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• okokok1226

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PROBLEMA 1. Un cilindro hueco, aislante, de paredes delgadas, de radio R y longitud L (como un tubo de cartón de un rollo de papel sanitario) tiene carga Q distribuida de manera uniforme sobre su superficie. a) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos a lo largo del eje del tubo: Como origen tome el centro del tubo y el potencial cero en el infinito. b) Demuestre que si L R el resultado del inciso a) se reduce al potencial sobre el eje de un anillo de carga de radio R. c) Utilícese el resultado del inciso a) para determinar el campo eléctrico en todos los puntos a lo largo del eje del tubo.

SOLUCION a) Consideraremos Tomamos como superficie gaussiana un cilindro concéntrico de radio r y longitud L. Como el de a través de la superficie gaussiana es

es radial, entonces el flujo y la ley de Gauss dice:

, de donde

-1De otro lado

, es decir: -2-

b) Para r < a la carga encerrada por la superficie gaussiana es cero y - 1 - da E = 0. Este resultado se introduce en - 2 - y obtenemos V = constante.

c) Para a < r < b la carga encerrada por la superficie gaussiana es y la ecuación - 1 - da introduce en - 2 - así:

. Este resultado se

, de donde:

PROBLEMA 2. Un condensador de placas paralelas de área “A” y separación “d” se carga hasta una diferencia de potencial “V” y luego se separa de la fuente de carga. Se incerta entonces, como se indica en la figura, una lámina dieléctrica de constante k = 2, espesor “d” y área (A/2). Supongamos que es 1 la densidad de carga libre en la superficie conductor-dieléctrico y 2 la densidad de carga en la superficie conductor-aire. a) ¿Porqué debe tener el campo eléctrico el mismo valor en el interior del dieléctrico que en el espacio libre entre las placas? b) Demostrar que 1 = 22 c) Demostrar que la nueva capacidad es diferencia de potencial es 2V/3.

3ε0A/d y que la nueva

SOLUCION a) El campo eléctrico en las mismas placas es igual para ambos por definición Ek = E 0 b) En este caso planteamos las ecuaciones para cada dieléctrico, en este caso el vacio y el que es insertado en la mitad de las placas

❑1 =

Q Q ❑2= A A k 2 2

( )

( )

❑2=

❑1 2

❑1 =2❑2

c) Planteamos las ecuaciones de capacitancia para ambos a modo de relacionar la capacitancia total: A A ε ( ) ( ) 2 2 C =ε C =k 0

1

C=

0

d

C1∗C 2 C 1 +C2

2

d

C=3

C2 =

ε0 A d

ε0 A d

Finalmente planteamos y determinamos la tensión total. Q=C V

Q1=2 Q2

Q1+ Q2=CV

V=

2V 0 3

PROBLEMA 3. En el circuito indicado en la figura, el condensador está inicialmente descargado, estando desconectado el interruptor. En el instante t = 0 se conecta el interruptor: a) ¿Cuál es la corriente suministrada por la fuente de fem en el momento en que conecta el interruptor? b) ¿Cuál es la corriente una vez transcurrido un tiempo bastante largo después de haber conectado el interruptor? c) Deducir una expresión que nos dé la corriente que circula a través de la fuente de fem durante un instante cualquiera después de haber conectado el interruptor? d) Después que ha transcurrido un tiempo largo t1 se desconecta de nuevo el interruptor. ¿Cuánto tiempo se tarda en que la carga del condensador disminuya hasta el 10% del valor que tiene en t = t 1, si: R1 = R2 = 5k y C = 1µf.

SOLUCION a) Primero determinamos la tensión inical en el capcitor, claramente podemos nota rque la tensión inicial en el capacitor es la misma de la fuente para el caso incial: V 0=ε La corriente inicial solo depende de R2, ya que el capcitor en estado inicial es como un circuito abierto:

i o=

ε R2

b) Para esto necesitamos determinar las ecuaciones diferenciales que nos muestran el cambio en función del tiempo Luego las ecuaciones diferenciales son: ε =R1 ( i 1−i 2 ) +V c i1 −i2 =C

ε =R1 C

d Vc +V c dt

V 'c +

dVc dt

ε =R2 i 2 →i 2=

1 ε V c= R1 C R1C

ε R2

V c =k 1 e

−t R1 C

Entonces tenemos la siguiente ecuación: −t

i=i 1+i 2

ε RC ε i= e + R1 R2 1

Ahora para un tiempo muy grande calculamos el límite: −t

(

ε RC ε i f =lim e + R2 t → ∞ R1 1

)

if =

ε R1

c) Este caso ya fue determinado en el análisis anterior, y la corriente en función del tiempo es: i o=

ε R2

d) Si se carga hasta un tiempo t1, luego: Q2=Q1 e

−t R1 C

0.1 Q1=Q1 e

−t ( 5000 ) (1∗10 −6 )

ln ( 0.1 )=

−t 0.005

t=0.012 seg