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• Vitore Morleone

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Eventos y espacios muestrales 2-25. En el control de replicación, las células se replican sobre un período de dos días. No hasta que se complete la mitosis, puede que el ADN recién sintetizado se replicará de nuevo. Dos mecanismos de control son identificados, uno positivo y uno negativo. Supongamos que se observa una replicación en tres Células. “A” es el evento de que todas las celdas están identificadas como positivo, y “B” denota el evento de que todas las celdas son negativas. Describa el espacio de muestra gráficamente y muestre cada de los siguientes eventos: (a) A (b) B (c) A∩ B (d) A∪ B

2-30. Se selecciona una muestra de dos elementos sin reemplazo de un lote. Describa el espacio de muestra (ordenado) para cada uno de los siguientes lotes: (a) El lote contiene los elementos {a, b, c, d}. (b) El lote contiene los elementos {a, b, c, d, e, f, g}. (c) El lote contiene 4 elementos defectuosos y 20 artículos buenos. (d) El lote contiene 1 artículo defectuoso y 20 artículos buenos

2-31. Se selecciona una muestra de dos placas de circuito impreso sin reemplazo de un lote. Describe el (ordenado) del espacio de muestras para cada uno de los siguientes lotes: (a) El lote contiene 90 placas que no son defectuosas, 8 placas con defectos menores y 2 placas con defectos importantes. (b) El lote contiene 90 placas que no son defectuosas, 8 placas con defectos menores, y 1 placa con defectos mayores.

2-32. Cuentas de páginas web proveen por cada una de dos servidores de computadoras en una hora seleccionada del día. “A” denota el evento de que el servidor 1 proporciona al menos 10 páginas, y “B” denota el evento de que al menos 20 páginas son proporcionadas por servidor 2. Describa el espacio de muestra para el número de páginas para los dos servidores gráficamente en un diagrama x - y. Muestre cada uno de los siguientes eventos en el gráfico de espacio de muestra: (a) A (b) B (c) A∩ B (d) A∪ B

2-33. El tiempo de subida de un reactor se mide en minutos (y fracciones) de minutos). Considere el espacio de muestra para el tiempo de subida de cada lote es positivo en números reales. Considere los tiempos de subida de dos lotes. “A” denota el evento de que el tiempo de subida del lote 1 es menos de 72.5 minutos, y “B” denota el evento de que el aumento el tiempo del lote 2 es mayor que 52.5 minutos. Describa el espacio de muestra para el tiempo de subida de los dos lotes gráficamente y mostrar cada uno de los siguientes eventos en una grafica bidimensional (a) A (b) B ' (c) A∩ B (d) A∪ B

2-34. El mecanismo de una puerta de garaje inalámbrico tiene un código determinado para subida y para bajada de 12 interruptores. Cuántos resultados posibles están en el espacio de muestras?

2-50. La siguiente tabla resume 204 reacciones endotérmicas involucrando bicarbonato de sodio.

“A” denota el evento de que la temperatura final de reacción es de 271 Kelvin o menos. “B” denota el evento de que el calor absorbido está por debajo del objetivo. Determine el número de reacciones en cada uno de los siguientes eventos. (a) A∩ B (b) A ' (c) A∪ B (d) A∪ B' (e) A'∩ B '

2-55. Considere el código de barras de el ejemplo 2-12. Un código todavía está retenido como un delimitador. Para cada uno de los siguientes casos, ¿Cuántos caracteres pueden ser codificados? (a) La restricción de exactamente dos barras anchas se reemplaza con una que requiera exactamente una barra ancha. (b) La restricción de exactamente dos barras anchas se reemplaza con una que permite una o dos barras anchas. (c) Se elimina la restricción de exactamente dos barras anchas. (d) Las restricciones de exactamente dos barras anchas y una amplia el espacio se descarta.

Interpretación y Axiomas de probabilidad 2-58. Cada uno de los cinco resultados posibles de un experimento aleatorio es igualmente probable. El espacio de muestra es {a, b, c, d, e}. “A” denotan el evento {a, b}, “B” denote el evento {c, d, e}. Determinar el seguimiento: (a) P (A) (b) P (B) (c) P (A ') (d) P (A∪ B) (e) P (A∩ B)

2-59. El espacio de muestra de un experimento aleatorio es {a, b, c, d, e} con probabilidades 0.1, 0.1, 0.2, 0.4 y 0.2, respectivamente. “A” denota el evento {a, b, c}, “B” denote el evento {c, d, e}. Determine lo siguiente: (a) P (A) (b) P (B) (c) P (A ') (d) P (A∪ B) (e) P (A∩ B)

2-60. Los pedidos de una computadora son resumidos por las características opcionales que son solicitadas de la siguiente manera:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que una orden solicite al menos una característica opcional? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un pedido no solicite más de una función opcional?

