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• Pedro Quispe Portilla

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I.

PROBABILIDADES

El objetivo fundamental de la estadística es realizar inferencias acerca de una variable en la población a partir del cocimiento de una muestra. La teoría de la probabilidad es el fundamento para la inferencia estadística; esta proporciona y estudia modelos para las distribuciones de algunas variables importantes. En la mayoría de los problemas hay que tomar decisiones en base a experimentos, así pues definiremos lo que es un experimento aleatorio para poder entender el concepto de probabilidad. 1. EXPERIMENTO ALEATORIO Y ESPACIO MUESTRAL Existen dos tipos de experimentos: Experimento Determinístico: Al repetirlos bajo las mismas condiciones siempre dan el mismo resultado (predecible). Ejemplos: Fenómenos físicos y químicos. Ejemplos: - El resultado de una reacción química - La velocidad de llegada de un cuerpo a tierra al dejarlo caer desde una torre

Experimento Aleatorio o no determinístico: Conjunto de pruebas realizadas bajo las mismas condiciones y cuyos resultados son impredecibles. Los simbolizaremos como  . Estos también son conocidos como experimentos estocásticos. Los rasgos que distinguen a los experimentos aleatorios son: i. Todos los resultados del experimento son conocidos con anterioridad a su realización. ii. No se puede predecir el resultado del experimento. iii. El experimento puede repetirse en condiciones idénticas. Ejemplos

1 : Lanzar moneda y observar su cara superior  2 :Extraer un artículo de un lote que contiene 50 artículos defectuosos y 15 articulos no defectuosos. 3 : Observar el tiempo de vida de una lámpara desde que se enciende hasta que falla.

 4 : Elegir un punto en el intervalo cerrado 0,1 5 : Lanzar una moneda y contar el número de lanzamientos hasta que salga cara 6 : Contar el número de artículos fabricados en un dia por una maquina hasta que resulte un artículo defectuoso.

Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles asociados a un experimento aleatorio. Se denota por Ω . Ejemplos: - Al experimento aleatorio 1 :Lanzar moneda le corresponde el espacio muestral 1  C, S

-

Al experimento aleatorio  2 le corresponde 2  D, ND

-

Al experimento aleatorio 3 le corresponde   

-

Al experimento aleatorio  4 le corresponde   

-

Al experimento aleatorio 5 le corresponde   

-

Al experimento aleatorio  6 le corresponde   

Los espacios muestrales pueden ser: Espacio muestral discreto: Si tiene un número finito o infinito numerable de elementos. Espacio muestral continuo Si tiene un número no numerable de elementos. Es decir cuyos elementos son todos los puntos de algún intervalo Evento: Dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral  , se llama Evento a cualquier subconjunto de  y lo denotaremos por A, B, C, D… Sea el evento E entonces: E   Suceso: Es todo elemento del espacio muestral y lo denotaremos por w, x, y, etc. Sea el suceso w, entonces w   Distinguimos los siguientes tipos de eventos: -

Evento simple o elemental: sólo consta de solo elemento Evento compuesto: consta de dos o más elementos Evento imposible: es el que nunca puede realizarse (viene determinado por el conjunto vacío,  ) Evento seguro: es el que siempre se cumple (viene determinado por el conjunto total,  ) Evento disjuntos o mutuamente excluyentes : aquellos Evento A y B que no pueden realizarse a la vez, A  B = 

Ejemplos: Clarifiquemos estos conceptos con unos ejemplos: Realizamos el experimento aleatorio  : “Lanzar un dado y observar la cara superior” Espacio muestral:  = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } UNFV/FIEI/ PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA /LIC. PEDRO SAENZ R.

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Evento simple: Sacar un 2 = { 2 } Evento compuesto: Sacar un número impar = { 1, 3, 5 } Evento imposible: Sacar un 7 =  Evento seguro: Sacar un nº menor que 7 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Evento disjuntos: A = Sacar un nº par = { 2, 4, 6 } B = Sacar un nº impar = { 1, 3, 5 }

2. OPERACIONES CON EVENTOS: (ALGEBRA DE EVENTOS) Tratándose los eventos de subconjuntos del espacio muestral, es natural que satisfagan todas las características de los conjuntos. Sean A y B dos eventos del espacio muestral  .  SUB-EVENTOS Dados dos eventos A y B se dice que A esta contenido en B o que A es sub-evento de B y denotamos por A  B , Es decir si ocurre el evento A ocurre necesariamente el evento B

A  B,si w  A  w  B  IGUALDAD DE EVENTOS Se dice que dos eventos A y B son iguales, y se denota por A = B, si A  B y B  A



LA INTERSECCIÓN, que se denota A  B , es el evento que consta de todos los resultados en  que pertenecen tanto a A como a B. Por tanto, la intersección A  B ocurre si y sólo si tanto A como B ocurren.

