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• Flavia Ciriaco Atahualpa

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PROBABILIDAD CONDICIONAL Dado un espacio muestral  , la probabilidad de ocurrencia del evento A, dado que el evento B ha sucedido, se llama probabilidad condicional de A respecto de B, y se denota:

P( A/B)  P( AB) P(B)

con

P(B) > 0

De donde:

P(A/B) 1P(A/B)

Ejemplos: 1.-

Un club consiste de 150 miembros, de donde 3/5 son hombres y 2/3 profesionales. Además 1/3 de las mujeres son no profesionales. a)

Si se elige un miembro al azar, calcular la probabilidad de que sea un hombre, dado que es profesional.

P( H/P )  P( HP )  60/150  0,60 P( P ) 100/150 b)

Si se elige un miembro al azar y resulta mujer, calcular la probabilidad de que no sea profesional.

P( P/M)  P( PM)  20  0,33 P( M) 60 2.-

Un sistema está formado por dos componentes. La probabilidad de que el segundo componente funcione de una manera satisfactoria durante su vida útil de diseño es 0,9, la probabilidad de que al menos uno de los dos componentes funcione bien es 0,96, y la probabilidad de que los dos componentes funcionen bien es 0,75. Dado que el primer componente funciona de una manera satisfactoria en toda su vida útil de diseño, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo componente también funcione bien. Dos componentes: A y B

P(B)  0,9

P(A B)  0,96

P(A B)  0,75

P(B/A)  P(B  A)  0,75  0,75  0,926 P( A) P( A) 0,81 Porque:

P( A B)  P( A)  P(B)  P( A B) 0,96  P(A)  0,9  0,75 P( A)  0,81

1

PROBABILIDAD TOTAL

A1 , A2 , A3 , ...., Ak mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, los cuales constituyen una partición del espacio muestral  , entonces para cualquier evento B de  se cumple: Sean los eventos

B  ( A1B)  ( A2 B)  ........  ( Ak B) P( B)  P( A1 B)  P( A2 B)  ........ P( Ak B) P( B)  P( A1 )P( B/A1 )  P( A2 )P( B/A2 )  ..... P( Ak )P( B/Ak )

P(B) 

k

P( Ai ) P(B/Ai )  i1

Ejemplo: Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una ficha de una urna I, que contiene 2 fichas blancas y 3 negras. Si sale cara y sello, se extrae una ficha de una urna II, que contiene 4 fichas blancas y 1 negra. Si salen dos sellos, se extrae una ficha de una urna III, que contiene 3 fichas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer ficha blanca después de lanzar las monedas y sacar la ficha?

n Ω   CC; CS; SC; SS

n Ω   4

P B  P1 . PB 1  P2 . PB 2  P3 . PB 3

P B 

1 4

2 5



2 4 . 4 5



1 3 .  0,65 4 5

2

TEOREMA DE BAYES

A1 , A2 , A3 , ...., Ar , ....... Ak mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, los que constituyen una partición del espacio muestral  , entonces para cualquier evento B de  se cumple: Sean los k eventos

P( Ar /B)  P( Ar B) P( B)

P( Ar /B)  k P( Ar B) P( Ai ) P( B/Ai )



i 1

( Ar ) . P( B/Ar ) P( Ar /B)  P k P( Ai ) P( B/Ai )



i 1

Ejemplo: Supongamos que tenemos dos cajas. La caja I contiene 3 fichas blancas y dos negras; la caja II contiene dos fichas blancas y tres negras. La probabilidad de extraer una ficha al azar de la caja I es 1/3. Si se extrae una ficha al azar y resulta que ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la extracción se haya efectuado de la caja I?

P( I/B) 

P( I ) P( B/I ) P( I ) P( B/I )  P( II) P( B/II)

1. 3 3 5 P(I/B)   0,429 1. 3  2. 2 3 5 3 5

3

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD CONDICIONAL, PROBABILIDAD TOTAL, TEOREMA DE BAYES

1.-

Un ingeniero puede retornar de su trabajo a su casa por el camino A o por el camino B. Según su variable estado de ánimo, elige una u otra ruta. La experiencia indica que utiliza el camino A la tercera parte de las veces. Si utiliza el camino A llega antes de las 18 horas a su casa, el 75% de las veces. Si utiliza el camino B llega a su casa antes de las 18 horas, el 70% de las veces.

a)

b)

¿Cuál es la probabilidad de que llegue después de las 18 horas?

P(D)  P( A) . P(D/A)  P(B) . P(D/B)  1 . 0,25  2 . 0,30  0,2833 3 3

Si un día cualquiera llega a su casa después de las 18 horas, ¿qué probabilidad existe de que haya elegido el camino B?

2 . 0,30 P ( B ) P ( D / B ) P( B/D)   3  0,7059 P( A) P( D/A)  P( B) P( D/B) 0,2833 2.-

En una urna hay un total de 12 fichas entre blancas y negras. Sabiendo que la probabilidad de elegir dos fichas blancas en dos extracciones sin reemplazamiento es 1/11, ¿cuántas fichas negras hay en la urna?

PB1B2   PB1 . PB2 B1 1  x . x 1 11 12 11

1  x2  x 11 132

x2  x 12  0 x 4

x  3



Negras = 12 - x = 8

4

3.-

Un ingeniero puede retornar de su trabajo a su casa por el camino A o por el camino B. Según su variable estado de ánimo, elige una u otra ruta. La experiencia indica que utiliza el camino A la tercera parte de las veces. Si utiliza el camino A llega antes de las 18 horas a su casa, el 75% de las veces. Si utiliza el camino B llega a su casa antes de las 18 horas, el 70% de las veces.

c)

¿Cuál es la probabilidad de que llegue después de las 18 horas?

P(D)  P( A) . P(D/A)  P(B) . P(D/B)  1 . 0,25  2 . 0,30  0,2833 3 3 d)

Si un día cualquiera llega a su casa después de las 18 horas, ¿qué probabilidad existe de que haya elegido el camino B?

2 . 0,30 P ( B ) P ( D / B ) 3 P( B/D)    0,7059 P( A) P( D/A)  P( B) P( D/B) 0,2833

4.-

El Sr. Fernández está dudando entre dedicar sus ahorros a un viaje al Cusco o invertir en renta variable. Su asesor fiscal le ofrece dos alternativas atrayentes, pero él ante su falta de formación bursátil, confía al azar su decisión. Invertirá en el sector eléctrico si saca una ficha roja de una urna que contiene 20 fichas, de las cuales 8 son rojas, 3 verdes y 9 negras. Si la ficha no es roja lanzará dos dados y si obtiene una suma de 6 entre ambos invertirá en el sector inmobiliario; en caso contrario se decidirá por las vacaciones en el Cusco. ¿Cuál es la probabilidad de que finalmente disfrute del viaje?

5

5.- De diez aspirantes a un trabajo cinco han tomado un curso de computación. De estos cinco, tres han tomado además un curso de estadística. Los otros cinco aspirantes no han tomado ningún curso. Se selecciona un aspirante al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que él o ella haya tomado un curso de estadística?

P( E)  P( CE)  P( C) P( E/C)  0,5  0,6  0,30 b)

Si la persona seleccionada ha tomado un curso de computación, ¿cuál es la probabilidad de que él o ella haya tomado también un curso de estadística?

