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• Courtney Montoya

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EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 2. CARGA Y DESCARGA DEL CONDENSADOR 1. Resolver los siguientes ejercicios a partir de las Figuras 1 y 2 siguientes:

R=5 Vg=2V

Vg=2V

R=5

Ig=1A

Ig=1A Figura 1

Figura 2

a) En el circuito paralelo de la figura 1 determinar la potencia disipada por la resistencia y la potencia entregada por los generadores. b) En el circuito serie de la figura 2 determinar la potencia disipada por la resistencia y la potencia entregada por los generadores. c) Si en el circuito serie de la figura 2 se conecta un condensador de capacidad C= 1F, inicialmente descargado, en paralelo con el generador de corriente, determinar la tensión que alcanza dicho condensador en un tiempo de 30 s. d) Si en el circuito serie de la figura 2 se sustituye la resistencia por un condensador de capacidad C= 1F, inicialmente descargado, determinar la tensión que alcanza dicho condensador en un tiempo de 30 s.

a) I

I-Ig

R=5 Vg=2V

Vg

2   0,4 A R 5 IV  I  Ig  0,4  1  0,6 A I

PR  I 2  R  0,42  5  0,8W

Ig=1A

PG  PV  PI  2  0,6  2  1  0,8W

b)

Vg=2V

I  Ig  1A

I

V1  Vg  I  R  2  1  5  3V

R=5

PR  I 2  R  12  5  5W PG  PV  PI  2  1  3  1  5W

Ig=1A

V1

c) Obtenemos el equivalente de Thévenin en extremos del generador de corriente: 1

A Vg=2V

RTh  RAB  R  5

Ig=1A

VTh  VAB  2  1  5  3V

R=5 B

RTh=5

  RTh  C  5  1  5s

A C=1F

VTh=3V

En un tiempo de t= 30 s > 5τ= 25 s  C se carga completamente a VC  VTh  3V .

B

d) Ig=1A

A

I C=1F

Vg=2V

El condensador se carga a corriente constante I= Ig= 1 A, y su voltaje en t= 30 s, vale: 30

30

q  I  dt  0 1  dt  30V VC  C  0 C C 1

B

2

2. En el circuito de la figura se cierra el interruptor S en t=0. A S

35 V

10 

12  10mF

5A 30 

10 V

B

Suponiendo el condensador inicialmente descargado, calcular el valor de la tensión en el condensador en t= 20 ms.

En el tema 1 vimos cómo obtener el equivalente de Thévenin. Es fácil comprobar que en este caso el equivalente de Thévenin entre A y B está formado por un generador de tensión VTH=50 V en serie con una resistencia RTH=12 Ω.

RTH

VC(t) = VCF + (VCI  VCF) e-t

A

VCI = 0; VCF = VTH = 50 V VTH

C

VC(t)

 = RTHC = 12 Ω  10  10-3 F = 120  10-3 s = 120 ms VC(20 ms) = 50 + (050) e20/120 = 7,67 V

B

3

3. Se tiene el siguiente circuito RC, con R = 50 k, V = 5 V: i(t) V

R

+

vR(t)

C vC(t)

a) ¿Cuál es la capacidad de C si tarda 0,5205 s en alcanzar el 50% de su carga total? Suponer el condensador inicialmente descargado. b) Indicar el tiempo necesario para que el condensador se cargue aproximadamente al 63% y al 99% de su carga total cuando su capacidad C = 100 µF. c) Si en el circuito anterior se coloca una resistencia R1 = 20 k en serie con el resistor R y un condensador C1 en paralelo con el condensador C (asumiendo que C = 15 µF), indicar el/los posibles valores de C1 para que la constante de tiempo del circuito modificado sea τ= 7 s. a) Llamamos T = 0,5205 s al tiempo necesario para que C se cargue al 50%. Entonces, si la carga inicial QI =0, la carga en el tiempo T es Q(T)=0,5QF. Por lo tanto: Q(T) = QF(1et/RC)  0,5QF = QF(1eT/RC)  eT/RC = 0,5  T = RCln(0,5) C = T/[Rln(0,5)] =  0,5205 s/{50103  (0,693)}  C = 15 µF

b) Por definición de constante de tiempo : Q()  0,63 QF   = RC = 50103  100106 F = 5 s Q(5)  0,99 QF  5 = 5 RC = 25 s c) La resistencia equivalente es Req = R+R1 y la capacidad equivalente es Ceq = C+C1. La nueva constante de tiempo será: τ = ReqCeq = 7 s = (R+R1)(C+C1)  C1 = [τ/(R+R1)]C = 7 s/(50000 +20000 )15106 F  C1 = 85106 F = 85 µF

4

4. En el circuito de la figura, los condensadores están inicialmente descargados y el interruptor S abierto. Se pide: a) ¿Cuál es la d.d.p. entre a y b con S abierto en régimen permanente? b) Si el interruptor se cierra en t= 0 después de permanecer abierto un tiempo muy largo, ¿cuál es el potencial del punto x en t= 1 ms? x C2=2F