2-69. Los alquilos de magnesio se utilizan como catalizadores homogéneos en la producción de polietileno lineal de baja densidad (LLDPE), que requiere un polvo de magnesio más fino para mantener una reacción. La reacción del experimento Redox usa cuatro cantidades diferentes de polvo de magnesio cuando se realiza. Cada resultado puede o no estar más allá puede reducirse en un segundo paso usando tres diferentes cantidades de polvo de magnesio. Cada uno de estos resultados puede o no reducirse aún más en un tercer paso usando tres cantidades diferentes de polvo de magnesio. (a) ¿Cuántos experimentos son posibles? (b) Si todos los resultados son igualmente probables, ¿cuál es la probabilidad de que el mejor resultado es obteniendo un experimento que usa todos los tres pasos? (c) El resultado en la parte (b) cambia si cinco o seis o siete diferentes cantidades se utilizan en el primer paso? Explique.

2-73. Use los axiomas de probabilidad para mostrar lo siguiente: (a) Para cualquier evento E, P (E ') = 1- P (E). (b) P (∅) = 0 (c) Si A está contenido en B, entonces P (A) ≤ P (B).

Reglas de Adición

2-82. Si P (A) = 0.3, P (B) = 0.2 y P (A∩ B) = 0.1, determine las siguientes probabilidades: (a) P (A ') (b) P (A∪ B) (c) P (A' ∩ B) (d) P (A∩ B ') (e) P [(A∪ B)'] (f) P (A '∪ B)

2-83. Si A, B y C son eventos mutuamente excluyentes con P (A) = 0.2, P (B) = 0.3 y P (C) = 0.4, determine lo siguiente probabilidades: (a) P (A∪ B∪C) (b) P (A∩ B∩C) (c) P (A∩ B) (d) P [(A∪ B) ∩C] (e) P (A '∩ B' ∩C ')

2-84. En el artículo "Reconstrucción del ACL con fijación ósea tendinosa-rotuliana tendinosa-rotuliana: los resultados clínicos a 10 años" en cirugía de rodilla, traumatología deportiva, artroscopia (2005, Vol. 13, págs. 248-255), las siguientes causas de lesiones de rodilla fueron consideradas:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lesión de rodilla resulte de una deporte (contacto o no contacto)? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que una lesión de rodilla resulte de una actividad que no sea un deporte?

2-89. Un fabricante de luces delanteras para automóviles prueba lámparas bajo un ambiente de alta humedad y alta temperatura usando intensidad y vida útil como las respuestas de interés. La siguiente tabla muestra el rendimiento de 130 lámparas:

(a) Encuentre la probabilidad de que una lámpara seleccionada al azar arroje resultados insatisfactorios bajo cualquier criterio. (b) Los clientes de estas lámparas demandan resultados satisfactorios del 95%. ¿Puede el fabricante de la lámpara satisfacer esta demanda?

2-98. El artículo ["Resultados clínicos y radiográficos de cuatro estrategias de tratamiento diferentes en pacientes con artritis reumatoide temprana", Arthritis & Rheumatism (2005, Vol. 52, págs. 3381-3390)] consideró cuatro grupos de tratamiento. Los grupos consistieron en pacientes con diferentes terapias farmacológicas (como prednisona e infliximab): monoterapia secuencial (grupo 1), terapia combinada intensiva (grupo 2), terapia de combinación inicial (grupo 3) o terapia de combinación inicial con infliximab (grupo 4). Se usaron radiografías de manos y pies para evaluar la progresión de la enfermedad. El número de pacientes sin progresión del daño articular fue 76 de 114 pacientes (67%), 82 de 112 pacientes (73%), 104 de 120 pacientes (87%) y 113 de 121 pacientes (93%) en los grupos 1- 4, respectivamente. Supongamos que un paciente es seleccionado al azar. “A” denota el evento de que el paciente está en el grupo 1, y “B” denota el evento de que no hay progresión. Determine las siguientes probabilidades: (a) P (A∪ B) (b) P (A'∪ B ') (c) P (A∪ B ')