AB  A  B  w  w  A  w  B De manera más general, dados k eventos A1, A2, ..., Ak, su intersección A1  A2    Ak es el conjunto de todos los resultados básicos que pertenecen a todo Ai (i = 1, 2, ..., k) Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: A: que salga número par, y B: que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.

A  B  4,6



LA UNIÓN, que se denota A  B , es el evento que consta de todos los resultados en que pertenecen al menos a uno de estos eventos. Por lo tanto, la unión A  B ocurre si y sólo si A y/o B ocurren. A  B  w  w  A  w  B

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PROPIEDADES: i. A   B  C    A  B   A  C  ii.

A   B  C    A  B   A  C 

De manera más general, dados k eventos A1, A2, ..., Ak, su unión A1  A2    Ak es el conjunto de todos los resultados que pertenecen al menos a uno de estos k eventos. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos: A: que salga número par, y B: que el resultado sea mayor que 3. El eventos unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

Luego A  B  2, 4,5,6



EL COMPLEMENTO El complemento del evento A (con respecto al espacio muestral  ), que se representa por Ac (dependiendo de la literatura también se usa A ó A ' ), es el evento que consta de todos los resultados pertenecientes a  pero no a A.

A '  A    A  w  w   w  A

A'    A

PROPIEDADES i. ii. iii. iv. v.

 A´´ A A  A´ 

A  A´  '  

A  B  A  B´

Ejemplo: lanzamos un dado al aire. El eventos (A) es que salga un número par, luego su complementario, evento A es que salga un número impar. UNFV/FIEI/ PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA /LIC. PEDRO SAENZ R.

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Definiciones complementarias: 

Si A y B no tienen puntos muestrales en común (sucesos) se denominan excluyentes y su intersección A ∩ B es el conjunto vacío  , lo que significa que A ∩ B no puede ocurrir. De manera más general, dados k eventos A 1, A2, ..., Ak, se dicen mutuamente excluyentes si cada par de estos eventos es excluyente, es decir Ai  Aj   para todo i ≠ j. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: A: que salga un número menor que 3, B: que salga el número 6.



Dados k eventos E1, E2, ..., Ek definidos en el mismo espacio muestral  , si su unión E1  E2  ...  Ek =  se dice que estos k eventos son colectivamente exhaustivos.

 LEYES DE MORGAN Las operaciones o el algebra de eventos o sucesos es el mismo de el algebra de conjuntos. Las leyes de Morgan se usan para el complemento es decir: Leyes De Morgan

 A  B '

 A'  B ' y

 A  B '

 A'  B '

EJERCICIOS Simplificar:

 A '  B  A   A '  B '



 A ' '

3. PROBABILIDAD.Definición Clásica: La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos (sucesos) favorables y el número total de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos sucesos deban tener preferencia a los demás, lo que hace que todos sean igualmente posibles. Es decir sea el espacio muestral  y el evento A   , entonces la probabilidad de la ocurrencia del evento A será: N  A P  A  N   Donde: N  A = número de casos favorables al evento A

N   = número de casos posibles.

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Ejemplo Si lanzamos una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara? El espacio muestral correspondiente es  = { (C,C), (C,), (,C), (,) } , siendo C = cara y  = cruz Sea el suceso A = “al menos una cara” = { (C,C), (C,), (,C) } Luego: N  A = casos favorables = 3, N   = casos posibles 4 Así, la probabilidad pedida es P  A 

N  A 3  N   4

PROPIEDADES: Sea  un experimento aleatorio y  un espacio muestral asociado a este. La probabilidad de A denotado por P(A) satisface las siguientes propiedades: 1.

