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• Leonardo Ayquipa

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PROBLEMAS RESUELTOS

Capítulo : ANGULOS 1. Hallar las coordenadas del segmento MN que forma ángulos de 50º con los segmentos PQ y RS. M pertenece al segmento PQ y N pertenece al segmento RS. P ( 0, 60, 60 ) ,Q ( 60, -20, 20 ), R ( 10, 65, 10 ) ,S ( 90, 5, -10 ) Rpta: M1(45.8433,-1.1245,29.4378) N1(29.8591,50.1057,5.0352) M2(24.1567,27.7911,43.8956) N2(60.3973,27.2020,-2.5993) 2. Los triángulos PQR y RST tienen orientación N30ºE y el ángulo entre ellos es de 120°. Si PQR desciende hacia el SE y RST hacia el NO, completar las coordenadas de los vértices de ambos triángulos. P ( 20, 30, 20 ) Q ( 25, 5, ¿? ) R ( 30, 30, ¿? ) S ( 20, 15, ¿? ) T ( 40, 8, 12 ) Rpta: zQ=-1.2104 zR=9.0858 zS=8.9138 3. El segmento de recta AE es ascendente, mide 40 unidades y forma ángulos iguales con los planos ABC, ABD y ACD. Obtener las coordenadas del punto E y el ángulo que forma AE con los planos. A ( 50, 60, 30 ) B ( 100, 50, 30 ) C ( 60, 90, 80 ) D ( 50, 20, 70 ) Rpta: E(73.0094,51.9067,61.7028) ang=29º35’ 4. Pasar por la recta PQ un plano que haga ángulos iguales con las rectas AB y CD. Obtener la orientación y pendiente del plano. A ( 40, 40, 45 ) B ( 55, 45, 50 ) C ( 30, 10, 55 ) D ( 45, 25, 55 ) P ( 40, 35, 70 ) Q ( 60, 15, 70 ) Rpta: or=N45ºO pe1=204.84%NE pe2=16.27%SO 5. El hexágono regular horizontal ABCDEF es base inferior de una pirámide cuyo vértice V se encuentra a la derecha de D. Los ángulos diedros AB=FA, BC=EF, CD=DE, AV=150º, DV=135º. Completar las coordenadas del poliedro. A ( 15, 40, 15 ) D ( 70, 40, 15 )

Rpta: B ó F (28.7500,16.1843,15) C ó E (56.2500,16.1843,15) F ó B (28.7500,63.8157,15) E ó C (56.2500, 63.8157,15) V(126.9576,40,73.6597) 6. Trazar un segmento de recta PQ que mida 40 unidades y forme con el plano ABC un ángulo de 60º. El segmento PQ se corta con LM. Determinar las coordenadas del punto Q tal que esté a la derecha de A. A ( 5, 10, 25 ) B ( 25, 30, 30 ) C ( 20, 25, 5 ) L ( 40, 25, 15 ) M ( 15, 10, 15 ) P ( 35, 10, 20 ) Rpta: Q(17.3821,41.3719,2.5239) 7. Hallar el ángulo que forman dos caras contiguas de un dodecaedro regular (sus caras son 12 pentágonos regulares). Rpta: ang=116º34’ 286) 8. Pasar por la recta AB un plano ABC de manera que la intersección de éste plano con el plano vertical PQR haga un ángulo de 50º con la recta AB. Hallar el ángulo entre ambos planos. A ( 88, 39, 35 ) B ( 88, 7, 27 ) P ( 77, 8, ¿? ) Q ( 100, 30, ¿? ) Rpta: ang1= ang2=66º14’ 9. Trazar hacia la derecha un segmento de recta ascendente TU de 30 unidades de longitud, pero que haga un ángulo de 45º con RS y 30º con PQ. Hallar las coordenadas del punto U. P ( 40, 25, 70 ) Q ( 55, 10, 75 ) R ( 55, 45, 50 ) S ( 75, 40, 45 ) T ( 45, 35, 65 ) Rpta: U(69.3111,26.7326,80.5119) 10. La cara superior de un hexaedro regular es ABCD y está contenida en un plano de orientación N45ºO y pendiente 30%SO, siendo A el vértice más bajo de dicha cara. La arista AB mide 40 unidades y tiene orientación N60ºE. Hallar las coordenadas del vértice más bajo del hexaedro. A ( 25, 45, 30 ) Rpta: E(33.1274,53.1274,-8.3131) 11. Pasar por RS un plano cuyo ángulo diedro con el plano vertical ABC sea igual al ángulo diedro con el plano ortofrontal ABD. Obtener dicho ángulo. R pertenece a ambos planos dados. A ( 22, 20, 30 ) B ( 52, 28, 13 ) R ( 27, ¿?, ¿? ) S ( 46, 14, 26 ) Rpta: R(27,21.3333,27.1667) ang1=56º8’ ang2=49º28’

