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PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Resultado de aprendizaje Interpretar la importancia de las probabilidades contrastando el valor de los diferentes parámetros como el nexo entre descriptiva y la inferencial. OBJETIVO: Desarrollar las distribuciones de probabilidad, que permita analizar los modelos probabilísticos, para su respectiva utilización en la inferencia estadística.

CONTENIDOS  PROBABILIDAD  Experimento aleatorio  Espacio muestral  Eventos o sucesos probabilidad de un suceso: Propiedades  Operaciones con eventos  Probabilidad condicionada: Sucesos Excluyentes y Sucesos Independientes.

PROBABILIDAD El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación: ¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería ? ¿ Qué posibilidad hay de que me compre un automóvil? ¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no. ¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe la asignatura de investigación?

El meteorólogo anuncia que hay 70% de probabilidad de lluvia para el domingo del Súper Tazón

Con base en una encuesta de consumidores que degustaron un pepinillo recién elaborado con sabor a plátano, La probabilidad de que sea un éxito financiero si se le comercializa es de 0.03.

IMPORTANCIA DE LA PROBABILIDAD El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio de la estadístico. El cálculo de las probabilidades proporciona las reglas para estudio de los experimentos aleatorios o de azar, lo que constituye la base para la estadística inferencial

¿ QUÉ ES LA PROBABILIDAD?

 Es un número real que expresa la confianza o incertidumbre de la ocurrencia de un suceso o evento, cuyo resultado no se puede predecir con certeza.  Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa (oportunidad o casualidad) de que ocurra un evento.  Es un valor numérico que representa la oportunidad o posibilidad de que un evento en particular ocurra,

CON SEGURIDAD OCURRIRÁ

NO SUCEDERÁ

0.00

Probabilidad de que el sol desaparezca este año

0.10

0.20

0.30

Probabilidad que tiene el equipo de los votaditos de quedar campeón del torneo, el cual incluye la participación de cinco clubes.

0.40

0.50

Probabilidad de que caiga cara en un solo lanzamiento de moneda

0.60

0.70

0.80

Probabilidad de que se Extraiga un número menor que 7 de una ánfora donde se guardan los números del 0 al 9

0.90

1.00

Probabilidad de que llueva en Ecuador este año

Conceptos básicos de Probabilidad Fenómeno Aleatorio: Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir, Estos están relacionados con el azar o probabilidad. Fenómeno Determinista.- Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe cual será el resultado. La probabilidad estudia el tipo de fenómeno aleatorio.

Experimento Aleatorio ( ) Es una operación o acto cuyo resultado no se puede predecir con certeza y que se realiza bajo los siguientes criterios: • Puede ser repetido bajo las mismas condiciones • Se puede describir el número de resultados posibles. • Se puede establecer un modelo matemático asociado a . Ejemplos: : Lanzar dos dados. : Contar el número de piezas defectuosas que se producen en una industria :Tiempo de vida (en días) de un foco de luz.

RESULTADO: Valor particular de un experimento. Espacio Muestral (Ω, E, S) Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio . Ejemplos: Los espacios muestrales de los experimentos aleatorios anteriores son:

Evento Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Los eventos se identifican mediante letras mayúsculas. Ejemplos: Algunos eventos de los experimentos aleatorios anteriores son: A: La suma de los valores obtenidos sea mayor a 10. B: El número de piezas defectuosas producidas sea menor a 10. C: El tiempo de vida de un foco de luz sea mayor a 200 días. • ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea mayor a 10? P(A) • ¿Cuál es la probabilidad de que el número de piezas defectuosas producidas sea menor a 10? P(B) • ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo de vida de un foco de luz sea mayor a 200 días? P(C)

Lanzamiento de un dado

Listado del número de miembros de la junta directiva de las compañías de Fortune 500, mayores de 60 años

RESULTADO

Se observa un 1 Se observa un 2 Se observa un 3 Se observa un 4 Se observa un 5 Se observa un 6

