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U.T.N. - F.R. Haedo

Guía de ejercicios de

Física II Para todas las carreras

2018

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS

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PROGRAMA DE FÍSICA II FÍSICA DEL CALOR 1. - INTRODUCCIÓN A LA TERMODINÁMICA - TERMOLOGÍA. TRANSMISIÓN DE CALOR. Sistemas termodinámicos. Estado de un sistema. Temperatura y termometría: principio cero. Termómetro de gas a volumen constante. Temperatura termodinámica. Escalas termométricas. Dilatación de sólidos y líquidos, esfuerzos de origen térmico. Cantidad de calor. Capacidad calorífica y calor específico, calor molar. Cambios de fase y calor latente. Calorimetría. Gas ideal. Ley de R. Boyle. Ley de J. Charles y L. J. GayLussac. Diagrama p -V. Ecuación de estado. Transmisión de Calor por conducción; Transmisión de Calor por Convección; Transmisión de Calor por Convección. Ejemplos y problemas de aplicación. 2. - PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA. Trabajo de dilatación. Transformaciones reversibles e irreversibles. Equivalente térmico del trabajo. Primer principio de la termodinámica. Energía interna. Calores específicos a volumen constante y a presión constante. Transformaciones isobáricas, isocoras, isotérmicas y adiabáticas. Relación de Mayer. Primer principio en transformaciones abiertas y en transformaciones cerradas. Ejemplos y problemas de aplicación. 3. - SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA. Rendimiento térmico. Máquina térmica. Máquina frigorífica. Segundo principio de la termodinámica. La máquina de Carnot. Teorema de Carnot. Entropía. Variaciones de entropía en procesos irreversibles. Principio del aumento de entropía. Ejemplos y problemas de aplicación. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO 4. - ELECTROSTÁTICA Carga eléctrica. Estructura atómica de la materia. Fenómenos de electrización. Conductores y aisladores. Conservación de la carga eléctrica. Ley de Coulomb. Campo eléctrico. Líneas de campo eléctrico. Cálculo de campos mediante la Ley de Coulomb. Dipolo eléctrico. Momento de dipolo eléctrico. Distribuciones continuas de carga. Flujo de campo eléctrico. Ley de Gauss. Cálculo de campos mediante la Ley de Gauss. Campo en las proximidades de un conductor. Trabajo sobre una carga en un campo eléctrico. Potencial y diferencia de potencial eléctricos. Superficies equipotenciales. Gradiente de potencial. Ejemplos y problemas de aplicación. 5. - CAPACIDAD. CONDENSADORES. Capacidad. Condensador de armaduras paralelas. Condensador cilíndrico. Acoplamiento de condensadores. Almacenamiento de la energía eléctrica. Ejemplos y problemas de aplicación. 6. - PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA. Dieléctricos. Polarización. Permitividad relativa. Susceptibilidad eléctrica. Ejemplos y problemas de aplicación. 7. - ELECTROCINÉTICA. Corriente eléctrica. Intensidad de corriente. Densidad de corriente. Resistencia y conductancia eléctricas. Ley de Ohm Resistividad, variación con la temperatura. Superconductividad. Fuerza electromotriz. Diferencia de potencial entre bornes de una fuente. Acoplamiento de resistencias. Potencia eléctrica. Ley de Joule. Teorema de máxima transferencia. Circuitos. Leyes de Kirchhoff. Diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito. Puente de Wheatstone. Fuentes de corriente. Acoplamiento de fuentes. Circuito R-C. Ejemplos y problemas de aplicación. 8. - MAGNETOSTÁTICA. Fuerza magnética sobre cargas en movimiento relativo. El vector Campo Magnético. Líneas de campo magnético. Movimiento de una carga puntual en un campo magnético. Experiencia de Thomson, relación q/m. Espectrómetro de masas. Fuerza sobre un conductor con corriente en un campo magnético. Momento sobre espiras de corriente en un campo magnético. Momento de dipolo magnético. Motor elemental. Efecto Hall. Campo creado por cargas en movimiento. Ley de Ampere. Ley de Biot - Savart. Ejemplos y problemas de aplicación.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 3 9. - INDUCCIÓN MAGNÉTICA. Flujo del campo magnético. Fenómenos de inducción. FEM. inducida y ley de Faraday-Henry. Ley de Lenz. Generador elemental. Corrientes de Foucault. Inductancia. Circuito R-L. Energía del campo magnético. Oscilaciones de un circuito R-L-C. Ejemplos y problemas de aplicación. 10.- CORRIENTE ALTERNA. Corrientes alternas. Corriente sinusoidal. Valor eficaz de la tensión y de la corriente. Representación de las funciones sinusoidales del tiempo en forma compleja. Representación vectorial. Suma de tensiones y corrientes sinusoidales. Circuitos: resistencia, inductancia y capacitancia puras. Reactancias. Circuito R-L-C serie. Impedancia compleja. Admitancia y conductancias. Ejemplos y problemas de aplicación. 11.- PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA. Magnetización de la materia. El vector magnetización. Permeabilidad magnética. Susceptibilidad magnética. Diamagnetismo. Paramagnetismo. Ferromagnetismo, histéresis. Circuitos magnéticos, resistencia magnética. Imanes permanentes. Ejemplos y problemas de aplicación. 12.- ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. Ley de Ampere para regímenes no estacionarios. Ecuaciones de Maxwell. Ondas electromagnéticas. ÓPTICA 13.-INTERFERENCIA DE ONDAS LUMINOSAS. Condiciones para la interferencia. Experimento de Young de la doble rendija. Cambio de fase por reflexión. Interferencia en películas delgadas. 14.-DIFRACCIÓN Y POLARIZACIÓN. Introducción a la difracción. Difracción de una sola rendija. Red de difracción. Polarización de la luz. BIBLIOGRAFÍA Título

Autor / es

Editorial

Existencia en biblioteca

Física, Partes I y II Física, Tomo II Física, Volumen II

Resnick - Halliday Serway Alonso - Finn

C.E.C.S.A.. Mc Graw Hill. Addison Wesley

Si Si Si

Física * y ** Física Universitaria (con Física Moderna) Fundamentos de Electricidad y Magnetismo Física, Volumen II

P. A. Tipler Sears - Zemansky (Young - Freedman) A. F. Kip

Reverté Pearson

Si Si

Mc Graw Hill.

Si

R. Feynman

Si

Óptica

Hecht - Zajac

Addison Wesley Iberoamericana Addison Wesley Iberoamericana

Si

NOTA 1: Los ejercicios marcados con asterisco (*) son de carácter extracurricular. NOTA 2: El tema referido a Corriente Alterna sólo se presenta, indicando las diferencias entre C.C. y C.A.

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DILATACIÓN Valores de coeficientes de dilatación térmica de algunos sólidos (entre 0 y 100 ºC) Material  (K 1 ) Acero 1110-6 Aluminio 2410-6 Carbono (diamante) 1,210-6 Carbono (grafito) 7,910-6 Cobre 1710-6 Cristal Std. 910-6 Cristal Pirex 3,210-6 Plomo 2910-6 Plata 1910-6 Estaño 2710-6 Platino 8,910-6 o Hielo (de -10 a 0 C) 5110-6 Invar (Ni-Cr-Co-Fe) 110-6 Latón 1910-6 Cinc 2910-6 Cuarzo fundido 0,410-6

Valores de coeficientes de dilatación térmica de algunos gases y líquidos (entre 0 y 100 ºC) Material  ( K 1 ) Acetona Agua (20 oC) Aire Alcohol Bisulfuro de carbono Alcohol etílico Glicerina Petróleo Benzol Mercurio

1,510-3 0,20710-3 3,6710-3 1,110-3 1,1410-3 0,74510-3 0,48510-3 0,89910-3 1,2410-3 0,18210-3

1. Exprese el coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio en 1/ºF. Rta.:  = 1 x 10-4 1/ºF. 2. Hallar la densidad del mercurio a 300 ºC sabiendo que a 0 ºC su densidad relativa es igual a 13,6. Considere que en el intervalo de temperaturas es Hg = 185 x 10-6 1/ºC. Rta.: Hg 300 ºC = 12,9 g/cm3. 3. La densidad del mercurio a 100 oC es 13,4 g/cm3. ¿A qué temperatura es 13,1 g/cm3?. Rta.: 225,8 oC. 4.

Δp

El módulo de compresibilidad ( B = - ΔV ) del benzol a 0 oC y a la presión V

atmosférica normal es 1,11x105 atm. ¿Qué variación de presión exterior (p) habrá que ejercer sobre el benzol para que su volumen no varíe cuando su temperatura aumenta en 1 ºC?. Rta.: 138 atm. 5. Cuando cierto metal se calienta desde 0 hasta 500 ºC su densidad disminuye 1,027 veces. Determine el coeficiente de dilatación lineal de este metal suponiendo que es constante en el intervalo dado de temperaturas. Rta.:  = 1,8 x 10-5 1/ºC. 6. Determine el módulo de compresibilidad del mercurio sabiendo que para que su volumen no varíe cuando se lo calienta 1oC es necesario aumentar 47 atmósferas la presión exterior. Rta.: 258 x 103 atm. 7. Un recipiente Pirex se llena al máximo posible con mercurio. La temperatura del conjunto es 0 oC y la masa total es de 1 kg. La masa del recipiente es de 0,1 kg. Calcule la cantidad (en kg) de mercurio a 100 oC que puede contener el recipiente si se desprecia la dilatación del recipiente. Rta.: m = 0,884kg. 8. Resolver el problema anterior si se toma en cuenta la dilatación del recipiente. Rta.: m = 0,885kg.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 5 9. ¿Qué longitudes deberán tener respectivamente a 0 oC, una barra de acero y otra de cobre para que a cualquier temperatura la barra de acero sea 5 cm más larga que la de cobre?. Rta.: Lcu = 9,17 cm; Lac=14,17 cm. 10. En el intervalo de temperaturas de 0 a 660 oC se usa un termómetro de resistencia de platino para determinar temperaturas en la escala Celsius. La temperatura está dada por una ecuación para la variación de resistencia con la temperatura: R = R0 (1 + A ×t + B ×t 2 ) , donde R0, A y B son constantes que se determinan experimentalmente; en el punto de fusión del hielo R = 10,000 , en el punto de ebullición del agua R = 13,946 , y en el punto de ebullición del azufre (444,60 oC) R=24,817 . Encontrar R0, A y B. Rta.: R0 = 10,000 , A = 4,124 x 10-3 1/ºC, B = -1,780 x 10-6 1/ºC2 respectivamente. 11. La tabla indica el volumen de 1 gramo de agua a la presión atmosférica normal. Con estos datos encontrar el coeficiente de dilatación volumétrica medio del agua entre las temperaturas: a) 0 y 2 o C, b) 0 y 4 o C, c) 0 y 20 o C, d) 0 y 100 o C, e) 20 y 100 o C. Rta.: a)  = -5 x 10 - 5 1/ºC, b)  = -3,25 x 10 - 5 1/ºC, c)  = 8,2 x 10 - 5 1/ºC, d)  = 4,3 x 10 - 4 1/ºC, e)  = 5,2 x 10 - 4 1/ºC. metal 1

metal 2

t oC 0 2 4 6 10 20 50 75 100

volumen de 1 g (en cm3) 1,00013 1,00003 1,00000 1,00003 1,00027 1,00177 1,01207 1,02576 1,04343

12. (*) El par bimetálico de la figura está formado por dos láminas de diferentes metales unidas rígidamente en la superficie de contacto. Demuestre que si las láminas son del mismo espesor “d”, el par adopta la forma de una arco de circunferencia cuyo radio es aproximadamente: R =

d , Δt × (a 1 - a 2 )

donde “t” es la variación de temperatura, 1 y 2 son los coeficientes respectivos de dilatación.