Probabilidad condicional

2-100. Las muestras de piel que experimentan descamación se analizan para determinar el contenido de humedad y melanina. Los resultados de 100 muestras de piel son los siguientes:

“A” denota el evento de que una muestra tiene un bajo contenido de melanina, y “B” denota el evento de que una muestra tiene un alto contenido de humedad. Determine las siguientes probabilidades: (a) P (A) (b) P (B) (c) P (A | B) (d) P (B | A)

2-101. El análisis de los resultados de una transmutación de la hoja experimento (convertir una hoja en un pétalo) se resume por tipo de transformación completa:

(a) Si una hoja completa la transformación del color, ¿cuál es la probabilidad de que complete la transformación textural? (b) Si una hoja no completa la transformación textural, ¿cuál es la probabilidad de que complete la transformación del color?

2-102. Las muestras de una pieza de fundición de aluminio se clasifican sobre la base del acabado de la superficie (en micropulgadas) y las medidas de longitud. Los resultados de 100 partes se resumen de la siguiente manera:

“A” denota el evento de que una muestra tiene excelente superficie terminada, y “B” denota el evento de que una muestra tiene excelente longitud. Determinar: (a) P (A) (b) P (B) (c) P (A | B) (d) P (B | A)

2-114. Considere los datos de la sala de emergencias del hospital en el ejemplo 2-8. “A” denota el evento de que una visita es al hospital 4, y “B” denota el evento de que una visita resulta en LWBS (en cualquier hospital). Determine las siguientes probabilidades. (a) P (A | B) (b) P (A '| B) (c) P (A | B ') (d) P (B | A)

2-120. Un sistema informático utiliza contraseñas que contienen exactamente ocho caracteres, y cada carácter es una de las 26 letras minúsculas (a-z) o 26 letras mayúsculas (A-Z) o 10 números enteros (0-9). Si Ω denota el conjunto de todas las contraseñas posibles. Supongamos que todas las contraseñas en Ω son igualmente probables. Determine la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: (a) La contraseña contiene todas las letras minúsculas dado que contiene solo letras (b) La contraseña contiene al menos 1 letra mayúscula dado que contiene solo letras (c) La contraseña contiene solo números pares dado que contiene todos los números Reglas de la multiplicación y probabilidad total.

2-123. La probabilidad es de 1% de que un conector eléctrico que se mantiene seco falla durante el período de garantía de una computadora portátil. Si el conector está mojado, la probabilidad de falla durante el período de garantía es del 5%. Si el 90% de los conectores se mantienen secos y el 10% están húmedos, ¿qué proporción de conectores falla durante el período de garantía?

2-124. Supongamos que el 2% de los rollos de tela de algodón y el 3% de los rollos de tela de nylon contienen defectos. De los rollos utilizados por un fabricante, el 70% son de algodón y el 30% son de nylon. ¿Cuál es la probabilidad de que un rollo seleccionado al azar y utilizado por el fabricante contenga defectos?

2-125. La rugosidad del borde de los productos de papel de hendidura aumenta a medida que las cuchillas se desgastan. Solo el 1% de los productos cortados con cuchillas nuevas tienen bordes ásperos, el 3% de los productos cortados con cuchillas de filo promedio exhibe rugosidad y el 5% de los productos cortados con cuchillas gastadas presentan rugosidad. Si el 25% de las cuchillas en la fabricación son nuevas, el 60% son de filo promedio y el 15% están gastadas, ¿cuál es la proporción de productos que presentan rugosidad en los bordes?

2-140. Supongamos que un paciente se selecciona al azar de los descritos en el Ejercicio 2-98. Deje A denotar el evento de que el paciente está en el grupo 1, y deje que B denote el evento para el cual no hay progresión. Determine las siguientes probabilidades: (a) P (A∩ B) (b) P (B) (c) P (A'∩ B) (d) P (A∪ B) (e) P (A'∪ B)

2-141. Un sistema informático utiliza contraseñas que contienen exactamente ocho caracteres, y cada carácter es una de las 26 letras minúsculas (a-z) o 26 letras mayúsculas (A-Z) o 10 números enteros (0-9). Ω denota el conjunto de todas las contraseñas posibles, y “A” y “B” denota los eventos que consisten en contraseñas con solo letras o solo enteros, respectivamente. Supongamos que todas las contraseñas en Ω son igualmente probables. Determine las siguientes probabilidades: (a) P (A | B ') (b) P (A'∩ B) (c) P (la contraseña contiene exactamente 2 enteros dado que contiene al menos 1 entero)

Independencia

2-144. Si P (A) = 0.2, P (B) = 0.2, y A y B son mutuamente exclusivo, ¿son independientes?