Ninguno tiene más de 60 Uno tiene más de 60 Dos tienen más de 60 ... 29 tienen más de 60 ... ... 48 tienen más de 60

EVENTO

Se observa un número par Se observa un número mayor que 4 Se observa un 3 o un número menor

Más de 13 son mayores a de 60 Menos de 20 son mayores de 60

EXPERIMENTO

ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD

OBJETIVO PROBABILIDAD CLÁSICA

Se basa en resultados igualmente probables

PROBABILIDAD EMPÍRICA

Se sustenta en las frecuencias relativas

SUBJETIVO PARTE DE INFORMACION DISPONIBLE

PROBABILIDAD CLÁSICA La probabilidad clásica parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

La probabilidad de un evento que se está llevando a cabo se calcula dividiendo el número de resultados favorables entre el número de posibles resultados:

PROBABILIDAD DE UN EVENTO =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠

Considere el experimento de lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad del evento “cae un número par”?

ESPACIO MUESTRAL RESULTADOS FAVORABLES

Ω = 1 , 2, 3, 4, 5, 6 2, 4, 6

3 6

PROBABILIDAD DEL EVENTO = PROBABILIDAD DEL EVENTO = 0.5

 Si se tiene una bolsa con 20 canicas rojas y 10 canicas azules. ¿Qué color de canica es más probable que saque al azar de la bolsa y cuál es su probabilidad?  En una sala de clases hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?  En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

 En un curso de 30 alumnos 18 son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una persona está no sea mujer?  De una baraja naipe inglés (52 cartas), ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as?.  En un jardín infantil hay 8 morenos y 12 morenas así como 7 rubios y 5 rubias. Si se elige un integrante al azar, la probabilidad de que sea rubio o rubia

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: El hecho de que un evento se presente significa que ninguno de los demás eventos puede ocurrir al mismo tiempo. La variable sexo da origen a resultados mutuamente excluyentes: hombre y mujer. Un empleado seleccionado al azar es hombre o mujer, pero no puede tener ambos sexos. Una pieza fabricada es aceptable o no lo es. La pieza no puede ser aceptable e inaceptable al mismo tiempo. EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVO: Un conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo si uno de los eventos debe ocurrir.

Si un experimento incluye un conjunto de eventos con todo tipo de resultados posibles, como los eventos “un número par” y “un número impar” en el experimento del lanzamiento del dado; entonces el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo. Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y los eventos son mutuamente excluyentes, la suma de las probabilidades es 1.

PROBABILIDAD EMPÍRICA La probabilidad empírica o frecuencia relativa, de que un evento ocurra representa una fracción de los eventos similares que sucedieron en el pasado.

PROBABILIDAD EMPÍRICA =

Número de veces que el evento ocurre Número total de observaciones

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS En una gran cantidad de intentos, la probabilidad empírica de un evento se aproximará a su probabilidad real.

Suponga que se lanza una moneda común. El resultado de cada lanzamiento es cara o cruz. Número de ensayos

Número de caras

Frecuencia relativa de las caras

1

0

0.00

10

3

0.30

50

26

0.52

100

52

0.52

500

243

0.486

1000

494

0.494

10 000

5 027

0.5027

El semestre anterior, 80 estudiantes se registraron para Estadística Administrativa en la Scandia University. 12 estudiantes obtuvieron A. Con base en dicha información y de acuerdo con la regla empírica de la probabilidad, la posibilidad calculada de que un estudiante obtenga una A es de 0.15.

Kobe Bryant, jugador de Los Ángeles Lakers logró 403 de 491 intentos de tiro libre durante la temporada 2009-2010 de la NBA. De acuerdo con la regla empírica de la probabilidad, las posibilidades de lograr su siguiente intento de tiro son de 0.821. EJEMPLO: El 1 de febrero de 2003 explotó el transbordador espacial Columbia. Éste fue el segundo desastre en 113 misiones espaciales de la NASA. Con base en esta información, ¿cuál es la probabilidad de que una futura misión concluya con éxito?

