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• Jorge Collado

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Probabilidad Condicional Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee “la probabilidad de A dado B”. No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos. Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso se escribiría como P (Cara | 6). El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Definición Dado un espacio de probabilidad y dos eventos (o sucesos) con , la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

Exclusividad mutua

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo sí . Entonces,

.

Además, si

entonces

es igual a 0.

Independencia de sucesos

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, ó puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa. Interpretación

Tomando los mundos en los que B se cumple, se puede interpretar como la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe. Propiedades 1.

1.

Es decir, si todos los que tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1. 1. Exclusividad mutua

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo sí . Entonces, . Además, si

entonces

es igual a 0.

La falacia de la probabilidad condicional

La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anumérico este error muy común cometido por personas que desconocen la probabilidad. La verdadera relación entre P (A|B) y P (B|A) es la siguiente:

(Teorema de Bayes)

Teorema Teorema de Bayes El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el filósofo inglés Thomas Bayes (1702-1761)1 en 1763,2 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados. Sea un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales . Entonces, la probabilidad viene dada por la expresión:

Dónde: 

son las probabilidades a priori.



es la probabilidad de



son las probabilidades a posterior.

en la hipótesis

.

Fórmula de Bayes

Con base en la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional de cualquiera de los eventos , dado . La fórmula "ha originado muchas especulaciones filosóficas y controversias". Aplicaciones

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso. Otra aplicación se encuentra en la fusión de datos, combinando información expresada en términos de densidad de probabilidad proveniente de distintos sensores.

Como observación, se tiene resulta trivial.

y su demostración

Como aplicaciones puntuales: 1. El diagnóstico de cáncer. 2. Evaluación de probabilidades durante el desarrollo de un juego de bridge por Dan F. Waugh y Frederick V. Waugh. 3. Probabilidades a priori y a posteriori. 4. Un uso controvertido en la Ley de sucesión de Laplace. Ejemplos 1-Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A B)= 1/4. Determinar: 12345Solución: 1-

2-

3-

4-

5-

2-Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A B) = 1/5. Determinar: 123-

456Solución: 1-

2-

3-

4-

5-

6-

3-En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

4-De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que: 1-Las dos sean copas

2-Al menos una sea copas

3-Una sea copa y la otra espada

5- Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

6-Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa. 1¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

7-Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. 1Hacer una tabla ordenando los datos anteriores

2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

8-Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de: 1-Seleccionar tres niños

2-Seleccionar exactamente dos niños y una niña

3-Seleccionar por lo menos un niño

4-Seleccionar exactamente dos niñas y un niño

9-Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

10-Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:

1-Probabilidad de que la segunda bola sea verde

2-Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color