Capítulo: GIROS 1. Rotar el segmento AB alrededor del eje normal que pasa por E hasta que corte al segmento CD. Se sabe que AB y el eje están contenidos en un mismo plano. Obtener las coordenadas finales de AB luego de efectuada la rotación considerando el mínimo ángulo de giro. A ( 9, 4, 5 ) B ( 10, 8, ¿? ) C ( 1, 7, 12 ) D ( 10, 4, 12 ) E ( 6, 15, 8 ) Rpta: ang=108º4’ A’(7.9057,4,11.7906) B’(8.5409,8,13.0541) 2. Rotar el plano LMN alrededor de un eje vertical que pasa por el punto E hasta que sea perpendicular al plano PQR. Determinar las coordenadas finales de los puntos L, M y N luego de efectuada la rotación considerando el menor ángulo de giro. E ( 33, 24, 20 ) L ( 55, 30, 30 ) M (72, 23, 65 ) N ( 50, 20, 60 ) P ( 30, 12, 20 ) Q ( 11, 8 ,25 ) R ( 9, 21, 32 ) Rpta: L’(54.4011,16.1264,30) M’(64.1887,0.5636,65) N’(44.5277,10.8809,60) 3. Hallar el menor ángulo de giro necesario para que al rotar el plano LMN sea perpendicular a la recta PQ. L ( 55, 30, 30 ) M (72, 23, 65 ) N ( 50, 20, 60 ) P ( 30, 12, 20 ) Q ( 9, 21, 32 ) 4. Hallar el menor ángulo que debe girar el segmento OL para que sea perpendicular al plano XY. Se sabe que dicho segmento forma ángulos de 70º y 60º con los segmentos AB y CD respectivamente. A ( 60, 20, 0 ) B ( 0, 50, 40 ) C ( 80, 0, 60 ) D ( 0, 20, 40 ) O ( 0, 0, 0 ) Rpta: ang1=69º59’11” ang2=84º38’24” 5. Indicar el mínimo ángulo que debe girar el punto A alrededor del eje EF sabiendo que la posición final del punto rotado es A’. El punto A está 10 unidades a la derecha de A’ y el radio de giro es 25 unidades. A ( 30, ¿?, ¿? ) A’( 20, ¿?, 15 ) E ( 10, 20, 5 ) F ( 35, 15, 10 ) Rpta: A(30,12.4172,-16.0856) A’(20,-6.4972,15) ang=98º00’17” 6. Rotar el plano PQR hasta que sea paralelo a la recta ST. El eje de giro pasa por R y es ortofrontal. Obtener el menor ángulo de giro y las coordenadas finales de los vértices del triángulo. P ( 35, 20, 90 ) Q ( 60, 40, 80 ) R ( 50, 15, 65 ) S ( 80, 15, 60 ) T ( 110, 30, 80 ) Rpta.: áng=69º29’ P’(39.4575,40,79.6238) Q’(21.3281,20,59.7158) R’(50,15,65)

7. Rotar la recta PQ alrededor de un eje que pasa por el punto E hasta que sea paralela a la recta RS. Obtener las coordenadas de los puntos P y Q luego del giro, el menor ángulo de giro y la orientación y pendiente del eje. E ( 50, 40, 30 ) P ( 60, 10, 10 ) Q ( 60, 10, 25 ) R ( 40, 10, 20 ) S ( 55, 25, 5 ) Rpta.: P’(75.7735,25.7735,6.9060) Q’(67.1132,17.1132,15.5662) áng=54º44’ or=N45ºO o S45ºE pe=0% 8. Hallar el menor ángulo que deben girar las rectas AB y CD alrededor del eje vertical que pasa por el punto E para que sus proyecciones frontales sean paralelas. A ( 20, 25, 35 ) B ( 50, 45, 15 ) C ( 30, 15, 10 ) D ( 60, 5, 25 ) E ( 55, 25, ¿? ) Rpta: ang=84º33’35” 9. Rotar el segmento de recta PQ alrededor de un eje normal que pasa por el punto P (hasta una posición P´Q´) y luego volver a rotarlo (rotar P’Q’) alrededor de un eje horizontal de orientación N20ºE que pasa por el punto M hasta que contenga al punto N. Obtener los ángulos de giro considerando los de menor magnitud y las coordenadas de la posición final de los extremos de PQ (P”Q”). M ( 15, 40, 30 ) N ( 20, 35, 80 ) P ( 50, 80, 10 ) Q ( 20, 30, 60 ) Rpta: P”(15.4150,92.5879,51.4322) ang2=175º33’

ang1=97º22’

