: 2000 -1615 385 , el maestro puede preguntar: -

¿Qué cantidad escribieron primero? ¿Qué significa esa cantidad? ¿Qué hicieron después? ¿Podríamos hacer lo mismo en el ábaco? ¿Cómo hicieron ara restar de 2000, 1615? ¿Hacen lo mismo en el ábaco?

Si la operación escrita no está en la forma canónica el maestro puede recurrir al uso de un cuadro como el propuesto para la ficha 4 (parte II). 115

En caso de que la operación escrita no sea pertinente para resolver el problema, el maestro puede sugerir el uso del material de cartón (base 10) para verificar el resultado. En caso de que hayan resuelto el problema en el ábaco (lo cual es menos probable), el maestro puede preguntar: -

¿Cómo escribirían lo que hicieron en el ábaco? Se parece en algo lo que hacen en el ábaco con lo que hacen en el papel?

Debe quedar claro para el maestro que la finalidad de esta actividad es el del algoritmo canónico, pero es necesario que los niños justifiquen el procedimiento, para lo cual se pueden apoyar en el ábaco. VARIANTES 1. Se agregan al mazo las cartas que tiene muecos (J, Q, K) dándoles valor de cero. 2. La cantidad inicial es cualquier número no terminado en cer(s), ejemplo: 856, 23, 8, etc. 3. Partiendo de una misma cantidad no se sabe si quienes enviaron el ábaco sumaron o restaron y cuánto; hay que averiguar ambas cosas. 116

III.

Secuencia para el algoritmo convencional. Ficha 2. EL CUBILETE

OBJETIVOS. Propiciar que los niños sientan la necesidad de registrar y operar con las cantidades en problemas aditivos que requieren de ello para facilitar su resolución. Propiciar el uso del ábaco como instrumento de cálculo. MATERIAL. Para cada grupo, un juego de 4 dados iguales cuyas caras estén punteadas d 1 al 6: Un recipiente cualquiera para usarlo como cubilete. Un ábaco para cada niño. Al inicio del juego los participantes se ponen de acuerdo sobre cuántos puntos asignaron a cada una de las formas diferentes en que pueden caer los dados. Estas son las siguientes: -

Todas las caras diferentes (“Pachuca”): Dos caras iguales y 2 diferentes (par): 117

-

Dos pares de cara iguales, dos a dos (dos pares): Tres caras iguales y 1 diferente (tercia). Cuatro caras iguales (poker).

En el primer juego el maestro pide a los niños que propongan la puntuación para cada posibilidad. Posteriormente, él puede manejar convenientemente el rango de los números y las características de los mismos: terminan en cero o en una cifra distinta de cero; forman una sucesión o no, etc., con el fin de propiciar la operación escrita. Un ejemplo podría ser: “pachuca”: 0 puntos Par: 5 puntos Dos pares: 10 puntos Tercia: 15 puntos Póker: 20 puntos Una vez designados los puntos para cada posibilidad, no de los niños hace su tiro, continúa el que está a su lado y así sucesivamente hasta que cada uno complete 5 tiradas. Gana el juego quien logre reunir más puntos. 118

En el primer juego los niños pueden elegir entre usar el ábaco o papel y lápiz; posteriormente se puede poner como restricción que todos usen el mismo material para registrar sus puntos, (papel y lápiz o ábaco). Si usan papel y lápiz pueden optar por hacer sumas sucesivas, o bien por registrar los puntos de cada tirada y después hacer una sola suma. Al usar el ábaco tienen que ir adicionando lo que obtienen en cada tirada. El maestro pregunta a cada niño cuántos puntos obtuvo y de qué manera obtuvo esa cantidad. Si se usaron formas diferentes de registro, el maestro propicia el análisis sobre las ventajas o desventajas de una y otra. Cuando todos los niños usan el ábaco, el maestro puede en algunos momentos interrumpir el juego para plantear algunas preguntas como: -

¿Quién es el que lleva más puntos? ¿Quién lleva menos puntos? ¿Cuál es la diferencia entre el que lleva y el que lleva menos?