PROBABILIDAD DE UN EVENTO EXITOSO =

Número de vuelos exitosos Número total de vuelos

𝟏𝟏𝟏

P ( A ) = 𝟏𝟏𝟑 P ( A ) = 0. 98 Este resultado sirve como aproximación de la probabilidad. En otras palabras, por experiencia, la probabilidad de que una futura misión del transbordador espacial concluya con éxito es de 0.98.

PROBABILIDAD SUBJETIVA Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. CONCEPTO SUBJETIVO DE PROBABILIDAD : Posibilidad (probabilidad) de un evento en particular que asigna un individuo a partir de cualquier información que encuentre disponible. EJEMPLOS: 1. Calcular la posibilidad de que Ecuador sea campeón del futbol mundial 2. Calcular la posibilidad de que usted contraiga matrimonio antes de los 30 años. 3. Calcular la posibilidad de que disminuya el déficit presupuestario del Ecuador en 70% para el mes de septiembre .

PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES 1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es: 2. Probabilidad del suceso imposible es cero.

3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades considerando una sola vez la probabilidad de la intersección.

P(AUB)=p(A)+p(B) 4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

5. Si A1, A2, ..., Ak son sucesos incompatibles dos a dos entonces:

6. Si el espacio muestral es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:

CONTENIDOS  DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD  VARIABLE ALEATORIA  MODELOS PROBABILISTICOS. SU UTILIDAD EN EL TRABAJO ESTADISTICO

¿Qué es una distribución de probabilidad? DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada a cada uno de ellos.

CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 1. La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1, inclusive. 2. Los resultados son eventos mutuamente excluyentes. 3. La lista es exhaustiva. Por lo tanto, la suma de las probabilidades de los diversos eventos es igual a 1.

EJEMPLO: Suponga que le interesa el número de caras que aparecen en tres lanzamientos de una moneda. Tal es el experimento. Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras y tres caras. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de caras?

Resultados posibles

Lanzamiento de la moneda Primero

Segundo

Tercero

Número de caras

1

S

S

S

0

2

S

S

C

1

3

S

C

S

1

4

S

C

C

2

5

C

S

S

1

6

C

S

C

2

7

C

C

S

2

8

C

C

C

3

Conteo de resultados = (2) (2) (2) = 8 resultados Número de caras (x)

Probabilidad del resultado P(x)

0

1 8

1

3 = 0.375 8

2

3 = 8

0.375

3

1 = 8

0.125

TOTAL

= 0.125

8 = 8

1

Número de caras (x)

Probabilidad del resultado P(x)

0

1 8

1

3 = 0.375 8

2

3 = 8

0.375

3

1 = 8

0.125

TOTAL

= 0.125

8 = 8

P r o b a b il i d a d

3/8

2/8

1/8

1

0

1

2

3

NÚMERO DE CARAS (X)

EJERCICIO: Los posibles resultados de un experimento que implica el lanzamiento de un dado son: uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis. a) Elabore la distribución de probabilidad para el número de posibles resultados. b) Represente gráficamente la distribución de probabilidad. c) ¿Cuál es la suma de las probabilidades?

 Si cuenta el número de empleados ausentes en el turno matutino del lunes, el número puede ser 0, 1, 2, 3,… El número de ausencias es una variable aleatoria.

 Si pesa cuatro lingotes de acero, los pesos pueden ser de 2 492 libras, 2 497 libras, 2 506 libras, etc. El peso es una variable aleatoria.

VARIABLES ALEATORIAS

 Si lanza dos monedas y cuenta el número de caras, puede caer cero, una o dos caras. Como el número de caras que resulta de este experimento se debe al azar, el número de caras que caen es una variable aleatoria.  El número de focos defectuosos producidos por hora en Cleveland Company, Inc.;  El número de corredores del maratón de Boston en la carrera de 2017

VARIABLE ALEATORIA Cantidad que resulta de un experimento que, por azar, puede adoptar diferentes valores.