P( E/C)  P( EC)  0,30  0,60 P( C) 0,50 6.-

Un procesador de textos dispone de una función para corregir palabras. Este corrector localiza una palabra incorrecta con probabilidad 0,99 y considera como incorrecta una palabra que es correcta con probabilidad 0,02. Si un texto tiene un 5% de errores, calcular la probabilidad que: a) una palabra sea incorrecta y el corrector no la localice.

LI  lee incorrecto LI  no lee incorrecto

PI LI  0,05 x0,01  0,0005 b)

Habiendo localizado el corrector una palabra como incorrecta ésta sea correcta.

0,95x 0,02 PC LI  0,05x 0,99 0,95x 0,02  0,2774 c)

¿Será conveniente utilizar el corrector de palabras? 

Será conveniente usar el correcto.  

si la probabilidad de cometer error es pequeño. si la probabilidad de no cometer error es alta.

P cometer error  0,05x 0,01 0,95x 0,02 0,0195

6

7.-

A y B se baten a duelo. En cada disparo, la probabilidad de acierto para A es 0,2 y para B es 0,3. Dispara primero A y si no acierta, se arroja una moneda; si sale cara dispara de nuevo A; de lo contrario dispara B. Si después de esto viven aún A y B, tiene B un último disparo. Calcular las probabilidades de que: a) gane A.

PganeA  P Aa   0,2 0,8x 0,5x 0,2  0,28 b)

gane B.

P ganeB  PBa  

 0,8x 0,5x 0,8x 0,3* 0,8x 0,5x 0,3 0,8x 0,5x 0,7x 0,3 0,30

c)

ambos salgan ilesos.

  PBa   Pambosilesos  0,8x 0,5x 0,8x 0,7 0,8x 0,5x 0,7x 0,7 0,42

8.-

Una agencia de publicidad se da cuenta de que aproximadamente uno de 50 compradores potenciales de un producto ve cierto anuncio en una revista y uno de cinco ve un anuncio correspondiente en la televisión; uno de 100 ve los dos anuncios; uno de tres compra realmente el producto si ha visto el anuncio, y de cada 10 que no han visto el anuncio, lo compra uno. ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador potencial escogido al azar: a)

Vea el anuncio.

P(R)  1 50 1 P( T)  5

P(vea el anuncio en revista) = P(vea el anuncio en TV) =

P(R  T)  1 100

Entonces:

P(VA)  P(R  T)  P(R)  P( T)  P(R  T)  1  1  1  0,21 50 5 100 b)

Compre el producto?

P(C)  P(VA C)  P(VA C)  P(VA) . P(C/VA )  P(VA) . P(C/VA) 1  0,21   0,79  1  0,149 3 10

7

9.-

En una caja hay “x” fichas blancas y una ficha roja. Al extraer de la caja dos fichas al azar sin reemplazamiento, la probabilidad de que sean blancas es 1/2 . Calcular el número de fichas blancas que debe tener la caja. 3

PB1B2  1 2 B PB1 . P 2B   1 1 2 

x . x1  1 x1 x 2

 2x - 2= x + 1 x= 3

x 1  1 x 1 2 10.-

Se tienen dos urnas la primera contiene 5 fichas rojas y 7 fichas blancas, la segunda contiene 4 fichas rojas y 3 fichas blancas. Se realiza una extracción de una ficha al azar de la primera urna y se devuelve pero por error en lugar de introducirla de nuevo en la primera urna se introduce en la segunda urna; a continuación se extrae también al azar una ficha de la segunda urna. Calcular la probabilidad de que esta ficha sea roja. 1 5R+7B = 12

2 4R+3B = 7

P(R)  P(R1 R2)  P(B1 R2)  P(R1) P(R2/R1)  P(B1) P(R2/B1)  5 . 5  7 . 4  0,552 12 8 12 8 11.-

Supongamos que tenemos dos cajas. La caja I contiene 3 fichas blancas y dos negras; la caja II contiene dos fichas blancas y tres negras. La probabilidad de extraer una ficha al azar de la caja I es 1/3. Si se extrae una ficha al azar y resulta que ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la extracción se haya efectuado de la caja I?

P( I/B) 

P( I ) P( B/I ) P( I ) P( B/I )  P( II) P( B/II)

1. 3 3 5 P(I/B)   0,429 1. 3  2. 2 3 5 3 5

8

12.-

Un hombre tiene dos carros viejos, A y B; ellos tienen problemas para arrancar en las mañanas frías. La probabilidad de que ambos arranquen es 0,1; la probabilidad que arranque B y no A es 0,2; la probabilidad que ninguno de ellos arranque es 0,4. Hallar la probabilidad que:

P(AB)  0,1

P(BA) 0,2

A

P(AB)  0,4 B

0,3

0,1

=1

0,2

0,4 a)

Arranca A dado que arrancó B.

b)

Arranca B dado que A no arrancó.

c)

Sólo uno de ellos arranca.

0,33

P(A/B)  P(AB)  0,1  0,33 P(B) 0,3

0,33

P(B/A)  P(BA)  0,2  0,33 P(A) 0,6

0,50

P(x 1)  P(AB)  P(BA)  0,3  0,2  0,5 13.-

Una clasificación de los estudiantes de cierta universidad dio los siguientes resultados: Año

Sexo Masculino 1810 1690 1450 1350

Primero Segundo Tercero Cuarto

Femenino 990 910 950 850

Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad que:

 Año Primero: P Segundo: S Tercero: T Cuarto: C Total

Sexo Masculino: M Femenino: F 1810 990 1690 910 1450 950 1350 850 6300 3700

a)

Sea de primero o de segundo año.

b)

Sea un varón de segundo año.

c)

Sea mujer, si se sabe que es de segundo año.

Total 2800 2600 2400 2200 10000

P(P S)  P(P)  P(S)  2800  2600 0,54 10000 10000 P(MS)  1690  0,17 10000

P(F/S)  P(F S)  910  0,35 P(S) 2600 14.-

Una empresa de software que diseña juegos para computadora somete los diseños 9

preliminares de sus productos a la evaluación previa de un grupo seleccionado de clientes. Según muestra la experiencia, el 95% de los productos que tuvieron un gran éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los de éxito moderado recibieron buenas evaluaciones y sólo el 10% de los que tuvieron escaso éxito fueron valorados favorablemente. Además, globalmente el 40% de los productos de la empresa ha tenido mucho éxito, el 35% un éxito moderado y el resto una baja aceptación.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto elegido al azar entre la producción de la fábrica obtenga una buena evaluación previa?

PBe  0,40x 0,95 0,35x 0,60 0,25x 0,10 0,615

b) Si un nuevo producto obtiene una buena evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito?

x 0,95 0,618 PGe Be  0,40 0,615 c) Si un producto no obtiene una buena evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito?

0,40x 0,05 PGe Be   0,052 0,40x 0,05 0,35x 0,40 0,25x 0,90 15.-

Suponiendo que en una ciudad existe un 60% de mujeres y que un determinado modelo de automóvil están dispuestos a comprarlo un 5% de mujeres y un 2% de hombres. Calcular la probabilidad de que: a)

El cliente fuera mujer y que estuviera dispuesto a comprar el automóvil.

P (MC)  P(M) P(C/M)  0,60 0,05  0,03 b)

El cliente fuera hombre y no estuviera dispuesto a comprar el automóvil.