2-145. Un lote de 500 envases de jugo de naranja congelado contiene 5 que son defectuosos. Dos se seleccionan, al azar, sin reemplazo, del lote. Deje que A y B denoten los eventos de que el primer y el segundo contenedor seleccionados son defectuosos, respectivamente. (a) ¿Son eventos A y B independientes? (b) Si el muestreo se realizó con reemplazo, ¿Serían A y B independientes?

2-146. Los discos de plástico de policarbonato de un proveedor se analizan en cuanto a resistencia al rayado y a los golpes. Los resultados de 100 discos se resumen de la siguiente manera:

“A” denota el evento de que un disco tiene una alta resistencia a los golpes, y “B” denota el evento de que un disco tiene una alta resistencia al rayado. ¿Son los eventos A y B independientes?

2-163. Un circuito integrado contiene 10 millones de compuertas lógicas (cada una puede ser un circuito AND u OR lógico). Suponga que la probabilidad de una falla de la puerta es p y que las fallas son independientes. El circuito integrado no funciona si falla alguna puerta. Determine el valor de p de modo que la probabilidad de que el circuito integrado funcione sea 0.95.

2-164. La Tabla 2-1 proporciona datos sobre obleas categorizadas por ubicación y niveles de contaminación. Deje A denotar el evento de que la contaminación es baja, y deje que B denote el evento de que la ubicación es central. ¿Son A y B independientes? ¿Por qué o por qué no?

Teorema de bayes

2-174. Considere las reacciones endotérmicas en el ejercicio 2-50. Use el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que la temperatura final de una reacción sea de 271 K o menos dado que el calor absorbido está por encima del objetivo.

2-175. Considere los datos de la sala de emergencias del hospital en el ejemplo 2-8. Use el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que una persona visite el hospital 4 dado que son LWBS.

2-176. Considere los datos de falla del pozo en el ejercicio 2-53. Use el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que un pozo seleccionado al azar se encuentre en el grupo del gneis dado que el pozo ha fallado.

2-177. Se utilizan dos colores web para un anuncio del sitio. Si un visitante del sitio llega de un afiliado, las probabilidades de los colores azul o verde que se utilizan en el anuncio son 0,8 y 0,2, respectivamente. Si el visitante del sitio llega desde un sitio de búsqueda, las probabilidades de colores azul y verde en el anuncio son 0.4 y 0.6, respectivamente. Las proporciones de visitantes de afiliados y sitios de búsqueda son 0.3

2-181. Las probabilidades de mala calidad de impresión sin problemas de impresora, papel desalineado, alta viscosidad de la tinta o residuos de la cabeza de la impresora son 0, 0.3, 0.4 y 0.6, respectivamente. Las probabilidades de ausencia de problemas de impresión, papel desalineado, alta viscosidad de la tinta o residuos de la cabeza de la impresora son 0.8, 0.02, 0.08 y 0.1, respectivamente. (a) Determine la probabilidad de una alta viscosidad de la tinta dada una baja calidad de impresión. (b) Dada la baja calidad de impresión, ¿qué problema es más probable?

Variables aleatorias

2-183. Decida si una variable aleatoria discreta o continua es el mejor modelo para cada una de las siguientes variables: (a) El número de grietas que exceden una media pulgada en 10 millas de una carretera interestatal. (b) El peso de una pieza de plástico moldeado por inyección. (c) El número de moléculas en una muestra de gas. (d) La concentración de la producción de un reactor. (e) La corriente en un circuito electrónico.

2-184. Decida si una variable aleatoria discreta o continua es el mejor modelo para cada una de las siguientes variables: (a) El tiempo para que un algoritmo de computadora asigne una imagen a una categoría. (b) La cantidad de bytes utilizados para almacenar un archivo en una computadora. (c) La concentración de ozono en microgramos por metro cúbico. (d) La fracción de eyección (fracción volumétrica de sangre bombeada desde un ventrículo cardíaco con cada latido). (e) El índice de flujo de fluido en litros por minuto.