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Herrera Luis Francisco Herrera Garay Problemario parcial 3

24/11/16

3.4 Considere un sistema de resorte-masa, con k = 4000 N/m y m = 10 kg, sujeto a una fuerza armónica F (t) = 400cos (20t) N. Encuentre y trace la respuesta total del sistema en las siguientes condiciones iniciales: DCL Para 𝒃) 𝒙𝟎 = 𝟎𝒎, 𝒙̇ 𝟎 = 𝟏𝟎

𝒎 𝒔

Se sustituyen los valores en la ecuación 1 𝒙(𝒕) =

𝑎) 𝑥0 = 0.1𝑚, 𝑥̇ 0 = 0 𝑏) 𝑥0 = 0, 𝑥̇ 0 = 10

𝑚 𝑠

𝑐) 𝑥0 = 0.1𝑚, 𝑥̇ 0 = 10 𝑤𝑛 = √

𝟏 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝟎𝒕) + 𝒕𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟎𝒕) 𝟐

La grafica que describe la función de arriba 𝑚 𝑠

𝑘 = 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑚

𝑤 = 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Debido a que 𝑤 = 𝑤𝑛 el sistema entrara en resonancia por lo que se elegirá la ecuación para dicho sistema. (1) ← 𝑥(𝑡) = 𝑥̇ 0 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝑤𝑛𝑡 𝑥0 cos(𝑤𝑛𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑛𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑛𝑡) 𝑤𝑛 2

Para 𝒂) 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟏𝒎, 𝒙̇ 𝟎 = 𝟎 Se obtiene 𝛿𝑒𝑠𝑡 =

𝐹0 𝑘

= 0.1 𝑚 → (2)

Se sustituyen los valores en la ecuación 1 𝒙(𝒕) = 𝟎. 𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝟎𝒕) + 𝒕𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟎𝒕) De la cual se obtiene la siguiente gráfica:

Para 𝒄) 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟏𝒎, 𝒙̇ 𝟎 = 𝟏𝟎

𝒎 𝒔

Se sustituyen los valores en la ecuación 1 𝒙(𝒕) = 𝟏 𝟎. 𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝟎𝒕) + 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝟎𝒕) + 𝒕𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟎𝒕) 𝟐

De la cual se obtiene la siguiente gráfica:

Herrera Luis Francisco Herrera Garay Problemario parcial 3

3.9 Un sistema de resorte-m asa con m=10 kg y k = 5000 N /m se somete a una fuerza armónica de 250N de amplitud y frecuencia w. Si la amplitud máxima de la masa es 100 mm, determine el valor de 𝑤.

Debido a que se conoce la amplitud máxima, la fuerza 𝐹0 y se puede calcular la 𝑤 se usara la fórmula: 𝑋=

𝛿𝑒𝑠𝑡 → (1) 𝑤 2 1 − (𝑤 ) 𝑛

Si 𝛿𝑒𝑠𝑡 = 𝑤𝑛 = √

𝐹0 𝑘

1

= 20 𝑚

5000 𝑟𝑎𝑑 = 10√5 10 𝑠

Despejando W de la ecuación 1 𝑤 = 𝑤𝑛 √1 −

𝑋𝐹0 → (2) 𝑘

Se sustituyen los valores en 2 𝑤 = 10√5 ∗ √1 − 0.1 ∗

1 20

𝒘 = 𝟏𝟎√𝟐. 𝟓

𝒓𝒂𝒅 𝒔

24/11/16

Herrera Luis Francisco Herrera Garay Problemario parcial 3

3.16 Un motor de avión tiene una m asa desbalanceada rotatoria m en el radio r. Si el ala se modela como una viga en voladizo de sección transversal uniforme a X como se muestra e n la figura 3.3.9, determine la deflexión máxima del motor a una velocidad de N rpm. Suponga q u e el amortiguamiento y el efecto del ala entre el motor y el extremo libre so n insignificantes.