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. Variable aleatoria que adopta sólo valores claramente separados. Una variable aleatoria discreta adopta sólo cierto número de valores separados. Si hay 100 empleados, el recuento de la cantidad de ausentes el lunes sólo puede ser 0, 1, 2, 3, …, 100.

VARIABLES ALEATORIAS

Las calificaciones que otorgan los docentes a los estudiantes luego del término del semestre, son valores concretos, como 70, 80 y 90.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. Se da, cuando puede asumir cualquier valor dentro de un intervalo o en una unión de intervalos. Los tiempos de los vuelos comerciales entre Atlanta y Los Ángeles son de 4.67 horas, 5.13 horas, etc. La variable aleatoria es la cantidad de horas. La presión, medida en libras por pulgada cuadrada (psi), de un nuevo neumático Chevy Trail-blazer puede ser de 32.78 psi, 31.62 psi, 33.07 psi,

Media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD μ = ∑[x P(x)]

VARIANZA DE UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD σ2 = ∑ [ ( 𝑋 − μ )2 P (X) ]

John Ragsdale vende automóviles nuevos en Pelican Ford. Por lo general, John vende la mayor cantidad de automóviles el sábado. Desarrolló la siguiente distribución de probabilidades de la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado. Cantidad de automóviles Probabilidad x P(x) vendidos X P(x)

0

0.10

0

1

0.20

0.20

2

0.30

0.60

3

0.30

0.90

4

0.10

0.40

1.00

2.10

1. ¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal? 2. ¿Cuál es la varianza de la distribución? 1. La media de la cantidad de automóviles vendidos se calcula al multiplicar el número de automóviles que vendió por la probabilidad de vender dicho número, y sumar los productos de acuerdo con la fórmula: μ = ∑[x P(x)] μ = ∑[x P(x)] μ = 0 (0.10) + 1 ( 0.20) + 2 (0.30) + 3 (0.30 ) + 4 ( 0.10) μ = 0 + 0.20 + 0.60 + 0.90 + 0,40 μ = 2.10

2. Una tabla resulta útil para sistematizar los cálculos de la varianza, Número de automóviles vendidos (x)

Probabilidad P (x)

0

0.10

1

(x–μ)

( 𝒙 − μ )𝟐

( 𝒙 − 𝝁 )𝟐 P(x)

0

-2.1

4.42

0.442

0.20

0.20

-1.1

1.21

0.242

2

0.30

0.60

- 0.1

0.01

0.003

3

0.30

0.90

0.9

0.81

0.243

4

0.10

0.40

1.9

3.61

0.361

1.00

2.10

d = 𝜎2 d = 1.290 d = 1.136

x P(x)

𝜎 2 = 1. 290

Si una vendedora también vendió un promedio de 2.1 automóviles los sábados y la desviación estándar de sus ventas fue de 1.91 automóviles, se concluiría que hay más variabilidad en las ventas sabatinas de la vendedora que en las de Ragsdale (pues 1.91 > 1.136).

Una ferretería ofrece tres calidades de interruptores: baja, medina y alta, para instalaciones domésticas. Los interruptores cuestan $0.80, $0.90 y $1.20, respectivamente. Treinta por ciento de los pedidos corresponde al baja; 50%, al medina , y 20%, alta. Organice las calidades de los interruptores y la probabilidad de venta en una distribución de probabilidad. a) ¿Se trata de una distribución de probabilidad discreta? Indique por qué. b) Calcule la suma promedio que se cobra por interruptor. c) ¿Cuál es la varianza de la cantidad que se cobra por un interruptor? ¿Cuál es la desviación estándar?