P (HC)  P(H) P(C/H)  0,40 0,98  0,392

10

16.-

Un experimento consiste en tirar un dado y entonces de acuerdo al resultado, se selecciona una ficha de una de las tres cajas. Si el dado cae 1 ó 3, se extrae una ficha de la caja A que contiene 1 ficha roja y 4 negras; si el dado cae 5, la ficha se saca de la caja B que contiene 3 fichas rojas y 1 blanca; en cualquier otro caso se extrae una ficha de la caja C que contiene 2 fichas verdes y 5 rojas. Si usted no observa el resultado obtenido en el dado, pero nota que la ficha extraída es roja; ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la primera caja?

2x 6 P A R  2x11x 6 5 6 17.-

1 5  0,1215 33x5 4 6 7

La probabilidad de que la construcción de una casa termine a tiempo es 17/20, la probabilidad que no haya huelga es 3/4, la probabilidad de que la construcción termine a tiempo dado que no hubo huelga es 14/15, la probabilidad de que haya huelga y no se termine a tiempo la construcción es 1/10. Hallar la probabilidad que:

P( T)  17 20

a)

P(H)  3 4

P( T/H)  14 15

P(H T)  1 10

La construcción termine a tiempo y no haya huelga.

P(T H)  P(HT)  P(H).P(T/H)

 3  14 0,70 4 15 b)

No haya huelga dado que la construcción terminó a tiempo.

c)

La construcción no termine a tiempo dado que hubo huelga.

d)

P(H/T)  P(HT)  0,70  0,82 P(T) 17/20

P(T/H)  P(T H)  P(HT)  1/10  0,40 P(H) P(H) 1/4

La construcción termine a tiempo dado que hubo huelga.

P(T/H)  1P(T/H)  10,40 0,60

11

12

PRÁCTICA Nº 10 PROBAB. CONDICIONAL-PROBAB. TOTAL-TEOREMA DE BAYES

1.-

En una etapa de la producción de un artículo se aplica soldadura y para eso se usan tres diferentes robots. La probabilidad de que la soldadura sea defectuosa varía para cada uno de los tres, así como la proporción de artículos que cada uno procesa, de acuerdo a la siguiente tabla. Robot

Defectuosos

Art. procesados

A

0.002

18 %

B

0.005

42 %

C

0.001

40 %

a)

¿Cuál es la proporción global de artículos defectuosos producida por las tres máquinas? 0,00286

b)

Si tomo un artículo al azar y resulta con defectos en la soldadura, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido soldado por el robot C? 0,1399

2.-

Una alumna está indecisa con relación a que si se matricula en el curso de estadística o en el curso de química. Aunque ella realmente prefiere matricularse en química estima que su probabilidad de aprobar estadística es 1/4 mientras que su probabilidad de aprobar química es 1/3. Si la alumna decide matricularse en uno de estos cursos mediante el lanzamiento de una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que ella apruebe el curso de química? 0,167

3.-

Un fabricante de videograbadoras (VCR) compra un cierto chip, llamado LS-24, de tres abastecedores. Un 30% de los microcircuitos LS-24 se compran a Hall Electronics (H), 20% a Schuller Sales (S) y el restante 50% a Crawford Components (C). El fabricante tiene historiales extensos acerca de los tres proveedores y sabe que 3% de los chips de H son defectuosos, 5% de los de S también son defectuosos, y 4% de los de C son defectuosos también. Cuando los chips LS-24 llegan al fabricante, se colocan directamente en un depósito y no son inspeccionados o identificados de algún modo por el proveedor. Un obrero selecciona un chip para su instalación en una VCR y halla que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido manufacturado por Schuller Sales? 0,2564

4.-

Sean H1, H2, H3 y H4 los estudiantes universitarios del 1o., 2o., 3o. y 4o. años respectivamente. Sean p1=0,4, p2=0,3, p3=0,2 y p4=0,1 las probabilidades de que un estudiante seleccionado al azar pertenezca a H1, H2, H3 o H4, respectivamente. Sea P(A/Hi)=0,3 la probabilidad de seleccionar un estudiante que use anteojos, dada H i. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un estudiante que no use anteojos? 0,70

5.-

Un sistema de comunicación binario transmite 0 o 1. Por causas del ruido del sistema a veces un 0 transmitido se recibe como un 1 y viceversa. Suponiendo que la probabilidad de que un 0 se transmita incorrectamente es 0,06, que la probabilidad de que un 1 se transmita correctamente es 0,90, y que la probabilidad de transmitir un 0 es de 0,45. Calcular la probabilidad de que en una transmisión no haya error. 0,918

13

6.-

Pedro quiere enviar una carta a Luisa. La probabilidad de que Pedro escriba la carta es 0,8, la probabilidad de que el correo pierda la carta es 0,1 y la probabilidad de que el cartero no entregue la carta es 0,9. Si Luisa no recibe la carta, ¿cuál es la probabilidad de que Pedro no la haya escrito? 0,216

7.-

La probabilidad de que Cecilia estudie para su examen final de estadística es 0,20. Si estudia, la probabilidad de que apruebe el examen es 0,80 en tanto que si no estudia la probabilidad es de sólo 0,50. a) ¿cuál es la probabilidad de que Cecilia apruebe su examen final de estadística? 0,56 b)

8.-

dado que Cecilia aprobó su examen, ¿cuál es la probabilidad de que ella haya estudiado? 0,29

Se tiene la siguiente información:

Licenciado No Licenciado

Cociente Intelectual > 100  100 0,1 0,3 0,4 0,2

Hallar la probabilidad de que la persona elegida al azar: a) tenga un CI por encima de 100, sabiendo ya que es licenciado universitario. 0,75 b) sea universitario, si se sabe que tiene un CI superior a 100. 0,40 9.-

La probabilidad de que un estudiante estudie para un examen final es 0.20. Si estudia, la probabilidad de que apruebe el examen es 0.8 en tanto que si no estudia, la probabilidad es de sólo 0.50. a) ¿Cuál es la probabilidad de que dicho estudiante apruebe su examen final? 0.56 b) Si se sabe que aprobó su examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya estudiado? 0.2857

10.-

Un ingeniero toma un autobús o un microbús para ir a su trabajo con probabilidades 0,3 y 0,7 respectivamente. 30% de las veces que toma el autobús llega tarde al trabajo, mientras que 20% de las veces que toma el microbús llega tarde a su trabajo. a) Si llega tarde al trabajo en un día particular, ¿cuál es la probabilidad de que haya tomado el autobús? 0,3913 b) Si llega temprano al trabajo un día cualquiera, ¿cuál es la probabilidad que haya tomado el microbús? 0,7273

11.-

Un grupo de Física avanzada está compuesto por 10 alumnos de primer año, 30 de último año y 10 graduados. Las calificaciones finales mostraron que 3 de los alumnos de primer año, 10 de los de último año y 5 de los graduados recibieron una A en el curso. Si se elige al azar un estudiante de este grupo y se encuentra que obtuvo una calificación A; ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de último año? 0,555

12.-

Un editor envió propaganda de un libro de Informática al 80% de aquellos profesores que están a cargo de un curso de dicha materia. El 30% de aquellos que recibieron la propaganda pasaron a emplear el citado libro, como así hicieron el 10% de los profesores que no la recibieron. ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor que utiliza el libro haya recibido dicha propaganda? 0,923

