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FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, MINERA, METALÚRGICA, GEOGRÁFICA, CIVIL Y AMBIENTAL

E.P. INGENIERÍA METALÚRGICA “Año de la lucha contra la corrupción e impunidad” Primer trabajo de métodos numéricos -

DOCENTE: Dr. Gladys Melgarejo Beltran CURSO: Análisis numérico ALUMNOS FECHA DE ENTREGA : 25/04/19

Introducción El informe presente consta de métodos numéricos que fueron empleados en las clases de análisis numérico los cuales son:

   

Método de bisección Método de regula falsi Método de punto fijo Interpolación

Para tener noción de estos métodos presentamos 2 ejercicios de cada método, un ejercicio contextualizado. El motivo de los ejercicios contextualizados viene a que buscamos introducir los métodos numéricos a la parte de Ing. metalúrgica ya que muchas estudiantes no saben el motivo de porque estudian realmente los tema y que utilidad darle a su carrera. Este trabajo relaciona los métodos numéricos con pruebas estadísticas experimentales reduce en forma eficaz y apreciable los costos de producción de planta. Se busca obtener resultados con el mínimo de pruebas, tratar de predecir esto se puede lograr con ciertos modelos matemáticos. Es cierto que la innovación no es bien tratada para trabajos mecanizados pero diremos que estos modelos matemáticos no suplen la falta de capacidad de investigar solo ayudan a mejorar sus procesos y métodos de optimización ya que el investigador cuenta con un modelo matemático de describe el proceso en estudio

Objetivos:  

Tratar de aproximar de manera eficiente las soluciones de una ecuación matemáticas Introducir los métodos numéricos en nuestra carrera

Método de bisección Ejercicio 1:

La biolixiviacion es una técnica que nos permite la recuperación metalúrgica mediante la disolución de metales en medio acuoso a través de bacterias que liberan cobre en mayor cantidad que en métodos convencionales. Un grupo de alumnos de la escuela de ingeniería metalúrgica De la UNMSM se encuentra analizando el crecimiento de la bacteria llamada Thiobacilos Ferooxidans para su posterior uso en el proceso metalúrgico descrito, para esto se determinó la ecuación que describe este crecimiento: 𝑥

𝑓(𝑥 ) = ln(𝑥 2 + 1) − 𝑒 2 cos⁡(𝜋𝑥) Con un intervalo de [0.1,0.5] , se les pide a los alumnos encontrar una raíz de la ecuación mediante el método de bisección , y se le pide iterar hasta que el error estimado sea menor o igual al 0.8% para así obtener mejores resultados en el análisis RESOLUCIÓN. Sea i=0:

[a0,b0]= [0.1,0.5] 0.1+0.5

X0=

2

=0.3

𝑓(0.1) = −0.9898677 𝑓(0.3) = −0.5967293

X0=0.3 𝑓(a0)𝑓(x0) = 𝑓 (0.1)𝑓(0.3) > 0

entonces  a1=x0=0.3 b1=b0=0.5

Sea i=1:

[a1,b1]= [0.3;0.5] 0.3+0.5

X1=

2

=0.4

𝑓(0.3) = −0.5967293 𝑓(0.4) = −0.2290108

X1=0.4 𝑓(a1)𝑓(x1) = 𝑓 (0.3)𝑓(0.4) > 0

entonces  a2=x1=0.4 b2=b1=0.5

Sea i=2:

[a2,b2]= [0.4;0.5] 0.4+0.5

X2=

2

=0.45

𝑓(0.4) = −0.2290108 𝑓(0.45) = −0.0114996

X2=0.45 𝑓(a2)𝑓(x2) = 𝑓 (0.4)𝑓(0.45) > 0

entonces  a3=x2=0.45 b3=b2=0.5

Sea i=3:

[a3,b3]= [0.45;0.5] 0.45+0.5

X3=

2

=0.475

𝑓(0.45) = −0.0114996

𝑓(0.475) = 0.1039633

X3=0.475 𝑓(a3)𝑓(x3) = 𝑓 (0.45)𝑓 (0.475) < 0

entonces  a4=a3=0.45 b4=x3=0.475

Sea i=4:

