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Ampliando el conoc¡miento En los ejercicios 1 a 3 obtén la pendiente de la recta mostrada en la figura, inter-

¡retando la pendiente mediante una relación entre desplazamientos verticaUho-

l.

tos horizontales positivos (de izquierda a derecha) cuando utilizas geométricamente la pendiente para ir de un punto a otro de la recta. En tal caso, los desplazamientos verticales senín negativos o positivos, de acuerdo con el signo de la pendiente.

rzontal.

)

Es posible considerar sólo desplazamien-

j

\

Así, la pendiente positiva dará ascensos verticales y la negativa descensos verticales. 2. Usando esta

a)

\

0

,l'

interpretación tendrás que:

Las gráficas de las rectas con pendiente positiva suben hacia la derecha.

b) Las gráficas de las

rectas con pen-

diente negativa descienden hacia la derecha.

Lo anterior significa que la pendiente de una recta puede interpretarse también como la cantidad de unidades que la recta se eleva o desciende, por cada unidad de cambio horizontal de izquierda a derecha.

3.

Algebraicamente, esto significa que:

a) En las rectas

con pendiente positiva, al aumentar el valor de x. aumenta el de y.

b) a) Dibuja en un plano cartesiano reticulado A(-3,2) y B(1, l).

la recta que pasa por los puntos

En las rectas con pendiente negativa, cuando Í aumenta, y disminuye.

b) Calcula el valor de su pendiente.

c) esta

Sugerencias para la autoevaluación 3A

Elige dos puntos distintos de esta recta y diígete de uno de ellos al otro y después regresa al punto de partida, interpretando la pendiente mediante desplazamientos verticales/horizontales, considerando los signos de éstos.

1 a 3. Utiliza la pendiente interpretándola de

dos formas:

En los ejercicios 5 a 7, caloula en el orden indicado la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados. Compara en cada caso ambos resultados.

l) 6. S(=3, 8), T(4,9) 7. P(s,l),Qe1,3) 5. A(2,1), B(5,

ffior=

?

ffiuo=

ffi,r=

?

"

*oo=?

Admitiendo que cualquiera, numerador o denominador, puede ser negativo cuando

?

la pendiente lo es.

4.

"TS

Revisa el Ejemplo

la y las sugerencias

losejerciciosla3.

meP=?

En los ejercicios 8 a 11, halla la pendiente de la recta cuyo ángulo de inclinación

.e proporciona.

8. a=30o 10.

a=0o

9. a = l50o 11. a = 180'

=

.

InqFu

los elementos de unarecta como

lugargeométri""

O

a

En los ejercicios 12 a 14, obtén la pendiente y el ángulo de inclinación de la

Recuerda

1

-1 al.'22-2 --=-=-

rectas que pasan por los puntos proporcionados.

12. Pt(24,10), P,(20,

1

8)

13. A(-8, r2), B(2,6) (El signo negativo de la fracción

se

adju-

dica sólo a uno de los dos términos de la fracción y no a ambos, pues en tal caso

la fracción sería positiva.)

b)

Admitiendo que sólo el numerador puede ser negativo o positivo, según el signo de la pendiente, y que el denominador es siempre positivo.

I -l .trn este CaSO, -- t,

exCluslvalnente.

14. P(r4, -3), Q04,1) Halla en los ejercicios 15 a17 el iíngulo de inclinación de la recta cuyá pendient se proporciona.

15.

5

16. m=*1.732 17. m=0 En los ejercicios 18 a 23 identifica si la recta tiene:

Ffrate en

lo siguiente... la

Cuando

2-2 eJemplo: - es lo mlsmo Que . J -J

.

Cuando la pendiente es negativa puedes analizar dos casos de desplazamientos. '

Por ejemplo:

5 a 7,

4-4 -;ff puede tomarse como

-

4

_\ -. mAB teptesenta

y

la pendiente de A

a A. Si los cálculos estiín bien hechos debes obtener ffio|= ffiuA.

aB

8.

muo

la pendiente de B

Obtén la tangente de 30o con una calculadora. Hazlotambién utilizando el triángulo siguiente:

Compara ambos resultados.