14

13.-

Una estudiante responde a una pregunta, en un examen de selección múltiple, que tiene cuatro posibles respuestas. Si la probabilidad de que la estudiante sepa la respuesta a la pregunta es 0,8 y la probabilidad de que adivine es 0,2. Además, si la estudiante adivina, la probabilidad de que seleccione la respuesta correcta es 0,25. Si la estudiante responde una pregunta correctamente; ¿cuál es la probabilidad de que realmente supiera la respuesta correcta? 0,941

14.-

Supóngase que tenemos dos urnas, 1 y 2, cada una con dos cajones. La urna 1 tiene una moneda de oro en un cajón y una de plata en el otro, mientras que en la urna 2 tiene una moneda de oro en cada uno de los cajones. Se escoge una urna al azar y de esta se escoge un cajón al azar. La moneda encontrada en este cajón resulta ser de oro, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda provenga de la urna 2? 0,67

15.-

El profesor Méndez acaba de instalar un nuevo terminal de computadora en su oficina. La compañía proveedora del computadora le informó que el computadora tiene una probabilidad de estar "fuera de línea" (no disponible para atender la terminal) un 5% del tiempo y que el terminal en su oficina fallará un 2% del tiempo. ¿Cuál es la probabilidad que: a) la computadora "esté fuera de línea" si el profesor encuentra que su terminal está fallando. 0,05 b) el profesor encuentre que su terminal está fallando si él sabe que la computadora está "fuera de línea". 0,02 c) al mismo tiempo la computadora esté "fuera de línea" y que la terminal falle. 0,001 Se han clasificado 1000 estudiantes universitarios de acuerdo con los puntajes que obtuvieron en un examen de admisión a la universidad. En la siguiente tabla también se muestra la calidad de los colegios en donde terminaron

16.-

Puntaje Bajo Medio Alto

Inferior 100 75 25

Clase de Colegio Regular 50 175 75

Superior 50 150 300

Calcular la probabilidad de que un estudiante escogido al azar: a) b) c) d) e) 17.-

Haya obtenido un puntaje bajo en el examen. 0,20 Haya terminado en un colegio de nivel superior. 0,50 Haya obtenido un puntaje bajo en el examen y haya terminado en un colegio de nivel superior. 0,05 Haya obtenido un puntaje bajo en el examen, dado que haya terminado en un colegio de nivel superior. 0,10 Haya obtenido un puntaje alto en el examen o haya terminado en un colegio de nivel superior. 0,60

En la siguiente tabla se clasifica una muestra aleatoria de 200 adultos, de acuerdo a su sexo y nivel de educación. Nivel de Educación Primaria Secundaria Universidad

Sexo Masculino Femenino 38 45 28 50 22 17

Si se elige al azar una persona de este grupo, hallar la probabilidad que: a) sea hombre, dado que tiene educación secundaria. b) no tenga un grado universitario, dado que es mujer.

0,359 0,848

15

18.-

Al examinar los registros anteriores de los balances de una compañía, un auditor descubre que el 15% contienen errores. Además, 60% de estos balances incorrectos fueron considerados valores inusuales basándose en los datos anteriores. El 20% de todos los balances se consideraron también valores inusuales. Si los datos de un determinado balance parecen ser inusuales, ¿cuál es la probabilidad de que sea incorrecto? 0,45

19.-

Supóngase que nos interesa la conclusión de una obra de construcción de autopistas, que puede demorarse en virtud de una huelga. Además, supóngase que las probabilidades son 0,60 de que habrá una huelga, 0,85 de que el trabajo se terminará a tiempo si no hay tal huelga y 0,35 de que el trabajo se terminará a tiempo si ocurre una huelga. ¿Cuál es la probabilidad de que la obra se concluirá a tiempo? 0,55

20.-

Una población de adultos de un pequeño pueblo que han terminado los requisitos para obtener un grado universitario, se divide en tres categorías de acuerdo a su sexo y a su condición de empleo. Sexo Masculino Femenino

Condición Laboral Empleado Desempleado 460 40 140 260

Se va a elegir a una de estas personas al azar para que realice un viaje en todo el país, con la intención de que haga publicidad acerca de las ventajas de establecer nuevas industrias en la localidad. Hallar la probabilidad que se elija a: a) un hombre que tiene empleo. 0,767 b) una mujer sin empleo. 0,867 21.-

Una caja contiene 3 monedas; una moneda es corriente, una moneda tiene dos caras y una moneda está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara sea 1/3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza. a) Hallar la probabilidad de que salga cara. 0,6111 e) Si se obtiene sello, ¿cuál es la probabilidad que sea la tercera moneda? 0,5714

22.-

Un sistema escolar recibe 25 solicitudes para una vacante que hay para director de un colegio. Entre los solicitantes 10 son hombres y 15 mujeres. 17 de ellos acreditan título de maestría y 8 tienen certificado de último año. Se hace una elección al azar entre estos 25 aspirantes. Sexo Masculino Femenino a) b) c)

Nivel de Estudio Título de Maestría Certificado de último Año 7 3 10 5

¿cuál es la probabilidad de que sea seleccionada una mujer o una persona con certificado de último año? 0,72 Hallar la probabilidad de que una mujer sea seleccionada si se sabe que hay que hacer la elección al azar solamente entre las personas con certificado de último año. 0,63 Hallar la probabilidad de que una elección al azar dé como resultado una mujer y una persona con un certificado de último año. 0,20

23.-

La caja A contiene 9 cartas numeradas de 1 a 9 y la caja B contiene 5 cartas numeradas de 1 a 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta. Si el número es par, hallar la probabilidad de que la carta proceda de la caja A. 0,5263

24.-

Una compañía que fabrica cámaras de video produce un modelo básico y un modelo 16

de lujo. El año pasado, 40% de las cámaras vendidas han sido del modelo básico. De los compradores del modelo básico, 30% compran una garantía ampliada, en tanto que 50% de los compradores del modelo de lujo lo hacen así. Si sabemos que un comprador seleccionado al azar tiene garantía ampliada, ¿qué tan probable es que tenga un modelo básico? 0.2857 25.-

Una cadena de tiendas de video vende tres marcas diferentes de videograbadoras (VCR). De sus ventas de VCR, 50% son de la marca 1 (la menos costosa), 30% son de la marca 2 y 20% de la marca 3. Cada fabricante ofrece un año de garantía en partes y mano de obra. Se sabe que 25% de las VCR de la marca 1 requieren trabajo de reparación en garantía, en tanto que los porcentajes correspondientes a las marcas 2 y 3 son 20 y 10%, respectivamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya comprado una VCR 1 que necesita reparación mientras está en garantía? 0,125 b) ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar tenga una VCR que necesite reparación mientras está en garantía? 0,205 c) Su un cliente regresa a la tienda con una VCR que necesita trabajo dentro de garantía, ¿cuál es la probabilidad de que sea una VCR de la marca 3? 0,10

26.-

En una línea de producción hay dos procesos A y B. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A. a) Si se extrae un producto al azar, hallar la probabilidad de que sea defectuoso. 0,217 b) Si al extraer el producto resultó no defectuoso, hallar la probabilidad de que sea del proceso A. 0,681