[a4,b4]= [0.45;0.475] 0.45+0.475

X4=

2

=0.4625

𝑓(0.45) = −0.0114996 𝑓(0.4625) = 0.0457301

X4=0.4625 𝑓(a4)𝑓(x4) = 𝑓 (0.45)𝑓 (0.4625) < 0

entonces  a5=a4=0.45 b5=x4=0.4625

Sea i=5:

[a5,b5]= [0.45;0.4625] 0.45+0.4625

X5=

2

=0.45625

𝑓(0.45) = −0.0114996 𝑓(0.45625) = 0.0169854

X5=0.45625 𝑓(a5)𝑓(x5) = 𝑓 (0.45)𝑓 (0.45625) < 0

entonces  a6=a5=0.45

b6=x5=0.45625

Xi

i 0 1 2 3 4 5

| xi+1-x1 | 0.3 0.4 0.45 0.475 0.4625 0.45625

0.1 0.05 0.025 0.0125 0.00625 ≤=0.008

Luego tenemos que la raíz es  0.45625 Donde | xi+1-x1 | = 0.00625≤0.008 es decir menor a 0.8%

Ejercicio 2: Dada la siguiente función:

F(X)=X3-7x2+14x-6 Aplicar el teorema de bisección e iterar hasta encontrar la raíz de la función en el intervalo [1; 3.2] con un error estimado menor de 4% RESOLUCIÓN.

Sea i=0:

[a0,b0]= [1,3.2] 1+3.2

X0=

=2.1

2

𝑓(1) = 2.0000000 𝑓(2.1) = 1.7910000

X0=2.1 𝑓(a0)𝑓(x0) = 𝑓 (1)𝑓 (3.2) > 0

entonces  a1=x0=2.1 b1=b0=3.2

Sea i=1:

[a1,b1]= [2.1;3.2] 2.1+3.2

X1=

2

=2.65

𝑓(2.1) = 1.7910000 𝑓(2.65) = 0.5521250

X1=2.65 𝑓(a1)𝑓(x1) = 𝑓 (2.1)𝑓(2.65) > 0

entonces  a2=x1=2.65 b2=b1=3.2

Sea i=2:

[a2,b2]= [2.65;3.2] 2.65+3.2

X2=

2

=2.925

𝑓(2.65) = 0.5521250

𝑓(2.925) = 0.0858281

X2=2.925 𝑓(a2)𝑓(x2) = 𝑓 (2.65)𝑓 (2.925) > 0

entonces  a3=x2=2.925 b3=b2=3.2

Sea i=3:

[a3,b3]= [2.925;3.2] 2.925+3.2

X3=

=3.0625

2

𝑓(2.925) = 0.0858281 𝑓(3.0625) = −0.0544434

X3=3.0625 𝑓(a3)𝑓(x3) = 𝑓 (2.925)𝑓(3.0625) < 0

entonces  a4=a3=2.925 b4=x3=3.0625

Sea i=4:

[a4,b4]= [2.925;3.0625] 2.925+3.0625

X4=

2

=2.99375

𝑓(2.925) = 0.0858281 𝑓(2.99375) = 0.0063279

X4=2.99375 𝑓(a4)𝑓(x4) = 𝑓 (2.925)𝑓(2.99375) > 0 entoncesa5=x4=2.99375

b5=b4=3.0625 Sea i=5:

[a5,b5]= [2.99375; 3.0625] 2.99375+3.0625

X5=

2

=3.0281250

𝑓(2.99375) = −0.0114996 𝑓(3.0281250) = −0.0265207

X5=3.0281250 𝑓(a5)𝑓(x5) = 𝑓 (2.99375)𝑓(3.0281250) > 0

entonces 

a6= x5=3.0281250 b6=b5=3.0625

i 0 1 2 3 4 5

Xi

| xi+1-x1 | 2.1 2.65 2.925 3.0625 2.99375 3.0281250

0.5500000 0.2750000 0.1375000 0.0687500 0.0343750 ⁡ ∃⁡𝑥 ∗ ⁡Є¨[0; 1.3]=[𝑎0 ; 𝑏0 ] Sea i = 0 𝑥0 =

𝑓(𝑏𝑖)𝑎𝑖 − 𝑓(𝑎𝑖)𝑏𝑖 12.7858492(0) − (−1)1.3 = = 0.0942996 𝑓(𝑏𝑖) − 𝑓(𝑎𝑖) 12.7858492 − (−1) 𝑥0 = 0.0942996 𝑓(0)𝑓(0.0942996) = (−1)(−1) > 0 {

