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• Luis Rangel

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UNEFA-APURE Profesor: Rafael Valdez

MATEMÁTICA II

™§Funciones Elementales™§ 1_Explique por qué la grafica de la ecuación

x 2+ y 2 =1 no es la grafica de una función.

2_Demuestre que los siguientes triángulos con vértices A, B Y C es un triángulo rectángulo y encuentre área de cada uno. a)

A (−3,4 ) , B ( 2,−1 ) , C ( 9,6 )

b)

A ( 7,2 ) , B (−4,0 ) ,C ( 4,6 )

3_En cada uno de los ejercicios encuentre una ecuación del círculo que satisfaga las condiciones dadas. a)

CentroC ( 3,−2 ) , radio 4

b)

CentroC (−5,2 ) , radio5

c)

Centro en el origen, pasa por P (−3,5 )

d)

CentroC (−4,2 ) ,tangente aleje x

e)

Extremos de un diametro A ( 4,−3 ) y B (−2,7 )

f)

Tangente a ambos ejes , centro en el primer cuadrante , radio 2

4_Encuentre el centro y el radio del círculo con la ecuación dada. 2

2

2

2

a)

x + y + 4 x−6 y + 4=0

b)

x + y +6 x=0

c)

2 x +2 y −x+ y−3=0

d)

9 x + 9 y −6 x+12 y−31=0

2

2

2

2

™§ Operación de hallar los limites ™§ Comparación de las magnitudes infinitesimales a)

b)

c)

lim ¿ n →∞ ¿

n+1 n

( n+1 )2 lim ¿ n →∞ 2 n2 ¿ lim ¿ n →∞

( n+1 )3−( n−1 )3 ( n+1 )2 + ( n−1 )2 ¿ 3

d)

lim ¿ n →∞

2

n −100 n +1 100 n2+ 15 n ¿

Ejercicios propuestos de cálculo diferencial -

Matemática II UNEFA-APURE

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e)

f)

g)

h)

i)

lim ¿ n →∞

1000 n3 +3 n2 0,001n 2−100 n3 +1 ¿

lim ¿ n →∞

( n+1 )4− ( n−1 )4 ( n+1 )4 + ( n−1 )4 ¿

MATEMÁTICA II

(2 n+1)4−(n−1)4 lim ¿ n →∞ (2 n+1)4 +(n−1)4 ¿ lim ¿ n →∞

√3 n 3+ 2n−1 ¿

lim ¿ n →∞ ¿

n+2

√3 n 2+ n n+1 2

j)

lim ¿ n →∞

( √ n2 +1+ n ) ¿

k)

lim ¿ n →∞

√3 n6 +1

√ n3−2 n2 +1+√3 n4 +1 √4 n 6+ 6 n5 +2− √5 n7 +3 n 3+1 ¿

l)

4 5 3 2 n +2−√ n +1 √ lim ¿ n →∞ 5 4 √n +2− √n 3+1

¿

m)

n)

o)

lim ¿ n →∞

lim ¿ n →∞

lim ¿ n →∞

n! ( n+1 ) !−n ! ¿

( n+2 ) ! + ( n+1 ) ! ( n+3 ) ! ¿ ( n+2 ) !+ ( n+1 ) ! ( n+2 ) !−( n+ 1 ) ! ¿

Ejercicios propuestos de cálculo diferencial -

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p)

q)

r)

s)

MATEMÁTICA II

1 1 1 1+ + +…+ n 2 4 2 lim ¿ n →∞ 1 1 1 1+ + + …+ n 3 9 3 ¿ 1 ( 1+2+3+…+ n ) 2 n ¿

lim ¿ n →∞

lim ¿ n →∞

…+ n n − ) ( 1+2+3+ n+2 2 ¿

lim ¿ n →∞

n ( 1−2+3−4+…−2 ) n +1 2

¿ t)

u)

lim ¿ n →∞

( 1.21 + 2.31 +… ( n−11 ) n ) ¿

lim ¿ n →∞ ¿

2n−1 2n +1 1

v)

lim ¿ n →∞ ¿

w)

x)

y)