0  P( A)  1

2. Si A es un evento imposible entonces P  A  0 3. P(  ) = 1 4. Si A y B son mutuamente excluyentes entonces P(A  B) = P(A) + P(B)

4. PROBABILIDAD CONDICIONAL Dados dos eventos A y B, se define la probabilidad condicional de A dado B como

P( A | B) 

P( A  B) P( B)

, siempre que P(B) > 0 Y se entiende como la probabilidad de que ocurra el suceso A considerando que antes ha ocurrido el suceso B. EJEMPLO: Sea el experimento aleatorio lanzar dos monedas una después de otra. ¿Cual es la probabilidad de que en el primer lanzamiento haya salido una cara sabiendo que al lanzar las dos monedas salió al menos una cara? SOL. Se lanza dos veces una moneda: E={CC,CS,SC,SS}. Sabemos que ha ocurrido el suceso “sale al menos una cara”, es decir, B={CC,CS,SC} La probabilidad de que ocurra el suceso A “en el primer lanzamiento sale cara”={CC,CS} condicionada por el suceso B será:

P A B 

P( A y B) 2 / 4   2/3 P( B) 3/ 4

Propiedades de la probabilidad condicional 1. 0  P( A | B)  1 2. P( | A)  1 3. P( A | )  A UNFV/FIEI/ PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA /LIC. PEDRO SAENZ R.

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



i 1

i 1

4. P(  Ai | B)   P( Ai | B)

si Ai  Aj  0 para i  j

En general tenemos dos formas de calcular P( A | B) : a. Directamente, considerando la probabilidad de A respecto al espacio muestral B. b. Usando la definición, donde P( A  B) y P(B) se calculan respecto al espacio muestral original .

5. REGLA DEL PRODUCTO DE PROBABILIDADES También conocido como Teorema de Multiplicación, se puede ver como una consecuencia de la definición de probabilidad condicional, indica que la probabilidad de la intersección de dos eventos cualesquiera A y B es: P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) La generalización de esta regla para n eventos nos lleva a: P( A1    An )  P( An | A1    An1 ) P( An1 | A1    An2 )  P( A3 | A1  A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) Ejemplo: En una urna hay 5 bolillas blancas y 4 bolillas rojas; Se extrae al azar sucesivamente y sin reposición dos bolas ¿cual es la probabilidad de que las dos resulten blancas? SOL:

6. INDEPENDENCIA DE EVENTOS Dados dos eventos A y B se dice que son independientes estadísticamente, o simplemente independientes, si y sólo si P(A ∩ B) = P(A)P(B) En otras palabras, A y B son independientes si y solo si P(A|B) = P(A) siempre que P(A) sea diferente de 0 y también si P(B|A) = P(B) siempre que P(B) sea diferente de 0. En general n eventos A1 ,, An , se dicen independientes si y sólo si

P  A1 

 An   P  A1  .P  A2  .....P  An 

Ejemplo: Se lanza un dado 5 veces. Hallar la probabilidad de que no aparezca ningún seis en los cinco lanzamientos. SOL.

7. PARTICIÓN: Se dice que la colección de eventos B1 , B2 ,

, Bk conforman una partición del espacio muestral  si 1. Bi  B j  Ø para i  j , i, j  1, 2,3,....k

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K

2. 3.

i 1

Bi  

P ( Bi )  0 para todo i

8. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Sea B1 , B2 , , Bk una partición del espacio muestral  , entonces para cualquier evento A en  , se cumple: k

P  A   P  Bi P  A Bi   P  B1  P  A B1   P  B2  P  A B2   ...  P  Bk  P  A Bk  i 1

EJEMPLO: En un laboratorio hay tres jaulas, en la jaula B1 hay dos conejos pardos y tres blancos, en la jaula B2 hay 4 conejos pardos y 2 blancos, en la jaula B3 hay 5 conejos pardos y 5 blancos. Se selecciona al azar una jaula y se saca un conejo al azar de esta jaula. ¿Cuál es la probabilidad de que el conejo escogido sea blanco? SOLUCIÓN: 9. TEOREMA DE BAYES.- Si los eventos B1 , B2 , , Bk forman una partición del espacio muestral  y A es un evento cualquiera de  , entonces:

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P( Br | A) 

P( Br ) P( A | Br ) k

 P( B ) P( A | B ) i 1

i



P( Br ) P( A | Br ) P( B1 ) P( A | B1 )  P( B2 ) P( A | B2 )  ...  P( Bk ) P( A | Bk )

i

P( Br | A) 

P( Br  A) P  A

Donde el numerador resulta del teorema de multiplicación y el denominador del teorema de probabilidad total. EJEMPLO: En el ejemplo anterior, supongamos ahora que el conejo escogido aleatoriamente es blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la jaula B1? SOLUCIÓN:

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II.

VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES.

1. VARIABLE ALEATORIA. Una variable aleatoria "X" es una aplicación definida en un espacio muestral  , que toma valores reales, o sea es la transformación del Espacio Muestral en un conjunto numérico, mediante X. Definición formal: Dado un experimento aleatorio  y  el espacio muestral asociado a dicho  . Una función que asigna a cada elemento w en  uno y solamente un numero real x  X  w , se llama VARIABLE ALEATORIA. Es decir, X es una función real X :   El rango o recorrido RX de la variable aleatoria X esta dado por el conjunto de números reales:

RX  x  / X  w  x, w   X   Ejemplos:

a) Experimento: “Tira 10 veces a una canasta” Variable aleatoria: X = “Nº de aciertos” , RX  0,1, 2,..9,10 b) Experimento: “Tirar dos monedas” Variable aleatoria: X = “Contar el número de caras” , RX  0,1, 2 c) Experimento: “Elegir una bombilla al azar” Variable aleatoria: X = “Tiempo que tarda en fundirse” RX  x  / 0  x  M  Donde M es el tiempo máximo de vida. d) Experimento: “Lanzar un dado” Variable aleatoria: X = “numero de intentos hasta obtener un seis”, RX  1, 2,3,... e) Experimento: “Elegir una punto (x,y) al azar en el plano cartesiano XY” Variable aleatoria: D = “Distancia del punto al Origen de coordenadas”



RD  d 

/ d  x2  y 2



2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS Definición: Una variable aleatoria se dice discreta cuanto toma una serie de valores aislados es decir cuando RX es un conjunto finito o infinito numerable. Se dice continua cuando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Ejemplos: De los ejemplos anteriores son discretas a,b,d , y son continuas la c y e.

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3. FUNCION O LEY DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE DISCRETAS. Cuando se habla de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria lo que se pretende es determinar cómo están “distribuidas” las probabilidades entre los diferentes valores que puede tomar la variable aleatoria. Se llama función de probabilidad o ley de probabilidad (o función de cuantía) p  x  de una variable aleatoria X a la función que asigna a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta tome ese valor: La función de probabilidad de una v.a. discreta cumple las 3 propiedades: i. p  x   P  X  x ii. iii.

p  x   0, x  RX

 p  x  1

xRX

La colección de pares  x, p  x   x  RX  es llamada distribución de probabilidad de X. Ejemplo: Sea X = “Número de caras al tirar dos monedas” RX : 0, 1, 2 Función de probabilidad: 1 p(0)  P( X  0)  4 1 p(1)  P( X  1)  2 1 p(2)  P( X  2)  4 Observaciones:  El dominio de la función de probabilidad es RX . 

La función de probabilidad p  x  toma valores entre 0 y 1.



La suma de todos los valores que toma la función de probabilidad es 1.

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4.

FUNCION DE DISTRIBUCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

Se llama función de distribución, F, de una variable aleatoria X a la función que asigna a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta tome un valor menor o igual que ese. F ( x)  P( X  x)

Definición formal: Sea X una v.a. discreta con rango RX   x1 , x2, ..... y función de probabilidad,

p  xi   P  X  xi  , sea x un numero real cualquiera, la Función de Distribución de X se denota por “ F  x  ” y se define como:

F ( x)  P( X  x)   p  x    P  X  xi  xi  x

xi  x

Es decir, para calcular el valor de la función de distribución en un punto xi debemos sumar los valores que toma la función de probabilidad en todos los puntos menores o iguales que xi. Ejemplo: Sea X = “Número de caras al tirar dos monedas” (del ejemplo anterior)

 0 si x  0 1  si 0  x  1 2 F ( x)    3 si 1  x  2 4  1 si 2  x 

Observaciones:  La función de distribución es “escalonada”, empieza tomando el valor 0, tiene saltos en el recorrido de la variable aleatoria hasta tomar el valor 1.

5. FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD Definición: Sea X una v.a. continua con rango RX . La función de densidad de probabilidad asociada a la variable aleatoria, es una función f  x  integrable que satisface las siguientes condiciones: a.

f  x   0, x  

b.

 f  x  dx   f  x  dx  1



RX

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Una consecuencia de esta definición es que si A es el evento A  x / a  X  b se define la probabilidad de A como sigue: b

P  A  P  a  X  b   f  x  dx a

Este concepto de probabilidad se entiende que la probabilidad del evento A es equivalente a área debajo de la curva, a la derecha de la recta x= a y a la izquierda de la recta x=b.

OBS:

f  x  no representa la probabilidad de algo, solamente cuando esta función se integra entre dos puntos representa una probabilidad. b. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor especifico, digamos x0 es cero, a.

pues: P  X  x0   P( x0  X  x0 )   f ( x) dx  0 x0

x0

c. Como consecuencia cuando X es una v.a. continua P a  X  b  P a  X  b  P a  X  b  P a  X  b Ejemplo: Sea una variable aleatoria continua con función de densidad dada por: c  6 x  2 x 2  ,0  x  2 f  x   0 , en otro caso  1) Encuentre el valor de la constante c. Sol:

Como 

0

2



0

2  0dx   c  6x  2x  dx 



 0dx  1 2

2

3 2   Se obtiene 0  c 3x 2  x3   0  1 , luego c  20 3 0  2) Calcular P  X  1

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

Sol: P  X  1   1

2

3 13 f  x  dx    6 x  3x 2  dx  20 1 20

3) Calcular P 0.5  X  1.5 Sol: P 0.5  X  1.5 

1.5

 f  x  dx 

0.5

6. FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADAD DE UNA VARAIABLE ALEATORIA CONTINUA Definición: sea X una v.a. continua con función de densidad f  x  La función de distribución acumulada de la v.a. continua X, denotada por F  x  , se define por: x

F ( x)  P( X  x)   f (t ) dt , x  

Es decir F  x  asigna a cada valor x la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor de x.

Ejemplo: Sea una variable aleatoria continua con función de densidad dada por:

 3x ,0  x  2  2  x f  x   4  0 , en otro caso Hallar la función de distribución acumulada de X.

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SOLUCION: 1) Si x  0, F  x   P  X  x  

x

 odt  0



2) Si 0  x  2, F  x   P  X  x  

x



f  t  dt 



3) Si x  2, F  x   P  X  x  

x





0

3 3 2 x  0dt  0 4 t  2  t  dt  4 x 1  3  0

x

2

x

3 f  t  dt   0dt   t  2  t  dt   0dt  1 4  0 2

0 x0   3  x  Luego: F  x    x 2 1   0  x  2 4  3   1 x2 Gráficamente:

Observar que F(x) empieza tomando el valor 0 y va creciendo hasta alcanzar el valor 1.

6.1 POPIEDADES DE LA FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADAD DE UNA VARAIABLE ALEATORIA CONTINUA 1. 0  F  x   1, x  2. 3.

lim F  x   0

x 

lim F  x   1

x 

4. F es creciente es no decreciente, esto es : Si a  b  F  a   F b  5. F es continua por la derecha, es decir lim F  x  h   F  x  , x  , h  0 h 0

6. Del segundo teorema fundamental del calculo se tiene que: f  x  

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d  F  x  dx Página 15

7. PARÁMETROS O CARACTERISTICAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Las características numéricas son medidas que permiten sintetizar la información de forma tal que ofrecen las características generales del fenómeno en estudio, es decir, sus rasgos principales. También se conocen como parámetros de las variables aleatorias. Las características fundamentales que se estudiarán son: Media y varianza 7.1 Media o Esperanza matemática de X se denota por  ó E  X  y se Define por:

  E  x   x1 p ( x1 )  x2 p ( x2 )  ...  xn p ( xn ) 

  E  x 

 xp( x) ,

Si X es una v.a. discreta (*)

xRX



 xf  x  dx   xf  x  dx ,

Si X es una v.a. continua (**)



RX

Siempre que la sumatoria (*) o la integral (**) sean finitas Ejemplo: Sea X = “Número de caras al tirar dos monedas” 1 1 1 Media=   0  p(0)  1  p(1)  2  p(2)  0   1   2   1 4 2 4 Es decir, si repites el experimento muchas veces en promedio obtendrás una cara.

