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• Jesus Garcia

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8.1.- Un automóvil que transita por una carretera escabrosa, cuya superficie es senoidal, se moldea como un sistema de resorte-masa, como se muestra en la figura 8.40. la superficie senoidal tiene una longitud de onda de 5m y una amplitud de y = 1mm. Si la masa del automóvil, incluidos los pasajeros, es de 1500 kg y la rigidez del sistema de suspensión (k) es de 400 kN/m, determine el rango de velocidad (v) del automóvil en el cual los pasajeros perciben la vibración. Sugiera posibles métodos de mejorar el diseño para un viaje más confortable de los pasajeros 8.1 paso 1. Dibuje el diagrama de cuerpo libre

8.1 paso 2. Dado que la superficie sigue una función sinusoidal con una amplitud de 1mm y una longitud de onda de 5m podemos escribir la función de desplazamiento de la altura del automóvil a nivel de la rueda como: ( ( Cuando

* *

es la distancia recorrida hasta el momento por el automóvil.

Dado que el automóvil se está moviendo con una velocidad constante de ahora sigue la función:

,

Página 1

Como resultado de la combinación de las ecuaciones anteriores: (

*

(

*

De la fórmula original de una ecuación sinusoidal calcular la frecuencia del movimiento armónico como: (

ahora se puede

*

8.1 paso 3.0.Al modelar el automóvil como un sistema no amortiguado de un solo grado de libertad, podemos calcular los siguientes parámetros de nuestro sistema. Frecuencianatural: √

√

Relación de frecuencia:

8.1 paso 3.1.Dado que el automóvil está sujeto a una excitación armónica de base (sinusoidal) y , la amplitud de las vibraciones que sienten los pasajeros está dada por la siguiente ecuación:

( ) Página 2

8.1 paso 4. Las amplitudes de velocidad y aceleración que sienten los pasajeros están dados por:

( )

( ) 8.1 paso 5 .De acuerdo con el nomograma de vibración (figura 9.1) el umbral de percepción de la vibración por los pasajeros es un valor de aceleración más pequeño que el de

( )

Página 3

8.1 paso 6. Una mejor comprensión de la solución se puede lograr a través de la trama de la aceleración vertical ( ) a la velocidad horizontal ( ) del automóvil.

8.1 paso 7.La gama de velocidad en la que los pasajeros van a percibir la vibración es entre 0 y 8,89 km/h. Un viaje más cómodo se puede lograr para el pasajero si podemos mover el punto de resonancia a una velocidad horizontal mayor no aplicable a los movimientos normales de automóviles. Así que para una mucho mayor que nuestra velocidad máxima del automóvil se puede calcular la frecuencia del movimiento en esta velocidad horizontal particular como:

El punto de una vibración de resonancia es, por definición, el punto donde la frecuencia del movimiento aplicado es igual a la frecuencia natural del sistema, Así:

Página 4

√

Así que una solución de este tipo se puede aplicar mediante el aumento de la rigidez de la suspensión en el valor adecuado calculado anteriormente.

8.3.- Dos discos idénticos se conectan por medio de cuatro birlos de diferentes tamaños y se montan en una flecha, como se muestra en la figura 8.41. Las masas y ubicación de los tres birlos son como sigue: = 35 gramos, r1 = 110 mm y = 40; = 15 gramos, r2 = 90mm y = 220; y = 25 gramos, r3 = 130 mm, = 280. Encuentre la masa y ubicación del cuarto birlo ( , el cual produce el balanceo estático de los discos. 8.3 paso 1. Dos discos idénticos están conectados por cuatro pernos de diferentes tamaños y estos están montados en un soporte como se muestra en la figura. Las masas y localizaciones de los pernos son las siguientes

8.3 paso 2Encontrar la masa y la localización del cuarto perno provoca un balance estático en los discos.

el cual

Página 5

8.3 paso 3

8.3 paso 4. Para calcular el punto de balance debemos calcular primero las fuerzas de desbalance producidas por la masa adicional de los otros 3 pernos. De manera que se calcularan las respectivas fuerzas y ángulos de estos pernos.