𝑎1 = 𝑥0 = 0.0942996 𝑏1 = 𝑏0 = 1.3

Sea i = 1 𝑥1 =

12.7858492(0.0942996) − (−1)1.3 = 0.1817589 12.7858492 − (−1) 𝑥1 = 0.1817589

𝑓(0.0942996)𝑓(0.01817589) = (−1)(−1) > 0 {

𝑎2 = 𝑥1 = 0.1817589 𝑏2 = 𝑏1 = 1.3

Sea i=2 𝑥2 =

12.7858492(0.1817589 − (−1)1.3 0.2628740 12.7858492 − (−1) 𝑥2 = 0.2628740

𝑓(0.18178589)𝑓(0.2628740) = −1(−0.9999984)>0 𝑎 = ⁡ 𝑥2 = 0.2628740 { 3 𝑏3 = 𝑏2 = 1.3 Sea i=3 𝑥3 =

12.7858492(0.2628740) − (−0.9999984)1.3 = 0.3381051 12.7858492 − (−0.9999984) 𝑥3 = 0.33381051

𝑓(0.2628740)𝑓(0.3381051) = (−0.9999984)(−0.9999805)>0 𝑎 = 𝑥3 = 0.3381051 { 4 𝑏4 = 𝑏3 = 1.3 Sea i=4 𝑥4 =

12.7858492(0.3381051) − (−0.9999805)1.3 = 0.4078779 12.7858492 − (−0.9999805) 𝑥4 = 0.4078779

𝑓(0.3381051)𝑓(0.4078779) = −0.9999805 ∗ −0.9998726 > 0 𝑎 = 𝑥4 = 0.4078779 { 5 𝑏5 = 𝑏4 = 1.3 Sea i=5 𝑥5 =

12.7858492(0.4078779 − (−0.9998726)1.3 = 0.4725831 12.7858492 − (−0.9998726) 𝑥5 = 0.4725831

𝑓(0.4078779)𝑓(0.4725831)= (-0.9998726)(-0.9994444)>0 𝑎 = 𝑥5 = 0.4725831 { 6 𝑏6 = 𝑏5 = 1.3 Sea i=6 𝑥6 =

12.7858492(0.4725831) − (−0.9994444)(1.3) = 0.5325715 12.7858492 − (−0.9994444) 𝑥6 = 0.5325715

I

Xi

E

E%

0

0.0942996

1

0.1817589

0.4811830

48.113000

2

0.2628492

0.3085050

30.850500

3

0.3381051

0.2225814

22.258140

4

0.4078779

0.1710630

17.106300

5

0.4725831

0.1369181

13.691810

6

0.5325715

0.1126391

11.263610

Ejercicio N° 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 10𝑥 − 20

¨

Por el teorema de Bolzano se sabe que hay una solución en el intervalo de[1,2] ; Ę< 10-3 𝑓(1) = −7 𝑓(2) = 16 Por lo tanto: 𝑓(1)𝑓(2) < 0⁡ =>⁡∋ 𝑥 ∗ ∈ [1,2] = [𝑎0 ; 𝑏0 ] 𝒔𝒆𝒂⁡𝒊 = 𝟎

𝑥0 =

(16 ∗ 1) − (−7 ∗ 2) 𝒇(𝒃𝒊 )𝒂𝒊 − 𝒇(𝒂𝒊 )𝒃𝒊 ⁡= = 1.3043478 𝒇(𝒃𝒊 ) − 𝒇(𝒂𝒊 ) 16 − (−7) 𝑥0 = 1.3043478 > 𝟎 => ⁡ 𝒂𝒊+𝟏 = ⁡ 𝒙𝒊 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃𝒊+𝟏 = 𝒃𝒊 < 𝟎 => ⁡ 𝒂𝒊+𝟏 = 𝒂𝟏 ⁡𝑓(𝒂𝟏 )𝒇(𝒙𝟏 ) = ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒃𝒊+𝟏 = 𝒙𝟏 {⁡⁡⁡⁡⁡⁡= 𝟎 => ⁡ 𝒙𝒊 ⁡𝒆𝒔⁡𝒍𝒂⁡𝒓𝒂𝒊𝒛 𝑓(1)𝑓(1.3043478) = (−7)(−1.3347585) > 0 𝑎 = 𝑥0 = 1.304334478 { 1 𝑏1 = 𝑏0 = 2