Si la cantidad de puntos asignada a cada posibilidad es suficientemente grande para impedir el cálculo mental, esta última pregunta puede llevarlos a usar el algoritmo.

 Posteriormente, al final de una ronda, el maestro puede aprovechar el mismo contexto para plantear algu8nas situaciones como las siguientes: 119

-

Juan logró reunir 25 puntos en 2 tiradas, ¿Cuáles pueden ser esas tiradas?

Con la puntuación que damos en el ejemplo, hay 2 respuestas a la pregunta anterior: un par y póker, o bien dos pares y tercia. A Luís le ha salido una tercia, un par y un póker, ¿Cuántos puntos le faltan para llegar a 60 puntos? En el segundo tiro a Luís le salieron 2 pares y llegó a 10 puntos ¿Qué le salió en el primer tiro? Es importante que el maestro proponga problemas similares a los anteriores, de manera que, dentro del contexto del juego que los niños han realizado se enfrenten a diferentes situaciones, y para verificar los resultados sientan la necesidad de verificar las operaciones que han realizado, apoyándose en el ábaco.

 Posteriormente, en una nueva ronda, el maestro propone a los alumnos alcanzar un número que ellos mismos elijan, por ejemplo, 87.

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Los alumnos tiran por turnos hasta que alguien llegue al 87 para ganar el juego. En este caso el maestro propone que primero todos usen lápiz y papel y en la siguiente ronda que todos usen el ábaco. El uso de lápiz y papel los obligará a hacer sumas sucesivas para ver hasta dónde van, cuántos puntos les faltan, etc. En todo caso también es conveniente que el maestro interrumpa el juego para preguntarles: -

¿A quién le faltan menos puntos? ¿Cuántos? ¿Podría ganar en la siguiente tirada?

Esto mismo puede hacerse en otra ronda, pero ahora usando todos el ábaco. En todas las situaciones en las que los niños usen el algoritmo es muy importante que el maestro propicie la reflexión sobre el mismo, por ejemplo: pedir en ocasiones justificación de por qué procedieron de determinada manera (sea ésta correcta o no); si han acomodado mal las cantidades o no toman en cuenta lo que “llevan”, pedir que justifiquen la acción realizada y recurrir nuevamente al ábaco para que por sí mismos descubran su error y vean la relación que existe entre lo que hacen en el algoritmo y lo que hacen en el ábaco. VARIANTE Lo alumnos eligen un número, del cual deben partir y van descontando los puntos que obtienen en cada tirada. Gana el primero que se queda sin puntos. 121

II. Secuencia para el algoritmo convencional. Ficha 3. LA TIENDA OBJETIVOS Poner en juego distintos procedimientos en la resolución de problemas aditivos de distinto tipo. Usar el algoritmo canónico al resolver problemas aditivos. MATERIAL Hojas de propaganda (de supermercados, almacenes de Ropa, etc.), donde aparezcan los precios de algunos artículos de consumo necesario o habitual. Papel y lápiz, billetes de juguete de distintos valores (pueden ser elaborados previamente por los niños). Al inicio de la actividad el maestro establece un diálogo con los niños en relación con la compra de artículos, con el tipo de propaganda que usan los establecimientos comerciales, el significado de los descuentos, etc. Enseguida muestra a los niños el material y les pide que comenten lo que allí aparece, si entienden lo que quiere decir o hay necesidad de aclarar algunas cosas. Si algunos descuentos están expresados en por ciento (%), el maestro 122