Página 6

8.3 paso 5. Para que durante el movimiento el soporte se encuentre en balance estático, la suma vectorial de las fuerzas de cada perno debe de ser igual a cero en cualquier dirección:

5.-Se colocan tres masas, que pesan 0.5lb, 0.7lb y 1.2 lb alrededor de un volante de 30 pulg. De diámetro en las ubicaciones angulares respectivamente. Encuentre el peso y la ubicación angular de la cuarta masa que se colocara en el borde que conduce al balanceo dinámico del volante. 8.3 paso 6

3850·

·0.643-1350· ·

·0.643- 3250·

·0.94+ ·

·

·cos(

·sin( Combinando ecuaciones (1) y (2)

Tan(

=-5.196

Página 7

Como conclusión, el cuarto perno puede estar localizado 154.45 grados de x en cualquiera con valor menor o igual al radio del disco tan largo como

8.5 paso 1. Con el fin de calcularse las propiedades de la masa de equilibrado debemos primero calcular la fuerza producida a partir de la resta masas. Por lo que para cada masa, respectivamente, la fuerza producida y el ángulo se calcula por debajo de donde Fi es la fuerza de desequilibrio creado por la masa adicional Ri, es la distancia de la masa desde el centro de gravedad de la millas cilindro es la masa añadida y es la frecuencia de la excitación: Determine la fuerza de desequilibrio para la primera masa adjunta, F1 usando la siguiente ecuación

Sustituyendo 30 pulgadas para

y .5 libras para

= 15 Por lo tanto la fuerza de desequilibrio en la primer masa adjunta está dada por

8.5 paso 2. Determine la fuerza de desequilibrio de la segunda masa adjunta, usando la siguiente ecuación

Sustituyendo 30 pulgadas para

y 0.7 lb para

=21 Por lo tanto la segunda masa de desequilibrio adjunta está dada por

=21

Página 8

8.5 paso 3. Determine la fuerza de desequilibrio de la tercera masa adjunta, usando la siguiente ecuación:

Sustituyendo 30 pulgadas para

y 1.2 lb para

=36 Por lo tanto la tercer masa de desequilibrio adjunta está dada por

=36

8.5 paso 4. Determine la fuerza de desequilibrio de la cuarta masa adjunta, usando la siguiente ecuación:

Sustituyendo 30 pulgadas para

=30·

·

Por lo tanto la cuarta fuerza de desequilibrio adjunta está dada por la masa =30· · 8.5 paso 5

Página 9

8.5 paso 5.1. Por la dirección horizontal de la fuerza de equilibrio calculada atreves de la ecuación siguiente donde Fxi es la fuerza desbalanceada creada por la masa adicional en "i" en dirección de X:

Donde ⍬4 es el ángulo donde esta adherida la masa, sustituyendo 15ω2 por F1, 21ω2 por F2, 36ω2 por F3 y 30·m4·ω2 por F4 Y sustituyendo también 10° por ⍬1, 100°por ⍬2 , 190° por ⍬3, quedaría:

Dividido entre ω2 :

8.5 paso 6.Para la dirección vertical, la fuerza de equilibrio es calculada atreves de la ecuación siguiente, donde Fy es la fuerza desbalanceada creada por la masa adicional "i" en la dirección de Y:

Sustituyendo 15ω2 para F1, 21ω2 para F2, 36ω2 para F3 y 30·m4·ω2 para F4 Sustituyendo también 10° por ⍬1, 100° por ⍬2, y 190° por ⍬3, quedaría:

Página 10

8.5 paso 6. Combinando la ecuación 1 y 2, se obtiene:

Para calcular la masa del 4to:

8.15 paso 1. Un volante, de 100 lb de peso y excentricidad 0.5 pulg, está montado en el centro de una flecha de acero. La longitud de la flecha entre los rodamientos es de 30 pulg y la velocidad de rotación del volante es de 1200 rpm. La configuración de la flecha y el volante se muestra a continuación:

8.15 paso 2. Se determina el módulo de Young del acero, convertimos en psi (

*(

y lo

)

Página 11

8.15 paso 3. Convertimos la velocidad angular,

:

8.15 paso 4. Convertimos la velocidad angular,

:

8.15 paso 5. Asumimos que la flecha actúa como un simple soporte. La rigidez de la flecha se puede calcular por la siguiente relación:

Con como el momento de inercia y inercia se determina como:

la longitud de la flecha. El momento de

Sustituyendo en la primera ecuación nos da:

Aplicando los valores iniciales y

Página 12

8.15 paso 6. Calculamos la frecuencia natural con la siguiente ecuación: √ Convertimos las

a

√

8.15 paso 7. Calcular la amplitud de movimiento circular por la siguiente relacion:

[

]

Cuando e es excéntrico Sustituir m con 100 lb, w con 125.664 rad/s, e con 0.5 in y

[

con 2620.025 lbf / in

]

⁄

8.15 paso 8.Calcular la desviacion del centro de masa, R por la siguiente ecuacion: √ Sustituir A con 1.382 in √

Página 13

8.15 paso 9. Calcular la reaccion de rodamiento utilizando la siguiente ecuacion:

Sustituir m con 100 lb,

con 125.664 rad/s y R con 0.501 in (

*

8.17.- una flecha de acero de 2.5cm de diámetro y 1 m de longitud esta soportada por sus dos extremos en rodamientos. Lleva un disco de turbina, de 20kg de masa y 0.005 m de excentricidad, a la mitad y funciona a 6000 rpm. El amortiguamiento en el sistema equivale a amortiguamiento viscoso con determine la amplitud de remolineo del disco a (a) la velocidad de operación, (b) la velocidad crítica y (c) 1.5 veces la velocidad critica. 8.17 paso 1 Un eje de acero opera a 6000 rpm. Se lleva un disco de turbine de 20 de masa y 0.005m de excentricidad. Se muestra el eje de la configuracion y el rotor por debajo

Página 14

8.17 paso 2. Convertir el diametro del eje en unidades del SI Diametro del eje: determinar el modulo de Young de acero, convertir la velocidad de rotacion,

8.17 paso 3 .la velocidad de rotacion del eje 8.17 paso 4. El eje se supone que está actuando como una viga simplemente apoyada. La rigidez del eje se puede calcular mediante el uso de relación siguiente:

Con como el segundo momento de inercia y es la longitud del eje. El segundo momento de inercia del eje rígido se determina como:

Con , diámetro del eje. Mediante la aplicación de la ecuación (2) a la ecuación (1), la rigidez del eje se puede reescribir como:

L Sustituya 1m, D con 0.025 m, y E con valor determinado de

El eje tiene rigidez,

de

.

Página 15

8.17 paso 5. Calcular la frecuencia natural por el siguiente ecuación: √ Con

igual a la masa del rotor.

Sustituir

con 20 kg y

con √

El sistema de vibración tiene una frecuencia natural,

de

.

8.17 paso 6.Calcular la amplitud de giro del disco a la velocidad de funcionamiento mediante el uso de la siguiente ecuación.

[ Con Y

es la excentricidad y

]

⁄

es la relación de amortiguamiento.

es relación de frecuencias, el calculado por:

Sustituir de

con

y

con

.

Dado que la relación de frecuencia se determina, la amplitud de giro se puede calcular mediante la sustitución de con , con , y con en la ecuación (3).

*

(

) +

⁄

Página 16

La

amplitud .

de

giro

del

disco

a

la

velocidad

de

operación,

es

8.17 paso 7. Si el eje funciona a velocidad crítica, la velocidad de funcionamiento a la velocidad crítica se determina por: √ Sustituir

con

y

con

. √

√

La velocidad crítica del sistema,

es

.

8.17 paso 8. La frecuencia del radio se determina de:

Sustituyendo valores tenemos que:

La frecuencia del radio en velocidad crítica es, r es 1.002. 8.17 paso 9. La amplitud se determina:

[

]

Sustituyendo e = 0.005m, r= 1.002 y

[

]

Página 17

8.17 paso 10. La frecuencia de radio puede ser calculada usando la siguiente expresion:

Sustituyendo

= 1.0001

La frecuencia del radio a 1.5 de tiempo de velocidad critica, r = 1.50015

8.17 paso 11. La amplitud es determinada de

[

]

Sustituyendo e con 0.005m, r = 1.50015 y Tenemos que

[

]

La amplitud a la velocidad critica es 8.996mm

8.23.- la masa reciprocante, el radio del cigüeñal y la longitud de cada uno de los cilindros en un motor en línea de dos cilindros m, r y l , respectivamente. Los ángulos de los cigüeñales de los dos cilindros están separados por 180. Determine las fuerzas desbalanceadas y momentos en el motor.

