• Author / Uploaded
• Gonzalo Gutierrez

• Categories
• Inclinarse
• Ingeniería de construcción
• Elasticidad (Física)
• Ingeniería mecánica
• Física aplicada e interdisciplinaria

Citation preview

EJERCICIOS RELACIONADOS A LOS TEMAS DE CLASE

PROBLEMA Nº 01.Si E = 200GPa. , halle la energía de deformación debida a la flexión para la viga y carga mostradas. (Ignore el efecto de los esfuerzos cortantes).

SOLUCIÓN Analizando el diagrama de cuerpo libre obtenemos:

Del gráfico: R A = RB =

(35kN )(2m) = 17.5kN . 4m

También observamos que los momentos flectores en ambas direcciones son iguales M 1 = M 2 = M ; por lo tanto desde A hasta D es igual que desde B hasta D; entonces:

(35kN )(2m) ( x) 4m Calculamos la deformación total de la viga:

Luego como M 1 = M 2 =

U TOTAL = U AD + U DB ;

U AD = U DB = U

⇒ U TOTAL = 2U M2 0 2 EI 1 2 =2 (17.5 x) 2 dx ∫ 0 2 EI

U TOTAL = 2 ∫ U TOTAL

U TOTAL =

2

306.25 2 2 ( x) dx EI ∫0 2

U TOTAL

306.25  x 3  =   EI  3  0

U TOTAL =

306.25  8  EI  3 

2450 ; 3EI Por datos del problema: E = 200GPa. ; “I“ para W 310 x 23.8 = 42.9 x10 6 mm 4 . U TOTAL =

Finalmente reemplazando datos: U TOTAL =

2450 x10 3 (3 x10 9 )(42.9 x10 3 )

U TOTAL = 19.03 x10 3 N .m

PROBLEMA Nº 02.Determinar el momento flexiónate admisible en una vida rectangular de madera que tiene una sección transversal acabada de 50mm por 100mm, para un esfuerzo flexiónate admisible de 8.4MPa a) si se flexio na con respecto a un eje neutro paralelo al lado de 50mm.b) si se flexiona con respecto aun eje neutro paralelo al lado de 10mm. SOLUCION:

a).- si se flexiona con respecto a un eje neutro paralelo al lado de 50mm. Sea: C=50 b=50 N σ y =8.4MPa= 8.4*106 m N 8.4*106 m N m Momento elástico máximo: → M yC I ) M y = σ y z ( Viene de σ y = Iz c Entonces. 2bc 2σ y Reemplazando valores se tiene. My = 3 2(50*10−3 )(50*10−3 ) 2 8.4*106 N M y = 700 Rspta .seria el 3 m momento flexiónate admisible para el caso a. b) si se flexiona con respecto aun eje neutro paralelo al lado de 10mm 8.4*106

My =

2bc 2σ y

Reemplazando valores se tiene. 3 2(100*10−3 )(25*10−3 ) 2 8.4*106 N M y = 350 3 m Rspta. el momento flexiónate admisible para el caso b.

PROBLEMA Nº 04.Un cuerpo de masa m que se mueve a una velocidad V0 golpea el extremo B de una barra no uniforme BCD. Si el diámetro de la porción BC es el doble que el de la porción CD. Hallar el valor máximo del esfuerzo en la barra.

Solución Si resolvemos el sistema como un sistema elástico la “ U ” estará dada por: Um =

5 Pm 2 L 16 AE

1 2 mv (energía cínetica) 2 Pm σm = , Pm = σ m × A A

Um =

σm =

2 θ mV0 E

5

AL

= 1.265

mV02 E AL

, Pm = σ m × A

PROBLEMA Nº 04.Una viga sometida a flexión simple tiene la sección transversal representada. En una determinada sección transversal las fibras superiores están sometidas a compresión de 1000Kg/cm², mientras que las inferiores están sometidas a tracción de 500Kg/cm². i) Eje neutro de la sección transversal. ii) Calcular el ancho b del ala inferior. iii) Determinar el momento flector que actúan en la sección considerada. e = 1cm

h = 30cm

e = 1cm b Solución i) Conocido los esfuerzos en la fibra superior e inferior puede ubicarse el eje neutro de la sección.