27.-

Existen dos métodos A y B para enseñar a los trabajadores cierta habilidad industrial. El porcentaje de fracasos es 20% para A y 10% para B. Sin embargo, B cuesta más y por esto se utiliza solamente en el 30% de los casos. Se entrenó a un trabajador según uno de los dos métodos pero no logró aprenderlo correctamente. ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido el entrenamiento con el método A? 0,8235

28.-

Un banco ha estimado, por experiencias anteriores, que la probabilidad de que una persona falle en los pagos de un préstamo personal es de 0,2. También ha estimado que el 30% de los préstamos no pagados a tiempo se han hecho para financiar viajes de vacaciones y el 70% de los préstamos pagados a tiempo se han hecho para financiar viajes de vacaciones. Se pide calcular: a) La probabilidad de que un préstamo que se haya hecho para financiar un viaje de vacaciones no se pague a tiempo. 0,0968 b) La probabilidad de que el préstamo para propósitos distintos a viajes de vacaciones sea pagado a tiempo. 0,632

29.-

El estilo de ventas de un vendedor temperamental es fuertemente afectado por el éxito o fracaso de su intento precedente de ventas. Si él acaba de hacer una venta su confianza y efectividad aumentan y la probabilidad de vender a su siguiente prospecto es 3/4. Cuando fracasa, su manera es tímida y la probabilidad de que él venda a su siguiente prospecto es solamente 1/3. Suponga que la probabilidad de que él venda a su primer contacto en un día dado es 1/2. Hallar la probabilidad de que él haga cuando menos dos ventas a sus primeros tres contactos en un día dado. 0,542

30.-

La profesora García sale de su trabajo exactamente a las 4:45 PM. La probabilidad 17

de que se vaya directamente a su casa es 0,7 y de que pase primero a tomar té en el centro de la ciudad es 0,3. Si va directamente a su casa hay una probabilidad de 0,9 de que ya esté en ella a las 6 PM. en tanto que si pasa primero al centro esta probabilidad es sólo 0,5. Dado que la profesora García llegó a su casa después de las 6 PM. ¿Cuál es la probabilidad de que su retraso se deba a que tomó té en el centro? 0,6818 31.-

Tres distribuidores de gas se distribuyen el mercado de una ciudad, al distribuidor A le corresponde el 50%, al B, el 30% y al C únicamente el 20%. Las autoridades locales hacen una inspección en cada una de las distribuidoras y encuentran que en A el 5% de las válvulas de los tanques están defectuosos, en B el 3% y en C es del 8%. Suponiendo que la distribución no está demarcada por zonas, se presenta un escape con las consecuencias de una explosión que produce daños, ¿cuál es la probabilidad de que el tanque causante del daño haya sido suministrado por el distribuidor C? 0,32

32.-

La probabilidad de que un accidente de aviación sea debido a defectos estructurales se diagnostica correctamente como 0,72 y la probabilidad de que un accidente de aviación que no se deba a defectos estructurales se diagnostique erróneamente como debido a fallas estructurales es de 0,12. Si el 40% de los accidentes de aviación se deben a defectos estructurales; ¿cuál es la probabilidad de que un accidente de aviación que se ha diagnosticado como debido a defectos estructurales se deba realmente a esta causa? 0,80

33.-

El profesor López dicta un curso de Estadística y quiere tomar una prueba en cada clase. Sabedor de que a veces se olvida de ir a hacer su clase, ha dado instrucciones a su jefe de prácticas que se haga cargo de la clase cuando él está ausente. Si el profesor López hace la clase, la probabilidad es 0,70 de que tome la prueba en tanto que si el jefe de prácticas hace la clase, esta probabilidad es de sólo 0,10. Si el profesor López falta el 80% de las clases: a) ¿cuál es la probabilidad de que haya una prueba en una clase dada? 0,22 b) Suponiendo que hubo prueba en una clase determinada, ¿cuál es la probabilidad de que el profesor López haya estado ausente? 0,36

34.-

Suponiendo que existen números iguales de estudiantes varones y mujeres en una secundaria y que la probabilidad es 1/5 de que un estudiante varón y 1/25 de que un estudiante mujer se especialice en ciencias, ¿cuál es la probabilidad que: a) un estudiante seleccionado al azar sea un estudiante de ciencias varón. 0,10 b) un estudiante seleccionado al azar sea un estudiante de ciencias. 0,12 c) un estudiante de ciencias seleccionado al azar sea varón. 0,83

35.-

Análisis S.A., una pequeña firma consultora, está negociando dos contratos. La gerencia piensa que la probabilidad de ganar el primer contrato es de 60%, y que el ganador tendrá ventaja definitiva en la negociación del segundo contrato. La gerencia cree, que si Análisis S.A. gana el primer contrato va a tener un 70% de probabilidad de ganar el segundo, pero si pierde el primer contrato, la probabilidad de ganar el segundo disminuirá a 0,10. ¿Cuál es la probabilidad de que Análisis S.A. gane el segundo contrato? 0,46

36.-

Tres joyeros idénticos tienen dos compartimientos. En cada compartimiento del primer joyero hay un reloj de oro. En cada compartimiento del segundo joyero hay un reloj de plata. En el tercer joyero en un compartimiento hay un reloj de oro, en tanto que en el otro hay un reloj de plata. Si seleccionamos un joyero aleatoriamente, abrimos uno de los compartimientos y hallamos un reloj de plata, ¿cuál es la probabilidad de que el otro compartimiento tenga un reloj de oro?

37.-

Un estudio reciente indica que el 70% de todos los estudiantes tiende a utilizar las

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“fantasías” como un mecanismo para superar la frustración causada por la resolución de problemas estadísticos, y que el 30% no lo hace por esa razón. Un inteligente asistente de profesor elaboró una prueba para medir si un alumno fantaseaba o no. Sin embargo, el ensayo no está del todo perfecto. Generalmente, el examen produce un resultado positivo para el 60% de los estudiantes que utilizan fantasías, y un resultado negativo para el 40% restante. En el caso de los no fantasiosos, el examen resulta positivo para el 20%, y negativo, para el 80%. Hallar la probabilidad de que una persona utilice fantasías, obteniendo un resultado positivo. 0,875 38.-

El señor Vásquez tiene tres secretarias con diferentes niveles de competencia. La secretaria A ha escrito el 20% de un trabajo, la secretaria B el 40% y la secretaria C el 40%. Hay un error ortográfico que irrita en especial al señor Vásquez, y éste ha calculado que A lo comete el 90% de las veces que tiene que escribir la palabra en cuestión, que B lo comete el 40% de las veces y C nunca. a) ¿cuál es la probabilidad que no encuentre error? 0,66 b) Si el profesor encuentra ese error en una página del trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que esa página lo haya escrito la secretaria A? 0,529 c) Si no encuentra error, ¿cuál es la probabilidad de que dicha página haya sido escrita por la secretaria B?