Página 18

8.23 paso 1

8.23 paso 2. Con la ecuación de la fuerza no balanceada y sus respectivas variables como masa, radio, angulo de velocidad se definine por: (

)

∑

∑

donde es la orientación de cada cilindro y los angulos de separación entre los dos cilindros son de 180 podemos decir que la orientación del cilindro seria como 1. La orientación angular del cilindro se dira que es:

Analizando las variables siguientes en la ecuación 1 ∑

y∑ ∑

Página 19

Y ∑

8.23 paso 3. Usando los valores de las siguientes ecuaciones ∑ Y ∑ Las equaciones de fuerzas no balanceadas son: (

Sustitullendo

)

[

]

con m la ecuación final quedara como:

8.23 paso 4. Analizando la ecuación para el total de la fuerza desequilibrada horizontal ( ) con valor constante de masa reciprocante , radio de manivela r, velocidad angular

, y la longitud de biela . ( )

∑

Página 20

Aquí es la orientación angular de cada cilindro. Dado que los ángulos de cigüeñal de los dos cilindros están separados por , que puede denotar la orientación angular del cilindro 1 como . Y la orientación angular del cilindro Analizar la variable de ∑

en la ecuación 2. ∑

Por lo tanto, las ecuaciones del total de la fuerza desequilibrada horizontales pueden ser escritos por: ( )

8.23 paso 4.1.El momento no balanceado puede ser determinado por las siguientes ecuaciones : En el eje de las x ∑

∑[

]

∑ Con:

∑ Página 21

Los momentos del eje de las x pueden ser expresados por:

8.23 paso 5. Los momentos alrededor del eje z ∑

∑ [(

(

)

)

∑

]

∑

Con, ∑

∑

Los momentos sobre el eje z se pueden expresar por: (

)

Página 22

8.23 paso 5.1. Las fuerzas desequilibradas del motor de 2 cilindros en línea son

( ) Y en el momento sobre el eje X y Z, respectivamente

8.25- en la figura 8.47 se muestra la disposición de los cigüeñales en un motor de seis cilindros en línea. Los cilindros están separados por una distancia a en la dirección axial, y las posiciones angulares de los cigüeñales son . Si la longitud del cigüeñal, la longitud de las bielas y la masa reciprocante de cada cilindro son r, l y m, respectivamente, encuentre las fuerzas desbalanceadas primaria y secundaria y los momentos con respecto al plano de referencia indicado en la figura 8.47 8.25 paso 1. La disposición de las manivelas en un motor de seis cilindros en línea se muestra en la siguiente figura mencionada. El cilindro están separados por una distancia en la dirección axial. Las posiciones angulares de las manivelas están dadas por como se muestra a continuación. El motor tiene una longitud de manivela de r, la longitud de varilla de conexión de la I, y de movimiento alternativo de masa de m, para cada uno de cilindro.

Página 23

8.25 paso 2. El desplazamiento axial de cada cilindro se analiza de la siguiente manera, usando la línea central del cilindro uno como hace referencia en plano. El desplazamiento axial del cilindro 1,

El desplazamiento axial del cilindro 2,

El desplazamiento axial del cilindro 3,

8.25 paso 3. El desplazamiento axial del cilindro 4,

El desplazamiento axial del cilindro 5,

El desplazamiento axial del cilindro 6,

La posición angular del cigüeñal está dada por:

Página 24

8.25 paso 4. La primera y la segunda fuerza desbalanceadas son obtenidas por la dirección de ‘’x’’ y ‘’y’’ usando las siguientes ecuaciones: ∑ Con

es determinada: (

)

Y combinando las 2 últimas ecuaciones tenemos: ∑[(

)

]

8.25 paso 4.1. Usando las constantes y variables (radio del cigüeñal r, longitud de la biela I, masa m y masa rotativa el puede ser expresado: ∑

∑

8.25 paso 5. La fuerza desbalanceada primaria y secundaria acerca de y=axis componente. ∑ Con

es determinada:

Combinando las ecuaciones tenemos: ∑[

]

Usando las constantes y variables (radio del cigüeñal r, longitud de la biela I, masa m y masa rotativa el puede ser expresado: ∑[

]

Página 25

8.25 paso 6 ∑

∑

∑

∑

Sustituyendo ∑ { } ∑ 8.25 paso 6.1 ∑

∑

∑

[ ]

∑ [ ]

Página 26

8.25 paso 6.1.1. Aplicando las ecuaciones trigonométricas en la ecuación. ( ) Sustituyendo

∑

∑ con 0.

la fuerza desequilibrada sobre x y el eje y es cero.

