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USAC. FACULTAD DE INGENIERÍA ESTADISTICA 2 Inga. María Eugenia Aguilar

PROBLEMAS RESUELTOS DE PRUEBAS PARA UNA POBLACION 1. Para obtener información acerca de las propiedades de resistencia a la corrosión de cierto tipo de tubería de acero, se entierran en el suelo 45 especímenes durante un periodo de dos años. Luego, se mide la penetración máxima (en milésimas de pulgada) para cada espécimen, obteniéndose una penetración promedio muestral de 52.7 con desviación estándar de 4.8. Los conductos se fabricaron con la especificación de que la penetración promedio sea a lo sumo 50 milésimas de pulgada. Los conductos se usarán a menos que se demuestre de manera concluyente que no se satisfacen la especificación. ¿A qué conclusión puede llegarse con α = 0.05? Caso: Prueba de hipótesis utilizando distribución normal, dado que n>30 µ = penetración promedio real Datos:

n = 45

= 52.7

s = 4.8

Planteamiento de Hipótesis: Ho: µ ≤ 50 H1: µ > 50 Nivel de Significancia: α = 0.05 Valor de Prueba: Z=

-µ s/√n

=

52.7 – 50 = 4.8/√45

3.75

Valor Crítico: Este se obtiene de la misma forma que cuando se calcula un intervalo de confianza Zc = +Zα Zc = Z 0.05 Zc = 1.64 Grafica y Contraste: α = 0.05

Área de aceptación de Ho Zc =1.64

Área de rechazo de Ho Zp = 3.75

Conclusión: con una significancia de 0.05 se tiene evidencia estadística para rechazar Ho,, lo que significa que no se utilizaran porque sobrepasan las 50 milésimas.

2. El departamento de policía de tránsito, ha descubierto que los agentes de tránsito deberían multar en promedio a 27 infractores por mes. Si un agente hace más de esa cantidad, es probable que sea demasiado entusiasta en el ejercicio de sus funciones. Si hace menos, el agente puede no estar haciendo su trabajo minuciosamente. Para evaluar a sus agentes, el jefe anoto el número de multas colocadas por los 15 agentes. Los resultados aparecen en la siguiente tabla. Con un nivel de significancia del 5%, ¿parece que los agentes están desempeñándose satisfactoriamente? 28

31

22

26

25

34

29

32

25

24

30

33

38

31

31

Caso: Prueba de hipótesis para media usando distribución t, dado que se desconoce el valor de σ y n< 30 µ = promedio de multas al mes Planteamiento de hipótesis: Ho : µ = 27 H1 : μ ≠ 27 Nivel de significancia α = 0.05 Valor de prueba: Los valores de media y desviación estándar se calcula usando estadística descriptiva, tal y como se trabajó en los intervalos de confianza. = 29.2666 t=

S = 4.3006

–µ s / √n

=

29.2666 – 27 4.3006 / √15

=

2.04

Valor Critico: ±tα/2 = ± t 0.025 , 14 tc = ±2.14 Grafica y Contraste:

α/2 = 0.025

Rechazo Ho

tc = -2.14

α/20 = 0.025

Acepto Ho

Rechazo Ho

tc =2.14 tp = 2.0412

Conclusión Con una significancia de 0.05 se tiene evidencia estadística para aceptar la Ho lo que significa que los agentes si están desempeñándose satisfactoriamente.

3. Un auditor quiere demostrar que una nueva serie de TV no ha tenido éxito, para lo cual debe probar que en su período inicial se tiene una audiencia de menos del 25%. Si en una muestra de 400 familias, 112 estaban viendo la serie. A un nivel de significancia de 0.10. ¿Puede el auditor demostrar que la serie no ha tenido éxito? Caso: Prueba de hipótesis para proporción P = proporción de familias que ven la serie Datos: n  400   0.10 exitos  112 P  0.25

p

# exitos 112   0.28 n 400

  0.10 Planteamiento de hipótesis: H o : P  0.25 H1 : P  0.25

Nivel de significancia: α = 0.10 Valor de prueba: pP z P1  P  n 0.28  0.25 z  1.39 0.251  0.25 400 Valor critico: Z c   Z

Z c  Z 0.10 Z c  1.29 Grafica y Contraste: α = 0.10

Área de aceptación de Ho Zc =1.29

Área de rechazo de Ho Zp = 1.39

Conclusión: Con una significancia de 0.10 se tiene evidencia estadística para rechazar TV lo ve más del 25% por lo tanto es exitoso.