El director de admisiones de Kinzua University en Nueva Escocia estimó la distribución de admisiones de estudiantes para el segundo semestre con base en la experiencia de años pasados. ¿Cuál es el número de admisiones esperado para el segundo semestre? Calcule la varianza y la desviación estándar del número de admisiones. Admisiones

Probabilidad

1000

0.6

1200

0.3

1500

0.1

Croissant Bakery, Inc., ofrece pasteles con decorados especiales para cumpleaños, bodas y otras ocasiones. La pastelería también tiene pasteles normales. La siguiente tabla incluye el número total de pasteles vendidos al día, así como la probabilidad correspondiente. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar del número de pasteles vendidos al día. Número de pasteles vendidos en el día

Probabilidad

12

0.25

13

0.40

14

0.25

15

0.10

Una inversión producirá $1 000, $2 000 y $5 000 a fin de año. Las probabilidades de estos valores son de 0.25, 0.60 y 0.15, respectivamente. Determine la media y la varianza del valor de la inversión.

La información que sigue representa el número de llamadas diarias al servicio de emergencia por el servicio voluntario de ambulancias de Walterboro, Carolina del Sur, durante los últimos 50 días. En otras palabras, hubo 22 días en los que se realizaron 2 llamadas de emergencia, y 9 días en los que se realizaron 3 llamadas de emergencia. Beneficio de la inversión

P(X)

Número de llamadas

frecuencia

0

8

1 000

0.25

1

10

2 000

0.60

2

22

5 000

0.15

3

9

4

1

50

CONTENIDOS  Distribución de variables discretas:  Distribución de variables discretas: distribución Bemol,  Distribución Bernoulli Binomial y Poisson. Distribución de variables discretas:  Distribución Binomial distribución Bemoulli, Binomial y  Distribución de Poisson. OBJETIVO: Describir y calcular las probabilidades de una distribución de Bernoulli, Binomial y de Poisson.

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI La distribución de Bernoulli de parámetro p es el modelo más simple de probabilidad. Se aplica a situaciones en las que un cierto atributo aparece con probabilidad p (ÉXITO) y la ausencia de este mismo atributo como probabilidad q = 1 – p (FRACASO) En el lanzamiento de una moneda puede dar como resultado cara o sello Todo experimento aleatorio que solo admita dos resultados posibles (uno llamado por costumbre éxito y el otro fracaso) se llama ensayo de Bernoulli y lleva obviamente a la distribución de BERNOULLI. EJEMPLOS  Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo  La Media de producción o ventas del mes se pueden o no lograr  En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta

SU FÓRMULA ES: P (X) = 𝑝 𝑥 1 − 𝑝

1 −𝑥

con x ( 0 , 1 )

FUNCION DE PROBABILIDAD

f( X )

q  si ( x  0)   p  si ( x  1)

Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al aire y considerar la variable aleatoria:

X = ( Número de caras obtenidas ) en cuyo caso X = 0 si q = 1/2 y x = 1 si p = 1/2

FUNCIÓN DE DENSIDAD En un experimento de Bernoulli se denomina ÉXITO al suceso en estudio, p y FRACASO a su contrario, q A este suceso se le asocia la variable aleatoria, X , definida como el número de éxitos al realizar el experimento. Es decir:

f( X )

q  siP ( x  0)  q  1  p   p  siP ( x  1)  p

p 1 r o b a bi li d a d 0

p

1-p

0

1

Lanzamiento de un dado

EJEMPLO EXPERIMENTO: Lanzar un dado y que salga 5 X = # de veces que sale un 5 Al lanzar un dado tenemos 6 posibilidades S = {1 , 2, 3, 4, 5, 6 }