13. Un alambre de 60 cm de longitud se dobla en forma circular dejando un vano de 1 cm entre sus extremos. Se eleva la temperatura desde 20 ºC hasta 120 ºC, con lo cual la separación aumenta hasta 1,002 cm. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación lineal del alambre? Suponer que no se producen tensiones en el alambre. Rta.:  = 2.10-5 oC-1. 14. Considere un cubo de arista l . a) Si todas las aristas varían en una cantidad l , hallar la variación V de su volumen. b) Si todas las aristas varían en una cantidad infinitesimal dl , hallar la variación diferencial dV de su volumen, definido de manera que dV V  lim . c) A partir de lo anterior, hallar la relación entre el coeficiente de dilación dl l 0 l 1 dl 1 dV lineal   y el volumétrico   . V dt l dt 15. Considere un disco de radio r . a) Si el radio r varía en una cantidad  r , hallar la variación l de su perímetro y la variación s de su área. b) Si el radio r varía en una cantidad (diferencial) dr , calcular la variación dl de su perímetro y la variación ds de su 1 dr área. c) Si el coeficiente de dilatación lineal del disco se define como:   , expresar r dt 1 ds en función de  su coeficiente de dilatación superficial definido como: . s dt 16. Considere una esfera de radio r . a) Si el radio r varía en una cantidad (diferencial) dr , expresar en función de estas dos magnitudes la variación dV de su volumen. b) Si el

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 1 dr coeficiente de dilatación lineal de la esfera se define como:   , expresar en r dt 1 dV función de  su coeficiente de dilatación volumétrico definido como:   . V dt

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CALORIMETRÍA Calor específico de algunos sólidos y líquidos (a 20 0C) kJ kcal Sustancia c ( kg ×K ) c ( kg ×K ) 4,184 Agua 1 2,4 Alcohol etílico 0,57 0,90 Aluminio 0,215 0,123 Bismuto 0,029 0,386 Cobre 0,09 0 Hielo (-10 C) 2,05 0,49 0,14 Mercurio 0,033 0,126 Oro 0,03 0,233 Plata 0,056 0,128 Plomo 0,031 0,134 Tungsteno 0,032 0,387 Zinc 0,092 * Estos valores corresponden a la sublimación, pues el CO2 a la presión de 1 atm no se puede encontrar en estado líquido.

1 cal = 4,186 J

Punto de fusión normal (PF), calor latente de fusión (Lf), punto de ebullición normal (PE) y calor latente de vaporización (Lv) de varias sustancias a 101325 Pa (1 atm) kJ kJ PE (K) Sustancia PF (K) Lf ( ) Lv ( ) kg kg Agua Alcohol et. Azufre Bromo Cobre Dióx. de C Helio Mercurio Nitrógeno Oro Oxígeno Plata Plomo Zinc

273,15 159 388 266 1356 234 63 1336 54,4 1234 600 692

333,5 109 38,5 67,4 205 11,3 25,7 62,8 13,8 105 24,7 102

373,15 351 717,75 332 2839 194,6 * 4,2 630 77,35 3081 90,2 2436 2023 1184

2257 879 287 369 4726 573 * 21 296 199 1701 213 2323 858 1768

1 J = 1x107 erg

1. Un ser humano consume normalmente alimentos con un valor energético total de 2500 kcal por día. a) Determinar la equivalencia en Julios (J). b) Calcule la potencia disipada en vatios (W) si suponemos que esta energía se pierde con un ritmo uniforme en 24 h. Rta.: a) 1,046 x 107 J, b) 121 W. 2. Calcule el calor específico de un metal a partir de los siguientes datos. Un depósito hecho del metal pesa 35,6 N y contiene además 133,5 N de agua. Un trozo del metal de 17,8 N, que está inicialmente a una temperatura de 177 ºC, se sumerge en el agua. El agua y el depósito tenían inicialmente una temperatura de 15,5 ºC y la temperatura final de todo el sistema fue de 18,3 ºC. Rta.: c = 0,137 kcal/kg·ºC. 3. Un termómetro de masa 0,055 kg y de calor específico 0,20 kcal/kg·ºC indica 15,0 ºC. El termómetro se introduce en una masa de agua de 0,3 kg y ambos alcanzan el equilibrio térmico. Si el termómetro indica 44,4 ºC y es exacto. ¿Cuál era la temperatura del agua antes de introducir el termómetro?, no considerando otras pérdidas de calor. Rta.: t = 45,48 ºC. 4. 200 g de plomo se calientan a 90 ºC y se sumergen en 500 g de agua a 20 ºC. Despreciando la capacidad calorífica del recinto, determine la temperatura final del plomo y del agua. Rta.: t = 20,84 ºC. 5. El calor específico de cierto metal se determina midiendo la variación de temperatura que tiene lugar cuando una porción calentada del metal se coloca en un recinto aislado construido del mismo material y que contiene agua. La porción de metal posee una masa de 100g y una temperatura inicial de 100 ºC. El recipiente tiene una masa de 200 g y contiene 500 g de agua a una temperatura de 20 ºC. La temperatura final es 21,4 ºC. ¿Cuál es el calor específico del metal? Rta.: c = 0,0924 kcal/kg·ºC. 6. 200 g de hielo a 0 ºC se introducen en 500 g de agua a 20 ºC. El sistema se encuentra en un recipiente de capacidad calorífica despreciable y aislado térmicamente. a) ¿Cuál es la temperatura final de equilibrio del sistema?, b) ¿qué cantidad de hielo se funde? Rta.: a) 0 ºC, b) 125 g.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 8 7. ¿Qué cantidad de calor se desprende cuando 100 g de vapor de agua a 150 ºC se enfrían y congelan produciendo 100 g de hielo a 0 ºC? Tomar para el calor específico del vapor el valor 2,01 kJ/kg·ºC. Rta.: 74,3 kcal. 8. Si se vierten 500 g de plomo fundido a 327 ºC dentro de una cavidad en un bloque de hielo a 0 ºC. ¿Cuánto hielo se funde?. Rta.: 99,8 g. 9. Un recipiente calorimétrico de aluminio de 200 g contiene 500 g de agua a 20 ºC. Se calientan a 100 ºC 300 g de viruta de aluminio y luego se introducen en el calorímetro. a) Determine la temperatura final del sistema suponiendo que no se pierde calor hacia el exterior. b) El error debido a la transferencia de calor desde y hacia el exterior puede reducirse al mínimo si se elige la temperatura inicial del agua y el calorímetro de forma que esté a ½·t por debajo de la temperatura ambiente, donde t es la variación de temperatura del agua y del calorímetro durante el proceso. Entonces la temperatura final estará a ½·t por encima de la temperatura ambiente. ¿Cuál debe ser la temperatura inicial del agua y del calorímetro si el ambiente está a 20 ºC? Rta.: a) 28,5 ºC, b) 15,75 ºC. 10. A temperaturas muy bajas el calor específico de un metal viene dado por: c  a  T  b  T 3 . Para el cobre, a = 0,0108 J/kg·K2 y b = 7,62 x 10-4 J/kg·K4 y. a) Cuál es el calor específico de cobre a 4 K? b) ¿Qué cantidad de calor por unidad de masa es necesario suministrar para calentar el cobre desde 1 K hasta 3 K? Rta.: a) 0,092 J/kg·K, b) 0,0584 J/kg. 11. En un calorímetro que contiene 100 g de hielo a una temperatura de -20 ºC se vierten 150 g de vapor de agua a una temperatura de 100 ºC. ¿Qué temperatura adquirirá el contenido del calorímetro, si su capacidad calorífica es de 300 J/ºC? Rta.: 100 ºC.

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ECUACIÓN DE ESTADO Equivalencia entre unidades de presión bar 1 1,013 25

N/m2 (Pa) 105 101 325

kN/m2 (kPa) 100 101,325

mm Hg (0 oC) (torr) 750,062 760

m H2O (4 oC) 10,197 2 10,332 3

kgf/cm2 1,019 72 1,033 23

lbf/in2 atm PSI (standard) 14,503 8 0,986 923 14,695 9 1

Masas moleculares de algunas sustancias Sustancia

Masa molecular M (g/mol) acetileno (C2H2) 26,038 ácido sulfhídrico (SH2) 34,082 anhídrido carbónico (CO2) 44,011 anhídrido sulfuroso (SO2) 64,066 aire 28,967 amoníaco (NH3) 17,032 argón (A) 39,944 etano (C2H6) 30,07 etileno (C2H4) 28,054 helio (He) 4,003 Sustancia hidrógeno (H2) isobutano (C4H10) metano (CH4) nitrógeno (N2) monóxido de carbono (CO) óxido nitroso (N2O) óxido nítrico (NO) oxígeno (O2) propano (C3H8)

Constante universal de los gases: R = 8,314

Masa molecular M (g/mol) 2,016 58,124 16,043 28,016 28,011 44,02 30,008 32 44,097

J l ×atm cal = 0,08206 = 1,9871 . mol ×K mol ×K mol ×K

Número de Avogadro: N = 6,022 x 1023 moléculas/mol. Volumen de 1 mol en CNPT (0 ºC y 101325 Pa): 22,414 dm3.