8.25 paso 7. Los momentos de desequilibrio primarios y secundarios se obtienen a partir de su z y la dirección x mediante el uso de las ecuaciones siguientes: Los momentos de desequilibrio primario y secundario sobre el eje z ∑ Mediante la aplicación de la ecuación (2), el momento de desequilibrio puede ser reescrita como: ∑[

(

)

]

∑

∑

Momento de desequilibrio primario sobre el eje x ∑

Mediante la aplicación de la ecuación (5), el momento de desequilibrio puede ser reescrita como: Página 27

∑[

]

∑

8.25 paso 8. evaluación de las variables de trigonometría hte de la ecuación (7) y equaction (8) ∑

Sustituyendo

[

por

∑

,

]

por

por

[

Calcular la ecuación

]

∑

∑

[

8.25 paso 8.1. Sustituyendo por por

∑

por

[

por

,

por

]

Página 28

Calcular la ecuación ∑ ∑ Sustituyendo

[ por

,

]

por

∑

por

[

( √

por

]

*

( √

)

(

√

*

( √

)

8.25 paso 9. la aplicación de la ecuación de la trigonometría en la ecuación (7) ∑ Sustituyendo ∑

∑

con 0 y ∑ (

con 0

)

aplicación de la ecuación de la trigonometría en la ecuación (8) ∑ Sustituyendo ∑

por 0

Página 29

el motor de seis cilindros en línea que está en estado de equilibrio, ya que tiene momento de desequilibrio de cero alrededor del eje y el eje x

8.27.- se tiene que aislar un instrumento electrónico de un tablero que vibra a frecuencias que oscilan de 25 Hz a 35 Hz. Se estima que almenos se debe lograr 80 por ciento del aislamiento de vibración para que no se dañe el instrumento. Si el instrumento pesa 85 N, determine la deflexión estática necesaria del aislador. 8.27 paso 1. Calcular la frecuencia natural inicial

del sistema de la siguiente

= 2 f1 Aquí la frecuencia de vibración inicial es f1. Sustituye 25 Hz para f1 en la ecuación anterior para obtener el valor de

.

= 2 (25)= 157.08 rad/s. Calcular la frecuencia natural final (

) del sistema de la siguiente manera:

= 2 f2 Aquí la frecuencia de vibración final es f2. Sustituye 35 Hz para f2en la ecuación anterior para obtener el valor de

.

= 2 (35)= 219.91 rad/s.

8.27 paso 2.Calcular la fuerza de permisibilidad Tf de la siguiente manera: Tf= 1 - R Aquí el aislamiento de las vibraciones es R. Sustituye 0.8 para R en la ecuación anterior para obtener el valor Tf de la siguiente manera: Tf= 1- 0.8= 0.2

Página 30

Calcular la proporción de la frecuencia (r) de la siguiente manera: r=√ Sustituye 0.2 para Tf en la ecuación anterior para obtener el valor (r) de la siguiente manera: r= √

= √ = 2.449

8.27 paso 3. calcular la deflexión estática ( siguiente manera:

st1)

a la frecuencia inicial de la

st1=

Sustituye 2.449 para r y 157.08 rad/s para el valor ( st1) de la siguiente manera: st1=

en la ecuación anterior para obtener

= 0.002385m= 2.385 mm

8.27 paso 4 Calcular la deflexión estática (

st1)

a la frecuencia inicial de la siguiente manera:

st2=

Sustituye 2.449 para r y 219.912 rad/s para obtener el valor ( st2) de la siguiente manera: st2=

en la ecuación anterior para

= 0.001217m= 1.217 mm

Desde st1 st2a continuación, la mayor es la deflexión estática requerida del sistema. La deflexión estática necesaria del aislador es 2.385 mm.