R=1K

C1=1F a

S b

+

E=150V

C1=1F

C2=2F

a) Los condensadores C1= 1 F y C2= 2 F de cada rama están en serie y su capacidad equivalente es: C C 1 1 F  2  F 2 Cs   1 2   F 1 1 C 1  C 2 1 F  2  F 3  C1 C 2 Entonces la carga del condensador equivalente sometido a 150 V en régimen permanente será: 2 Q  C sV  F  150V  100C , 3

que es la misma carga de los condensadores C1 y C2 de la serie (ya que, en una conexión de condensadores en serie, todos tienen la misma carga). Podemos entonces obtener las tensiones Va y Vb que corresponden a las tensiones de los condensadores de abajo: Va 

Q 100   100V C1 1

Vb 

Q 100   50V , C2 2

y la d.d.p. (diferencia de potencial) Vab que se pide es: Vab  Va  Vb  100  50  50V

b) Los condensadores C1= 1 F y C2= 2 F tanto de la parte superior como de la inferior están en paralelo, siendo en cada caso la capacidad equivalente Cp= C1 + C2= 3 µF, y la capacidad equivalente del conjunto será: CT 

Cp Cp Cp  Cp



Cp 2

 1,5F

En el instante t= 0 en el que se cierra el interruptor cambia instantáneamente la tensión del condensador equivalente, pues éste modifica su valor de 4/3 µF (Cs + Cs) a 1,5 µF, permaneciendo constante la carga neta ya que no puede cambiar en un tiempo cero (fijémonos 5

que hay una resistencia en el circuito y la corriente queda siempre limitada a un valor finito). Dicha carga se determina como la que se observa desde el punto x del circuito en el apartado anterior:

QT  2  Q  200F Y, por tanto, el voltaje inicial Vi del condensador equivalente CT vale:

Vi 

QT 400  V CT 3

El condensador CT se carga hasta E= Vf= 150 V con una constante de tiempo:

  R  CT  1k 1,5F  1,5ms Por lo tanto, el potencial que se pide es: Vx  Vf  (Vi  Vf )e

t



 400  1  150    150   e 1,5  141,4V  3 

6

5. La señal rectangular vi(t) de la figura, donde A1=8 V, A2=-4 V, T1=4 ms y T=6 ms, se aplica a la entrada de un circuito RC serie. Suponiendo alcanzados los valores finales de continua en el circuito, representar vC(t) y vR(t): a) Para RC>> T. b) Para RC 1 s, indicando los valores más significativos. VC

Vg(t) volt.

10V

C Vg

Vo

R

t(µs) 100 120

0 20

200 220

a)

τ= RC= 1k100nF= 100 µs Podemos aplicar que la tensión en la resistencia: Vo (t)  Vof  (Voi  Vof )  e

t



Para 0 ≤ t < 20 µs, Voi= Vg= 10 V y Vof= 0  Vo (t )  0  (10  0)  e Vo (t  20   s)  10  e

20

100

t



 10  e

(100 20)

100

(120 100)

100





(150 120)

100

(t 20)

(t 100)









 7,52V

Para 120 µs ≤ t ≤ 150 µs, Voi= 7,52 - 10= -2,48 V y Vof= 0  Vo (t)  2,48  e Vo (t  150 s)  2,48  e



 0,81V

Para 100 µs ≤ t < 120 µs, Voi= -0,81 + 10= 9,19 V y Vof= 0  Vo (t)  9,19  e Vo (t  120  s)  9,19  e



 8,19V

Para 20 µs ≤ t < 100 µs, Voi= -Vci= -(10- 8,19)= -1,81 V y Vof= 0  Vo (t)  1,81  e Vo (t  100  s)  1,81  e

t

(t 120)

 1,84V

Vo(t) volt.

10V

0

9,19V 8,18V

20 -1,81V

100

7,52V

120

200

220

t(µs)

-0,81V -2,48V

12

b) Para t= 1 s > 5τ= 500 µs, Vo(t) ha alcanzado su valor final cero de continua. Tomando origen de tiempos en t= 1 s, se tiene: Vo(t) volt.

10V V1

V1

V1

V2

20

0

V2

120

100

20

100

 V1  e 0,2

t



Vo (t  100   s)  V1 '  V2 ' e

100

t(µs)

V2’



(1) ; Vo (t  20  s)  V2 '  V2  10 (2)

Para 20 µs ≤ t < 100 µs, Voi= V2’ y Vof= 0  Vo (t)  V2 ' e  (100 20)

220

V2’

Para 0 ≤ t < 20 µs, Voi= V1 y Vof= 0  Vo (t )  V1  e

Vo (t  20  s)  V2  V1  e

200 V1’

V1’

V2’

V2

 V2 ' e 0,8

(t 20)





(3) ; Vo (t  100   s)  V1  V1 ' 10 (4)

De (2), (3) y (4) se obtiene V1  10  V2  10  e0,8 , y sustituyendo en (1):

V2  10  (V2  10)  e 0,8   e 0,2  V2  7,13V V2 '  V2  10  2,87V V1 '  V2 ' e 0,8  1,29V V1  V1 ' 10  8,71V

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