puede optar por no usarlos, o bien, dar una explicación que los alumnos puedan usar, por ejemplo, que si dice 30%, significa que de cada 100 pesos de compra, se descuentan 30 pesos. Una vez que los alumnos saben utilizar el material, el maestro puede plantear problemas como los siguientes: a) Si tienen 5000 pesos y van a comprar un producto de los que aparecen en la propaganda, considerando su precio rebajado, Cuánto dinero les sobra, o cuánto les falta? El maestro pide a los niños que realicen sus cálculos como cada uno quiera y pueda, y una vez que tienen el resultado entrega a cada quien sus 5000 pesos para que verifiquen con le dinero. Incluso, para que la actividad tenga más interés, se puede plantear en forma de juego, de manera que si el cálculo realizado resulta cierto, al pagar con el dinero el niño se queda con esa cantidad. Después de jugar 3 ó 4 veces, será el ganador quien se quede con más dinero. En cada uno de estos juegos se puede plantear la misma situación, variando solamente la cantidad que se dispone para gastar o la cantidad de productos que se compran. b) Se quiere comprar los siguientes productos que aparecen en la propaganda de ofertas: una crema dental, una lata de leche, una mayonesa y una bolsa de pañales desechables. 123

¿Cuál es la cantidad total que nos están descontando?. En este caso se trata de que los alumnos hagan sus cálculos, primero usando lápiz y papel y posteriormente verifiquen con ayuda de los billetes. c) Cada pareja escoge 3 productos y los mantienen es secreto. Calculan el costo total de los 3 productos y lo comunican a otra pareja. Esta última tiene que hacer lo que crea necesario para decir cuáles son sus tres productos. Puede suceder que los niños, - Descubran cuáles son los tres productos, en cuyo caso la pareja contraria les paga una cantidad igual al costo de los tres productos. No logren descubrirlos, en cuyo caso pagan a la pareja contraria una cantidad igual al costo de los tres productos. - La pareja que eligió los tres artículos se esquivó y comunicó un total erróneo. En este caso, también debe pagar a la pareja contraria, si esta última obtuvo el resultado correcto. En todos los casos, cuando los niños utilicen el algoritmo y obtengan resultados diferentes al verificar con los billetes o en la confrontación de los resultados de ambas parejas, el maestro propicia que los niños analicen las acciones realizadas por ellos para descubrir en qué 124

consistió el error. En caso necesario se puede recurrir al ábaco para comprender mejor lo que sucedió en la ejecución del algoritmo. Desde luego, para propiciar el uso de la operación escrita, es importante que el maestro cuide que el material (folletos, etc.) de donde surge el problema no presente exclusivamente cantidades que puedan operarse fácilmente por cálculo menta, pues por ejemplo, aun tratándose de cantidades grandes, si todas terminan en ceros (como 4500, 18000, etc.), sobre todo los niños mayores probablemente no tendrán necesidad de recurrir al algoritmo.

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III. Secuencia para el algoritmo convencional. Ficha 4. DISTANCIAS OBJETIVOS Propiciar el uso del algoritmo de la suma o de la resta al resolver problemas. Propiciar el uso de estimaciones para obtener el resultado. MATERIAL El maestro puede conseguir un mapa de las carreteras del estado donde trabaja y fotocopiarlo, o bien dibujar uno como el que aparece en el ejemplo (ver al final de la ficha). Papel y lápiz. Una calculadora de bolsillo. Al inicio de la actividad el maestro puede propiciar un dialogo con los alumnos en relación con la lectura de los mapas, qué significan los signos que aparecen, las abreviaturas, cómo se miden las distancias, si tienen idea de lo

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que es un kilómetro, etc. Lo anterior es con la finalidad de que se familiaricen con el material que usarán para trabajar, del cual cada niño deberá tener un ejemplar. Cuando el maestro considere que todos los niños pueden usar el mapa. Puede ir planteando las preguntas como las que aparecen en seguida: - ¿Por cuántos caminos diferentes se puede ir de Toluca a Veracruz, recorriendo menos de 760 km? - ¿Cuántos kilómetros menos se recorren de Veracruz a Oaxaca, sin pasar por Puebla? - El papá de Juan recorrió 427 Km., para ir de Querétaro a México, ¿Por cuál camino se fue? - El papá de Javier, que vive en Pachuca, hizo un viaje y conoció dos ciudades de las que aparecen en el mapa. Recorrió 559 km. De ida y vuelta. ¿Qué ciudades conoció?. - De Toluca a Tuxpan, pasando por Pachuca, son 404 km. ¿Pueden llenar el paréntesis en blanco?. Estas son sólo preguntas a manera de ejemplo: desde luego el maestro podrá formular otras que resulten más significativas para los niños en función de algún sitio que ellos conozcan o les gustaría conocer, si tienen parientes o amigos en esos lugares, etc. 127