[𝑎1 , 𝑏1 ] = [1.3043478; 2] Sea i = 1 𝑥1 =

𝑓(𝑏𝑖 )𝑎𝑖 − 𝑓(𝑎𝑖 )𝑏𝑖 16(1.3043478) − (−1.3347585 ∗ 2) =⁡ = 1.3579123 𝑓(𝑏𝑖 ) − 𝑓(𝑎𝑖 ) 16 − (−1.3347585 𝑥1 = 1.3579123 𝑓(1.3043478)𝑓(1.357123) = (−1.334585)(−0.2334995) > 0 𝑎 = 1.3579123 { 2 𝑏2 = 2

Sea i = 2 𝑥2 =

𝑓(𝑏𝑖 )𝑎𝑖 − 𝑓(𝑎𝑖 )𝑏𝑖 16 ∗ 1.3579123 − (−0.2334995 ∗ 2) =⁡ = 1.3671480 𝑓(𝑏𝑖 ) − 𝑓(𝑎𝑖 ) 16 + 0.2334995 𝑥2 = 1.3671480 𝑓(1.3579123)𝑓(1.3671480) = (−0.2334995)(−0.0350050) > 0 𝑎 = 1.3671480 { 3 𝑏2 = 2

Sea i =3 𝑥3 =

𝑓(𝑏𝑖 )𝑎𝑖 − 𝑓(𝑎𝑖 )𝑏𝑖 16 ∗ 1.3671480 − (−0.0350050 ∗ 2) =⁡ = 1.3685295 𝑓(𝑏𝑖 ) − 𝑓(𝑎𝑖 ) 16 − (−0.0350050) 𝑥3 = 1.3685295

𝑓(1.3671480)𝑓(1.3685295) = (−0.0350050)(−0.0058771) > 0 𝑎 = 1.3685295 { 4 𝑏4 = 2 Sea i =4 𝑥4 =

𝑓(𝑏𝑖 )𝑎𝑖 − 𝑓(𝑎𝑖 )𝑏𝑖 16 ∗ 1.3685295 − (−0.0058771 ∗ 2) =⁡ = 1.3687614 𝑓(𝑏𝑖 ) − 𝑓(𝑎𝑖 ) 16 − (−0.0058771) 𝑥5 = 1.3687614 𝑎 = 1.3687614 { 5 𝑏5 = 2 £=⌊

I 0 1 2 3 4

𝑥⁡𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 − 𝑥𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ⌋ 𝑥⁡𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎

Xi 1.3043478 1.3579123 1.3671480 1.3685295 1.3687614

£ 0.0394462 0.0067555 0.0010095 0.0001694

£% 3.9446200% 0.6755500% 0.1009500% 0.0169423%

Método de punto fijo Ejercicio N°1 En la empresa Antamina se desea saber cuánto material debe moverse en la mina, si la ley del Cu es del 0.95%. Para obtener 1000 toneladas de Cu al 99.99% siendo el proceso de recuperación del 98% y el proceso de flotación un 85%. Empleando la función F(x)=(2x-ex)/5 para ello se consideró la iteración x=(2x-ex)/5 con un valor inicial de cero. Iterar hasta que el error aproximado porcentual sea menor a 0.005%(7 dígitos)

Solución: Tenemos: G(x)= (2x-ex)/5 X0=g(X0)=0 X1=g(X0)=g(0)=(2(0)-e0)/5= -0.2 X2=g(X1)=g(-0.2)=(2(-0.2)-e-0.2)/5 )= -0.1557462 X3=g(X2)= -0.1663039 X4=g(X3)=..... X5=g(X4)=.......

E⁡(aprox)% = │

−0.1557462 − (−0.2) │ × 100%⁡ −0.1557462

Eaprox % =28.41405 %

E⁡(aprox)% = │

−0.1663039 − (−0.1557462) │ × 100% −0.1663039

Eaprox % =6.34844 %

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Xi 0 -0.2000000 -0.1557462 -0.1663039 -0.1638264 -0.1644101 -0.1642727 -0.1643050 -0.1642974

E aprox % 0 100 % 28.41405 % 6.34844 % 1.51227 % 0.35503 % 0.08364 % 0.01966 % 0.00463 % ≤⁡⁡0.005 %