39.-

Un analista de bolsa examina las perspectivas de la acciones de un gran número de compañías. Cuando se investigó el comportamiento de estas acciones un año antes, se descubrió que el 25% experimentaron un crecimiento superior al de la media, el 25% inferior y el 50% restante se mantuvieron alrededor de la media. El 40% de los valores que crecieron por encima de la media fueron clasificados como “buenas adquisiciones” por el analista, al igual que el 20% de las que crecieron alrededor de la media y el 10% de las que tuvieron un crecimiento inferior. ¿Cuál es la probabilidad de que un valor clasificado como “buena adquisición” por el analista crezca por encima de la media del mercado? 0,444

40.-

Después de una encuesta, mil informantes quedaron clasificados según su nivel ocupacional y según hubieran terminado o no la educación secundaria. Nivel Ocupacional Obrero no calificado Obrero semicalificado Personal de oficina y ventas Administrativo semiprofesional

Educación Secundaria Completa No Sí 250 100 150 100 115 110 70 105

Se seleccionó al azar un informante de este grupo y se halló que no había terminado su educación secundaria ¿qué probabilidad hay de que sea: a) un obrero no calificado. 0,427 b) un obrero semicalificado. 0,256 c) un empleado de oficina y ventas. 0,197 d) un empleado semiprofesional. 0,120 41.-

Se tienen cinco cajones con productos de cierta industria. Dos cajones contienen cada uno cuatro productos buenos y un fallado; otros dos cajones contienen cada uno tres productos buenos y dos fallados; y el último cajón contiene seis productos buenos. Se elige al azar un cajón, del cual, también al azar, se extrae un producto. Calcular la probabilidad de que el producto extraído resulte bueno. 0.76

42.-

Setenta por ciento de aviones ligeros que desaparecen en vuelo en cierto país son

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descubiertos posteriormente. De las naves descubiertas, 60% tienen localizador de emergencia, en tanto que 90% de los no descubiertos no tienen ese localizador. Supongamos que desaparece un avión ligero. a) Si tiene localizador de emergencia, ¿cuál es la probabilidad de que no sea localizado? 0,07 b) Si no tiene localizador de emergencia, ¿cuál es la probabilidad de que sea localizado? 0,51 43.-

Un entrenador de fútbol dispone en su plantilla de dos porteros y veinte jugadores de campo. ¿De cuántas formas distintas puede elegir la alineación (un portero y diez jugadores de campo)? 369 512.

44.-

La probabilidad de que un accidente de aviación sea correctamente previsto debido a fallas mecánicas es 0,85 y la probabilidad que un accidente de aviación sea correctamente previsto debido a fallas no mecánicas es 0,35. Hallar la probabilidad que un accidente de aviación sea por fallas mecánicas dado que fue previsto correctamente, si el 30% de accidentes de aviación es debido a fallas mecánicas. 0,51

45.-

Supongamos que de todas las personas que compran cierta computadora personal, 60% incluye un programa de procesador de palabras en su compra, 40% incluye un programa de hoja de cálculo y 30% incluye ambos tipos de programas. Si se selecciona al azar un comprador y éste incluyó un programa de hoja de cálculo, hallar la probabilidad de que un programa procesador de palabras también esté incluido. 0,75

46.-

En una clase el 30% de los alumnos varones y el 10% de las mujeres son repitentes. El 60% de los alumnos son varones. Si se selecciona un estudiante al azar, calcular la probabilidad que: b) sea varón y repitente. 0,18 c) sea varón dado que es no repitente. 0,54

47.-

En un estudio se preguntó a estudiantes universitarios sobre su opinión acerca de los negocios. El 85% dijo: “La honestidad es la mejor política” y el 28% aseguró: “El éxito en los negocios requiere un poco de falta de honradez”. Suponiendo que los resultados del estudio reflejan en forma precisa las opiniones de todos los estudiantes universitarios, y que las respuestas a los dos tipos de opinión son independientes entre sí, ¿cuál es la probabilidad que: a) un estudiante no haya dicho “La honestidad es la mejor política” y haya estado de acuerdo con que “El éxito en los negocios requiere un poco de falta de honradez”? b) un estudiante haya dicho “La honradez es la mejor política” o esté de acuerdo con que “El éxito en los negocios requiere un poco de falta de honradez”?

48.-

El propietario de una tienda de CDs clasifica las personas que entran en su tienda en clientes muy jóvenes, clientes con edad universitaria y clientes mayores, y sabe que el 30%, 50% y 20% pertenecen a estas categorías, respectivamente. El propietario comprueba también, que el 20% de los clientes muy jóvenes, el 60% de los clientes con edad universitaria y el 80% de los clientes mayores realizan alguna compra. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar haga alguna compra? 0.52 b) Si un cliente elegido al azar realiza una compra, ¿cuál es la probabilidad de que sea muy joven? 0.1154 c) Si un cliente elegido al azar no realiza una compra, ¿cuál es la probabilidad de que sea un cliente con edad universitaria? 0.4167

49.-

La probabilidad de que una profesora salga a tiempo a su trabajo es 0,83, la 20

probabilidad de que llegue a tiempo al trabajo es 0,92; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 0,78. Hallar la probabilidad que: a) llegue a tiempo, dado que salió a tiempo. 0,940 b) haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo. 0,848 50.-

Según las estadísticas de una empresa de transporte, la probabilidad de que uno de sus vehículos tenga un accidente en un día de lluvia es de 0,09 y en un día seco es de 0,005. Sabiendo que en un periodo de 10 días ha habido 2 lluviosos y 8 secos y que se ha producido un accidente; calcular la probabilidad de que ocurriese en día lluvioso o seco.

51.-

El 20% de los estudiantes de una universidad son de postgrado en tanto que el 80% son de pregrado. La probabilidad de que un estudiante de postgrado sea casado es 0,50 en tanto que para uno de pregrado es sólo 0,10. Se elige al azar un estudiante: a) ¿cuál es la probabilidad que sea casado? 0,18 b) dado que el estudiante elegido es casado, ¿cuál es la probabilidad de que sea de postgrado? 0,56

52.-

La profesora Méndez ha estado enseñando estadística durante muchos años. Sabe que 80% de los estudiantes completan los problemas de la Guía de Prácticas. Determinó que de los alumnos que hacen las tareas, 90% aprueban el curso. De aquellos estudiantes que no realizan la tarea, 60% aprueban. Carlos Muñoz llevó Estadística el ciclo pasado con la profesora y tuvo calificación aprobatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que sí haya resuelto los problemas de la Guía de Prácticas? 0.8571

53.-

Un profesor olvida poner su despertador con una probabilidad de 0,3. Si lo pone, timbra con una probabilidad de 0,8. Si la alarma suena, se despierta a tiempo para su primera clase de la mañana con una probabilidad de 0,9. Si la alarma no funciona, él despierta a tiempo para su primera clase con una probabilidad de 0,2. ¿Cuál es la probabilidad de que el profesor despierte a tiempo para su primera clase del día de mañana? 0,592

54.-

Supongamos que la probabilidad de que un jurado, seleccionado para un juicio de un caso criminal, llegue al veredicto correcto es del 95%. La policía estima que el 99% de los individuos que llegan a un juicio son realmente culpables. Calcular la probabilidad de que un individuo sea realmente inocente dado que el jurado ha dictaminado que es inocente. 0.1610

55.-

Carlos está enamorado de Irene, Patricia y Melissa; les escribe una carta a cada una (es tímido). El hermanito de Carlos mezcla los sobres, de modo que Carlos pone las cartas al azar en los tres sobres, una carta por cada sobre. (Suponga que todas las cartas llegan ya que no hay huelgas de carteros. Hallar la probabilidad que: a) Todo vaya bien. b) Todo vaya mal. c) Alguna de las chicas reciba su carta.