Para trabajar cada una de las preguntas anteriores, el maestro puede seguir el siguiente desarrollo: - Dicta la pregunta y los niños la escriben en una hoja de papel. - Los alumnos trabajan para responder la pregunta, individualmente o en parejas. - Comparan los resultados, y si son diferentes, cada quien explica su procedimiento para ver quién tiene razón. Si no hay diferencias se usa la calculadora para verificar el resultado. VARIANTE - Si el mapa utilizado, además del kilometraje de una ciudad a otra tiene también el tiempo probable de recorrido, el maestro puede proponer algunas preguntas similares a las anteriores en relación con el tiempo. NOTA. Esta actividad puede dar oportunidades para el trabajo con algunas propiedades de las operaciones.

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Actividades Constantes Jugos con números - cálculo mental. - conmutatividad. - distributividad.

DOMINÓ CON DADOS. OBJETIVO Reconocer la igualdad entre dos combinaciones de números expresadas como suma y/o resta. Desarrollar el cálculo mental en la suma y/o resta. MATERIAL Un juego de dominó eliminando las fichas 0,0 y 0,1. - Un par de dados. Se reparten las fichas del dominó por igual entre los miembros de equipo. En seguida cada niño, por turnos, tira el par de dados y de acuerdo con la cantidad total debe buscar entre sus fichas una equivalente; por ejemplo, si en los dados sale 6 y 4 el niño puede optar por sacar de sus fichas la 6, 4 ó la 129

5, 5. En caso de que no tenga ninguna combinación posible, otro niño, el que lo haga más rápido, puede colocar una ficha apropiada. Gana el juego quien termine primero con sus fichas. Es muy probable que las primeras fichas que tiren los niños sean las que tengan la misma combinación de puntos que salieron en los dados, pero cuando sale nuevamente la misma combinación se ven obligados a buscar una combinación diferente que dé la misma cantidad total de los dados. VARIANTES 1.- Se tiran los dados y todo aquel que tenga una ficha con la cantidad total de los dados puede sacarla anotando en un papel la combinación, por ejemplo: sale en los dados 5 y 1, Pedro saca la 5,1, Jesús la 4,2 y Noemí la 3,3; cada uno anota respectivamente: 5+1, 4+2, 3+3. Cuando alguno de los participantes termina con sus fichas, cada jugador calcula la cantidad total de puntos que sacó durante el juego, gana quien haya obtenido la mayor cantidad de puntos. 130

2.- Se sigue la misma dinámica de la variante 1 pero aquí la combinación puede expresarse como suma o como resta, por ejemplo, si sale en los dados 3 y 1 las combinaciones podrían ser: 3,1 (3+1), 6,2 (6-2), 2,2 (2+2), 4, blanca (4+0 ó 4-0). NOTA.- Esta actividad se presta para que el maestro trabaje las propiedades de la suma. Actividades Constantes. Juegos con números. - cálculo mental. CARRERA CIEN – CARRERA CERO OBJETIVO Efectuar cálculos numéricos de suma y resta. MATERIAL Tablero de avance en cuadrícula, numerado del 1 al 100 con hileras de 10 en 10. Tres dados cubiertos en una de sus caras, en la cual se anota alguna leyenda como: doble, triple, mitad (una leyenda en cada dado). Fichas de colores para marcar los puntos de avance. Papel y lápiz para hacer los cálculos, en caso que los niños lo requieran.