1. ¿Qué temperatura tienen 2 g de nitrógeno si su volumen es de 820 cm3 y su presión de 2 atm? Rta.: 280 K. 2. ¿Qué volumen ocupan 10 g de oxígeno a la presión de 750 mm de Hg y a la temperatura de 20 ºC? Rta.: 7,6 litros. 3. Una botella de 12 litros está llena de nitrógeno a la presión de 8,1 x 10 6 N/m2 y a la temperatura de 17 ºC. ¿Qué cantidad de nitrógeno hay en la botella? Rta.: 1,13 kg. 4. Un recipiente tiene aire a 7 ºC y 1 atm. ¿A qué temperatura se debe llevar para aumentar la presión del aire a 1,3 atm? Rta.: 364 K.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 10 5. ¿Qué capacidad debe tener un recipiente para almacenar 6,4 kg de oxígeno a 20 ºC si sus paredes resisten a lo sumo una presión de 1568 N/cm 2? Rta.: V  3,1 x 10-2 m3. 6. En un recipiente había 10 kg de gas a la presión de 1 x 107 N/m2. Determine la cantidad de gas que se sacó del recipiente si la presión final resultó ser de 2,5 x 106 N/m2, a la misma temperatura. Rta.: 7,5 kg. 7. Determinar la masa de anhídrido sulfuroso que ocupa un volumen de 25 l a la temperatura de 27 ºC y 760 mm de Hg. Rta.: 0,065 kg. 8. Estimando el volumen del aula, determinar la masa de aire que llena el aula si la temperatura es de 17 ºC y la presión de 760 mm de Hg. 9. ¿Cuántas veces más pesa el aire que ocupa un galpón en invierno (7 ºC) que el que lo llena en verano (35 ºC)? Suponer la misma presión de 1 atm. Rta.: 1,1 veces. 10. ¿Qué cantidad de moles de un gas hay en un recipiente de 10 m 3 de capacidad a la presión de 720 mm de Hg y a 17 ºC? Rta.: 398 moles. 11. En un recipiente cerrado de 4 l de capacidad hay 5 g de nitrógeno a la temperatura de 20 ºC. El recipiente se calienta hasta la temperatura de 40 ºC. Determine la presión del gas antes y después de calentarlo. Rta.: 108805 Pa y 116230 Pa respectivamente. 12. En la parte central de un tubo capilar de 1 m de longitud, en que se ha hecho el vacío relativo y cuyos extremos se han cerrado, hay una columna de mercurio de longitud l = 20 cm. Si el tubo capilar se coloca en posición vertical, el mercurio se desplaza una distancia l = 10 cm. ¿Hasta qué presión se hizo el vacío en el tubo? Sugerencia: aplicar la ley de Boyle-Mariotte a los volúmenes inicial y final. Rta.: 374,9 mm de Hg. 13.

Calcule la densidad del hidrógeno a 15 ºC y 730 mm de Hg. Rta.:  = 0,081 kg/m3.

14. La densidad de un gas a 10 ºC y 200 kPa es igual a 0,34 kg/m 3. Calcule la masa molecular del gas. Rta.: 4 g/mol. 15. ¿Cuál será la densidad del aire que queda dentro de un recipiente luego de provocar en él un enrarecimiento hasta la presión de 1 x 10-11 mm de Hg a 15 ºC de temperatura? Rta.:  = 1,6 x 10-14 kg/m3. 16. 12 g de un gas a 7 ºC ocupan un volumen de 4 x 10-3 m3. Después de calentar el gas a presión constante, su densidad se hizo igual a 6 x 10-4 g/cm3. ¿Hasta qué temperatura se calentó el gas? Rta.: 1400K. 17. 10 g de oxígeno están sometidos a una presión de 3 atm a la temperatura de 10 ºC. Después de expandirse por calentamiento a presión constante, ocupa un volumen de 10 l. Calcule: a) el volumen que tenía antes de la expansión, b) la temperatura después de la expansión, c) la densidad del gas antes de la expansión y d) la densidad después de la expansión. Rta.: a) 2,4 x 10-3 m3, b) 1170 K, c) 4,14 kg/m3, d) 1 kg/m3. 18. Dibujar la gráfica de la densidad del oxígeno: a) en función de la presión a la temperatura de 39 K (cte.), con 0  p  4 atm, cada 0,5 atm y b) en función de la temperatura a p = 4 atm (cte.) con 200 K  T  300 K, cada 20 K.

TRANSMISIÓN DE CALOR Ley de Fourier de Conducción de Calor:

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS Conductividad Térmica (k) Material (W/(m·K)) Acero 47 – 58 Acero inoxidable 16,3 Agua 7,58 Aire 0,024 Alcohol 0,16 Alpaca 29,1 Aluminio 209,3 Amianto 0,04 Bronce 116-186 Cobre 372,1-385,2 Corcho 0,04-0,30 Estaño 64,0 Fibra de vidrio 0,03-0,07 Glicerina 0,29 Hierro dulce 80 Ladrillo 0,80 Ladrillo refractario 0,47-1,05 Latón 81 - 116 Litio 301,2 Madera 0,13 Mercurio 83,7 Níquel 52,3 Oro 308,2 Parafina 0,21 Plata 406,1-418,7 Plomo 35,0 Poliestireno expandido 0,025-0,045 Poliuretano 0,018-0,025 Vidrio 0,6 - 1 Zinc 106-140

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1. Una caldera de hierro de 2 m2 de superficie y 1 cm de espesor contiene agua a 80 o C. La temperatura del exterior es de 30 oC y se puede considerar constante. Calcule la pérdida de calor por conducción en un intervalo Δt = 1 s. Considere las superficies interior y exterior prácticamente iguales y que la temperatura del agua permanece constante en el intervalo considerado. Rta.: 800 kJ

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 2. Una pared está formada por dos planchas de 5 y 4 cm de espesor y con coeficientes de conductividad térmica 209 y 83,6 W/m.K respectivamente. Si las

T1

12

T2

Q

Δx1

Δx2

temperaturas de las caras opuestas son de 100 oC y 10 oC, determine: a) la temperatura de la inercámara; b) el gradiente de temperatura en cada una de las planchas y la intensidad térmica a través de la pared. Rta.: a) 343 K; b)125400

PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA 3. Un gas que a la temperatura de 17 ºC y a la presión de 2 x 105 Pa ocupaba un volumen igual a 5 l se calentó y se dilató por vía isobárica. El trabajo de expansión del gas en estas condiciones resultó ser igual a 20 kgf·m. ¿Cuál fue el incremento de temperatura del gas? Rta.: T = 56,95 K. 4. 10,5 g de nitrógeno se expanden por vía isotérmica a la temperatura de -23 ºC desde p1 = 2,5 atm hasta p2 = 1 atm. Calcule el trabajo realizado por el gas al expandirse. Rta.: W = 714 J. 5. Al expandirse isotérmicamente 10 g de nitrógeno que se encontraban a 17 ºC, se realizó un trabajo igual a 860 J. ¿En cuántas veces disminuyó su presión? Rta.: 2,72 veces. 6. Al expandirse isotérmicamente 2 m3 de un gas su presión varía desde p1 = 5 atm hasta p2 = 4 atm. Calcule el trabajo realizado al ocurrir esto. Rta.: W = 226 kJ. 7. Demuestre, aplicando el primer principio (dQ = dU + dW) y la ecuación de estado (pV = nRT), que para una transformación adiabática se cumple:

p1  V1  p2  V2  p  V   constante . Solución: Supongamos que un gas perfecto realiza un proceso adiabático infinitesimal. En tal caso no hay intercambio de calor con el medio, o sea: dQ = 0 [1] Por el primer principio:. dQ = dU + dW = 0  dU = - dW [2] La variación de energía interna dU del gas es, para cualquier caso: dU  m  cv  dT El trabajo realizado por el gas es: dW = p  dV Reemplazando [2] y [3] en [1]: - p  dV = m  cv  dT Por otro lado, partiendo de la ecuación de estado de los gases: p  V  n  R  T y diferenciando:

p  dV  V  dp  n  R  dT Dividiendo m. a m. [4] y [5]:

p  dV  V  dp n  R  dT  p  dV m  cv  dT

[3] [4]

[5]

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1

V dp R  dV p M  cv

[6]

Teniendo en cuenta que: c p  cv 

1

13

R R   c p  cv , reemplazando en [6]: M M

V dp R  dV p M  cv

De donde:

c V dp   p dV p cv cp

dp dV V dp   0     p V cv dV p Si aplicamos integral indefinida a la última expresión tenemos:

Si al cociente

lo identificamos con el símbolo :

dp dV     p  V  0ln p    lnV  cte. o, lo que es lo mismo: p  V   Constante Particularizando para dos estados cualesquiera (p1;V1) y (p2;V2) de la transformación adiabática: p  V   p1  V1  p2  V2 Demuestre, partiendo de la ecuación de estado y de p  V   p1  V1  p2  V2 , que

8.

en una transformación adiabática se cumplen las relaciones: T1  V1 1  T2  V2 1 y 1

T1  p1



1

 T2  p 2  .

Tabla de calores específicos: Sustancia He cv =

cal g ×K

0,754

H2

O2

N2

Cl2

CO2

Aire

2,4354

0,1573

0,1776

0,087

0,1573

0,1715

9. Se entregan 400 kcal a un gas que se expande y realiza 800 kJ de trabajo. ¿Cuál es la variación de energía interna del gas? Rta.: 874 kJ. 10. 10 g de oxígeno están a una presión de 3 x 105 Pa y a una temperatura de 10 ºC. Después de calentarlo a p = cte., el gas ocupó un volumen de 10 l. Calcule: a) la cantidad de calor que recibió el gas, b) la variación de energía interna, c) el trabajo realizado por el gas. Rta.: a)Q = 1909 cal, b) 1368 cal, c) 541 cal. 11. 6,5 g de hidrógeno a 27 ºC se dilatan a p = cte. hasta ocupar el doble de su volumen debido al calor que reciben del exterior. Calcule: a) El trabajo de expansión, b) la variación de su energía interna, c) la cantidad de calor entregada al gas. Rta.: a) W = 8,1103 J, b) U = 20,2103 J, c) Q = 28,3103 J. 12. 2 kmol de CO2 se calientan 50 ºC (t = 50 ºC) a presión constante. Calcule: a) la variación de su energía interna, b) el trabajo de expansión y c) la cantidad de calor que se comunicó al gas. Rta.: a) U=692,3kcal, b) W = 198,7 kcal , c) Q = 891 kcal.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 13. A un gas diatómico (suponer  = 1,4) se le comunican 500 cal, por lo que el gas se dilata a p = cte. Calcule el trabajo de expansión del gas. Rta.: W = 598 J.