24/11/16

De la ecuación anterior se necesita obtener la w en función de las revoluciones: 𝑁𝑅𝑝𝑚 =

𝑁2𝜋 = 𝑤 → (2) 60

Para la k se toman en cuenta las dimensiones de la viga: 𝐾𝑒𝑞 =

3𝐸𝐼 → (3) 𝑙3

Donde I es el segundo momento de área que para la viga se puede obtener de la siguiente manera: 𝑏𝑎3 𝐼 = → (4) 12 La ecuación 2 se sustituye en 1 𝐸𝑏𝑎3 𝑙 𝐾𝑒𝑞 = → (5) 4𝑙 3 Falta encontrar la masa del ala, para ello se usa la ecuación: 𝑚𝑎 = 𝑀 + 0.23𝑚 Debido a que no se tiene una masa extra colocada donde se desea dejar toda la masa del ala como una carga puntual esta se considerara 0

DCL

𝑚𝑎 = 0.23𝑚 = (𝑎𝑏𝑙𝜌) ∗ 0.23 → (6) Se sustituyen 2, 5 y 6 en 1 y debido a que no tiene amortiguamiento la c se considerara 0

Para un sistema excitado con una fuerza generada por un sistema de masa desbalanceado la amplitud se obtiene a partir de: 𝑿 =

𝑚𝑒𝑤 2 [(𝑘 − 𝑚𝑎

𝑤2

)+

1 (𝑐𝑤)2 ]2

→ (1)

𝑿 =

𝑁2𝜋 2 𝑚𝑒 ( 60 )

𝐸𝑏𝑎3 𝑁2𝜋 2 − 0.23(𝑎𝑏𝑙𝜌) ( 60 ) 4𝑙 3

Herrera Luis Francisco Herrera Garay Problemario parcial 3

3.21 Diseñe una flecha de acero sólida soportada por cojinetes la cual lleva el motor de una turbina a la mitad. El rotor pesa 500 lb y suministra una potencia de 200 hp a 3000 rpm. Para mantener el esfuerzo producido por el desbalance en el rotor a un valor mínimo, la velocidad crítica de la flecha tiene que ser de un quinto de la velocidad de operación del rotor. La longitud de la flecha tiene que ser igual al menos a 30 veces su diámetro.

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Herrera Luis Francisco Herrera Garay Problemario parcial 3

3.28 Considere un sistema de resorte𝑁 masa-amortiguador con 𝑘 = 4000 𝑚,

𝜋 2

𝑆𝑖 90° 𝑠𝑜𝑛

𝝅 𝒙𝒑 (𝒕) = 𝟎. 𝟐𝟓 ∗ 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝟎𝒕 − ) 𝟐

𝑁−𝑠

𝑚 = 10𝑘𝑔 y 𝑐 = 40 𝑚 . Determine las respuestas de estado estable y total del sistema sometido a la fuerza armónica 𝐹(𝑡) = 200𝑐𝑜𝑠(20𝑡) y las condiciones iniciales 𝑥𝑜 = 0.1 𝑦 𝑥̇ 𝑜 = 0.

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Para la solución homogénea se utiliza la siguiente ecuación: 𝑥0 = 𝑋0 cos(𝜑0 ) + 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜑) → 2 𝑥0̇ =

DCL

−𝜁 ∗ 𝑤𝑛 𝑋0 cos(𝜑0 ) + 𝑤𝑑 𝑋0 𝑠𝑒𝑛(𝜑0 ) + 𝑤𝑋𝑠𝑒𝑛(𝜑) → 3

Se evalúan las condiciones iniciales de posición en 2 𝜋 0.1 = 𝑋0 cos(𝜑0 ) + 𝑋𝑐𝑜𝑠 ( ) 2 = 𝑋0 cos(𝜑0 ) → 4

𝜁=

𝑐 𝑐 40 = = = 0.1 𝑐𝑐 2𝑚𝑤𝑛 2 ∗ 10 ∗ 20

𝑤𝑛 = √

𝑘 4000 𝑟𝑎𝑑 = √ = 20 𝑚 10 𝑠

𝑟𝑎𝑑 𝑊𝑑 = 6√11 𝑠

Para un sistema donde 𝑤 = 𝑤𝑛 𝑦 𝜁 > 0 toma el ángulo de fase a 𝜑 = − 90° en la siguiente formula: 𝑥𝑝 (𝑡) =

𝑓0 2 −𝑤)2 +(2𝜁𝑤 𝑤)2 √(𝑤𝑛 𝑛

cos(𝑤𝑡 − 90°) → 1

Se obtienen los valore de la ecuación para hacer la sustitución 𝐹0 200 𝑓0= = = 20 𝑚 10 Se sustituyen los valores en 1 𝑥𝑝 (𝑡) = =

20 √0+(2∗0.1∗20∗20)2

cos(𝑤𝑡 − 90°)

= 0.25 ∗ cos(20𝑡 − 90)