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El juego consiste en ir avanzando en el tablero hasta llegar al 100. Para ello, cada niño por turnos tira los tres dados y elige el dado que le convenga más. A sí por ejemplo, si obtiene en su tirada 5, 2 y 6 lo más conveniente sería elegir el 6. Para los casos en que salga en la tirada doble, triple o mitad, el avance será el producto del cálculo en base a los puntos que hasta el momento haya acumulado el jugador, por ejemplo si sale 6, 2 y mitad y hasta el momento el jugador lleva 20 casillas avanzas, lo más conveniente es elegir mitad pues esto representa avanzar 10 casillas. En cada tirada se les pide a los niños que digan a que número van a llegar; para ello puede realizar los cálculos mentalmente (o por escrito), mismos que constantemente deben ser verificados por los demás participantes. VARIANTE La actividad es similar, sólo que ahora el 100 es el punto de partida y el cero es la meta. Se trata en este caso de elegir el dado que implique quitar la mayor cantidad de puntos para poder llegar al cero.

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Actividades Constantes Juegos con números - cálculo mental. CARRERA DE LAS 500 MILLAS. OBJETIVOS Sumar cantidades pequeñas mediante el cálculo mental. Estimar los totales a partir de las cantidades parciales. MATERIAL Nueve tarjetas numeradas del 1 al 9 (un número en cada tarjeta). Una tira de cartón con cuadros del 0 al 500. Un dado. Frijoles, tijeras o alguna otra cosa con la que se pueda marcar el lugar de cada jugador.

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Cada niño, por turnos, tira el dado. Toma, a su elección, la cantidad de tarjetas que el dado marque y avanza el número de casillas que sumen las tarjetas que haya elegido. Hecho esto vuelve a dejar las tarjetas en la mesa, cediendo el turno a otro compañero. Una regla del juego es que no vale pasarse de la meta ni retroceder, por lo que gana el niño que llegue exactamente al 500. Debe propiciar que los niños anticipen hasta dónde van a llegar (ej.: si alguno de ellos está en el 35 y la suma de sus tarjetas es 17, se le pregunta a qué llegará) o qué cantidad y con que combinación de números puede formarla para llegar a la meta y no pasarse, si es que está cercano a ella.

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Actividades Constantes. Juegos con números - cálculo mental - conmutatividad. JUEGO DE CARTAS. OBJETIVO Efectuar cálculos numéricos sobre representaciones de suma y resta. MATERIAL - Cartas con las siguientes características: en uno de los lados-deberá aparecer una suma o una resta entre números dígitos, o a lo más, entre un bidígito y un dígito. En el otro lado se anota el resultado de la operación. Ejemplos: 135

8

3+5

5

9+4

Frente

Revés

Frente

Revés

Se colocan a la vista de los niños las cartas apiladas en un solo montón y con las operaciones hacia arriba. El maestro explica: Cada uno de ustedes, por turno, irá calculando mentalmente el resultado de la operación que quede arriba. Si el resultado coincide con el número que está del otro lado, se llevan la carta, de lo contrario habrá que meterla abajo del montón. Cuando se terminen las cartas, ganará quien tenga más. VARIANTE - El maestro puede elaborar un juego de cartas con todas las combinaciones posibles de suma entre 2 dígitos (90 en total) y hacer el juego anterior, pero esta vez que los resultados estén hacia arriba. Cada niño, en su turno, tendrá que decir una suma de dos dígitos que corresponda al número que está ala vista. Reglas del juego. a) Si la operación es exactamente la que el niño dijo, éste se lleva la carta. Ej. Número visible: 12; el niño dijo 7 + 5; del otro lado de la carta hay 7 + 5 el niño se lleva la carta. 136

b) Si la operación que dijo el niño no coincide con la que aparece en la carta, pero si con el resultado, el niño se lleva la carta. Ejemplo: el número de arriba es: 12, el niño dijo 7 + 5; del otro lado aparece: 8 + 4. c) Si el número visible no es igual a la suma que dijo el niño, éste pierde una carta, que se coloca abajo del montón. El niño que advirtió el error puede llevarse la carta si es capaz de justificar su respuesta. Si ningún niño marca el error el maestro interviene para propinar la confrontación de respuesta. Esta actividad puede propiciar que los niños adviertan la conmutatividad en la suma; ej.: 5 + 4 = 9 y 4 + 5 = 9.