14

14. Un gas diatómico dilatándose isobáricamente (suponer  = 1,4) realizó un trabajo igual a 16 kgf·m. ¿Qué cantidad de calor se le comunicó al gas? Rta.: Q = 131,3 cal. 15. 7 g de CO2 se calentaron 10 ºC en condiciones que permitieron su expansión libre (a p = cte.). Calcule el trabajo de expansión y la variación de su energía interna. Rta.: W = 13,2 J, U = 11,01 cal. 16. 1 kmol de helio se calienta 100 ºC en condiciones que permiten su dilatación a p = cte. Calcule: a) la cantidad de calor que se le comunica al gas, b) la variación de su energía interna, c) el trabajo de expansión. Rta.: Q = 500536 cal, U = 301826 cal, W = 831403 J. 17. Dentro de un cilindro vertical provisto de un émbolo sin rozamiento hay 1 g de nitrógeno. a)¿Qué cantidad de calor es necesaria para calentar este nitrógeno 10 ºC. b)¿Qué magnitud se elevará el émbolo al ocurrir esto? c)¿Qué trabajo realiza el gas en este proceso? d)¿Cuál es la variación de la energía interna del nitrógeno? El émbolo pesa 9,8 N y el área de su sección transversal es de 10 cm2. La presión que actúa sobre el émbolo es igual a 1 atm. Rta.: a) Q = 2,4827 cal, b) d = 2,7 cm, c) W = 0,7093 cal, d) U = 1,7734 cal. 18. 1 l de helio que se halla en CNPT (0 ºC y 1 atm) se dilata isotérmicamente a costa del calor exterior que recibe hasta ocupar un volumen igual a 2 l. Determinar: a) el trabajo realizado por el gas al expandirse y b) la cantidad de calor que recibió. Rta.: a) W = 70 J, b) Q = 16,8 cal. 19. Hasta qué temperatura se enfriará el aire que se encuentra a 0º C si se dilata adiabáticamente desde el volumen V1 hasta el volumen V2 = 2·V1? Rta.: T = 207 K (-66 ºC). 20. 7,5 l de oxígeno se comprimen adiabáticamente hasta un volumen de 1 l. Al final de la compresión la presión es de 1,6 x 106 Pa. ¿A qué presión estaba el gas antes de comprimirlo? Rta.: 9,5 x 104 Pa. 21. Dentro de los cilindros de un motor de combustión interna el aire se comprime adiabáticamente de manera que su presión varía desde p1 = 1 atm hasta p2 = 35 atm. La temperatura inicial del aire es de 40 ºC. Calcule su temperatura al final de la compresión. Rta.: T2 = 864 K. 22. Un gas diatómico que se encuentra a 27 ºC y a la presión de 2 x 10 6 Pa se comprime adiabáticamente desde el volumen V1 hasta el volumen V2 = 0,5·V1. Calcule la temperatura y la presión del gas después de comprimirlo. Rta.: T = 123 ºC, p = 5,28 x 106 Pa. 23. Cuando 1 g de agua pasa del estado de líquido al de vapor, a la presión constante de 1 atm, el volumen aumenta desde 1 cm3 hasta 1671 cm3. El calor latente de vaporización del agua es de 539 cal/g. Hállese el trabajo realizado en el cambio de estado y el aumento de la energía interna del agua. Rta.: 168 J y 2087,6 J respectivamente. 24. ¿Qué cantidad de calor ha de eliminarse de 1 mol de oxígeno cuando se comprime isotérmicamente desde un volumen de 20000 cm3 hasta un volumen de 2000 cm3 a la temperatura de 300 K? Rta.: 1380 cal. 25. Un cilindro contiene 3 l de oxígeno a la presión de 2 atm y a una temperatura de 300 K. Se somete al sistema a los siguientes procesos: 1) Se calienta a presión constante hasta una temperatura de 500 K. 2) Se enfría a volumen constante hasta una temperatura de 250 K. 3) Se enfría a presión constante hasta una temperatura de 150 K. 4) Se calienta a volumen constante hasta una temperatura de 300 K. a) Represente en un diagrama p-V

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 15 estos procesos, indicando los valores de presión y temperatura final de cada transformación. b) Determine el trabajo neto realizado por el gas. c) Calcule el calor neto absorbido por el oxígeno. d) Determine el rendimiento de este ciclo considerándolo como motor térmico. Rta.: b) W = 202,65 J = 48,434 cal, c) Q = 48,434 cal, d)  = 0,093. 26.

Cuando un sistema pasa del estado A al estado B a lo largo de la trayectoria A-C-B P

(at )

C

A

B

D V (l)

recibe 20000 cal y realiza un trabajo equivalente a 7500 cal. a) ¿Cuánto calor recibe el sistema a lo largo de la trayectoria A-D-B si el trabajo es de 2500 cal? b) Cuando el sistema vuelve del estado B al estado A, a lo largo de la trayectoria curva el trabajo es de 5000 cal. ¿Qué cantidad de calor absorbe o libera el sistema? c) Si UA = 0 cal y UD = 10000 cal, calcule el calor intercambiado en los procesos A-D y D-B. Rta.: a) Q = 15000 cal, b) Q = -17500 cal, c) QAD = 12500 cal, QDB = 2500 cal. p A

C 27. Una masa “m” de un gas evoluciona reversiblemente según indica el diagrama. AB es isotérmico y BC es isocora. Calcule: a) El trabajo realizado por el sistema, b) la cantidad de calor que el sistema intercambia con el medio exterior en toda la evolución, indicando si es absorbida o cedida, c) la B V variación de energía interna en toda la evolución y en la indicada en línea de puntos. pA = 2 atm, TA = 120 K, VA = 2 l, m = 100 g, VC = 4 l, TC = 170 K, cv = 0,22 cal/g·ºC. Rta.: a) WABC = 2,77 l· atm, b) Q = 1167,1 cal, c) UAC = 1100 cal = U = UBC.

28. En un motor térmico 0,1 mol de un gas perfecto efectúa el ciclo indicado en el diagrama p-V de la figura. El proceso 1-2 se realiza a volumen constante, el 2-3 es adiabático, y el 3-1 tiene lugar a la presión constante de 1 atm. Para este gas  = 5/3. a) Determine la presión y el volumen en los puntos 1, 2 y 3, b) calcule el trabajo neto realizado por el gas durante el ciclo. Rta.: a) V1 = 2,46 l, p1 = 1 atm; V2 = 2,46 l, p2 = 2 atm; V3 = 3,73 l, p3 = 1 atm, b) Wneto = 52 J. 29. La figura muestra tres procesos realizados por un gas perfecto. La temperatura en el punto A es de 600 K; la presión 16 atm y el volumen 1 Iitro. En el punto B el volumen es de 4 litros. Uno de los procesos AB o AC es isotermo y el otro adiabático. La razón de los calores específicos del gas vale 1,50. a) ¿Cuál de los procesos AB o AC es isotermo y cual adiabático? b) Calcule la presión en los puntos B y C. c) Determine las temperaturas en B y C. d) Obtenga el volumen en el punto C. Rta.: a) AB adiabático-mayor pendiente-, b) pB = pC = 2 atm, c) TB = 300 K, TC = 600 K, d) VC = 8 litros.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 16 30. Un gas evoluciona reversiblemente según el ciclo de la figura, donde A-B y C-D son adiabáticas. a) Indique el signo del calor intercambiado y el de la variación de la energía interna en cada una de las etapas del ciclo. b) Calcule el trabajo neto realizado por el gas en el ciclo. c) Calcule el rendimiento del ciclo considerándolo como motor

térmico. d) Considere que se invierte el ciclo (es decir se lo recorre en sentido inverso), calcule la eficiencia del mismo. Datos: VC = VB = 2 l, VA = VD = 1 l,  = 3/2, pD = 1 atm., pA = 2 · pD. Rta.: b) W = 0,586 l·atm, c)  = 29,3 %, d)  = 24,1 %.

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17

SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA 1. Una máquina térmica recibe una cantidad de calor equivalente a 300 J de un foco caliente, realiza trabajo y entrega una cantidad de calor de 240 J a un foco frío. ¿Cuál es su rendimiento? Rta.:  = 0,20 = 20%. 2. Una máquina térmica con el 20% de rendimiento realiza un trabajo de 100 J en cada ciclo. a) ¿Qué cantidad de calor absorbe en cada ciclo?, b) ¿qué cantidad de calor devuelve en cada ciclo? Rta.: a)Qc = 500 J, b) Qf = 400 J. 3. Una máquina térmica ideal que funciona según el ciclo de Carnot recibe del foco caliente 600 cal cada ciclo. La temperatura del foco caliente es de 400 K y la del foco frío de 300 K. Calcule: a) el trabajo que realiza la máquina en cada ciclo y b) la cantidad de calor que en cada ciclo se cede al foco frío. Rta.: a) W=630 J, b) Q=1880 J. 4. Una máquina térmica ideal funciona según el ciclo Carnot. Determinar el rendimiento del ciclo de esta maquina sabiendo que el trabajo que se realiza durante él es igual a 300 kgfm y que el calor que se cede al foco frío es igual a 3,2 kcal. Rta.:  =0,18 = 18 %. 5. Una máquina térmica ideal que funciona según el ciclo de Carnot realiza cada ciclo un trabajo igual a 7,35 x 104 J. La temperatura del foco caliente es de 100 ºC y la del foco frío de 0 ºC. Calcule: 1) el rendimiento de la maquina, 2) la cantidad de calor que la maquina recibe del foco caliente cada ciclo y 3) la cantidad de calor que cede al foco frío cada ciclo. Rta.: 1)  = 26,8 %, 2) Qc = 27,4 x 104 J, 3) Qf = 20,0 x 104 J. 6. Una máquina térmica ideal funciona según el ciclo de Carnot, con la particularidad de que el 80 % del calor recibido del foco caliente lo cede al foco frío. La cantidad de calor que recibe del foco caliente es igual a 1,5 kcal. Calcule: 1) el rendimiento del ciclo y 2) el trabajo que realiza en un ciclo completo. Rta.: 1)  = 20 %, 2) W = 300 cal. 7. Un kilomol de gas perfecto realiza un ciclo compuesto de dos isocoras y dos isobaras. Al ocurrir esto el volumen del gas varia desde V1 = 25 m3 hasta V2 = 50 m3 y la presión desde p1 = 1 atm hasta p2 = 2 atm. ¿Cuántas veces será menor el trabajo realizado con este ciclo que el que se obtiene con el ciclo de Carnot, cuyas isotermas corresponden a las temperaturas máxima y mínima del ciclo que examinamos, si durante la expansión isotérmica el volumen del gas aumenta dos veces? Rta.: 2,1 veces. 8. Una máquina térmica ideal funciona según el ciclo de Carnot empleando aire caliente, el cual se toma a una presión inicial de 7 atm con la temperatura de 127 ºC. El volumen inicial del aire es de 2 x 10-3 m3. Después de la primera expansión isotérmica el p