H o , es decir que el programa de

4. Al encargado de contabilidad de una empresa se le ha encargado que compruebe si el saldo promedio de los clientes morosos sobrepasa los $90,000, desviación estándar de $12,000. Con este fin, se toma una muestra de 36 clientes morosos, encontrando en ésta una media de $86,000. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿a que conclusión llega el encargado? Caso: Media con varianza poblacional conocida.

H 0 :   $90,000 H 1 :   $90,000 Reject H 0 if z  -1.65 z

86,000 - 90,000

 2.00

12,000 36 Reject H 0 . The mean balance is less than $90,000. Zc = -1.65

α = 0.05

Rechazo de Ho

Área de aceptación de Ho

Zc = -1.65 Zp = -2.00

Conclusión: Con α = 0.05 se rechaza Ho, el saldo promedio es menor que $90,000.

5. Un estudio encontró que la distancia promedio de frenado de un bus que viaja a 50 millas por hora es como máximo 264 pies. El encargado de transporte de un establecimiento educativo toma aleatoriamente la distancia de frenado de 10 buses encontrando en estos una distancia promedio de 270 pies con desviación estándar de 15 pies. Utilizando α = 0.10, ¿podría concluir el encargado de transporte que sus buses sobrepasan la distancia promedio de frenado de los buses que viajan a 50 millas por hora?

Caso: Media con varianza poblacional desconocida

H0 :   264 H1 :   264 RejectH0 if t  1.383 t

270 264 15 10

 1.265

Do not rejectH0 . Wecannotconcludethemeanstoppingdistanceis morethan264feet. tc = 1.383

α = 0.10

Área de aceptación de Ho

Área de rechazo de Ho

tc =1.383

tp = 1.265 Conclusión: Se acepta la Ho con α = 0.10, por lo que el encargado de transporte no puede concluir que sus buses sobrepasan la distancia promedio de frenado de los buses que viajan a 50 millas por hora.

6. El gerente de una famosa heladería afirma que hasta un 70% de las personas han consumido sus productos. Con el fin de comprobarlo un analista toma una muestra aleatoria de 200 personas encontrando que 160 personas han consumido estos helados en alguna oportunidad. A un nivel de significancia de 0.01, ¿es correcta la afirmación del gerente? Caso: Proporción

H 0 : P  .70 H1 :   .70 Reject H 0 if z  2.33. 160  .70 200 z  3.09 (.70)(1  .70) 200 Reject H 0 . It is reasonable that more than 70 percent of the customers are repeat buyers. Zc = 2.33

α = 0.01 Área de aceptación de Ho

Área de rechazo de Ho

Zc =2.33 Zp = 3.09

Conclusión: Se tiene evidencia estadística para rechazar Ho con α= 0.01, por lo que el gerente está en un error, dado que más del 70% de las personas ha probado sus productos.

7. Una política de la compañía líder en seguros es restringir la proporción de reclamaciones otorgadas a los asegurados al 25%. De las ultimas 1.122 pólizas, 242 compensaron en su totalidad al asegurado. Si α = 0.10 ¿se está considerando o no la política? Caso: Prueba de hipótesis para proporción

P = proporción de reclamaciones otorgadas a los asegurados

Datos: n  1122   0.10 exitos  242 P  0.25

p

# exitos 242   0.2157 n 1122

Planteamiento de hipótesis: H o : P  0.25 H1 : P  0.25 Nivel de significancia: α = 0.10 Valor de prueba: p P z P1  P  n 0.2156  0.25 z  2.66 0.251  0.25 1122 Valor critico: Z c  Z / 2

Z c   Z 0.05 Z c  1.64 Grafica y Contraste:

α = 0.05

α = 0.05

Área de rechazo de Ho

-2.66

-1.64

Área de aceptación de Ho

Área de rechazo de Ho

1.64

Conclusión: Se tiene evidencia estadística para rechazar Ho con α= 0.10, por lo que no se está considerando la política.