Ejercicio N°2 Aplique el método de iteración de punto fijo para determinar una solución con un error aproximado de 0.001 para x3-x -1 = 0 .Utilice x0 =1 . 3

𝑥 = √𝑥 + 1 3

x1= √1 + 1 = 1.2599210 x2=1.3122938 x3=1.3223538 E⁡(aprox) = │

1.2599210 − 1 │⁡ 1.2599210

Eaprox =0.2062994

i 0 1 2 3 4 5

Xi 1 1.2599210 1.3122938 1.3223538 1.3242687 1.3246326

E 0 0.2062994 0.0399094 0.00760760 0.0014460 0.0002747≤ 0.001

Interpolación Problema 1: (Aplicación de modelos matemáticos en metalurgia extractiva – tesis presentada por juan coral alegre 1990) Para la optimización en metalurgia extractiva se pueden aplicar modelos matemáticos el cual no es más que la planificación racional de las experiencias a realizarse de manera que podemos obtener la máxima información con el mínimo posible de pruebas. En este caso estudiantes de la escuela de Ing. Metalurgia realizaron una prueba sobre gases donde proporcionaron datos de presión debida a las alturas con presión total. Para minimizar pruebas interpole los datos, sugerencia usar el segundo polinomio interpolante. (Según pruebas a 21.9814714 de presión debido a alturas la presión total es de 777.981) Presión debido alturas 11.4903146

a

las Presión total 767.490mmhg

15.9865247

771.986mmhg

26.9772604

782.977mmhg

X0 =11.4903146, X1=15.9865247, X2=26.9772604 L0= (x-15.9865247)*(x-26.9772604)/ (11.4903146 15.9865247)*(11.4903146-26.9772604)= ((x-42.9637851) x +431.2726397)/69.6325621 L1= (x-11.4903146)*(x-26.9772604)/ (15.986524711.4903146)*(15.9865247-26.9772604)= ((-x+38.4675750)x309.9772090)/49.4166569 L2= (x-11.4903146)*(x-15.9865247)/ (26.977260411.4903146)*(26.9772604-15.9865247)=

((x-27.4768393)x+183.6901982)/170.2129281 Puesto que: F(x)=F (11.4903146)= 767.490 F(x1)=F (15.9865247)= 771.986 F(x2)=F (26.9772604)= 782.977

P(x)= ∑𝟐𝒌=𝟎 𝒇(𝒙)𝑳(𝒙) = (((x-42.9637851) x +431.2726397)/69.6325621)* 767.490+ (((x+38.4675750)x-309.9772090)/49.4166569)* 771.986+(((x27.4768393)x+183.6901982)/170.2129281)* 782.977

P(x) = (0.0000046x-0.9998265)x + 756.0010747 P (21.9814714)=777.9809550 ERROR =0.000058 % La ecuación polinomial de LaGrange es aceptable para este experimento, podremos predecir presiones totales sin necesidad de excesivas pruebas entre valores de 11.49 a 26.98

Problema 2(interpolación con polinomio de LaGrange) F(x)=1/x X0 =3, X1=3.9, X2=4.1 Según los datos proporcionados obtener el segundo polinomio interpolante F(x) y obtener f(3.7) con el polinomio de lagrange L0= (x-3.9)*(x-4.1)/(3-3.9)*(3-4.1)= ((x-8) x +15.99)/0.99 L1= (x-3)*(x-4.1)/(3.9-3)*(3.9-4.1)= ((-x+7.1)x-12.3)/0.18

L2= (x-3)*(x-3.9)/(4.1-3)*(4.1-3.9)=((x-6.9)x+11.7)/0.22 Puesto que: F(x) =F (3) =0.3333333 F(x1) =F (3.9) =0.2564103 F(x2)=F(4.1)=0.2439024 P(x)= ∑𝟐𝒌=𝟎 𝒇(𝒙)𝑳(𝒙) = (((x-8) x +15.99)/0.99)* 0.3333333+ (((-x+7.1)x-12.3)/0.18)* 0.2564103 + (((x-6.9)x+11.7)/0.22)* 0.2439024 P(x) = (0.0208459x-0.2293067)x + 0.8336403 F (3)=1/3 F (3) ≈ P (3) ≈0.3333333 P (3.7) =0.2705859 F (3.7)=0.2702703 ERROR= 0.1167830% Aceptable para este caso