Página 31

8.29.- un compresor de aire de 500kg de masa tiene una excentricidad de 50 kgcm y funciona a una velocidad de 300 rpm. El compresor se tiene que montar sobre uno de los siguientes soportes de montaje: (a) un aislador compuesto de un resorte con amortiguamiento insignificante, y (b) un amortiguador con relación de amortiguamiento de 0.1 y rigidez insignificante. Seleccione un soporte de montaje adecuado y especifique los detalles de diseño considerando la deflexión estática del compresor, la relación de transmisión y la amplitud de vibración del compresor. 8.29 paso 1. Convertir la fuerza desbalanceada, me a kg m

(

*

Convertir la velocidad

(

a unidades de rad/s

*(

*

8.29 paso 2. Calcular la frecuencia de radio, r mediante la siguiente relación:

{

}

{ {

} }

8.29 paso 3. Buscar la frecuencia usando la siguiente relación:

Sustituir 0.1 en

:

Página 32

√

El sistema tiene una frecuencia radio de 3.317 8.29 paso 4. Calcular la rigidez mediante la relación:

M es la masa del compresor de aire Sustituir M con 500 kg,

con 31.416 rad/s y 11 para

⁄ ⁄

El isolador tiene una rigidez de:

8.29 paso 5. Calcular la amplitud mediante la siguiente ecuación:

√

Siendo

la fuerza de excitación determinada por

Aplicar

a la ecuación y sustituir

por 0

√

Página 33

(

*

Sustituir 0.5 kg m en me, 31.416 rad/s en

(

, 44862 N/m en k y 11 por

*

8.29 paso 6. Calcula la deflección estática usando la siguiente ecuación

Con

es la fuerza que se detemrina por

Con es la fuerza desequilibrada rigidez

es la velocidad y k es una constante de

Se sustituye 0.5 kg.m por me , 31.416 rad/s por

y 44862 N/m por k

8.29 paso 7. El compresor está montado en la primavera con rigidez insignificante y coeficiente de amortiguamiento de 0,1 Calcule la frecuencia del coeficiente de amortiguamiento con la siguiente relación { Se sustituye 0.1 por

}

y 0.1 por

Página 34

{

}

La escuación anterior se puede reescribir como:

0.01

-0.059 -0.99=0

Y se despejan las reices:

√

8.29 paso 8. Calcula la rigidez usando la relación:

Donde M es la masa del aire compresor Se sustituye 500 kg por M, 31.416 rad/s por

y 13.3665 por

8.29 paso 9. Calcula la amplitud usando la ecuación:

√ Donde Fo es la fuerza exitada que se determina por puede reescribir como:

. Y la ecuación se

√

Página 35

Se sustituye 0.5 kg.m por 3.656 por r

, 31.416 rad/s por

0.1 por , 36919 N/m por k y

√

8.29 paso 10.Calcular la deflexión estática usando:

Donde

es la fuerza de excitación determinada por

Con siendo la fuerza de desbalance, de amortiguamiento. Sustituyendo 0.5 kg*m por

La deflexión estática es

.

la velocidad de operación, y

, 31.416 rad/seg para

la rigidez

, y 36919 N/m para :

.

El caso del montaje-resorte tiene mayor amplitud que el caso de montajeamortiguador. Pero la deflexión estática del caso montaje-resorte es menor que la del caso montaje-amortiguador. Por lo tanto, seleccionamos el montaje-amortiguador para reducir la amplitud de la vibración. Por relación de transmisión de 0,1, el amortiguador puede controlar la amplitud de la vibración a 0,001079 m y tiene una deflexión estática de 0,013367 m 8.63.- un compresor de aire con masa de 200 kg y desbalance de 0.01 kg-m experimenta una gran amplitud de vibración mientras funciona a 1200 rpm. Determine la masa y la constante de resorte del absorbedor que se tiene que agregar si las frecuencias naturales del sistema son de al menos 20 por ciento de la frecuencia impartida. Página 36

8.63 paso 1. Calcular el valor de la frecuencia de excitación en rad/seg: (

*

Con el fin de lograr los resultados óptimos, se toma la frecuencia del sistema con amortiguador de igual a la frecuencia de excitación.

8.63 paso 2. Escribe la expresión para la frecuencia natural ( (

*(

Donde,

√(

)

)

)

√(

)

+

es la relación de la masa del absorbedor a la masa del sistema inicial.