Sea X = “Número obtenido al lanzar un dado” 1 1 1 21  3.5 Media=   1. p (1)  2  p (2)  ...6. p  6   1   2   ...  6   6 6 6 6

7.2 Propiedades de la esperanza matemática. 7.2.1 Sea X una v.a e Y  H  X  Una función de X, EL valor esperado H  X  se define por: i. E  H  X    ii. E  H  x   

 H  x  p( x)

Si X es una v.a. discreta

 H  x  f  x  dx ,

Y  H  X  continua y X una v.a. continua

xRX

RX

Es decir para hallar el valor esperado de Y  H  X  no se necesita conocer o calcular la distribución de probabilidad de Y. 7.2.2 Sea X una v.a., a y b constantes. Entonces: i.

E  a  a

ii.

E aH  X   aE  H  X 

iii.

E aH  X   bG  X   aE  H  X   bE G  X 

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7.3 Varianza de X: La varianza de una variable aleatoria es una característica numérica que proporciona una idea de la dispersión de la variable aleatoria respecto de su esperanza, se denota y se define como: La varianza de una v.a. X, se denota por Var  X  ó V  X  ó por la letra griega  X 2 y se define como: 2 Var  X   E  X      

Por lo tanto: V  x 

 x  

2

p( x) ,

Si X es una v.a. discreta

xRX

V  x 

  x    f  x  dx , 2

Si X es una v.a. continua

RX

Ejemplo: Sea X = “Número de caras al tirar dos monedas” Varianza E  X 2   02  p(0)  12  p(1)  22  p(2)  1.5 

1

 2  E  X 2    2   02   12   22    12  4 2 4 2  1

1

1

Una de las características de la varianza es que viene expresada en unidades cuadráticas respecto de las unidades originales de la variable. Un parámetro de dispersión derivado de la varianza y que tiene las mismas unidades de la variable aleatoria es la desviación típica, que se define como la raíz cuadrada de la varianza. Desviación Típica =  X  Var  X 

Desviación Típica es la raíz de la varianza, asi en este ejemplo   0,5  0,71 7.4 Propiedades de la Varianza. 7.4.1 Sea X una v.a con valor esperado E  X    la varianza esta dada por: V  X   E  X 2   2

7.4.2 Sea X una v.a., a y b constantes. Entonces: V  ax  b  a2V  X  7.5 EJEMPLOS: 7.5.1 Tiramos 3 monedas y sea la v.a. discreta Entonces:

X = “Número de caras”

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Recorrido de X = {0, 1, 2, 3}

C C C X C X X X

Función de probabilidad.      p( x)       

1 8 3 8 3 8 1 8

x0 x 1

C C X C X C X X

C X C C X X C X

x2 x3

Función de distribución.

     F ( x)       

0 1 8 4 8 7 8 1

x0 0  x 1 1 x  2 2 x3 x3

Parámetros. 1 8

3 8

3 8

1 8

   xi p ( xi )  0   1   2   3   1,5  

1

 2    xi 2  f ( xi )    2   02   12   22   32    1,52  0, 75 8 8 8 8 1

3

3



  0,75  0,87 7.5.2 PREGUNTA: Sea el siguiente juego Si un jugador lanza la moneda 3 veces, y gana un dos soles por cada cara obtenida. a. Si el juego cuesta 2 soles cual es su ganancia esperada? b. Si el juego cuesta 4 soles cual es su ganancia esperada? c. Sea la variable aleatoria Y: ganancia en el juego, en cual de los casos a) ó b) será Y mas homogénea? UNFV/FIEI/ PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA /LIC. PEDRO SAENZ R.

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x para 0  x  2 2 Hallar la esperanza de X ¿Cuál será el valor de la varianza de x? Hallar E(x+3) Hallar E(2x2) ¿Cuál será el valor de V(2x)? ¿Cuál es el valor de la desviación típica de X?

7.5.3 Ejemplo Si f  x   a. b. c. d. e. f.

SOLUCION: Por la forma de presentar el recorrido de la variable x, indica que es una variable continua. 2

2

1 a. E  X    x f ( x)dx =  x 2 dx = 1/2[x 3 / 3) = 1/2(8/3 - 0)=1.33 20 0 b. E  X

2

2

x 0

2

2

f ( x)dx = 1/2 x3dx  1/ 2( x 4 / 4)  1/ 2(16 / 4)  16 / 8  2 0

Luego por propiedad: V(x) = E (x2) - [E (x)]2 = 2 - 1.332 = 2 - 1.77 = 0.23 c.

