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LICEO Nº1 JAVIERA CARRERA MATEMÁTICA PROBABILIDADES 1º medio

Profesor: Benjamín Rojas F.

Introducción La probabilidad se ha usado en nuestros quehaceres diarios para mostrar la ocurrencia o no ocurrencia de algunos hechos que llamaremos sucesos o eventos. El cálculo de las probabilidades es el estudio de estos sucesos o eventos y las leyes que los rigen. Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no puede saberse con certeza de antemano. Ejemplos : 1) El lanzamiento de una moneda al aire. 2) El lanzamiento de un dado. 3) Sacar una carta de un naipe inglés. Experimento determinístico: Experimento cuyo resultado puede saberse de antemano. Espacio muestral: Es un conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, se simboliza con la letra E. Ejemplos :

1)

En el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral está definido como:

E =  cara, sello  2) En el lanzamiento de un dado, el espacio muestral está definido como: E =  1, 2, 3, 4, 5, 6  3) En el lanzamiento de dos monedas que es lo mismo que lanzar una moneda seguida de otra moneda, el espacio muestral está definido como: E =  cara cara, cara sello, sello cara, sello sello  Diagrama de árbol y gráfico de un espacio muestral Ejemplo : 1) En el lanzamiento de dos monedas, encontrar el espacio muestral; hacer un diagrama de árbol y un gráfico para encontrar los posibles resultados. 1º lanzamiento

moneda

2º lanzamiento cara

cara

sello

(cara,sello)

(sello,sello)

(cara, cara)

(sello,cara)

cara

sello

sello

cara

cara sello sello

moneda

Ejercicio: Encuentra el espacio muestral; hacer un diagrama de árbol y un gráfico para encontrar los posibles resultados. 1) 2) 3) 4)

El lanzamiento de tres monedas. El lanzamiento de dos dados. Al extraer dos bolitas de una caja que contiene cuatro bolitas verdes y tres rojas. Sacar una ficha de una caja que contiene nueve fichas numeradas del 1 al 9. 1

5) Lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. 6) Responder al azar dos preguntas cuyas respuestas posibles son verdadero o falso. Equiprobabilidad: Los resultados de un experimento aleatorio que se repite bajo las mismas condiciones se pueden registrar en una tabla de distribución de frecuencias. La equiprobabilidad se refiere a que las frecuencias relativas tienden a estabilizarse en valores parecidos para los diferentes resultados posibles de obtener, se concluye entonces que los resultados son eequiprobables. Suceso o evento: Es un subconjunto de un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Ejemplo: 1) Al lanzar dos dados escribir el suceso A: “que la suma de ambos dados sea menor que 5”. entonces A   (1,1) ; (2,2) ; (1,2) ; (2,1) ; (1,3) ; (3,1)  2) Al lanzar 3 monedas al aire escribir el suceso B: “que salgan como máximo dos sellos” entonces: B   (c, s, s) ; (s, c, s) ; (c, c, s)  Probabilidad clásica Nos da la idea de que es posible calcular la ocurrencia de un determinado resultado bajo ciertas condiciones antes de realizar el experimento. La forma de obtener la probabilidad clásica es aplicando la “regla de Laplace” Regla de Laplace: Si en un experimento aleatorio el espacio muestral E tiene n resultados equiprobables, entonces:

es:

1 n



La probabilidad de la ocurrencia de uno de ellos es: P 



La probabilidad de la ocurrencia de un suceso que consta de k de dichos resultados

P

k n

De lo anterior la regla de Laplace define la probabilidad de la ocurrencia de un suceso, como: P

número de casos favorables número de casos posibles

Ejemplos: 1) Calcular la probabilidad de obtener sello al lanzar una moneda. Evento A: que salga sello Casos posibles: E   cara, sello Casos favorables: A   sello P

1 2

2) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 5 al lanzar un dado? Evento: B: que salga un número menor que 5 Casos posibles: E  1, 2, 3, 4, 5, 6 Casos posibles: B  1, 2, 3, 4, 5 2

P

1 2

Suceso cierto o seguro: Es el suceso que siempre ocurre y la probabilidad de que ocurra es 1. Ejemplo: Al lanzar un dado, considerar el evento A; que salga un número menor que 10. Suceso imposible: Es el suceso que nunca ocurre y la probabilidad de que ocurra es 0. Ejemplo: Al lanzar un dado, considerar el evento B; que salga el número 17. nota:Si P(A) es la probabilidad de que ocurra el suceso A, entonces la probabilidad de que no ocurra A es P( A ) y se cumple que: P( A )