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Actividades Constantes. Juegos con números - cálculo mental - estimaciones. ¿QUIÉN SE ACERCÓ MÁS? OBJETIVOS Ejercitar el cálculo mental. Estimar el resultado de una operación mediante el recurso de redondear cantidades. MATERIAL - Tiras de cartulina con operaciones escritas de suma y resta. Ejemplos 23 + 97 + 148 = 356 + 53 + 105 = 456 – 98 = 138

Las cantidades deben ser tales que faciliten el poder redondearlas. A fin de agilizar la actividad y como medio de verificación, las tarjetas pueden tener el resultado exacto escrito al reverso. En todas las actividades de estimación es muy importante aclarar a los niños que no se trata de dar el resultado exacto sino uno aproximado. El maestro muestra las cartulinas al grupo y dice: Voy a mostrarles, una por una, estas cartulinas donde aparece escrita una operación; las mostraré durante un tiempo muy breve, así que no intenten escribir la operación. Se trata de que estimen (o calculen) el resultado, lo escriban en un papelito y me lo entreguen lo más pronto posible. Yo los voy a acomodar en el orden en que me los entreguen y Lugo vamos a ver quién se acercó más al resultado correcto. Después de recibir todos los papelitos, el maestro anota los resultados en el pizarrón, en el orden que los entregaron y los propios niños determinan quién se acercó más. Se les pide que expliquen cómo hicieron para estimar. A partir de estas discusiones, el maestro propicia que los niños lleguen a determinar, por ejemplo, si quien terminó más rápido es quien usó el procedimiento más económico, o si éste mismo sin embargo no obtuvo la estimación más cercana y por qué; cómo hicieron varios que obtuvieron el mismo resultado, etc. E incluso 139

determinen quien ganó: si el que obtuvo el mejor resultado aunque no muy rápidamente, o el que hizo una estimación menos próxima al resultado exacto pero más rápidamente. VARIANTE 1.- Esta actividad puede hacerse en un contexto de juego de compraventa, con la siguiente consigna: Cada quien va a comprar los artículos que quiera y luego a estimar (no se vale anotar) la cantidad que van a gastar; a ver quien se acerca más a la cantidad exacta. Como restricción de esta actividad se puede limitar la cantidad de artículos que cada quien debe comprar (4 por ejemplo). Otra restricción puede ser que sean los mismos artículos para todos; en este caso, puesto que todos operan con las mismas cantidades, hay mayor posibilidad de discutir sobre los procedimientos. VARIANTE 2.- Este mismo juego puede utilizarse para que los niños estimen el intervalo en el cual se encuentra el resultado. Para ello el maestro elabora algunas tiras de papel como la que se menciona en la siguiente consigna: Voy de la operación hay 3 intervalos señalados con letras; se trata de que cada quien diga la letra donde considera que se encuentra el resultado. Vamos a ver si encuentran rápidamente la letra correcta. Ejemplo: 140

37 + 52 + 13 (A ) 500 a 100

(B) 100 a 150

(C) 151 a 200

Al final, como siempre, se analizan los procedimientos usados. Actividades Constantes. Juegos con números - cálculo mental. SERIES NUMÉRICAS. OBJETIVO Ejercitar el cálculo mental. MATERIAL. No se requiere. Antes de iniciar el juego los alumnos y el maestro se colocan en círculos. Enseguida el maestro explica que se trata de hacer una serie numérica (a 141