(D

a)

Pendiente positiva.

b)

Pendiente negativa.

c) d)

Pendiente igual a cero. Pendiente "infinita".

pendiente es positiva puedes

analizar dos casos de desplazamientos, por

o como

) m=1

Gruporditorial,Patria

18.

19.

9.

En los ejercicios 24 a27:

Revisa el ejemplo 2a. Recuerda que las tangentes de iíngulos obtusos son negati-

a)

Obtén la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados.

b)

Indica hacia dónde se dirige cada recta según su pendiente.

10

c)

Dibuja cada recta en un plano cartesiano para corroborar tu pronóstico.

12. Revisa los ejemplos

vas.

t.t. (1,0), (4,0)

y

(180'- 150')

Utiliza tan 150o = -tan

11. Las rectas son horizontales.

lay

2b.

13. Obtén el ángulo para la pendiente positiva y después halla su suplemento. Éste

:_¡. (_3, r), (_2,4)

es el ángulo buscado.

26. (-7,9), (6, -s) :7. (8,5), (8, -4)

14. Revisa el ejemplo

lc.

la fracción decimal correspondiente y emplea una tabla trigonométrica o una calculadora científica.

15. Escribe

En los ejercicios 28 a 30 dibuja en un plano cartesiano larecta que pasa por el

:'¡nto dado y tiene la pendiente indicada.

16. Procede como en el ejercicio 13.

a

S. PÍ-2,5),m=:-.

17. Existen dos posibilidades para a.

) )9. P.(4,-3),m=-:.

18 a 23. Pendiente "infinita' significa que la pendiente no existe o tarrrbién que no estó

3J. P.(-6. 8). m = -4.

definida. Revisa el ejemplo

-1), B(3,7) y C(l, 3)

son

31. Usando pendientes, prueba que los puntos A(3, 1), B(-l , 4) y C(0, -5)

son

,11. Mediante pendientes prueba que los puntos A(-1, colineales.

24. La recta coincide con uno de los eies coordenados.

vértices de un triángulo.

-r3. Viaje y velocidad promedio Viajando de Guadalajara

a Puerto

la y lc, y la

nota en el margen junto al ejemplo 3.

Vallarta ob-

servas a las l0 de la mañana que has recorrido en tu automóvil 5 km, desde que saliste de la ciudad. Durante el viaje cambias con frecuencia la velocidad, según las condiciones de la carretera. A las 13 horas observas que llevas recorridos 200 km. ¿A qué velocidad promediohas manejado entre estos dos puntos?

25. Pendiente positiva. 27. La recta es paralela a uno de los

ejes

coordenados. 28 a 30. Revisa el ejemplo 2c. Puedes considerar

4

4

=

--.I

También puedes utilizar

el siguiente método:

a) Sitúa el punto en el plano. b) Considéralo como el origen

de ejes

paralelos a los ejes coordenados y en este sistema localiza el punto (¿ y) tomando x y y de la pendiente

Iv

Ejemplo: Trazarla recta nu" ouJ oo, A(4,5) con pendiente

?

m=

3

-í

SrrnterPretas^=-i= =-3 2 nes el punto P(4 +

2,5

'lntegra tos elementos de unarectacomo lugar

-:-

=

I

x

obtie_

3) = P(6,2).

geomé"*

(D

Por este punto, y el punto A, pasa la recta buscada. aa

Tomando

* = _1= _!- y el punto

34. Ofertas comerciales La gráfi,ca muestra las ventas mensuales de un almacén, antes, durante y después del periodo de ofertas en julio-agosto. ¿Curál fue el ritmo del incremento de ventas en cada periodo?

2-2

2,5 + 3) = QQ, 8), obtienes la

Q(4 misma recta.

(Observa que los puntos P y Q son simétricos respecto al punto A.) ¿Qué relación tiene este método con el descrito en el ejemplo 2c? 31. Prueba que mAB= mnc. Colíneales signi' fica que están en una misma recta.

32. Prueba

qtJe mAB+ mBC.