8. Las puntuaciones en un test de razonamiento abstracto siguen una distribución Normal de media 35 y varianza 60. Para evaluar un programa de mejora de las capacidades intelectuales, a 101 individuos que están realizando este programa se les pasa el test, obteniéndose una media de 50 puntos y una varianza de 80 ¿Puede asegurarse, a un nivel de confianza del 90%, que el programa incrementa la variación en esta variable? Caso: Prueba de hipótesis para varianza 2 2 Datos: n = 101 = 50 s = 80 σ = 60

2

σ = varianza de las puntuaciones del test real

Planteamiento de Hipótesis: 2 Ho: σ ≤ 60 2 H1: σ > 60 Nivel de Significancia: α = 0.10 Valor de Prueba:

=

(

)

=

(

)∗

= 133.33

Valor Crítico: α con grados de libertad = n -1 .

, 100 = 118.498

Grafica y Contraste:

α = 0.10

Aceptacion Ho

Rechazo Ho c 118.498

p 133.33

Conclusión: con una significancia de 0.10 se tiene evidencia estadística para rechazar Ho, lo que significa que el programa efectivamente incrementa la variación de la variable.

9. En un ensayo sobre resistencia a la rotura de 6 cuerdas fabricadas por una compañía mostró una resistencia media de 7750 lb con una desviación estándar de 145 lb. El fabricante sostiene que la desviación estándar de la resistencia de sus cuerdas es 130 lb con un nivel de significancia del 5% ¿puede admitir esa información de acuerdo a la evidencia de la muestra? Caso: Prueba de hipótesis para varianza Datos: n = 6 = 7750 s = 145 σ = 130

2

σ = varianza de la resistencia de las cuerdas

Planteamiento de Hipótesis: 2 2 Ho: σ = 130 2 2 H1: σ ≠ 130 Nivel de Significancia: α = 0.05 Valor de Prueba: (

=

)

=

(

)∗

= 6.22

Valor Crítico:

α/2,

Derecho:

g.l = n-1=

1−

Izquierdo:

, g.l = n-1=

, 5 = 12.833

.

.

, 5 = 0.831

Grafica y Contraste:

α/2 = 0.025

α/2 = 0.025

Rechazo Ho c 0.833

Aceptación Ho p 6.22

Rechazo Ho c 12.833

Conclusión: con una significancia de 0.10 se tiene evidencia estadística para aceptar Ho, lo que significa que si se puede admitir esa información de acuerdo a la evidencia de la muestra, lo que equivale a decir que el fabricante tiene razón.

10. Considere una maquina, la cual se emplea para llenar latas con una bebida gaseosa en la cual la varianza 2 del volumen de llenado no debe exceder a 0.02 (oz liquidas) . Con fines de control se toma una muestra aleatoria de 20 latas encontrando que la varianza es de 0.0225. ¿Podría decirse que la maquina no está cumpliendo con la especificación? Pruebe las hipótesis a un nivel de confianza del 95%. 2

σ = varianza del volumen de llenado

Caso: Prueba de hipótesis para varianza 2 2 Datos: n = 20 s =0.0225 σ = 0.02 Planteamiento de Hipótesis: 2 Ho: σ ≤ 0.02 2 H1: σ > 0.02 Nivel de Significancia: α = 0.05 Valor de Prueba:

=

(

)

=

(

)( . ( .

) )

= 21.375

Valor Crítico: α con grados de libertad = n -1 .

, 19 = 30.144

Grafica y Contraste:

α = 0.05

Aceptacion Ho p 21.375

Rechazo Ho c 30.144

Conclusión: con una significancia de 0.05 se tiene evidencia estadística para aceptar Ho, lo que significa que la maquina