Se considera ÉXITO sacar un 5 entonces p = 1 / 6 Se considera fracaso a no sacar 5 entonces q = 1 – p ; q = 1 – 1/6 ; q = 5/6 La probabilidad de que salga 5 viene definida en que x = 1 (ÉXITO) 𝑷 𝑿 = 𝒑𝒙 𝟏 − 𝒑 𝟏 −𝒙 𝟏 𝟏−𝟏 𝟏 𝟓 𝟏 𝑷 𝑿=𝟏 = = = 𝟎, 𝟏𝟔 𝟔 𝟔 𝟔 Y de que no sea 5, corresponde a X = 0 (FRACASO) 𝟎 𝟏−𝟎 𝟏 𝟓 𝟓 𝑷 𝑿=𝟎 = = = 𝟎, 𝟖𝟑 𝟔 𝟔 𝟔

Ejemplo: "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cara". Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cara. Valdrá 1/2. El fracaso (q) que saliera sello, que vale (1 - p) = 1 – 1/2 = 1/2 La variable aleatoria X medirá "número de caras que salen en un lanzamiento“. Sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cara, es decir, salir sello) y 1 (una cara). 𝑷 𝑿 = 𝒑𝒙 𝟏 − 𝒑 𝑷 𝑿 = 𝟏 = 𝒇(𝟏)

𝟏 = 𝟐

𝑷 𝑿 = 𝟎 = 𝒇(𝟎)

𝟏 = 𝟐

𝟏

𝟎

𝟏 𝟐 𝟏 𝟐

𝟏 −𝒙 𝟏−𝟏

𝟏−𝟎

𝟏 = = 𝟎, 𝟓 𝟐 𝟏 = = 𝟎, 𝟓 𝟐

Ejemplo> “Probabilidad que salga un as de corazones”

Cuando se saca una carta de una baraja inglesa se tienen 52 posibles resultados. Se considera como éxito el sacar un as de corazones, y su 1 probabilidad es 52 𝑞 =1−𝑝 =1

1 − 52

=

51 52

(Probabilidad de no sacar As de corazón rojo)

𝑷 𝑿 = 𝒑𝒙 𝟏 − 𝒑 1 𝑃 𝑋=1 = 52

1

51 52

1−1

𝟏 −𝒙

1 = = 0,0192 52

1,92% de probabilidad.

PROPIEDADES DE UN EXPERIMENTO DE BERNOULLI 1. En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: Éxitos o Fracasos. 2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores. 3. La probabilidad de un suceso (p) es constante y no varía de una prueba a otra.

4. La probabilidad del complemento (1- p) es q .

Si se repite el experimento n veces se puede obtener datos para armar una distribución binomial.

Ejemplos de su uso: • Lanzamiento de monedas:

DISTRIBUCIÓN BINOMINAL • Describe la probabilidad de una variable dicotómica independiente. Se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados.  Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.  En el la final un equipo puede ganar o perder.  Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.  Vivo / muerto; enfermo / sano; verdadero / falso  Prueba múltiple 4 alternativas: correcta o incorrecta.  Algo puede considerarse como Éxito o Fracaso

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Ejemplo distribución probabilidad discreta. Formada por serie experimentos Bernoulli. Resultados de cada experimento son mutuamente excluyentes. Para construirla se necesitan: 1. La cantidad de pruebas n 2. La probabilidad de éxitos p 3. Utilizar la función matemática P(x=k).

LA FUNCIÓN P(x=k)

k = número de aciertos. n = número de experimentos. p = probabilidad de éxito, como por ejemplo, que salga "cara" al lanzar la moneda. 1-p = q (fracaso)

EJEMPLO 1 ¿Probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? Solución: El número de aciertos k es 6. Esto es x=6 El número de experimentos n son 10 La probabilidad de éxito p = 0.50 𝒏! 𝑷 𝑿=𝒌 = ∗ 𝒑 𝒌! ∗ 𝒏 − 𝒌 !

𝒌

∗ 𝟏−𝒑

𝟏𝟎! 𝑷 𝑿=𝟔 = ∗ 𝟎, 𝟓 𝟔! ∗ 𝟏𝟎 − 𝟔 !