56.-

El 20% de las visitas que recibe la página Web de una empresa proceden de Japón, el 30% de la Unión Europea, el 40% del continente americano y el 10% del resto del mundo. Supongamos que la probabilidad de que un visitante realice una compra es, para las cuatro procedencias indicadas, 0,10, 0,35, 0,25, 0,20; respectivamente. Calcular la probabilidad de que un visitante que no ha hecho ninguna compra proceda de Japón.

21

57.-

En cierto momento de una investigación criminal, el inspector encargado está 60% convencido de la culpabilidad de un sospechoso. Suponga ahora que se descubre una nueva evidencia que muestra que el criminal tiene cierta característica (como por ejemplo: se zurdo, ser calvo, tener cabello castaño, etc.). a) Si el 20% de la población tiene dicha característica, ¿qué tan seguro estará ahora el investigador de la culpabilidad del sospechoso, si resulta que el sospechoso pertenece a este grupo? 0,882 b) Supongamos que la nueva evidencia está sujeta a distintas interpretaciones posibles, y que en realidad sólo muestra que es 90% posible que el criminal tenga dicha característica. En este caso, ¿Qué tan posible sería que el sospechoso fuera culpable (suponiendo como antes que él posea esta característica). 0,871

58.-

Un fabricante de videograbadoras (VCR) compra cierto microchip, llamado LS-24 de tres proveedores. Un 30% de los microcircuitos LS-24 se compran a Hall Electronics, 20% a Schuller Sales y el 50% restante a Crawford Components. El fabricante tiene historiales extensos acerca de los tres abastecedores y sabe que el 3% de los microchips LS-24 de Hall Electronics, son defectuosos, un 5% de los de Schuller Sales no son aceptables, y un 4% de los de Crawford Components también tienen defectos. Cuando tales microcircuitos LS-24 llegan al fabricante, se colocan directamente en un depósito, y no son inspeccionados o identificados de algún modo por el proveedor. Un trabajador selecciona uno para su instalación en una VCR y lo encuentra defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por Schuller Sales? 0,2564

59.-

Una alumna contesta una pregunta que ofrece cuatro soluciones posibles en un examen de opción múltiple. La probabilidad de que la alumna sepa la respuesta a la pregunta es de 0,8 y la probabilidad de que tenga que contestar al azar es de 0,2. Además, la probabilidad de seleccionar la respuesta correcta al azar es 0,25. Si la alumna contesta correctamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sepa la respuesta correcta? 0,9412

60.-

Una estación de televisión desea medir la habilidad de su pronosticador de clima. Se han recabado datos anteriores que indican lo siguiente: La probabilidad de que el pronosticador haya predecido sol en días soleados es 0,80, mientras que ha predecido sol en días lluviosos con una probabilidad de 0,40. La probabilidad de un día soleado es 0,60. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Esté soleado dado que el pronosticador haya predecido que habría sol. b) El pronosticador prediga sol.

61.-

Le pide a un vecino que mientras usted sale de vacaciones el riegue una planta enfermiza. Si no la riegan la probabilidad de que muera es 0,8; si la riegan la probabilidad de que no muera es 0,85. Usted está 90% seguro de que su vecino se acordará de regar la planta. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la planta aún esté viva cuando usted regrese? b) Si la encuentra muerta, ¿cuál es la probabilidad de que a su vecino se le haya olvidado regarla?

62.-

En un sistema de alarma, la probabilidad de que ésta funcione habiendo peligro es 0.95, y la de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1: a) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro. 22.13% b) Hallar la probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione. 0.005 c) Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarme haya peligro. 0.0057 d) ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione? 0.122

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63.-

Una nave no tripulada se dirige al planeta Venus y tiene una probabilidad 0,7 de descender satisfactoriamente. A su vez, el sistema monitor da la información correcta con probabilidad 0,9 (sea o no satisfactorio el descenso). En la prueba, el monitor informó que el descenso era correcto. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente lo haya sido? 0,9545

64.-

Se sabe que determinada máquina “de verdad” que se aplica a un sospechoso es fiable al 90% cuando la persona es culpable y al 99% si la persona es inocente. Se selecciona a un individuo de un grupo de sospechosos, de los cuales se sabe que sólo el 5% ha cometido un delito, y la prueba indica que este individuo es culpable. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente sea una persona inocente? 0,1743

65.-

Un ladrón, al huir de un policía, puede hacerlo por las calles A, B o C, con probabilidades 0,25 , 0.60 y 0,15 respectivamente. La probabilidad de ser alcanzado por la calle A es 0,4 , si huye por la calle B es O,5 y si huye por la calle C es 0,6.

66.-

a)

Calcular la probabilidad de que el policía alcance al ladrón.

b)

Si el ladrón no ha sido alcanzado, ¿cuál es la probabilidad de que haya huido por la calle B?

Una empresa dispone de tres factorías que producen 1000, 2000 y 4000 productos respectivamente. La proporción de productos que no superan el control de calidad es de 0,01, 0,02 y 0,03 respectivamente. a) Calcular la probabilidad de que un producto de la empresa no supere el control de calidad. 0,0243 b) Si se observa un producto y supera el control de calidad, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la tercera factoría? 0,5681

67.-

Tenemos tres sobres con exámenes de estadística. En el primero hay dos temas de correlación y ocho de variabilidad. En el segundo hay uno de correlación y cuatro de variabilidad. En el tercero hay tres de correlación y tres de variabilidad. Un alumno elige al azar un sobre y de éste elige, también al azar, un tema. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho tema sea de correlación? 0.30

68.-

En una zapatería hay tres estanterías A, B y C; la primera tiene 50 pares de zapatos negros y 25 marrones, la segunda tiene 40 de cada color y la última 20 negros y 30 marrones. Si un cliente no tiene preferencia especial respecto a las estanterías ni respecto al color elige al azar un par de zapatos y es marrón, calcular la probabilidad de que proceda de la estantería B.

69.-

En una fábrica de autobuses se sabe que uno de cada cien autobuses tiene problemas con el cierre de la puerta, por lo que, antes de la venta cada autobús es sometido a un test de verificación. El test no es completamente fiable, pues si el autobús tiene problemas con la puerta se detecta en un 95% de los casos, mientras que si no lo tiene, en un 2% de las veces indica que sí tiene. a) Calcular la probabilidad de que un autobús tenga problemas con la puerta y no se detecte en el test. b) Si el test indica problemas en la puerta, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga?

