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• Nícolas Leyva

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8. a) Suponga 𝑎 = 𝑏 = 1 en la ecuación diferencial de Gompertz, ecuación (7). Puesto que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para dibujar curvas solución representativas correspondientes a los casos 𝑃0 > 𝑒 𝑦 0 < 𝑃0 < 𝑒 SOLUCIÓN Reemplazamos los datos y obtenemos la siguiente ecuación: 𝑑𝑃 = 𝑃(1 − 𝑙𝑛𝑃) 𝑑𝑡 Notamos rápidamente que su equilibrio de solución es 𝑃 = 𝑒 𝑑𝑃

𝑑𝑃

Si 𝑃0 > 𝑒, 𝑑𝑡 > 0 y si 𝑃0 < 𝑒, 𝑑𝑡 < 0 Su gráfica es la siguiente:

b) Suponga que 𝑎 = 1, 𝑏 = −1 en la ecuación (7). Utilice un nuevo esquema de fase para dibujar las curvas solución representativas a los casos 𝑃0 > 𝑒 −1 𝑦 0 < 𝑃0 < 𝑒 −1 SOLUCIÓN Reemplazamos los datos y obtenemos la siguiente ecuación: 𝑑𝑃 = 𝑃(1 + 𝑙𝑛𝑃) 𝑑𝑡 Notamos rápidamente que su equilibrio de solución es 𝑃 = 1/𝑒 Si 𝑃0 > 1/𝑒,

𝑑𝑃 𝑑𝑡

> 0 y si 𝑃0 < 1/𝑒,

𝑑𝑃 𝑑𝑡