𝟔

𝒏−𝒌

∗ 𝟏 − 𝟎, 𝟓

𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝟑 ∗ 𝟒 ∗ 𝟓 ∗ 𝟔 ∗ 𝟕 ∗ 𝟖 ∗ 𝟗 ∗ 𝟏𝟎 𝟏 𝑷 𝑿=𝟔 = ∗ 𝟏∗𝟐∗𝟑∗𝟒∗𝟓∗𝟔∗𝟏∗𝟐∗𝟑∗𝟒 𝟐

𝟕 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟎 𝟏 𝑷 𝑿=𝟔 = ∗ 𝟏 𝟔𝟒

𝟏 𝟏𝟔

𝟐𝟏𝟎 𝑷 𝑿=𝟔 = 𝟏𝟎𝟐𝟒

𝟏𝟎−𝟔

𝟔

𝟏 𝟐

𝟒

𝑷 𝑿 = 𝟔 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟓

EJEMPLO 2 ¿Probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces?

Solucion • El número de aciertos k es 4. Esto es x=4 • El número de experimentos n son 8 • Probabilidad de éxito p = 1/6 ( 0.1666) • Reemplazando en la fórmula se tiene: 𝒏! 𝑷 𝑿=𝒌 = ∗ 𝒑 𝒌 ∗ 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒌 𝒌! ∗ 𝒏 − 𝒌 ! 𝟖! 𝑷 𝑿=𝟒 = ∗ 𝟎. 𝟏𝟔𝟔𝟔 𝟒 ∗ 𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟔 𝟖−𝟒 𝟒! ∗ 𝟖 − 𝟒 ! 𝟏∗𝟐∗𝟑∗𝟒∗𝟓∗𝟔∗𝟕∗𝟖 𝑷 𝑿=𝟒 = ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟕𝟏𝟔 ∗ 𝟎, 𝟒𝟖𝟐𝟐𝟓 𝟏∗𝟐∗𝟑∗𝟒∗𝟏∗𝟐∗𝟑∗𝟒 𝟓∗𝟕∗𝟐 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟕𝟏𝟔 ∗ 𝟎, 𝟒𝟖𝟐𝟐𝟓 𝟏 𝑷 𝑿 = 𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟔 𝑷 𝑿=𝟒 =

Es decir, probabilidad de obtener cuatro veces el números 3 al tirar un dado 8 veces es de 2.6%.

MEDIA, VARIANZA, Y DESVIACIÓN ESTANDAR EN DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

  n p   n pq 2

  n pq

EJEMPLO • Al adivinar al azar un examen de 100 preguntas múltiples, cada una con 4 posibles alternativas de respuesta:

  n p

  100  1 4  25

  n pq

  100  1 4  3 4  18.8

  n pq

  100  1 4  3 4  4.3

2

2

EN RESUMEN • La distribución binomial se forma de una serie de experimentos de Bernoulli • La media (μ) en la distribución binomial se obtiene con el producto de n x p • La varianza (σ2 ) en la distribución binomial se obtiene del producto de n x p x q. • El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 – p.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON. En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc: - # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc. - # de bacterias por cm2 de cultivo - # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc. - # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

FÓRMULA DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON. Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería: 𝒆−𝝀 ∗𝝀𝒙 𝒙!

𝑷 𝒙 = Donde lambda (𝝀) es la frecuencia de ocurrencia media. 𝒙 el número éxitos que ocurran por unidad de tiempo, área, etc. 𝑷 𝒙 la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, etc.

e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...) Fórmula para determinar la varianza en una distribución de Poisson: 𝝈𝟐𝒙 = 𝝀 Por lo que la desviación estándar es: 𝝈𝒙 = 𝝀

Ejemplo: Suponga que el 0,03% de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservible. X representa el número de contenedores en una muestra aleatoria de 10000 que tienen este defecto. Determine: a) P(x=3); b) P(𝒙 ≤ 𝟐); c) P(𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟒) d) 𝝁𝒙 y e) 𝝈𝒙 En este caso 𝝀 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟑 a) 𝑷 𝒙 = 𝟑 =

b) 𝑷 𝒙 = 𝟎 = 𝑷 𝒙=𝟏 =

(𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖)−𝟑 ∗𝟑𝟑 𝟑! (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖)−𝟑 ∗𝟑𝟎 𝟎! (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖)−𝟑 ∗𝟑𝟏 𝟏! (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖)−𝟑∗𝟑𝟐 𝟐!