E(x+3) = E (x) + 3 = 1.33 + 3 = 4.33

d. E(2x2) = 2 E(x2) = 2 . 2 = 4 e. V(2x) = 22 V(x) = 4 (0.23) = 0.92 f.    2  0,23 = 0,48 Recuerde que la desviación típica se representa por la letra griega sigma y que es la raíz cuadrada de la varianza (V(x) = 2

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RESUMEN VARIABLES DISCRETAS VERSUS VARIABLES CONTINUAS X = “Nº de hijos” Recorrido de X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Y = “Tiempo de retraso/adelanto en el autobús” Recorrido de Y = RY   y / y  m, M 

Función de probabilidad

Función de densidad

Función de distribución

Función de distribución x

F ( x)  P( X  x)   f ( x) dx 

f (x)

F (x)

Parámetros

Parámetros n

   xi  f ( xi ) i 1



n

 (x i 1

i

  ) 2  f ( xi )



   x  f ( x) dx 









( x   ) 2  f ( x) dx

ó



n

x i 1

2 n

 f ( xi )   2

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8. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS En esta sección presentaremos algunas (las principales) distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas. El comportamiento de una variable aleatoria queda descrito por su distribución de probabilidad discreta. A menudo, las observaciones que se generan en diferentes experimentos se pueden describir esencialmente con la misma distribución de probabilidad y por tanto se pueden representar mediante una sola formula. De hecho se necesita solo un puñado de distribuciones de probabilidad importantes para describir muchas variables aleatorias discretas que se encuentran en la práctica.

8.1 DISTRIBUCIÓN UNIFORME Es la mas simple de todas las distribuciones de probabilidad discreta es donde la variable aleatoria toma cada uno de sus valores con una probabilidad idéntica. La variable aleatoria toma un número finito de n valores, cada uno con igual probabilidad.

f ( xi )  P( X  xi ) 

1 , Rx  xi , x2, ...xn n

EJEMPLO: Se lanza un dado y sea X: numero de la cara superior 8.2 ENSAYOS Y DISTRIBUCION DE BERNOULLI Hay muchos experimentos que solo tienen dos resultados posibles, llamados éxito “E” y fracaso “F”. Donde la probabilidad de éxito es siempre la misma es decir es constante y por lo tanto también lo es la probabilidad de fracaso. Luego al espacio muestral para este tipo de ensayo es   E, F , Por ejemplo al lanzar una moneda podemos considerar éxito si sale cara. Un experimento con estas característica se llama ensayo de Bernoulli. Definimos ahora la variable aleatoria X de tal manera que X  w  numero de éxitos en un ensayo Bernoulli entonces tenemos: RX  0,1 , así esta variable aleatoria es llamda variable aleatoria de Bernoulli. Si denotamos p  P  E  y q  1  p  P  F 

x p(x)

0 1-p=q

1 p

Podemos escribir la distribución de Bernoulli como:

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p  x   P  X  x   p x 1  p 

1 x

, x  0,1

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DISTRIBUCION BINOMIAL A menudo estamos interesados solamente en el numero total de éxitos “E” obtenidos en un proceso de n ensayos Bernoulli, al margen del orden en que se presentan. Definimos ahora una variable aleatoria Binomial como: X  w  número de éxitos obtenidos en los n ensayos Bernoulli. Entonces tenemos:

RX  0,1,3,..., n , con distribución Binomial dada por: n n x p  x   P  X  x n, p     p x  q  , x  0,1,..., n.  x n n! donde    es el número de formas en que se pueden tener k éxitos de n  k  k!(n  k )! intentos.