2 n −1 1 n

2 +1

lim

x 2−2 3 x 2−5 x +1

lim

( 2−x1 − 8−x3 )

lim

x 2−2 x +1 3 x −x

x→ 0

x→ 2

x→ 1

3

Función de argumento continúo. Hallar los límites en cada caso 2

a)

lim ¿ x →2 ¿

x +5 x 2−3

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b)

c)

d)

e)

x 3−3 x +1 +1 x−4 ¿

lim ¿ x →0

(

lim ¿ x →1

x 1−x

¿

g)

h)

)

x 2−3 x 4 + x 2 +1 ¿

lim ¿ x →√ 3

lim ¿ x →1

x 2−2 x+ 1 x3 −x ¿ 3

f)

MATEMÁTICA II

lim ¿ x →−2

lim ¿ x →1

lim ¿

2

x +3 x + 2 x 2 x −x+6 ¿

( x−1 ) √ 2−x x2 −1 ¿

8 x 3−1 1 x → 6 x 2−5 x +1 2 ¿ 3

i)

j)

k)

l)

m)

lim ¿ x →1

x + x −2 3 2 x −x −x +1 ¿

lim ¿ x →1

(

1 3 − 1−x 1−x 3 ¿

lim ¿ x →2

[

1 1 − 2 2 x ( x−2 ) x −3 x +2 ¿

lim ¿ x →1

[

x +2 x−4 + 2 x −5 x + 4 3 ( x −3 x +2 ) ¿

lim ¿ x →1

x m −1 (m y n son n+n ú meros enteros) x n−1 ¿

2

)

]

]

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n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

lim ¿ x → ∞

x 3+ x x 4−3 x 2 +1 ¿

lim ¿ x → ∞

x 4−5 x x 2−3 x+1 ¿

lim ¿ x → ∞

x 2−1 2 x 2 +1

¿

MATEMÁTICA II

lim ¿ x → ∞

1+ x−3 x 3 1+ x2 +3 x 3 ¿

lim ¿ x → ∞

(

lim ¿ x → ∞

(

x x − 2 2 x −1 2 x +1 ¿

lim ¿ x → ∞

[

2 ( 2 x −1 ) ( 3 x 2 + x+ 2 ) 3x − 2 2 x+1 4x ¿

3

x −x 2 x +1 ¿

)

3

2

)

]

( x+1 )10 + ( x−2 )10 .…+ ( x+100 )10 lim ¿ x → ∞ x 10 +1010 ¿ lim ¿ x →+∞ √4

x 2+ 1+ √ x √ x 3 + x−x ¿

3 x 2+ 1−√ x 2+1 √ lim ¿ x → ∞ 4 4 √ x + 1−√5 x 4 +1

¿

x)

lim ¿ x → ∞

√5 x 7 +3+ 4√2 x 3−1 √6 x 8 + x 7 +1−1 ¿

y)

3 4 5 x + 3−√ x 3+ 4 √ lim ¿ x → ∞ √3 x 7 +1

¿

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z)

aa)

ab)

lim ¿ x →0 √ ¿ lim ¿ x →0 √ ¿

MATEMÁTICA II

1+ x 2−1 x 1+ x−1 x2

x 2+ 1−1 √ lim ¿ x →0 2 √ x +16−4 ¿

ac)

ad)

ae)

af)

lim ¿ x →5 √ ¿ lim ¿ x →1 ¿

x−1−2 x−5

x 2− √ x √ x−1

lim ¿ h →0 √

x +h− √ x h ¿

lim ¿ x →0

√3 1+ x 2−1 x

¿ 3

ag)

ah)

r

2

lim ¿ x →0 √

1+ x− √3 1−x x ¿

lim ¿ x →a √

x−b− √a−b ( a>b ) x 2−a2 ¿

n

ai)

aj)

lim ¿ x →1 m√

x −1 ( n y m son n ú meros enteros ) √ x−1 ¿

lim ¿ x →0

√3 1+ x 2−√4 1−2 x ¿

ak)

lim ¿ x →1

x+x

2

√3 7+ x 3− √3+ x 2 ¿

x−1

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MATEMÁTICA II

al) 2

¿ De qu é manera var í an lasra í ces de la ecuaci ó n cuadrada a x +bx +c=0 cuando b y c conservan sus va