Dado que los valores de la frecuencia natural debe ser al menos 20% más arriba que los de la frecuencia de excitación, tenemos:

*(

)

√(

)

+

8.63 paso 3. En este caso las ecuaciones de frecuencia natural del sistema tomaran esta forma, donde es la relación de la masa del absorbedor con la masa del sistema inicial, mientras y son las frecuencias naturales del sistema combinado. Para la primera frecuencia natural: Escribimos la expresión para la segunda frecuencia natural ( (

)

√(

) Página 37

*(

)

√(

)

+

Dado que los valores de la frecuencia natural debe ser al menos 20% más arriba que los de la frecuencia de excitación, tenemos:

*(

)

√(

)

+

8.63 paso 4. Añadimos las desigualdades 1 y 2 para obtener la siguiente relación: [(

2

)

√

√

]

[(

)

√

]

> 0.4

µ= 0.154 8.63 paso 5. Use la siguiente expresión para obtener la masa de absorción ( requerido para satisfacer la condición dada:

Aquí

es la masa inicial del sistema, sustituimos 200 kg por

y 0.154 por µ

Use la siguiente expresión para obtener K

Por lo tanto la masa de absorción es 30.8 KG y la constante es 485,881N/m

Página 38

8.65.- el tubo de alimentación de agua a una caldera en una planta termoeléctrica vibra violentamente cuando la velocidad de la bomba es de 800 rpm. Para reducir las vibraciones se instala en el tubo absorbedor compuesto de un resorte de rigidez y masa de prueba de 1 kg. Esta configuración produce las frecuencias naturales del sistema de 750 rpm y 1000 rpm. Se desea mantener las frecuencias naturales del sistema fuera del rango de operación de la bomba, el cual es de 700 rpm a 1040 rpm. Determine los valores que satisfagan este requerimiento. 8.65 paso 1 .Inicialmente la frecuencia de excitación debe ser cambiada a la unidad requerida:

=83.733 rad/S

8.65 paso 2. En este caso la ecuación del sistema natural de frecuencia toma la siguiente forma: (

√

)

La primer frecuencia natural se puede calcular utilizando la ecuación anterior donde µ es la relación entre la masa de absorción de la masa inicial del sistema y es la frecuencia natural de absorción (

√

) [(

√

)

]

La segunda frecuencia natural se puede calcular utilizando la ecuación anterior. (

√

) [(

)

√

]

Página 39

8.65 paso 3.Las frecuencias naturales de de todo el sistemainicialque figura enlas instrucciones quese transformana las unidadesapropiadasdividiendoconsegundosporminutoy multiplicandoa rad. La primera frecuencia natural del sistema trial es:

(

*(

*

La segunda frecuencia natural del sistema trial es:

(

*(

*

8.65 paso 4. Reemplazamos los valoresdelas frecuenciasnaturales del sistematotalparalassiguientes ecuaciones:

*(

)

√(

)

+

*(

)

√(

)

+

Dividiendo las ecuaciones anteriores: [(

)

√(

)

]

[(

)

√(

)

]

Página 40

(

√(

(

√(

)

)

)

(

(

)

√(

)

)

)

8.65 paso 5. Calcula la masa del tubo usando la siguiente ecuación:

La masa del tubo es Se sustituye 0.084 para

, y la masa del trial es y 1 kg para

8.65 paso 5. Necesitamoslas frecuencias naturales para tener una distancia del rango de la frecuencia de excitación y paraobtener estascondicionestenemos quediseñarlas frecuenciasnaturales del sistemapara estar fueradel rango defrecuencia de operaciónsituado entre . Determine las frecuencias operacionales. Frecuencia operacional mínima

(

*(

* Página 41

Frecuencia operacional máxima

(

*(

*

8.65 paso 6 La siguiente condición se aplica para la primera frecuencia natural requerida

Sustituyendo

((

)

((

√(

)

)

√(

) para

)

)

La siguiente condición se aplica para la segunda frecuencia natural requerida

Sustituyendo

((

)

((

√(

)

)

√(

)

)

)

Página 42

8.65 paso 7. Dado que no es sólo una solución al problema, un valor lógico de cualquiera y puede ser seleccionado y el otro se puede calcular a través de las ecuaciones. En nuestro caso vamos a tomar el caso de Sustituir 0.3 para en la ecuación (1).

(

*

√(

*

(

)

Y sustituir 0.3 para en la ecuación (2)

(

*

√(

(

* )

8.65 paso 7.1. Puesto que el rango aceptable de la frecuencia de amortiguamiento se ha determinado como podemos elegir un valor dentro de este rango

Calculando la masa de amortiguación usando la siguiente relación:

Sustituyendo 0.3 para

y 11.9 kg para

Calculando la rigidez del amortiguador utilizando la siguiente relación

Sustituyendo 90 rad/s para

y 3.57 kg para

Por lo tanto las propiedades del amortiguador son 90 rad/sec, 3.57 kg y 28,917 N/m Página 43