Propiedades: 1. E  X   np

2. V  X   npq

EJEMPLO: Si Tiramos 5 esferas a una canasta, la probabilidad de acertar cada tirada es 0,4. Si consideramos la variable X " Número de aciertos " Hallar la distribución de probabilidades de X , graficarla y calcular sus parámetros. SOLUCION: Suponiendo que la probabilidad de éxito se mantiene constante (es decir el lanzador no aprende) Entonces X tiene distribución de probabilidad binomial con Rango = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y función de 5 probabilidad: f (k )     0,4 k  0,6 5 k ES DECIR: k 

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 5  0 5    0,4  0,6  0,0778 0    5     0,41  0,6 4  0,2592  1    5   0,4 2  0,63  0,3456     2  f ( x)    5   0,43  0,6 2  0,2304  3    5  4 1    0,4  0,6  0,0768 4    5     0,45  0,60  0,0102   5 

si x  0

Grafica de la Función de distribución:

si x  1 si x  2 si x  3 si x  4 si x  5

Parámetros:   n  p  5  0,4  2 ,   n  p  q  5  0,4  0,6  1,2  1,10 OBS: Los cálculos de probabilidad a partir de la función, pueden llegar a ser muy tediosos, en especial cuando aumenta “n”, sin embargo se pueden obtener las probabilidades directamente de la tabla Binomial, las cuales se encuentran disponibles en las tablas estadísticas y de esta forma evitar cálculos fatigosos, También se puede usar programas como el Excel que dan los cálculos exactos

8.3 DISTRIBUCION GEOMETRICA La distribución geométrica también esta relacionada con un proceso de Bernoulli, exepto que el numero de ensayos no es fijo. Consideremos entonces una sucesión de ensayos Bernoulli. Definimos la variable aleatoria X de la siguiente manera: X  w  número de ensayos requeridos hasta obtener el primer éxito. Entonces tenemos: RX  0,1,3,... , con distribución dada por: p  x   P  X  x  p x  q 

x 1

, x  1, 2,3...

Propiedades: 1 q 1. E  X   2. V  X   2 p p   P  X  x es decir la distribución geométrica no tiene memoria 3. P  X  x  r X  r  EJEMPLO: UNFV/FIEI/ PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA /LIC. PEDRO SAENZ R.

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La probabilidad de que una maquina produzca un articulo defectuoso es 0.25, se hace un control de calidad se enciende la maquina. a. cual es la probabilidad de que exactamente el cuarto articulo producido sea el primer articulo defectuoso producido luego de encender la maquina?. b. Si la maquina produce consecutivamente 4 artículos no defectuosos pasa al control de calidad, ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina pase el control de calidad? c. Si la maquina pasa el control de calidad y se hace un segundo control cual es la probabilidad de que vuelva a pasar el control de calidad? d. Cual es valor esperado de X? SOLUCION:

8.4 DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA La distribución binomial negativa también esta relacionada con un proceso de Bernoulli, es una generalización de la distribución geométrica. Consideremos entonces una sucesión de ensayos Bernoulli. Definimos la variable aleatoria X de la siguiente manera: X  w  número de ensayos requeridos hasta obtener en total r éxitos (los r éxitos no son necesariamente consecutivos). Entonces tenemos: RX  r, r  1, r  2, r  3,... , con distribución dada por:  x  1 r xr p  x   P  X  x    p  q  , x  r , r  1, r  2, r  3,...  r 1

Propiedades: rq r 1. E  X   2. V  X   2 p p EJEMPLO: La probabilidad de que una maquina de la marca A con 2 años de servcicio produzca un articulo defectuoso es 0.25 a. Cual es la probabilidad de que exactamente el segundo articulo producido sea defectuoso. (interprete correctamente la pregunta) b. Cual es la probabilidad de que sea necesario fabricar 5 en total articulos para obtener exactamente 3 articulos defectuosos.

c.

Digamos que el control de calidad consiste en fabricar artículos hasta obtener 2 defectuosos, luego se cuentan el total de los artículos sanos y si hay menos de 4 artículos sanos la maquina se manda a reparación. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina pase el control de calidad? (osea que no se mande a reparar)

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d. Supongamos que hay tres maquinas iguales de la misma marca A y las tres con 2 años de servicio, se efectúa el control de calidad del ítem anterior, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de ellas se mande a reparación y las otras 2 pasen el control? e. Si el proceso de producción es el siguiente: Se fabrican artículos hasta producir 100 defectuosos, luego se para la maquina y finaliza la producción, finalmente se empaquetan los artículos sanos en un único lote. Si cada artículo sano representa una utilidad de 5 soles y cada artículo defectuoso una perdida de 2 soles, ¿Cuál es la utilidad esperada del proceso? SOLUCION:

8.5 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Consideramos una población de tamaño N, dividida según la característica a estudiar, en dos subpoblaciones disjuntas de tamaños M y N  M . Donde M