√ x+ a−√ x lim ¿x → ∞ ¿ ¿

am)

lim ¿ x → ∞ ( √ x +1−√ x −1 ) an) ¿ 2

2

ao)

lim ¿ x →± ∞ ( √ x 2 +1−x ) ¿

ap)

lim ¿ x →± ∞ x ( √ x +1−x ) ¿

aq)

lim ¿ x →± ∞ ( √ ( x +a )( x +b )−x ) ¿

ar)

lim ¿ x →± ∞ ( √ x 2−2 x−1−√ x2 −7 x+3) ¿

2

3

3

√ ( x +1 ) − √( x−1 ) as)

at)

2

2

lim ¿x → ∞ ¿ ¿

lim ¿ x → ∞ x

3 2 3

( √ x 3 +1− √ x 3−1 ) ¿

lim ¿ x →± ∞ x ( √ x √ x +1−x √ 2 ) au) ¿ 2

4

ax ( lim ¿ x →± ∞ x a> 0 ) a +1 av) ¿ a x −a−x lim ¿ x →± ∞ x −x (a>0) a +a aw) ¿ ™§Limites Trigonométricos§™ a)

b)

lim ¿ x → ∞ ¿ lim ¿ x → ∞ ¿

senx x

arctgx x

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c)

lim ¿ x → ∞ ¿

MATEMÁTICA II

x+ senx x+ cosx

arcsenx πx tang 2 ¿

lim ¿ x →1 d)

e)

lim ¿ h →0

sen ( a+3 h )−3 sen ( a+2 h ) +3 sen ( a+ h )−sena h3 ¿

√ 2 sen2 x+3 senx +4−√ sen2 x +6 senx +2 lim ¿

f)

x→

π 2

tang 2 x ¿

¿

g)

lim ¿ x →0

1−cos ( 1−cosx ) 4 x ¿

h)

x x x lim ¿ n →∞ ( cos . cos … cos n ) 2 4 2 ¿

i)

lim ¿ x → ∞ (cos √ x+1−cos √ x) ¿

j)

k)

l)

m)

n)

(

lim ¿ x → ∞ x arctg

x +1 π − x +2 2

)

¿

(

lim ¿ x → ∞ x arctag

lim ¿ x →0 ¿ lim ¿ x →0 ¿ lim ¿ x →0 ¿

x +1 x −arctag x +2 x+2 ¿

)

sen 3 x x tangkx x senαx senβx

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o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

lim ¿ x →0 ¿

tang2 x sen 5 x

lim ¿ α → 0

sen ( α n ) ( m y n son numeros enteros positivos) ( senα )m ¿

lim ¿ x →0

2arcsenx 3x ¿

lim ¿ x →0

2 x−arcsenx 2 x+ arctgx ¿

1−cosx x2 ¿

lim ¿ x →0

lim ¿ x →0

1−csn 3 x xen 2 x ¿ tangα √(1−cosα)2 ¿

lim ¿ α → 0 3

lim ¿ x →0

lim ¿ α → 0

1+ senx−cosx 1−senx−cosx ¿ tangα−senα α3 ¿

(1−cosα )2 lim ¿ α → 0 tang 3 α−sen 3 α ¿ lim ¿ x →0

1 1 − ( senx tangx ) ¿

lim ¿ z)

MATEMÁTICA II

cosx π x→ 3 2

√( 1−senx )

2

¿

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aa)

ab)

lim ¿ x → π ¿ lim ¿

π x→ 2

MATEMÁTICA II

sen 3 x sen 2 x

( π2 −x) tangx ¿

lim ¿ α → π ac)

¿

senα 2 α 1− 2 π 2

ad)

ae)

af)