pA

A B

pB pD

D C

pC

V VAVD

VB

VC

aire ocupó un volumen igual a 5 l y después de la expansión adiabática el volumen es de 8 l. Encuentre: 1) las coordenadas de los puntos de intersección de las isotermas y las adiabáticas, 2) el trabajo correspondiente a cada rama del ciclo, 3) el trabajo total realizado durante el ciclo, 4) el rendimiento del ciclo, 5) la cantidad de calor que se toma del foco caliente en cada ciclo y 6) la cantidad de calor que se cede al foco frío cada ciclo.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 18 Solución: 1) Tomando como referencia el gráfico p-V de la figura, donde AB y CD son isotérmicas y BC y DA adiabáticas. Para el estado A: pA  VA  m  RTA ; de donde el n0 de moles es: n

m M



p A  VA R  TA

M

 0 ,427 moles .Para

Para la adiabática BC: 

V  pC  p B   B   1,44 at VC 

el estado B: 



pB  VB  pC  VC

pB 

p A  VA VB

 2 ,8 at

.  pB = 2,8 atm

, donde =1,4 para el aire, despejando:

entonces: pC = 1,44 atm

Para Calcular la temperatura de la isotérmica CD, aplicamos la ecuación de estado en C: m p V 0  RTC  pC  VC  TC  C C  330 K  TC = TD = 330 K. M

n R

Conociendo la temperatura de la adiabática DA, si aplicamos la ecuación: donde: VD = 3,2210--3m3. De aquí que podemos hallar la presión en el estado D:

pD 

n  R  TD VD

 3 ,6at

V  1 T A  D   TD  VA 

de

 pD =3,6 atm

Resumiendo, la respuesta al punto (1): VA=2 l, pA=7 atm ; VB=5 l, pB=2,8 atm ; VC=8 l , pC=1,44 atm ; VD=3,2210--3m3 , pD=3,6 atm .

 VB  2) El trabajo realizado durante la expansión isotérmica AB es: WAB  pA  VA  ln   1300 J .  VA  El realizado durante la expansión adiabática BC es: WBC 

pB VB  pC VC  620 J .  1

 VD    1070 J .  VC 

El realizado durante la compresión isotérmica CD es: WCD  p D  V D ln El realizado durante la compresión adiabática DA es: WDA 

pD  VD  pA  VA  620 J .  1

3) El realizado durante el ciclo es: Wciclo   Wi  230 J . 4) El rendimiento del ciclo es:  

TAB  TCD  0,175  17,5% . TAB

5) La cantidad de calor tomada del foco caliente en cada ciclo es: QAB 

Wciclo  1300 J  312 cal . 0,175

6) La cedida al foco frío en cada ciclo es: QCD  QAB  Wciclo  1070 J  256 cal . 9. Una máquina frigorífica ideal que funciona según el ciclo de Carnot inverso realiza en cada ciclo un trabajo de 3,7 x 104 J. La máquina durante su funcionamiento toma calor de un cuerpo cuya temperatura es de -10 ºC y lo cede a otro cuerpo que tiene una temperatura igual a +17 ºC Calcule: 1) la eficiencia del ciclo, 2) la cantidad de calor que se toma del cuerpo frío cada ciclo y 3) la cantidad de calor que se entrega al cuerpo caliente cada ciclo. Rta.: 1)  = 9,74, 2) Qf = 360 kJ, 3) Qc = 397 kJ. 10. Calcule la variación de entropía al fundirse 1 kg de hielo que se encuentra a 0 ºC. Rta.: S = 1221.6 J/K.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 11. 640 g de plomo derretido a la temperatura de fusión se vierten sobre una gran masa de hielo a 0 ºC. a) Calcule la variación que experimenta la entropía del plomo durante esta transformación, b) Calcule la variación de entropía del sistema aislado plomo+hielo, considerando que todo el calor que pierde el plomo funde una parte del hielo. Rta.: a) S = -90,86 J/K; b)SSistema = 65,17 J/K .

19

12. Calcule la variación que experimenta la entropía cuando 8 g de oxígeno que ocupaban el volumen de 10 l a la temperatura de 80 ºC pasan a ocupar el volumen de 40 l a la temperatura de 300 ºC. Rta.: S = 5,4 J/K. 13. Calcule la variación de la entropía que se observa cuando 6 g de hidrógeno que ocupaban un volumen de 20 l a la presión de 1,5 x 105 N/m2 pasan a ocupar un volumen de 60 l a la presión de 1 x 105 N/m2. Rta.: S = 69,8 J/K. 14. 6,6 g de hidrógeno se expanden por vía isobárica hasta duplicar su volumen. Calcule la variación que experimenta la entropía al producirse esta expansión. Rta.: S = 15,9 cal/K. 15. Calcule la variación de la entropía correspondiente a la expansión isobárica de 8 g de helio desde el volumen V1 = 10 l hasta el volumen V2 = 25 l. Rta.: S = 38,1 J/K. 16. Calcule la variación de la entropía correspondiente a la expansión isotérmica de 6 g de hidrógeno desde 1 x 105 N/m2 hasta 0,5 x 105 N/m2. Rta.: S = 17,29 J/K. 17. 10,5 g de nitrógeno se expanden isotérmicamente desde el volumen V 1 = 2 l hasta el volumen V2 = 5 l. Calcule el aumento de la entropía correspondiente a esta transformación. Rta.: S = 2,9 J/K. 18. 10 g de oxigeno se calientan desde la temperatura t1 = 50 ºC hasta la temperatura t2 = 150 ºC. Calcule la variación de la entropía si el calentamiento es: 1) a V = cte., 2) isobárico. Rta.: 1) S = 1,75 J/K, 2) S = 2,45 J/K. 19. Cierta cantidad de gas ideal ha realizado un ciclo reversible 1-2-3-1, representado en el diagrama p-V de la figura. a) Indicar, para cada una de las tres etapas: i) si el gas entrega, recibe, o no intercambia calor con el medio, ii) si el gas realiza trabajo, se realiza p

3

1

2

V

trabajo sobre él o no intercambia trabajo con el medio, iii) si su energía interna aumenta, disminuye o permanece constante. b) Indicar si en el balance total del ciclo, el gas entrega calor, recibe calor o recibe tanta cantidad de calor como lo que entrega. Justificar. 20. Un gas realiza un ciclo reversible A-B-C-D-A. Indicar, para cada etapa a) si el gas entrega o recibe calor, b) si el gas realiza trabajo o se realiza trabajo sobre él, c) si su

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 20 energía interna aumenta o disminuye, d) si en el balance total del ciclo el gas entrega o recibe calor. Justificar. 21. Calcule la variación de entropía por unidad de masa para la evolución entre 1 K y 3 K de la parte b) del problema 10 de calorimetría. Rta.: 0.02363 J/kgK.

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21

CARGA Y CAMPO ELÉCTRICOS Carga y masa del electrón, protón y neutrón Partícula Carga (C) Electrón -1,6021917 x 10-19 Protón 1,6021917 x 10-19 Neutrón 0 Algunas constantes fundamentales Constante de Gravitación Universal (G) Permitividad del vacío (0) Electrón – volt (eV)

Masa (kg) 9,1095 x 10-31 1,6726 x 10-27 1,6749 x 10-27

6,67 x 10-11 Nm2/kg2 8,85 x 10-12 C2/(Nm2) 1,6021917 x 10-19 J

1. Sobre la base de la idea de portadores de carga libres, indique qué son los materiales CONDUCTORES y los AISLADORES (dieléctricos). Dé ejemplos. 2. Encuentre la fuerza de repulsión entre dos protones en una molécula de H2, siendo la separación entre ellos de 0,7410-10 m. Compárela con la de atracción gravitatoria correspondiente. Datos: qprot =1,6 x 10-19 C, masadel protón en reposo=1,67 x 10-27 kg, 0= 8,85 x 10-12 c2/Nm2, Cte. de gravitación: G=6,67 x 10-11 Nm2/kg2. Rta.: Fe = 4,21 x 10-8 N, Fg = 3,4 x 10-44 N, Fe = 1,24 x 1036 Fg. 3. ¿Con qué fuerza interactúan dos cargas puntuales de 1 C, a una distancia de 1 km una de otra? Rta.: Fe = 8987,5 N. 4. Tres cargas puntuales están ubicadas sobre el eje x en las siguientes posiciones: q1 = -4 nC (x1=0); q2= 2 nC (x2=2 m); q3 = ? (x3=5m). ¿Cuál debe ser el valor de q3 para que la fuerza electrostática total ejercida sobre q2 sea de 1 x 10-8 N en el sentido positivo de x? Rta.: q3= -1,4 x 10-8 C. 5. Tres cargas puntuales están ubicadas sobre el eje X: q1=100 nC (x1=0), q2= -5 µC (x2=3 cm), q3=? (x3=11 cm). a) Calcule el valor de la carga q3 para que la carga q2 quede en equilibrio. b) ¿En que otro punto habrá que colocar la carga q2 para que ésta quede en equilibrio? c) ¿Alguna de las respuestas depende del valor de q2? Rta.: a) q3 = +0,711 µC, b) no existe, c) no. 6.

Dos esferas (cargas puntuales) igualmente cargadas y de igual masa, están

q

q 10 cm

suspendidas de un mismo punto por dos hilos aislantes de igual longitud. Debido a la repulsión, el equilibrio se establece cuando las esferas se encuentran separadas 10 cm entre sí. Calcule la carga de cada esfera. Datos: mesf=0,5 g; lhilo=15 cm; g=9,8 m/s2. Rta.: q = 4,389x10-8 C. 7. Cuatro cargas iguales están situadas en los vértices de un cuadrado de lado a. Determine la carga Q que es necesario colocar en el centro del cuadrado para que todo el sistema se encuentre en reposo. Determine si el equilibrio del sistema así formado es estable, inestable o indiferente. Datos: q = 1 µC, a = 50 cm. Rta.: |Q| = 0,95

q

q Q

q

q

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS µC. 8.