Se evalúan las condiciones iniciales de velocidad en 3 0 = (2) 𝑋0 cos(𝜑0)+ 6√11𝑋0𝑠𝑒𝑛(𝜑0 ) + 5 ∗ −1 Se sustituye 4 en la ecuación de arriba 0 = (0.2) + 6√11𝑋0 𝑠𝑒𝑛(𝜑0) + 5 ∗ −1 Se despeja 𝑋_0 𝑠𝑒𝑛(𝜑_0) de la ecuación 𝑋0 𝑠𝑒𝑛(𝜑0 ) = 0.24121

Para se obtiene el ángulo 𝜑0 𝜑0

0) = tan (𝑋𝑋00𝑠𝑒𝑛(𝜑 ) 𝑐𝑜𝑠(𝜑0 )

0.24121

=tan (

0.1

−1

−1

)

= 1.17778

rad s

Se sustituye en la ecuación 2 𝜋 0.1 = 𝑋0 cos(𝑤𝑑 + 1.17778) + 0.25cos(20𝑡 − ) 2

Se evalúa en t=0 𝑋0 = 0.26111m 𝝅 𝒙(𝒕) = 𝟎. 𝟐𝟔 𝐜𝐨𝐬(𝟔√𝟏𝟏 + 𝟏. 𝟏𝟕𝟕𝟕𝟖) + 𝟎. 𝟐𝟓𝐜𝐨𝐬(𝟐𝟎𝒕 − ) 𝟐

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3.33 no se hace por ser completamente torsional.

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Herrera Luis Francisco Herrera Garay Problemario parcial 3

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3.40 Demuestre que para valores pequeños de amortiguamiento, la relación de amortiguamiento ζ se expresa como:

𝑟12 = 𝑅12 = (

𝑤1 2 ) ≅ 1 − 2ζ 𝑤𝑛

𝜔2 − 𝜔1 𝜁= 𝜔2 + 𝜔1

𝑟22 = 𝑅22 = (

𝑤2 2 ) ≅ 1 + 2ζ 𝑤𝑛

𝑤22 − 𝑤12 = (𝑤2 + 𝑤1 )(𝑤2 − 𝑤1 ) = (𝑅22 − 𝑅12 )𝑤𝑛2 = 4ζwn2

X X 1 ( ) ≅ ( ) = =𝑄 δest max δest w=w 2ζ

Si 𝜔2 + 𝜔1 = 2𝜔𝑛

n

Entonce ∆𝑤 = 𝑤2 − 𝑤1 ≈ 2ζwn Combinando las ecuaciones 𝑸 ≈

De la gráfica de arriba en el punto toma como la amplitud = δ

𝑋

𝑄 √2

se

est

De la figura de arriba para obtener 1 √(1 − 𝑟 2 )2 + (2𝜁𝑟)2

=

𝑄 √2

=

𝑄 √2

1 2√2𝜁

Sacando la inversa e igualando a cero la ecuacion de arriba 𝑟 4 − 𝑟 2 (2 − 4 𝜁 2 ) + (1 − 8 𝜁 2 ) = 0 Sancado las raices de la ecuacion polinomial 𝑟12 = 1 − 2𝜁2 − 2𝜁√1 + 𝜁2 , 2

2

𝑟22 = 1 − 2𝜁 + 2𝜁√1 + 𝜁 , Para valores de 𝜁muy

ecuaciones de aproximar a:

pequeño las arriba se pueden

𝟏 𝒘𝟏 + 𝒘𝟐 = 𝟐𝛇 𝒘𝟐 − 𝒘𝟏

Herrera Luis Francisco Herrera Garay Problemario parcial 3

3.45 Una afiladora de precisión está montada sobre un aislador que tiene una rigidez de 1

𝑀𝑁 𝑚

y una constante de

amortiguamiento viscoso de 1

𝑘𝑁−𝑠 𝑚

. El

suelo sobre el cual está montada la máquina se somete a una perturbación armónica debido a la operación de un motor desbalanceado vecino a la afiladora. Encuentre la amplitud de desplazamiento máximo aceptable del piso si la amplitud de vibración resultante de la afiladora se tiene que limitar a 10−6 m. Suponga que la afiladora y la rueda son un cuerpo de 5000N de peso.

𝑋

De la ecuación 𝑌 =

1

2 1+(2𝜁𝑟)2 {(1−𝑟 2 )2 +(2𝜁𝑟)2 }

Se obtiene lo valores que que requiere la ecuaciop

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