Q”(20.8796,23.9522,85.4805)

10. Rotar el plano ABC alrededor del eje DE hasta que su proyección sobre el plano de perfil se vea como una recta. Determinar el menor ángulo y su posición final luego de la rotación. A ( 20, 40, 25 ) B ( 70, 30, 50 ) C ( 35, 70, 80 ) D ( 10, 65, 15 ) E ( 90, 0, 75 ) Rpta: ang.=59º15’ A’(29.5524,44.0220,16.6206) C’(5.4984,28.4432,74.3156)

B’(64.6330,32.3803,59.7347)

11. Rotar el plano ABC alrededor del eje DE hasta que su proyección sobre el plano frontal se vea como una recta. Determinar el menor ángulo y su posición final luego de la rotación. A ( 20, 40, 25 ) B ( 70, 30, 50 ) C ( 35, 70, 80 ) D ( 10, 65, 15 ) E ( 90, 0, 75 ) Rpta: ang=60º6’ A(17.3384,47.0587,36.1957) C(71.0743,81.6106,44.4790)

B(67.0593,20.7132,43.8601)

12. Girar la recta AB alrededor del eje E hasta que la distancia entre sus intersecciones C y D con los planos principales Frontal y de Perfil sea 50 unidades. Determinar el menor ángulo de giro y las coordenadas de los puntos C y D sabiendo que CD se ubica en el primer octante.

A ( 20, 15, 7 ) B ( 50, 30, 20 ) E ( ¿?, 12, 25 ) Rpta: ang=169º14’ C(41.6989,0,36.0326) D(0,23.8574,49.8900)

Capítulo: DISTANCIAS 1. Trazar un plano paralelo a LM y que equidiste del punto P y de la recta QR. Determinar la orientación y pendiente del plano y las coordenadas de su intersección con el eje z. L ( 50, 40, 35 ) M ( 50, 15, 20 ) P ( 30, 15, 30 ) Q ( 10, 20, 20 ) R ( 20, 35, 10 ) 2. EF es la menor distancia entre las rectas AB y CD (E en AB y F en CD). Completar las coordenadas que faltan. A ( 25, 30, 45 ) B ( 50, 15, 5) C ( 35, 40, ¿? ) D ( 25, 50, ¿? ) E ( 45, ¿?, ¿? ) F ( 40, ¿?, ¿? ) Rpta: zC=15.0789 zD=38.2368 E(45,18,13) F(40,35,3.5) 3. Completar las coordenadas del punto E si se sabe que dista 30 unidades de la recta MN y 40 unidades del plano ABC. A ( 100, 50, 30 ) B ( 50, 60, 30) C ( 60, 90, 80 ) E ( 60, ¿?, ¿? ) M ( 65, 10, 35 ) N ( 15, 30, 70 ) Rpta: E1(60,34.9465,69.2285) E2(60,-6.3891,4.6416) 4. En un hexaedro regular cuya base superior es ABCD y su base inferior es EFGH. Hallar la mínima distancia entre HC y EG si la arista del cubo mide 50 unidades. Rpta.: dist=28.8675u 5. En un exaedro regular cuya base superior es ABCD y su base inferior es EFGH. Hallar la mínima distancia entre HC y EG si la arista del cubo mide 50 unidades. Rpta: 28.8675 6. Hallar en la recta MN los puntos que equidisten de los planos ABC y BCD. A ( 10, 15, 80 ) B ( 30, 45, 60 ) C ( 60, 15, 40 ) D ( 45, 25, 90 ) M ( 10, 40, 60 ) N ( 60, 0, 85 ) Rpta: L1(36.6831,18.6535,73.3415) L2(2.6730,45.8616,56.3365) 7. Determinar las coordenadas de un punto R situado sobre el segmento de recta MN de tal manera que la suma de los segmentos PR y QR sea mínima.