=

= =

(𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖)−𝟑 ∗𝟐𝟕 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟎𝟒𝟏𝟖𝟎𝟕 𝟏∗𝟐∗𝟑 (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖)−𝟑∗𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟗𝟕𝟖𝟕𝟎𝟔𝟖 𝟏 (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖)−𝟑 ∗𝟑 = 𝟎, 𝟏𝟒𝟗𝟑𝟔𝟏𝟐𝟎𝟓 𝟏 (𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖)−𝟑 ∗𝟗 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟎𝟒𝟏𝟖𝟎𝟕 𝟏∗𝟐

𝑷 𝒙=𝟐 = = P 𝒙≤𝟐 =𝑷 𝒙=𝟎 +𝑷 𝒙=𝟏 +𝑷 𝒙=𝟐 P 𝒙 ≤ 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟗𝟕𝟖𝟕𝟎𝟔𝟖 + 𝟎, 𝟏𝟒𝟗𝟑𝟔𝟏𝟐𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟎𝟒𝟏𝟖𝟎𝟕 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟑𝟏𝟗𝟎𝟎𝟖 c) P 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟒 = 𝑷 𝒙 = 𝟏 + 𝑷 𝒙 = 𝟐 + 𝑷 𝒙 = 𝟑 P 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟒 = 𝟎, 𝟏𝟒𝟗𝟑𝟔𝟏𝟐𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟎𝟒𝟏𝟖𝟎𝟕 + 𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟎𝟒𝟏𝟖𝟎𝟕 = 𝟎, 𝟓𝟗𝟕𝟒𝟒𝟒𝟖𝟏𝟗

d)𝝁𝒙 = 𝟑 e)𝝈𝒙 = 𝟑 = 𝟏, 𝟕𝟑𝟐

Ejercicios para desarrollar en clases 1.- La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: a) ¿Cuál es la probabilidad de que en le grupo hayan leído la novela 2 personas? b) a) ¿Cuál es la probabilidad de que en le grupo hayan leído al menos 2 personas?

2.- El número de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es una variable aleatoria de Poisson con una razón media de 8 mensajes por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban 5 mensajes en una hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban 10 mensajes en una 1,5 horas? 𝟏 c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de 3 mensajes en una 𝟏 𝟐 horas? d) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban más de 3 mensajes en una horas?

Ejercicios para el trabajo autónomo 1.- Un agente de seguros vende pólizas a 5 personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la posibilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: a) Las cinco personas. b) Al menos 3 personas. c) Exactamente 2 personas. 3.- Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contratar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? a) Ningún paciente tenga efectos secundarios. b) Al menos 2 tengan efectos secundarios. 3.- La concentración de partículas en una suspensión es 2 por ml. Se agita por completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 ml. Sea x el número de partículas que son retiradas. determine: a) 𝐏 𝐱 = 𝟓 b) 𝐏 𝐱 ≤ 𝟐 c) 𝛍𝐱 d) 𝛔𝐱 4.- Una compañía telefónica recibe llamadas a razón de 4 por minuto. Calcular: a) La probabilidad de que se reciban 2 llamadas en un minuto. b) La probabilidad de que se reciban menos de 3 llamadas en un minuto. c) La probabilidad de que se reciban más de 3 llamadas en un minuto. d) La probabilidad de que no se reciban llamadas en un minuto.