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• egabriel09

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8. Para el sistema de la Figura 6, determine los valores de la ganancia K y la constante de realimentación de velocidad Kh para que la sobre-elongación máxima en la respuesta escalón unitario sea 0.2 y el tiempo pico sea 1 seg. Con estos valores de K y Kh obtenga el tiempo de subida y el tiempo de asentamiento. Suponga que J=1 kg-m2 y que B=1 Nm/rad/seg.

La función de Transferencia es 𝐶(𝑠) 𝐾 = 2 𝑅(𝑠) 𝐽𝑠 + (𝐵 + 𝐾 𝐾ℎ )𝑠 + 𝐾 𝜉=

𝐵 + 𝐾𝐾ℎ 2√𝐾𝐽

Mediante la ecuación de sobre elongación Mp obtenemos 𝑀𝑝 = 𝑒 −(

−(𝜎/𝜔𝑑 )𝜋

𝜉 √1 − 𝜉 2 (

=𝑒

−(

𝜉 )𝜋 √1−𝜉 2

= 0.2

) 𝜋 ∗ ln 𝑒 = ln 0.2

𝜉 √1 − 𝜉 2

) 𝜋 = 1.61

𝜉 = 0.456 Tomando el valor pico como 1 𝑡𝑝 =

𝜋 =1 𝜔𝑑

𝜔𝑑 = 𝜋 Reemplazando en la ecuación de la Frecuencia natural 𝜔𝑛 =

𝜔𝑑 √1 −

𝜉2

=

𝜋 √1 − 0.4562

= 3.53

Hallando K a partir de la ecuación de la Frecuencia natural 𝐾 𝜔𝑛 = √ → 𝐾 = 𝐽𝜔𝑛 2 = 1 ∗ 3.532 = 12.5 𝑁. 𝑚 𝐽 Despejando Kh de la ecuación de factor de amortiguamiento 𝜉=

𝐵 + 𝐾𝐾ℎ 2√𝐾𝐽

→ 𝐾ℎ =

2√𝐾𝐽𝜉 − 𝐵 2√12.5 ∗ 1 ∗ 0.456 − 1 = = 0.178 𝐾 12.5

El angulo β es 𝛽 = tan−1

𝜔𝑑 = tan−1 1.95 = 1.10 𝜎

Donde el tiempo de levantamiento es 𝑡𝑟 =

𝜋−𝛽 = 0.65 𝑠𝑒𝑔 𝜔𝑑

El tiempo de asentamiento, Por el criterio del 2% 𝑡𝑠 =

2 = 2.48 𝑠𝑒𝑔 𝜎

𝑡𝑠 =

3 = 1.86 𝑠𝑒𝑔 𝜎

Por el criterio del 5%