M ( 5, 1, 15 ) N ( 3, 9, 8 ) P ( 8, -7, 3 ) Q ( 6, 9, 10 ) Rpta: R(3.5890,6.6439,10.0616) 8. Hallar las coordenadas de los puntos extremos del segmento de mínima distancia que une dos rectas AB y CD, pero que sea paralela al plano LMN. A ( 150, 80, 20 ) B ( 40, 55, 80 ) C ( 120, 35, 15 ) D ( 45, 110, 65 ) L ( 23, 27, 41 ) M ( 105, 120, 25 ) N ( 80, -6, 20 ) Rpta: en AB: (146.7001, 79.2500, 21.8000) en CD: (78.5502,76.4498,42.6332) long=71.3180u 9. Hallar las coordenadas de los puntos extremos del segmento de mínima distancia que une dos rectas AB y CD, pero que forme un ángulo de 50º con el plano RST. A ( 30, 78, 73 ) B ( 160, 108, 20 ) C ( 112, 48, 13 ) D ( 40, 128, 57 ) R ( 150, 45, 10 ) S ( 20, 2, 15 ) T ( 45, 75, 20 ) Rpta: en AB: long=18.4638u

(83.7329,90.3999,51.0935)

en

CD:

(71.0710,93.4767,38.0122)

10. Hallar las coordenadas de los puntos extremos del segmento de mínima distancia que une dos rectas AB y CD, pero que forme un ángulo de 45º con el plano LMN. A ( 111, 38, 10 ) B ( 36, 118, 54 ) C ( 150, 98, 17 ) D ( 31, 58, 70 ) L ( 136, 90, 25 ) M ( 11, 58, 2 ) N ( 28, 135, 15 ) Rpta: en AB: (74.1283,77.3298,31.6314) en CD: (84.8246,76.0923,46.0277) long= 17.9777u 11. Hallar las coordenadas de los puntos extremos del segmento de mínima distancia que une dos rectas AB y CD , que sea paralela al plano RST. A ( 140, 85, 15 ) B ( 30, 55, 70 ) C ( 110, 35, 10 ) D ( 35, 100, 55 ) R ( 115, 80, 5 ) S ( 45, 10, 10 ) T ( 6, 100, 15 ) Rpta: en AB: (95.9054,72.9742,37.0473) en CD: (59.3550,78.8924,40.3870) 12. Hallar la longitud y las coordenadas de los extremos del segmento más corto que une las rectas PQ y RS de tal manera que forme un ángulo de 60º con el plano frontal. P ( 100, 75, 20 ) Q ( 55, 105, 115 ) R ( 90, 25, 40 ) S ( 50, 140, 70 ) Rpta long=19.0646u M RS=(74.4911,69.5880,51.6317)

en

PQ=(83.3523,86.0985,55.1452)

N

en

13. Hallar la longitud y las coordenadas de los extremos del segmento más corto que une las rectas PQ y RS de tal manera que forme un ángulo de 60º con la recta TU. P ( 40, 20, 50 ) R ( 80, 10, 30 ) T ( 20, 45, 35 ) Q ( 80, 75, 80 ) S ( 70, 80, 60 ) U ( 60, 50, 30 ) Rpta: long=19.4806u M RS=(72.4434,62.8963,52.6699)

en

PQ=(65.5818,55.1749,69.1863)

N

en

14. El segmento TU es la mínima distancia entre las rectas PQ y RS y tiene una pendiente de 50% ascendente (T en PQ y U en RS). Completar las coordenadas que faltan. P(10,¿?,¿?) Q(3,15,40) R(22,27,¿?) S(42,¿?,¿?) T(20,12,¿?) U(30,23,¿?) Rpta: yP=13.7647 zP=32.4107 zR=33.8450 zS=21.7369 zT=21.5688 zU=29.0018 15. Hallar las coordenadas de los extremos del segmento más corto RS paralelo al plano LMN, que conecte a las rectas AB y CD pero que haga un ángulo de 30º con AB. A ( 45, 45, 50 ) B ( 70, 30, 50 ) C ( 35, 55, 55 ) D ( 50, 60, 35 ) L ( 75, 25, 65 ) M ( 35, 15, 55 ) N ( 55, 50, 45 ) Rpta.: R pertenece AB: (23.0506,58.1697,50) S pertenece CD: (34.3086,54.7695,55.9218)