22

Una carga positiva y una negativa de igual valor absoluto se encuentran separadas y P r q

+

-q a

a

x

-

entre sí una distancia 2a (dipolo eléctrico). a) Determine la expresión de la intensidad de campo en un punto P situado a una distancia r sobre la mediatriz del segmento que une  1 qa ˆi , b) ambas cargas. b) Analice, además, el caso en que r >> a. Rta.: a) E  20 a 2  r 2 3 2  1 qa ˆ E i. 2 0 r 3





9. En dos vértices de un triángulo equilátero de 20 cm de lado se colocan sendas cargas puntuales positivas de 6 µC cada una. Determine el campo E en el tercer vértice y la fuerza que ejercerá sobre otra carga puntual que se colocará allí, si ésta fuera de -10 µC. Rta.: E= 23,3x105 N/C, F= 23,3 N. 10. ¿Cuáles son las características de las líneas de fuerza? Dibuje las L.F. para un dipolo eléctrico. 11.

Dos partículas cargadas de igual masa m están suspendidas por cuerdas de d

r +q

-q

longitud L, de puntos separados una distancia d como se muestra en la figura. Calcule la magnitud de cada carga si la distancia entre ellas es r. Rta.: q 

d r  4 0  m  g  r 2    2 . 1  2  d  r 2  2 L      2   

12. Se tiene suspendida una carga eléctrica de m = 2 g mediante un hilo aislante, en un campo eléctrico horizontal uniforme de 200 N/C. Calcule el valor de la carga eléctrica si ésta permanece en reposo y el hilo forma un ángulo de 30º con la vertical. Rta.: q = 5.6575 x 10-5 C. 13. Dos cargas puntuales q se encuentran respectivamente en las posiciones x1 y x2, según muestra la figura. Considerando que el momento dipolar eléctrico de una carga q q x1 x2 0 X    puntual q en r , con respecto al origen de coordenadas, está definido por p  q r , demuestre que el momento dipolar del sistema es equivalente al de una única carga

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS r x  x2  x  x2  puntual Q = 2 q ubicada en xC  1 . Rta.: pTotal   2q   1  xˆ , donde xˆ es el 2  2  versor del sentido positivo del eje x.

23

14. Dos cargas puntuales están colocadas sobre el eje x. Q1 = q en x = a y Q2 = -4q en x = -a (con a > 0). a) Encuentre una expresión vectorial en coordenadas cartesianas para la

fuerza que actúa sobre una carga de prueba Q, ubicada en un punto cualquiera del plano xy; b) Encuentre las coordenadas (x,y) de todos los puntos en los cuales la carga de prueba está en equilibrio; c) Discuta si el equilibrio es estable o inestable. Rta.: a) ; b)se encuentra un solo punto de equilibrio, en (3a, 0); c)para un pequeño desplazamiento en el eje x es estable; para un pequeño desplazamiento en el eje y el equilibrio es inestable.    15. Tres cargas puntuales q se ubican en el plano X-Y, posiciones r1 , r2 y r3

 q  r1

Y

 q  r3

 q  r2 0

X respectivamente, según muestra la figura. Demuestre que el momento dipolar del sistema 1 es equivalente al de una única carga puntual Q = 3 q ubicada en rC  r1  r2  r3  . Rta.: 3 r  x  x 2  x3   y  y2  y3  pTotal   3q   1 xˆ +  1   yˆ , donde xˆ y yˆ son los versores de los 3 3     sentidos positivos de los ejes x, y y respectivamente. 16. En cada vértice de un cubo de arista a se coloca una carga puntual q, según Z a

0 X

a

a

Y

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 24 muestra la figura. Demuestre que el momento dipolar eléctrico total equivale al de una única carga puntual Q = 8 q colocada en el punto central del cubo. Rta.: r  xˆ yˆ zˆ  pTotal   8q  a     , donde xˆ , yˆ y zˆ son los versores de los sentidos positivos de 2 2 2 los ejes x, y y z respectivamente. 17. Considere una varilla, de longitud L y espesor despreciable, uniformemente r cargada:  r  0  cte . Teniendo en cuenta el sistema de referencia de la figura:



Demuestre que el momento dipolar eléctrico de la distribución está dado por la expresión: ur L p  Q k$, siendo Q la carga total de la varilla. 2 18. Considere una varilla de longitud L y espesor despreciable. Teniendo en cuenta el sistema de referencia de la figura anterior, la densidad lineal de carga de la varilla está r dada por la expresión:  r  0 z L , siendo 0  cte . a) Demuestre que la carga total es



Q  0 L 2 y encuentre la densidad de carga media. b) Demuestre que el momento dipolar ur 2 eléctrico con respecto al origen de coordenadas está dado por la expresión: p  Q L k$. 3 19. Considere una distribución de carga semicircular de radio R y homogénea,

 r

 r  0  cte , como la de la figura. a) Demuestre que la carga total es Q   0  R ; b) Demuestre que el momento dipolar con respecto al origen de coordenadas está dado por ur j. la expresión p  2 RQ  $ 20. Una distribución de carga semicircular de radio R , como la de la figura anterior, tiene una densidad lineal de carga que, en coordenadas polares, está dada por: r  r  0 cos 2   , siendo 0  cte .



a) Demuestre que la carga total es Q   0 L 2 , donde L es la longitud de la distribución. b) Demuestre que el momento dipolar con respecto al origen de coordenadas está ur 2 j. dado por la expresión p   0 R 2 $ 3 21. Considere un disco de radio R , centrado en el origen de coordenadas, y tal que su densidad superficial de carga, empleando coordenadas polares, está dada por la r expresión  r   0 r R , siendo  0  cte . Demuestre que la carga total es Q  2 0 S 3 ,



UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS siendo S la superficie del disco.

25

22. Considere un disco de radio R centrado en el origen de coordenadas tal que, empleando coordenadas polares, su densidad superficial de carga está dada por la r expresión  r   0 cos 2   , siendo  0  cte . Demuestre que la carga total es Q   0 S 2 ,



donde S es la superficie del disco. 23. Considere una esfera de radio R , centrada en el origen de coordenadas, con una r distribución superficial de carga dada por:  r   0 cos 2   (coordenadas esféricas),



siendo  0  cte . a) b)

Demuestre que la carga total es Q   0 S 3 , siendo S la superficie de la esfera. Calcule la densidad de carga media.

24. Considere una esfera de radio R , centrada en el origen de coordenadas, con una r distribución volumétrica de carga dada por:  r  0 cos 2   (coordenadas esféricas),



siendo 0  cte . a) b)

Demuestre que la carga total es Q  0 V 3 , siendo V el volumen de la esfera. Calcule la densidad de carga media.

25. (*) Un anillo de alambre fino de radio R, es portador de una carga eléctrica q. En el centro del anillo se encuentra otra carga Q >> q. Demuestre que la fuerza de tracción q Q sobre el anillo está dada por: T  2 . 8  0 R 2 26. Una barra cargada de longitud L se encuentra a lo largo del eje x entre x = 0 y x =L. Su carga por unidad de longitud es: , donde ‘a’ y ‘b’ son constantes. ab L  2 1 2   b  L . Encuentre la componente Ey del campo en el punto P=(0, b). Rta.: Ey  4     0  3  27. Demuestre que el campo eléctrico creado por un hilo cargado de longitud finita L, en los casos límites se transforma en el campo eléctrico: a) de un hilo infinito para puntos muy cercanos (aL), donde a es la distancia perpendicular al hilo. 28. En un punto “a” situado a una distancia de 5 cm de un hilo cargado de longitud infinita la intensidad de campo eléctrico es igual a 1500 V/m. a) ¿Para qué longitud límite de un hilo finito, con un error del 2% el valor hallado del campo será exacto, si el punto se halla sobre la perpendicular al hilo y trazada sobre el centro del mismo? b) ¿Cuál será la intensidad de campo en el punto “a” si el hilo tiene una longitud de 20 cm? La densidad lineal de carga del hilo se considera igual en ambos casos. c) ¿Cuál es la densidad lineal de carga del hilo infinito? Rta.: a) L=0,4924 m; b) |Ea|=1341,6 N/m; c). 29. La barra muy delgada de la figura está cargada con  = cte. Demuestre que el campo en el punto P está dado por la expresión:.

L

b

P

30. 31. Dado un anillo de radio 10 cm, cargado con una carga total Q = 5 x 10-9 C determinar: I) El campo E en puntos ubicados sobre el eje del anillo ( al plano del

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 26 mismo) en los siguientes casos: (x es la distancia al plano del anillo): a) x = 0; b) x = 5 cm; c) x = 10 cm; d) x = 15 cm; e) x = 20 cm. II) ¿A qué distancia el campo (con un error no mayor del 5 %) es equivalente al creado por una carga puntual Q? Rta.: I) a) E=0; b) 1608,5 N/C; c) 1589,5 N/C; d) 1151 N/C; e) 804,2 N/C. II) x ≥ 0,536 m. 32. Demuestre que el campo eléctrico creado por un disco cargado uniformemente, en puntos ubicados sobre su eje ( al plano del mismo), en los casos límites pasa a ser: a) el campo de un plano infinito y b) el de una carga puntual. 33. Un disco de 25 cm de diámetro tiene una carga Q uniformemente distribuida. a) ¿Para que distancia del centro se lo puede considere como un plano infinito con un error no mayor del 5% en el valor de la intensidad de campo? b) ¿En que caso se lo puede considerar como una carga puntual con un error no mayor del 5% en el valor de la intensidad de campo? Rta.: a) x ≤ 0,626 cm; b) x ≥ 3.806R = 47,6 cm. 34.