= 1 – P(A) PROBABILIDADES 1º medio

1) Dispones de 5 tarjetas numeradas del 1 al 5 y de una moneda. Si extraes al azar una tarjeta y lanzas al aire la moneda : a) Escribe los elementos del espacio muestral E. b) Dibuja un diagrama del espacio muestral E. c) En el diagrama anterior destaca los elementos del suceso A, que consiste en que salga un número par en la tarjeta y sello en la moneda. 2) De un conjunto de 4 tarjetas numeradas del 0 al 3, respectivamente, se extraen dos de ellas al azar. a) ¿Cuántos elementos tiene E? b) Anota el conjunto E con todos sus elementos. c) Escribe detalladamente el evento B : que la suma de los números de las dos tarjetas extraídas sea menor que 3. 3) Se lanzan al aire 4 monedas. a) Escribe una lista ordenada de los resultados posibles. b) Anota en detalle el evento C : que salgan tres o más caras. c) Escribe los elementos del suceso D : que salgan como máximo dos sellos. d) ¿Cuántos elementos tiene el evento F : que salga lo mismo en las 4 monedas? 4) En el lanzamiento de tres dados. a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? b) Escribe en detalle el evento A : que en los tres dados salga el mismo número. c) Calcula cuántos elementos tiene el evento B : que salgan tres números pares. 5) De una bolsa en la que hay 7 fichas blancas y 3 rojas se extraen dos fichas : a) ¿Cuántos elementos (parejas de fichas) tiene el espacio muestral E? b) ¿Cuántos elementos tiene E sin antes de extraer la segunda ficha se devuelve la primera a la bolsa? c) De todas las parejas de fichas, ¿cuántas de ellas están formadas por dos fichas rojas si se devuelve la que ya se extrajo? concepto clásico de probabilidad presencia

1) En el lanzamiento de tres monedas, calcula la probabilidad de que ocurra : a) Evento A : que salgan al menos dos caras. b) Evento B : que salgan menos de dos sellos. 2) En el experimento aleatorio del lanzamiento de dos dados, calcula la probabilidad de que ocurra : a) Qué salgan dos números pares. b) Que la diferencia en valor absoluto sea 2. 3

c) Que la suma sea menor o igual que 4. c) Que la suma de los números sea 2. 3) En el lanzamiento de 3 dados calcula la probabilidad de que ocurra : a) Evento A : que salgan 3 ases. b) Evento B : que en los tres dados salga el mismo número. 4) De un naipe de 52 cartas se extraen dos. Calcula la probabilidad de : a) Que las dos cartas sean de corazones. b) Que las dos cartas sean reyes. c) Que las dos cartas sean negras. 5) En una bolsa hay 36 fichas numeradas del 1 al 36, respectivamente. Si extraes una ficha, calcula la probabilidad de que la ficha extraída sea : a) Un número par. b) Un número primo. c) Un número múltiplo de 5. d) Un número terminado en 2. e) Un número divisible por 6. f) Un número impar mayor que 20. 6) Una bolsa contiene 2 fichas blancas, 6 azules y 8 rojas. Saca al azar una ficha de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra cada uno de los siguientes sucesos? a) Que sea azul. b) Que sea blanca o roja. c) Que no sea blanca. d) Que no sea azul. 7) Las cartas del 5 al 9 de corazones y del 5 al 9 de tréboles se barajan y se colocan al azar, una al lado de la otra. Calcula la probabilidad de que : a) Las cartas queden una por medio de acuerdo a la pinta (sin importar el número) b) Que el 7 de corazones y el de tréboles queden juntos. c) Que la primera carta de la izquierda sea el 8 de corazón y la última el 8 de trébol. 8) La probabilidad de que mañana llueva es 0,12. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva? 9) La probabilidad de que un evento A ocurra es 2x y la de que no ocurra es 3x. Calculas ambas probabilidades, expresadas en porcentajes. 10) De un grupo de 8 alumnas y 5 alumnos se va a formar una comisión de 3 personas, sorteadas al azar. Calcula la probabilidad de que la comisión quede formada : a) Alumnas solamente. b) 2 alumnos y una alumna. c) Al menos una alumna.

4