criterio del maestro dicha serie puede ser de 2 en 2, de 3 en 3, etc.), y que en su turno cada quien agregará 2 a la cantidad que dijo el compañero anterior. Quien se equivoque o no diga a tiempo el número que le toca, sale del juego. Gana el que queda al último. Cada vez que se inicia un juego el maestro puede decir el primer número para que todos los alumnos tengan que agregar a lo que ya hay. El maestro debe tomar en cuenta que la finalidad principal de este juego es la agilidad. De manera que es conveniente que vaya señalando al niño que le toca y que éste diga el número que corresponda casi en el momento que se le señala. En caso de que no lo diga equivocado, quedará fuera y el maestro señala el siguiente niño. VARIANTES 1.- En vez de hacer una serie ascendente, se hace una descendente. 2.- En lugar de aplicar una sola operación a la serie, se aplican dos, por ejemplo: sumar 3 y restar 2.

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Actividades Constantes Juegos con números ADIVINA LO QUE HAGO OBJETIVO Descubrir el algoritmo implicado en una sucesión numérica. MATERIAL Ninguno. Esta actividad es una actividad complementaria a la que aparece en la ficha “Series numéricas”. Se trata de que el maestro elabore previamente algunas sucesiones numéricas como las siguientes. 143

1) 2) 3) 4) 5)

3, 2, 7, 1, 0,

6, 5, 2, 5, 2,

9, 12… 3, 6, 4… 10, 5, 13, 8, 16… 4, 8, 7, 11… 5, 7, 10, 12…

El grado de dificultad de las sucesiones puede variar en función de cómo respondan los niños: pueden incluir una sola operación como en el primer ejemplo (+3); dos operaciones del mismo tipo como en el ejemplo 5, (+2 y +2); o dos operaciones distintas como en los ejemplos 2, 3 y 4. El maestro explica: voy a decir en voz alta una serie de números; traten de escuchar lo mejor posible para que puedan decirme qué operación estoy haciendo con esos números. El maestro va diciendo lentamente cada uno de los números de la sucesión, más o menos hasta el sexto término, mientras los alumnos escuchan. Es probable que antes de llegar al sexto término, algún niño diga la respuesta. En ese momento el maestro se detiene y pide a todos los niños que verifiquen la respuesta. Si esta es 144

correcta, el niño que la dio gana el juego (la respuesta será correcta cuando algún niño diga la operación u operaciones y el número que se está adicionando o sustrayendo). Si la respuesta no es correcta se da la oportunidad a otro niño para que conteste y se sigue el mismo proceso, de manera que el primer niño que contestó sólo puede volver a intervenir si todos los demás fallan. Es muy importante que esto se entienda como regla del juego, a fin de evitar que el niño que se equivocó se sienta desplazado como un castigo por no haber acertado en la respuesta. En caso de que al decir el sexto término de la sucesión ningún niño conteste, el maestro que pueda repetirla cuantas veces sea necesario. Si el maestro ce que aun repitiéndola resulta difícil, puede dar la sucesión escrita en una tarjeta para que los niños usen cualquier recurso. VARIANTE. Los propios niños inventan alguna sucesión y la dicen a los demás para que descubran la (s) operación (es) en juego.

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Actividades Constantes. Juegos con números COLOCA LOS SIGNOS Y ENCUENTRA EL RESULTADO OBJETIVO - Consolidar el significado de los signos operadores (+ y -) mediante el establecimiento de relaciones entre las cantidades parciales y con el total. MATERIAL - Una cantidad suficiente (en unción del número de niños) de tarjetas como las del ejemplo siguiente: 8 7 15 = 16

27 8 3 8 = 30

35 4 4 25 = 10

7 84 10 19 = 100 146

El maestro entrega a cada niño una tarjetita, la misma para todos, Y explica: se trata de colocar entre cada número un signo de suma (+) o uno de resta (-) para obtener el resultado de la operación que aparece incompleta en la tarjeta. Este juego ofrece a los niños la posibilidad de ensayar con varias operaciones de suma o resta en la búsqueda del resultado ya establecido. Esto puede llevarlos a descubrir algunas estrategias que les permite abreviar el tiempo, por ejemplo: - Entre 2 cantidades A y B, donde A