y

1000Kg/cm²

h1

Variación lineal

z h2 e = 1cm

500Kg/cm²

h1 1000 = ⇒ h1 = 2h2 h2 500 pero : h1 + h2 = 30 luego : h1 = 20cm ∧ h2 = 10cm

ii) El ancho b puede encontrase a partir de la ecuación M = ∫ yσ x dA A

e

h1 dy z h2 e

dy b

Luego: − ( h2 − e )

∫

− h2

ybdy + ∫

− ( h2 − e )

[ ]

b 2 y 2

h1

− ( h2 − e ) − h2

+

edy = 0

[ ]

e 2 y 2

h1

− ( h2 − e )

=0

Reemplazamos los límites de intgrales, tenemos:

[

] [

]

b (h2 − e) 2 − h22 + e h12 − (h2 − e) 2 = 0 b[(−9)² − (10)²] + (1)[(20)² − (−9)²] = 0

De donde luego de reemplazar los valores conocidos encontramos: b=16.79cm iii) el Mto flector puede calcularse a partir de las ecuaciones.

M = ∫ yσ x dA A

Donde

σx =

−y σ máx c

− y  σ  Luego: M = − ∫ y σ máx dA ⇒ M =  máx  ∫ y 2 dA c   c A A 

1000  Entonces: M =  20 

− ( h2 − e )

∫

y bdy + 2

− h2

 2 y edy  ∫  − ( h2 − e ) h1

20  −9  2 M = 50 ∫ 16.79 y dy + ∫ (1) y 2 dy  −9  −10 Efectuando las integrales encontramos:

M = 1970.18 Kg-m

PROBLEMA Nº 05.Determinar la energía de deformación por flexión en la región AB de la viga mostrada en la figura.

P C

B

A

Solución Calculamos las reacciones:

∑ M = 0 ⇒ R L = P2L → R = 2P ∑ F = 0 ⇒ R + P = R →R = P A

y

B

A

B

B

A

N =0 V =P

∑M

0

= 0 ∴ Px + M = 0 → M = − Px

N =0 V = −P

∑M

0

' = 0 ∴ − Px − M = 0 → M = − Px

U=

1 L (− Px ) 1 L (Px ) dx − ∫ dx ∫ 2 0 EI 2 0 EI

U=

PL2 2 EI

2

2

PROBLEMA Nº 06.La columna de concreto contiene seis varillas de refuerzo de acero de 1 in de diámetro. Si la columna soporta una carga de 300 Klb, determine la energía de deformación en la columna Ea = 29 × 103 Ksi (acero), Ec = 3.6 × 103 Ksi .

300 klb r =12

Solución

σ=

F A

A = π r2

^

A = π (12 ) = 452.4 pul 2 2

σ=

300 klb = 0.66 Klb 2 pul 2 452.4 pul

 en cada varilla ⇒

σv =

50 × 4

π (1)2

300 = 50 6

= 63.66 Klb

pul 2

Hallando el esfuerzo a) Concreto:

(

  2  0.66 Klb 2  452 P × 60 P pul  1σ V  Uc = = 2 E   2 3.6 × 10 3 Klb 2 pul   U c = 1.64 Klb × pul 2 c

)

b) Acero: Ua =

(63.66)2 (.785 × 60)

(

2 29 × 10 3

U a = 3.29 Klb × pu lg → •

)

en cada varilla de acero.

Para 6 varillas

U TOTAL DE VARILLAS = 6 × 3.29 = 19.74 Energía total

U T = U c + U Tv U T = 21.38

PROBLEMA Nº 07La barra de aluminio AB (G=26 GPA), está unida a la barra de latón BD (G=39 GPA). Si la porción CD de latón es hueca y posee un diámetro interior de 40 mm. Halle la energía total de deformación de las dos barras.