Se lanza un electrón con una velocidad inicial de 2 x 107 m/s en la dirección de un -q v0 x +q

4 cm 12 cm eje equidistante de las placas de un tubo de rayos catódicos. El campo eléctrico, uniforme entre las placas, tiene una intensidad de 20.000 N/C y está dirigido hacia arriba. a) ¿Qué distancia “x” perpendicular al eje ha recorrido el electrón cuando pasa por el extremo de las placas? b) ¿Qué ángulo con el eje forma su velocidad cuando abandona las placas? c) ¿A qué distancia por debajo del eje choca con la pantalla fluorescente? La distancia entre las placas es de 2 cm. Rta.: a) x = 0,7035 cm (en el instante que sale de la zona de placas); b)  = 19,38º; c) xTotal = 4.92 cm. 35. ¿Con qué fuerza por unidad de superficie se repelen dos planos infinitos uniformemente cargados con  = 3 x 10-8 C/cm2? Rta.: 5,085 x 103 N/m2. 36. Calcule la fuerza por unidad de longitud sobre un hilo infinito cargado uniformemente con 3x 10-8 C/m y situado en el campo creado por un plano infinito cargado con  = 2 x 10-9 C/m². Rta.: 3,39 x 10-6 N/m. 37. a) ¿Con qué fuerza por unidad de longitud se repelen dos hilos de longitud infinita uniformemente cargados con densidad 3 x 10-8 C/cm, situados a la distancia de 2 cm uno de otro? b) ¿Qué trabajo por unidad de longitud hay que realizar para situar estos hilos a una distancia de 1 cm? Rta.: F/l = 8,09 N/m; W/l = 0,112 J/m. 38. Dos distribuciones de cargas lineales, uniformes e iguales de longitud L están situadas sobre el eje X, separadas por una distancia d como se indica en la figura. a) ¿Cuál es la fuerza de interacción entre ellas?; b) demuestre que cuando d>>L, la fuerza

tiende al resultado esperado

 2 L2 , que es la interacción entre dos cargas puntuales 4 0 d 2

(para este punto: ln(1+s)  s, cuando s b.

Rta.: a) Qext  40  b  V1; Qint

  E 0    Q1  1 1  r  a  V  V1       4 0  a b    V1  b   Q1 , b)  E  r 2  r  b   V  V1  b   r  1 Q1   E    4 0 r 2 a  r  b  V  V1  Q1   1  1    4 0  r b  

21. Una carga puntual Q = 2 µC se encuentra en el centro de una esfera metálica hueca de radio interior a = 5 cm y radio exterior b = 7 cm. Si la esfera posee carga q = 1 µC: a) Calcule las cargas que aparecen sobre la superficie interior de la esfera. b) Calcule las cargas que aparecen sobre la superficie exterior de la esfera. c) Calcule el = el valor de E en un punto situado a una distancia r2= 6 cm del centro de la esfera. e) Calcule el

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 32 valor de E en un punto situado a una distancia r3= 9 cm del centro de la esfera. f) Represente gráficamente los valores de E y V en función de la distancia al centro de la esfera para puntos situados en 0  r  10 cm. Rta.: a) qint = -Q = -2C, b) qext = Q = 2C; c) E(3 cm) = 1,998 x 107 N/C, d) E(6 cm) = 0, e) E(9 cm) = 3,330 x 106 N/C. 22.

Se tiene un campo cuyas componentes rectangulares son: y

O

a

a

x a

a

z 1

Ex  b  x 2 ;

E y  E z  0 , donde b  800

N cm

1

. Calcule: a) El E a través del cubo 2

dibujado de arista a = 10 cm. b) La carga dentro del cubo. Rta.: a) E = 1,1 Nm2/C, b) q = 9,310-12 C. 23. Dentro de una esfera de radio R existe una carga volumétrica Q distribuida uniformemente en todo su volumen. Represente gráficamente: a) El valor de E en función de la distancia al centro de la esfera para puntos interiores y exteriores a la misma. b) El valor del potencial en función de la distancia al centro de la esfera para puntos interiores y Q exteriores a la misma. Rta.: a) En el interior de la esfera: E (r )   r , en el exterior 4 0R3 1 Q de la esfera: E (r )  ; b) En el interior de la esfera: 4 0 r 2 Q 1 Q Q 1 2 2 V ( r )  , en el exterior de la esfera: . V (r )    ( r  R )  4 0 r 4 0 R 8 0R3 24. La barra delgada de la figura está cargada con  constante. a) Encuentre la expresión del potencial en el punto P = (0,b). b) Analice el caso: b = 0 y L E2 ; r1< r2

E1 = E2 ; r1= r2

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 40 18. Una estufa eléctrica posee una resistencia de 50 . Calcule: a) La corriente que circula al conectarla a una fuente de 220 V. b) Las calorías producidas por hora. Rta.: a) i = 4,4 A, b) P = 832,9 kcal/h. 19. Un calentador de inmersión se conecta a una fuente de 120 V y tarda 4 minutos para llevar 237 g de agua desde 15 ºC hasta su punto de ebullición. Suponiendo que no se pierde calor del agua al medio ambiente, calcule la potencia eléctrica que desarrolla la resistencia del calentador. Rta.: P = 351,2 W. 20.

Dado el siguiente circuito: a) Demuestre que la máxima potencia disipada en la

r R E

carga se produce cuando R es igual a la resistencia interna de la fuente. b) Demuestre E2 que dicha potencia máxima vale: Pmax = . 4 ×r 21. Un motor entrega una potencia de 5 HP (1 HP = 745,7 W) y se lo alimenta con una fuente de 220 V mediante una línea bifilar de cobre, cuya resistividad a la temperatura de trabajo es 1,72 x 10-8 m. Calcule: a) el diámetro mínimo para que la máxima caída de potencial hasta el extremo de la línea no sea mayor del 2 %, b) la potencia disipada en la línea por efecto Joule. La distancia entre la fuente y el motor es de 300 m. Rta.: a) diam  0,7187 cm, b) PLínea = 152,2 W. 22. Una fuente E1 = 100 Volt y resistencia interna r1 = 1  se usa para cargar una batería de E2 = 68 V y resistencia interna r2 = 2 , intercalando un reóstato de R = 5  en E 1 ; r1

E 2 ; r2

R serie con el circuito (ver figura). Calcule: a) la potencia que entrega la fuente, b) la potencia disipada en cada parte del circuito, c) el rendimiento del circuito. Rta.: a) PE1 = 400 W, b) Pr1 = 16 W, Pr2 = 32 W, PR = 80 W, c)  = 0,68. 23.

En el circuito de la figura, el amperímetro de resistencia interna ra = 10  registra M

R

A

N

V una corriente ia = 20 mA, y el voltímetro de resistencia interna rv = 1 x 104  indica Vv = 100 Volt. Calcule: a) La resistencia R. b) La d.d.p. VM - VN. Rta.: a) R = 10000 , b) VM VN = 100,2 V. 24. ¿Por qué, al conectar a la red un aparato calefactor que regula potencia (por ej. una plancha o estufa), el brillo de las lámparas incandescentes conectadas a la misma red disminuye notoriamente, luego, pasado un breve intervalo de tiempo aumenta, alcanzando prácticamente el brillo anterior?

25.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS En el circuito de la figura, ¿para que valor de R no circula corriente por E1?

41

Datos: r1 = 1 , r2 = 1 , E1 = 1 V, E2 = 2 V. Rta.: R = 1 . 26. De la resistencia R se desprenden 9 W de potencia. a) ¿Cuánto vale la d.d.p. entre los bornes de la fuente? b) Calcule el rendimiento del circuito. Rta.: a) VEntre bornes de fuente = 9 V, b)  = 0,9 o VEntre bornes de fuente = 1 V, b)  = 0,1. 27.

En el circuito de la figura encontrar: a) la corriente en cada resistencia, b) la d.d.p. E1

R2 E2

A

E3 B

R1

entre los puntos A y B, c) la potencia que entrega cada fuente. Datos: E1 = 6 V, E2 = 5 V, E3 = 4 V, R1 = 100 , R2 = 50 . Rta.: a) iR1 = 0.05 A, iR2 = 0.06 A, b) VAB = VB-VA = -5 V, c) PE1 = 0,36 W, PE2 = 0,55 W, PE3 = 0,24 W (E1 recibe potencia, E2 y E3 entregan potencia). 28. En el circuito de la figura: a) ¿qué potencia se desarrolla en R1 por efecto Joule?, b) ¿en R2?, c) ¿en R3?, d) ¿qué potencia entrega E1?, e) ¿qué potencia entrega E2? Datos:

E1 = 3 V, E2 = 1 V, R1 = 5 , R2 = 2 , R3 = 4 . Rta.: a) PR1 = 0,0138 W, b) PR2 = 0,7978 W, c) PR3 = 1,8725 W, d) PE1 = 2,0526 W, e) PE2 = 0,6316 W. 29. Hay dos pilas iguales con una fem de 2 V y una resistencia interna de 0,3 . ¿Cómo hay que unir estas pilas (serie o paralelo) para obtener la mayor intensidad de corriente en una resistencia?, si: a) la resistencia exterior es igual a 0,2 , b) la resistencia exterior es igual a 16 . Calcule la intensidad de corriente en cada uno de estos casos. Rta.: a) paralelo (i=5,7 A), b) serie (i=0,24 A). 30.

En el puente de Wheatstone (modificado) de la figura, Rs se ajusta a un valor tal

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS que los puntos A y B tengan exactamente los mismos potenciales. Demuestre que, R cuando se realiza el ajuste, se verifica la siguiente condición: R x = Rs 2 . R1

42

31. Dado el siguiente circuito calcule: a) la intensidad de corriente que indica el amperímetro, b) d.d.p. entre los puntos A-D y M-B, c) si todos los conductores son de carbono y se hallan a 20 ºC, ¿a qué temperatura hay que colocar el sistema para que su resistencia sea de 21 ? Datos: R1 = R2 = 20 , R3 = 4 , R4 = 9 , R5 = 18 , VBA = 100

Volt,  = -5 x 10-4 ºC-1). Rta.: a) ia = 5 A, b) VAD = 50 V, VMB = 30 V, c) t = -80 ºC. 32. Dados los siguientes circuitos Encuentre: a) distribución de corrientes, b) el potencial en A. A

T 10

10

5

10

5V T

20

A

20 5V

10

T 6V

10V

5V

T

T

Rta.: Primer circuito: a) i1 = i2 = i3 = i4 = 0,167 A, b) VA = 3,33 V. Segundo circuito: a) i1 = 0,45 A, i2 = 0,175 A, i3 = 0,275 A, b) VA = 7,75 V 33. (a) Con la llave L abierta: hallar el valor de la fuerza electromotriz E y calcular la potencia entregada por la pila y disipada por los resistores; siendo la caída de tensión en R3 de 2 V. (b) Con la llave L cerrada: hallar las corrientes y el balance de potencias.