¿

(

lim ¿ y →a sen

lim ¿

x→

π 4

y−a πy .tang 2 2a ¿

lim ¿

(

x→

π 6

π 6

)

√ 3 −cosx ¿

2

1−sen ah)

ai)

aj)

ak)

lim ¿ x → π

lim ¿

π x→ 2

)

cosx−senx cos 2 x ¿ sen x−

ag)

π 2

lim ¿ x →1 ( 1−z ) tang

x 2

x x x cos (cos −sen ) 2 4 4 ¿ π (2 x tangx− cosx ) ¿

lim ¿ x →0

cos ( a+ x )−cos ( a−x ) x ¿

lim ¿ x →0

cosαx−sen 2 β x2 ¿

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al)

am)

an)

ao)

sen ( α +2 h )−2 sen 8 a+h lim ¿h → 0 ¿+ senα h2 lim ¿ h →0

lim ¿ x →0

tang ( a+2 h )−2tang ( a+h ) + senα h2 ¿

√2−√1+ cosx 2

¿

lim ¿ x →0 √

lim ¿ x →0

sen x

1+ senx−√ 1−senx tangx ¿

√1+ x senx −√cos 2 x 2

tang

ap)

¿ aq)

lim ¿ x →0

as)

at)

au)

lim ¿ x →0 √

1−arcta 3 x−√3 1−arcsen 3 x x2 ¿

lim ¿ x →−1 √

lim ¿ x →0

x 2

1−cosx √ cos 2 x x2 ¿ 3

ar)

MATEMÁTICA II

π− √arcosenx √ x+1 ¿

arcsenx−arctagx x3 ¿ 1 x( n>0 ) xn

( )

lim ¿ x →+∞ 1+ ¿

1

( ) senx av) lim ¿ x →0 cosx ¿ aw)

lim ¿ x →0 ¿

lncosx x2

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ax)

senx x ¿

( )

lim ¿ x →0

MATEMÁTICA II

senx x−senx

1

lim ¿ x →0 ( cosx+ senx ) x ay) ¿ 1

lim ¿ x →0 ( cosx +αsenbx) x az) ¿ §™Limites por Definición§™

∀ ε >0 ∃ δ >0 /|f (x )|0 / si 0 g(y) es:

A

  f(y) - g(y) dy d

c

En cada una de las situaciones, dibuja la región acotada por el gráfico de las ecuaciones dada y calcule el área de la región. 1 1. y  2 ; y  - x 2 ; x  1; x  2. 2. y  x ; y  - x; x  1; x  4. x 3. y 2   x; x - y  4; y  -1; y  2. 4. x  y 2 ; y - x  2; y  -2; y  3 5. y  x 2  1; y  4

6. y  4 - x 2 ;

y  -4

8. y  x 3  1; y  x 2  1

9. y  1 - x 2 ;

y  2x - 1

11. y 2  2x  1 : x - y - 1  0 14. y  x 2 ;

y  x 3 /3

17. y 2  4  x; y 2  x  2

12. y  x 2 ; y  x

13. y 2  8x  16;

15. x 2  y 2  8; y  x 2 /2

16. y 2  6x;

18. x  y 2 ; x - y - 2  0

1 x2 ; y  2 1 x2

23. y 

y

y 2 - 24 x  48

x2  y 2  16

19. y  x; y  3x; x  y  4 21. y  x 3  x; y  0

20. x - y  1  0; 2x  y  2  0; 2x  y  2  0 22. y 

x2 2 10. x  y  3; y  x 2  3

7. y  4x;

ln x ; y  x ln x 4

24. y  tag x;

25 y  x 3  x 2  6x; y  0

26. x  4y - y 3 ; x  0

28. y  x 4 - x 2 ; y  0

29. y  x x 2  9 ; y  0; x  5

y  23 cos x

27. x  3 y 2 ; x  y 2 30. y  x (x - 1) 2 ; y  0

Cálculo de volumen de sólido de revolución Método de las arandelas o discos (rebanado) Sea f una función continua en [a, b]. El volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la gráfica de f, x=a, x=b y por el eje x, está dado por:

V



b a

π [f(x)]2 dx

Cuando el sólido es rebanado por el eje y, su volumen viene dado por.