34. Escribe las parejas ordenadas para los extremos de cada segmento.

(

\feses

)

La pendiente de cada periodo, simplificada, expresa larazón de cambio promedio de ventas (en millones de pesos) on

una unidad de tiempo (cada mes). 35. Dibuja un esquema como el siguiente:

,-!:fl

Resuelve la ecuación

-v-1.2 --35 0 -25

Por simplicidad, los valores están expresados en miles de pesos. Ten presente esto al interpretar la pendiente y el resultado final.

@

crupo Editorial Patria

35. Depreciación constante El contador de una compañía constructora estima que la maquinaria adquirida para astalta¡ carreteras se deprecia de manera constante enlarazón de 535.000 por año. Si el valor de desecho de dicho equipo está contemplado en S1.100. al cabo de 25 años, ¿cuál fue el valor inicial del equipo?

-16.

Balanza comercial La tabla

y la

gráfica muestran las exportaciones de

México en1999. a) ¿Cuál fue la tasa de exportación promedio anual de México en ese año?

36. Aunque existen variaciones en cada mes, la tasa promedio anual considera sólo al primero y al último mes del año. 37.

El tiempo corresponde a la

abscisa x.

Las parejas a considerar son (1970, 9), (1973,14) y (2010, 14).

b) ¿En cuiíl trimestre del año fue mayor el ritmo de exportación?

Exportaciones 1999 Mes

t

2

J

4

5

6

Mdd

8,728

9,652

11,675

10,589

11,102

12,000

Mes

7

8

9

10

11

t2

Mdd

I0,231

12,322

ll,7ñ

12,303

13,099

13,20r

14,000 13,000

12,000

11,000

10,000

9,000

8,000

-r7. Planteles escolares La Universidad Nacional Autónoma de México contaba en 1970 con nueve planteles de bachillerato. Para 1913 el total de planteles de bachillerato pertenecientes a la UNAM ascendía a 14. Para el año 2010 esta cantidad de planteles se mantuvo constante. ¿Cuál fue larazÓn

promedio

de crecimiento anual de planteles de bachillerato en dicha casa de estudios, en cada uno de estos dos periodos?

,luga-gpmétric"

e

Sugerenc¡as para la autoevaluación 3El La tabla muestra las pendientes de seis rectas. Identifica cuiíles corresponden a rectas paralelas y cuáles a rectas perpendiculares.

5

Comenzando con la primera pendiente de la tabla, compara sucesivamente cada

una con todas las que quedan a su de-

.:

I

l.

L3

t9

3

1

recha.

a)

t

4

-5

9

_;

Si resultan iguales las pendientes, las rectas son (Recuerda la igualdad de fracciones

8

equivalentes: si c É 0,'b! = En cada uno de los ejercicios

¡rpendiculares

2 aS,halla

2 4 6

las pendientes de las rectas paralelas y

a la recta cuya pendiente se

369

proporciona.

9

3.

t.

tienen signo contrario,

I

invertidas y

*-r

I t -],

las rectas son

2 a 8. Revisa las condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

-2

7. El 0 es el único número

que no tiene recíproco. ¿Por qué? ¿Cómo son las rectas que tienen m = 0? ¿Y las que son perpendiculares a éstas? ¿Qué ocurre con las pendientes de estas últimas?

--

I

A

7.0

9

y 10. Revisa el ejemplo

11. Muestra que

11

E.

-" 5

1.

las pendientes son iguales.

y 10 encuentra las pendientes de las rectas que pasan por los :untos dados y determina si son paralelas o perpendiculares. Trazalas rectas en :n plano cafesiano. En los ejercicios 9

9. A(1,3) y B(10, t);

n.

así,

6

5. I 6.

cb

I

b) Si las pendientes están

2.7

!9;

C(4,

-9) y D(0, 0).

Per4, s) y QGr, -2); R(-7,10) y S(18, 3).

11. Geometría Halla el punto medio de cada lado del trirángulo con vértices A(-5,4) 8(3,6), C(2, -2). Prueba que el segmento que une dos puntos medios es

paralelo al lado restante.

uri¿t

om&argeométrico

@