Solución G AB = 26 GPA G BD = 39 GPA Tramo AB: J=

π

R4 =

π

(0.018)4 = 1.649 × 10− 7 m 4

2 2 2 (800)2 (0.400) T L U= = 2 JG 2 1.649 × 10− 7 26 × 109 U = 29.8549 N − m Tramo BC:

(

J=

π 2

R4 =

π 2

)(

(0.030)4 = 1.272 × 10− 6 m 4

(800) (0.375) T L = 2 JG 2 1.272 × 10− 6 39 × 109 U = 2.419 N − m

U=

)

2

2

(

)(

)

Tramo CD: J=

π 2

( R4 − r 4 ) =

π

(0.030 2

4

)

− 0.0204 = 1.021 × 10− 6 m 4

(800) (0.250) T 2L = 2 JG 2 1.021 × 10− 6 39 × 109 U = 2.0091N − m 2

U=

(

)(

)

⇒ U TOTAL = 34.283 N − m

PROBLEMA Nº 08.Determinar el desplazamiento vertical del nudo B de la viga de acero mostrada en la figura. Considere E=200 GPa, I=125x10-6 m4 . 5 KN

40 KN

C

A B

∑M

Solución 0

=0

− RA (10) + 12(6) + P(4) + 18 = 0 − 10 RA + 72 + 4 P + 18 = 0 RA =

1 (90 + 4 P ) 10

2 4 h = ⇒ h= x 3 6 x

CORTE (1-1)

∑M

0

=0

2 1 (90 + 4 P )x + x x + M = 0 10 3 3 x3 M = 0.1x(90 + 4 P) − 9

−

18 KN

E = 200GPa = 200 × 106

KN m2

I = 125 × 10− 6 m 4 KN × 125 × 10− 6 m 4 2 m EI = 25000 KN − m 2 EI = 200 × 106

6

U =∫ 0

M2 dx 2 EI 6

U =∫ 0

U=

[0.1× (90 + 4P) − x / 9] dx 3

2

25000 KN − m 2

1  24 p 2 72 p 2322    + + 7  5 25000  25

∂U 1 48 P 72 ×( + ) P =5 KN = ∂P 25000 25 5 1  240 72  1 120 ∆B = + = ×  25000  25 5  25 5

∆B =

P =5 KN

∆B = 0.00096 m

PROBLEMA Nº 09.Usando el procedimiento del trabajo mínimo, calcular la fuerza en la barra de acero de la estructura compuesta.

E= 10 GPA A= 375 mm A

I= 6.75 x 10 m E 10 GPA

B

C

10 kn

Solución Rv + T = 10 →

Rv = 10 + T

M = 6T − 10(a ) = 0

CORTE (1-1)

∑M0 = 0

M 1 + 90 − 6T − (10 − T )x = 0 M 1 − 10 X − XT − 90 + 6T = 0

CORTE (2-2)

∑M0 = 0

M 2 − (10 − T )X + 90 − 6T − T ( X − 6 ) = 0 M 2 − 10 X + TX + 90 − 6T − TX + 6T = 0 M 2 = 10 X − 90 6

9

1 1 U= M 2 dx + M 22 dx ∫ ∫ 2 EI 0 2 EI 2

U=

 1  9000 (6T − 40)  + + 900  2 EI  T − 10 3(T − 10)  ∂U =0 ∂T ∂U ∂T

→ 144T − 2520 = 0 T=

2520 144

T = 17.5 N × m

PROBLEMA Nº 10.Resolver el pórtico que se muestra, (utilice la ecuación de compatibilidad y superposición)

Solución

δa δb M W W2 δ a = ∫ 0 ds ^ δ b = ∫ ds EI EI δa + δbx = 0 → x = −

En la que: I tramo 4 - 5:

0 ≤ 4 ≤ 7:

I tramo 3 - 4:

M0 = 0 m = −y

0 ≤ 4 ≤ 7:

M 0 = 130 X −

6.5 2 X 2

^ m = −(7 + X log δ )

4   m = − 7 + X  → m = −(7 + 0.2 X ) 20  

δa= δa=

2 EI

∫ (120 X − 3.25 X )[− 7 − 0.20 X ] 2

20

(

416 dx 20

)

2 × 1.02 ∫ − 910 X − 26 X 2 + 22.75 X 2 + 0.65 X 3 dx EI 0 δa 167960 ……… X = − δa=− δb EI