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V



d c

MATEMÁTICA II

π [g(y)]2 dy

En cada uno del los ejercicios propuestos a continuación dibuje la región R acotada por las gráficos de las ecuaciones dadas y calcule el volumen del sólido que genera le región R al girar alrededor del eje indicado. 1. y  1/x; x  1; x  3; y  0; Eje x 2. y  x ; y  0; x  4; Eje x 3. y  x; 2y  x; y  3 Eje y

4. y  2x; y  4x 2 ; Eje y

5. y  x 2 ; y  2; Eje y

6. y  1 / x;

7. y  x 2  4 x; y  0; Eje x

8. y  x 3 ;

2

2

x  0; y  1; y  3; Eje y x  -2; y  0; Eje x; La recta y  3

3

9. y  x ; y  4 - x ; Eje x

10. x  y ; x 2  y  0; Eje x

11. x  y 2 ; y - x  2  0; Eje y

12. x  y  1; y  x  1;

2

13. y  x ; y  4; La recta y  4; La recta y  5

x  2; Eje y

14. y  x ; y  0; x  4 La recta x  4; La recta x  6

Integrales impropias Integrales con limites de integración al infinito: Si f en una función continua en [a, +∞), entonces por definición 

 a

t



f(x) dx  Lim f(x) dx t  

a

La integral de f es convergente, si y solamente si; el limite planteado existe. De manera de análoga hacemos referencia a las funciones f continuas en el intervalo (-∞, a] y en el intervalo (-∞, + ∞) a

a

 f(x) dx  Lim  f(x) dx t  

-





-

t

a

t





f(x) dx  Lim f(x) dx  Lim f(x) dx t  

t  

t

a

Integrales con extremos indeterminados: Si f en una función continua en [a, b), o f es una función continua en (a, b], entonces por definición b ε

b

 a

f(x) dx  Lim ε 0



b



f(x) dx

a

a

b

f(x) dx  Lim ε 0

 f(x) dx

a ε

La integral de f es convergente, si y solamente si; el limite planteado existe. Integrales con un punto c en el intervalo de definición [a, b], tal que f es indeterminada, entonces por definición: c ε

b

 f(x) dx  Lim  f(x) dx a

ε 0

a

b

 Lim ε 0

 f(x) dx

cε

De manera análoga a los casos anteriores, f es convergente, si y solamente si; los limites planteados existen.

Ejercicios propuestos de cálculo diferencial -

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MATEMÁTICA II

Estudiar la convergencia de las siguientes integrales, en caso de ser convergente calcule su valor. 



dx x4

1.  1

2.  1





7.  e - 2x dx 1 10.  2 dx - x  3x  2 

13.  e sen x dx -x

0



ln (x 2  1) dx x 1

16.  2

dx 19.  2 0 x  4x  3

25.  0

3

28.  1

1- x4

-



x 14.  dx 2 2 1 (1  x ) 

17. 

xarctgx 1 x4

0

2

1

dx

26. 

-1

dx e

x



2

dx x 2 1



x3 1 15.  4 dx x 0

1

dx 2 - (x  1)

18. 

dx 29.  x -1 0 x

Ejercicios propuestos de cálculo diferencial -

2

1

21.  x ln x dx 0

1

24. 

-1

x -1 3

3

27.  1

1

dx

x

12.



dx

x dx x -1

20. 

x dx 9

9.  cos 2 x dx

x  18 11.  2 dx 4 x  x  12

1

x 2 2

-

2 -1 (x - 2) 1 - x

x

2



23.  dx

x



2

1

dx x ln 2 x x

6.

-

0

0



8.  x e - x dx

0

2

0

1 5.  dx 5 - 2x -



22. 

3.  e -ax dx a  0

2

x 4.  dx 2 0 1 x

1/e



dx x

x5

dx

x dx x 2 2

π/2

30.

ln sen x dx x 0



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