Datos: R1 = 2 R2 = 15 R3 = 5 R4 = 2  y R5 = 3 . Rta.: (a) E = 12 V, PE = 24 W, PR1 = 8 W, PR2 = 2,4 W, PR3 = 0,8 W, PR4 = 5,12 W y PR5 = 7,68 W. (b) i1 = 6 A, PE = 72 W, PR1 = 72 W.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 43 34. Calcular los potenciales VA, VB, VC y VD, de esos puntos respecto de la tierra, (a) con la llave abierta y (b) con la llave cerrada. Datos: E1 = 10 V, E2 = 20 V, E3 = 30 V, R1 = 10R2 = 20

Rta.: (a) VA = -10 V, VB = -20 V, VC = -30 V, VD = 0. (b) VA = -10 V, VB = -20 V, VC = -30 V y VD = -10 V. 35. a) Halle las funciones carga, corriente, tensión entre las placas del condensador y tensión entre los bornes de la resistencia, para el proceso de carga de un condensador en el circuito de la figura.

Respuesta: Al cerrar la llave ‘k’ por el circuito circula corriente y el condensador comienza a cargarse. A medida que aumenta la carga del condensador aumenta también su tensión entre placas y la corriente en el circuito decrece. El proceso de carga del condensador continúa hasta que su tensión se iguale a la de la fuente U0. Designemos con ‘q’ la carga de la armadura positiva del condensador. En el proceso de carga este parámetro varía, y su velocidad de variación define la intensidad de corriente ‘I’ en el circuito: I

dq dt

[1]

La ecuación (1) corresponde a la elección de la dirección de la corriente que se muestra en la figura: el valor positivo de la corriente en la ecuación (1) corresponde al crecimiento de la carga de la armadura superior del condensador, o sea, al valor positivo de la derivada

dq dt

.

En el circuito en serie que consideramos, aplicando la segunda ley de Kirchhoff: [2] Uo = IR + Uc Es decir, la fem del circuito es igual a la suma de las caídas de tensión en la resistencia y en el condensador. Expresando todos los valores en función de la carga ’q’: U0  R 

dq dt



q C



dq dt



U0  C  q R C

[3]

Esta ecuación diferencial determina la dependencia entre la carga del condensador y el tiempo. En el numerador del segundo miembro, el término (U0  C ) se puede considere como la carga Q0 que acumula el condensador cuando la tensión entre armaduras es U0 . Haciendo Q0  U0  C , reemplazando y ordenando:

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS dq Q0  q q

Integrando:



0

dq Q0  q

t



 0

dt RC



Q  q  t 0    ln RC  Q0 

 t



dt RC

44

.

 Q0  q  Q0  e

[4] 

t RC

[5]



Despejando q: q  Q0  1  e  RC  . El gráfico q(t) es: 



q

carga de un condensador-Gráfico q(t) 

Q0 0,63Q0

t

t    En la expresión q  Q0  1  e RC  , el producto RC es un valor característico del circuito.   El hecho de que RC se exprese en segundos dio lugar a su vinculación con el tiempo. De hecho se denomina constante de tiempo  = RC. ¿Qué pasaría si en la expresión de q(t) 1 hacemos t = ?. La carga del condensador tomaría el valor: q  Q0  (1  )q  0 ,63  Q0 . e De esta forma podemos decir que la constante de tiempo  de un circuito R-C es numéricamente igual, en el proceso de carga, al tiempo que demora el condensador en cargarse al 63% de la carga final Q0 (CU0). Si expresamos q(t) con este nuevo parámetro nos queda:

t  t     q  Q0  1  e   ó q  C  U0  1  e       

[6]

Para determinar la intensidad de corriente instantánea no tenemos más que derive en ‘t’ esta última función:

I I

t t t C  U0 U dq Q0     e   e   0 e  dt  R C R

U0 R



t

 e  ó I  I0 

Donde I0 

U0 R

e



t



[7]

es el valor que toma la corriente en el instante ‘t = 0’, que, además, lo

podemos considere como la intensidad de corriente constante que recorrería el circuito si el condensador no existiese. Durante el proceso de carga del condensador, la corriente es máxima en el instante inicial (cuando cerramos la llave ‘k’) y luego decrece en forma exponencial. El gráfico ‘i (t)’ es:

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS

45

Carga de un condensador-grafico I(t)

I

I0

t

 Ahora podemos relacionar a la constante de tiempo con otra característica del circuito. ¿Durante cuánto tiempo (tx) debería circular una corriente igual a I0 , constante, para cargar al condensador hasta su carga final Q0?. En tal caso se cumple que: I0 

Q0 tx

 tx 

Q0 I0



C  U0  R C  . U0 R

Es decir, que si la corriente circulara con intensidad I0 constante, cargaría al condensador en un tiempo equivalente al valor de la constante de tiempo . Si quisiéramos construir el gráfico UC (t) (tensión entre placas del condensador en función del tiempo) no tenemos más que relacionarlo con el gráfico q(t) a través de: U c ( t ) 

q( t ) , C

por lo tanto es un gráfico de igual forma que el de q(t). De igual forma, si queremos conocer el gráfico UR(t) (tensión entre extremos de la resistencia en función del tiempo), lo podemos relacione con el gráfico I(t) a través de: UR ( t )  R  I ( t ), por lo que es un gráfico similar al I(t).

b) Halle las funciones carga, corriente, tensión entre las placas del condensador y tensión entre los bornes de la resistencia, para el proceso de descarga de un condensador en el circuito de la figura. Respuesta: Cuando el condensador se encuentra cargado con Q0,, si conmutamos la llave ‘k’ por la resistencia circula la corriente en sentido contrario al anterior y el condensador comienza a descargarse. A medida que disminuye la carga del condensador U0 disminuye también su tensión entre placas (UC) y la corriente en el circuito decrece. El proceso de descarga del condensador continúa hasta que su tensión se anula. La intensidad de corriente en el circuito es: dq I . dt Aplicando la segunda ley de Kirchhoff:

k R I

C

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS q q dq I R  0   R  0 C C dt dq dt  Ordenando las variables de esta ecuación diferencial: q R C

46 [8]

 parat  0q  Q0 Integrando, teniendo en cuenta que:   parat  t q  q q

t

dq dt  q    R C 0 Q0

ln

q t  Q0 R C

Aplicando la definición de logaritmo natural y despejando:

q  Q0  e



t RC

[9]

La representación gráfica de la función q(t) es:

Q0

0,37Q0

t



 Podemos reemplazar en la expresión de q(t), el producto RC por la constante de tiempo, quedando: t [10]   q  Q0  e Si aquí hacemos t =  , obtenemos: q 

Q0 e

 q  0 ,37  Q0 , es decir, que para este

caso, la constante de tiempo es el tiempo necesario para que la carga del condensador decrezca en 0,63 de su valor inicial, después de un intervalo equivalente a dos constantes Q de tiempo, la carga es q  20 q  0 ,14  Q0 , lo que es una característica de muchos e fenómenos en los que alguna variable decrece en forma exponencial, es decir, cuando la variable crece o decrece continuamente en una magnitud proporcional al valor que tiene en cada instante. La constante de tiempo también la podemos considere como el tiempo que tardaría el condensador en descargarse totalmente si su velocidad de descarga fuera constante e igual a su valor inicial. La intensidad de corriente la obtenemos derivando [10] con respecto al tiempo: I

Haciendo

U0  I0 : I  I0  e R



dq dt



Q0 R C



t

e  

U0 R



t

e 

[11]

t



[12]

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 47 Como vemos esta expresión es igual a la [7], que obtuvimos para la carga del condensador, por lo que su representación gráfica es la misma que aquella. Obviamente, tanto el proceso de carga como el de descarga del condensador, continúan en un tiempo infinitamente largo, aunque como en todos los procesos semejantes, en los que la dependencia temporal se describe con un exponente negativo, la variación fundamental se realiza en un lapso relativamente corto (depende de la constante de tiempo), el resto de la variación se desprecia (por supuesto que este “resto” depende de cada caso en particular). Si nos interesamos por el tiempo en el transcurso del cual se produce la variación de la magnitud considerada en una proporción determinada (tan grande como queramos pero finito), este tiempo se diferenciará de ““ sólo por un factor numérico (por eso comparativamente pequeño). P. ej. el tiempo que pasa hasta que en las armaduras del condensador que se descarga sólo quede una milésima parte de la carga inicial es igual a   3  ln10  7 . En todo sistema real el proceso transitorio continúa en el transcurso de un intervalo finito de tiempo (y no infinitamente grande) ya que hable de semejante proceso sólo tiene sentido hasta el instante en que la magnitud que se considera disminuye hasta el valor correspondiente a las fluctuaciones térmicas del sistema. En la solución del problema, tácitamente hemos supuesto que el valor instantáneo de la corriente es el mismo en cualquier lugar del circuito eléctrico que une las armaduras del condensador, por lo que podemos considere que el campo eléctrico del condensador es igual que en electrostática con esas mismas cargas en las armaduras. Así se puede considere que la propagación de las interacciones eléctricas se produce prácticamente en forma instantánea. En realidad, la propagación del campo electromagnético en medios materiales se realiza a una velocidad finita (aproximadamente la velocidad ‘c’ de la luz), por lo que la suposición de dicha instantaneidad estará justificada sólo si el tiempo de propagación es despreciable con respecto a ““. Vamos a analice cuál es la respuesta (Usal) de un circuito R-C como el de la figura, que Uent

T/2

U 0 C Uent

t R

Usal

Usal T/2 t

Si el tiempo de carga del condensador es grande ( >>T/2), el condensador no tiene tiempo para cargarse hasta la tensión ‘U0’ y por ende, toma relativamente poca carga. Al llegar el frente posterior del pulso de entrada, esta pequeña carga produce a su vez una pequeña corriente de descarga por la resistencia, que se traduce en una caída de tensión en dicha resistencia, de polaridad negativa pero de muy pequeña magnitud. Los pulsos de salida de polaridad negativa son ahora menores. De aquí se desprende que si  >>T/2 la forma de los pulsos de salida prácticamente no difiere de la de los pulsos de entrada. El gráfico correspondiente es el mostrado al comienzo de este párrafo. Al variar el valor de T, haciendo que tome valores similares al de , los pulsos de salida de polaridad negativa crecen gradualmente mientras que los de polaridad positiva decrecen, decreciendo a su vez la componente continua de la tensión de salida, desapareciendo esta componente cuando 