Capítulo: PLANOS TANGENTES 1. Desplazar el punto P verticalmente hasta que la menor distancia entre el punto R y la recta PQ sea 11 unidades. Determinar las coordenadas de la posición final del punto P. P ( 24 , 13, 28 ) Q ( 28, 5, 20 ) R ( 10, 20, 12 ) Rpta: P’1(12,13,19.0659) P’2(24,13,13.7565) 2. AB y AC son dos rectas tangentes a una esfera de centro O. Hallar la coordenadas de O sabiendo que está a la derecha de P, que los puntos P y Q pertenecen a la superficie esférica y que el punto Q pertenece al plano ABC. A ( 67, 27, 40 ) B ( 40, 22, 25 ) C ( 58, 8, 10 ) P ( 30, 5, 25 ) Q ( 25, 10, ¿? ) Rpta: zQ=3.3654 O(40.3681,8.2650,11.3855) 3. Hallar las coordenadas del centro O de la base del cono circular recto que es tangente al plano XY y cuyas generatrices son los segmentos AV y BV. A ( 10.5 , 36 , 50 ) B ( 10.5 , 14 , 60 ) O ( ¿? , ¿? , ¿? ) V ( 0 , 0 , 0 ) Rpta: O1(-25.1459,14.1629,31.1585) O2(35.7400,13.8358,30.4387)

4. VP y VQ son generatrices de un cono circular recto (V es el vértice). Los puntos P y Q no están en la base del cono. El cono es tangente a un plano que pasa por la recta AB. Determinar la orientación y pendiente del eje VO del cono. A ( 85, 5, 41 ) B ( 108, 14, 11 ) P ( 70, 6, 18 ) Q ( 58, 23, 18 ) V ( 90, 27, 18 ) Rpta: or=N63º14’E pe1=39.93%desc pe2=191.94%asc 5. Hallar el centro “O” de una esfera que pasa por los puntos A, B y C. La recta PQ es tangente a la esfera. A(22,12,28) B(32,20,36) C(41,28,23) P (5,10,10) Q (22,4,36) Rpta: O1(2.8470,53.7077,24.4835) O2(48.1811,-0.8011,22.3247) 6. Hallar el radio y las coordenadas del centro de una esfera que es tangente al plano PQR y que además pasa por los puntos A, B y C. A ( 53, 9, 13 ) B ( 72, 33, 13 ) C ( 87, 13, 13 ) P ( 20, 21, 30 ) Q ( 43, 62, 10 ) R ( 67, 42, 30 ) Rpta: O(69.4730,15.4797,23.0085) r=20.3351u 7. Hallar el radio y las coordenadas del centro de una esfera que pasa por los puntos A, B y C. El plano LMN es tangente a la esfera. A ( 20, 16, 25 ) B ( 42, 5, 25 ) C ( 48, 20, 25 ) L ( 10, 32, 29 ) M ( 37, 47, 37 ) N ( 33, 26, 2 ) Rpta: O1(34.1666,16.8333,18.5786) R1=15.5764u O2(34.1666,16.8333 52.9953) R2=31.3867u 8. Dado un cubo ABCD-EFGH se pide determinar las coordenadas del centro y el radio de la esfera que es tangente a dos caras que tienen a GH como arista común y que además pasa por los puntos A y B. (EFGH encima de ABCD). A ( 160, 60, 50 ) B ( 60, 60, 50 ) C ( 60, 156, 22 ) D ( 160, 156, 22) Rpta: O(110,100.0366,71.9555) r=67.7124u 9. Hallar las coordenadas del centro de la esfera que es tangente a las rectas VP, VQ, VR siendo A un punto que pertenece a la superficie esférica. A ( 32, 30, 36 ) P ( 36, 20, 20) Q ( 26, 34, 20 ) R ( 26, 20, 26 ) V ( 26, 20, 20 ) Rpta: O1(32.8604, 26.8604,26.8604) O2(83.1396,77.1396,77.1396) 10 Una esfera con centro en A es tangente interior a un cono circular recto y tangente exterior a un cilindro circular recto. Determinar el centro y el radio de la esfera. Se sabe que

el cono y el cilindro tienen como eje el segmento BC (B es el vértice del cono) y que ambas superficies pasan por el punto D. Obtener la solución de menor radio. A ( 65, 90, ¿? ) B ( 10, 25, 70 ) C ( 50, 40, 30 ) D ( 40, 10, 50 ) Rpta: zA=22.5446 R=19.9814u 11 Pasar por M un plano que pase a una distancia de 15 unidades de N y que tenga una pendiente de 100%. Obtener la orientación de uno de los planos de solución y su intersección con el eje Z. M ( 5, 25, 25 ) N ( 25, 15, 20 ) Rpta: or1=N16º58’O z1=12.925 or2=N70º5’E z2=46.8030