70.-

Tenemos cinco cajones con productos de una cierta sustancia. Dos cajones contienen cada uno 4 productos buenos y 1 fallado; otros dos cajones contienen cada uno 3 productos buenos y 2 fallados; y el último cajón contiene 6 productos buenos. Se elige al azar un cajón, del cual, también al azar, se extrae un producto. Calcular la probabilidad de que el producto extraído resulte bueno. 0.76

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71.-

Los cuatro ayudantes de una gasolinera deben limpiar el parabrisas de los autos de los clientes. Luis, quien atiende el 20% de todos los autos, no cumple su cometido una vez cada 20 autos; Tomás quien atiende el 60% de los autos, no limpia el parabrisas una vez cada 10 autos; Jorge quien atiende al 15% de ellos, no cumple su cometido una vez cada 10 autos y Pedro quien atiende al 5% de los autos, no limpia el parabrisas una vez cada 20 autos. Si un cliente se queja de que su parabrisas no fue lavado, ¿Cuál es la probabilidad de que su auto lo haya atendido Luis? 0.1143

72.-

Un boxeador gana 8 de cada 10 peleas en las que compite, si este boxeador participará en tres peleas en los próximos seis meses. Si gana dos de las peleas, ¿cuál es la probabilidad de que sean la primera y la tercera. 0.348

73.-

Se lanza una moneda y si sale cara se ponen 7 fichas blancas en una urna y si sale sello se ponen 4 blancas. Se vuelve a lanzar la moneda y se ponen 5 ó 2 fichas negras, según se saque cara o sello. a) Si se extrae una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca? 0.62 b) Si sabemos que la ficha seleccionada es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido dos caras? 0.225

74.-

En cierto país, el 99% de los detenidos y sometidos a juicio son culpables del delito que se les imputa. Los jueces, al emitir veredicto, aciertan en el 95% de los casos, tanto si el acusado es culpable como inocente. Según estos datos, calcular la probabilidad de que: a) Un ciudadano inocente haya sido declarado culpable. 0.00053 b) Sea culpable, si ha sido declarado inocente. 0.8389

75.-

Un estudiante considera que el 70% de los cursos universitarios que ha completado han sido interesantes y el resto aburridos. El estudiante tiene acceso a las evaluaciones de los profesores realizadas por los alumnos y descubre que el 60% de los cursos que consideró interesantes y el 25% de los cursos que consideró aburridos fueron impartidos por profesores que recibieron calificaciones muy positivas. El siguiente semestre, el estudiante decide tomar tres cursos, todos impartidos por profesores que recibieron evaluaciones muy positivas. Supóngase que las reacciones del estudiante a cada uno de los tres cursos son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre interesantes los tres cursos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre interesante al menos uno de los tres cursos?

76.-

El 30% de los usuarios de servicios de telecomunicaciones móviles corresponden al operador ML (“Más libre”) y el 20% corresponde al operador MA (“Más amigos”). El porcentaje de clientes del operador ML que utilizan tecnología wap es del 10%, para el operador MA es del 15%, mientras que para el resto de competidores los usuarios de dicha tecnología corresponden al 5%. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Los usuarios de servicios de telecomunicaciones móviles usen tecnología wap? 0.085 b) fue elegido un cliente al azar y sabiendo que su móvil no es de tecnología wap, corresponda al resto de operadores. 0.519

77.-

Una empresa tiene una planta de fabricación de teléfonos móviles. Se sabe que el 30% de los teléfonos fabricados en dicha planta son defectuosos. Si un teléfono es defectuoso, la probabilidad de que un robot del Departamento de Calidad de la empresa lo detecte es 0.9 y si no es defectuoso, la probabilidad de que el robot lo considere defectuoso y lo saque de producción es de 0.2. Si un cliente compra un teléfono que no ha sido sacado de la cadena de producción, ¿cuál es la probabilidad de que sea no defectuoso?

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78.-

Un programa se ejecuta desde uno cualquiera de cuatro periféricos A, B, C y D con arreglo al siguiente protocolo: en primer intento, si A está operativo, el programa ejecuta desde A. Si A no está operativo, se realiza un segundo intento consistente en lanzar dos monedas y ejecutar el programa B si no se obtuvo ninguna cara, desde C si se obtuvo una cara o desde D si se obtuvieron dos caras. Si el periférico seleccionado en este segundo intento no está operativo el programa se queda sin ejecutar. La probabilidad de que cada periférico esté operativo es p y cada uno de ellos lo está o no con independencia del estado de los otros. a) Calcular la probabilidad de que el programa no se ejecute. b) Si el programa no se ha ejecutado, ¿cuál es la probabilidad de que haya fallado el periférico C?

79.-

Un sistema de comunicación binario transmite sólo 0 y 1. Debido al ruido del sistema, a veces un 0 transmitido se recibe como un 1, y un 1 transmitido se recibe como un 0. Suponiendo que la probabilidad de que un 0 se transmita correctamente es 0.94, que la probabilidad de que un 1 se transmita correctamente es 0.91 y que la proporción de 0’s transmitidos es 0.45, calcular: a) La probabilidad de que habiendo recibido un 1, haya sido transmitido un 1. b) La probabilidad de que habiendo recibido un 0, haya sido transmitido un 1.

80.-

Una persona que acude a utilizar un cajero automático ha olvidado las dos últimas cifras de su código secreto, por lo que decide digitarlas al azar. El cajero estudia por separado cada código digitado, de forma que si es incorrecto avisa al usuario y éste debe comenzar un nuevo intento. Si a un usuario se le permite tres intentos para digitar el código secreto. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona pueda realizar la operación que desea? b) Si finalmente lo consigue, ¿cuál es la probabilidad de que haya conseguido entrar en el tercer intento?

81.-

Al bus de datos de una computadora, se encuentran conectados cinco dispositivos. Se sabe que la probabilidad de que un dispositivo cualquiera utilice el bus es 0.05. Si se sabe que las probabilidades de utilización del bus son independientes entre sí, se desea conocer la probabilidad de los eventos: a) A: Ningún dispositivo utiliza el bus. b) B: Exactamente dos dispositivos acceden al bus.

82.-

Un componente electrónico de un sistema puede provenir de uno cualquiera de tres fabricantes con probabilidades 0.25, 0.50 y 0.25 respectivamente. Las probabilidades de que el componente funcione correctamente durante un periodo de tiempo especificado son iguales a 0.1, 0.2 y 0.4 respectivamente, para los tres fabricantes. Calcular la probabilidad de que un componente elegido aleatoriamente funcione durante el periodo de tiempo especificado.

83.-

En una empresa proveedora de servicios de Internet se tienen n usuarios, cada uno de ellos posee un buzón de correo. Actualmente la empresa ha tenido problemas con su servidor con el envío correcto de los mensajes a los distintos buzones, realizando esta tarea de forma aleatoria. Si n mails llegan al servidor de tal manera que a cada usuario le corresponda un mail. Calcular la probabilidad de que al menos un mail llegue al buzón correspondiente.

84.-

Un ingeniero en una cadena de montaje donde se produce una pieza, tiene que tomar una decisión rápida sobre si las piezas se aceptan o se rechazan como defectuosas. Se sabe que el ingeniero rechaza el 10% de las piezas, y un análisis más detallado demuestra que de las piezas rechazadas, el 80% de las piezas eran defectuosas, mientras que de las que no se rechazan, el 5% también eran defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que el ingeniero no detecte una pieza defectuosa?

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85.-

En una empresa local, se tiene 4 clientes: C1, C2, C3 y C4 conectados en red a un servidor. El porcentaje de requerimientos que envían los clientes al servidor es de 20%, 15%, 15% y 50% respectivamente. El software entre los clientes y servidores (comúnmente llamado middleware) no es a prueba de fallas y cierta cantidad de los requerimientos enviados se pierden antes de llegar al servidor, a saber: 1%, 2%, 5% y 5% respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que un requerimiento cualquiera elegido al azar se pierda antes de llegar al servidor?

86.-

Un ladrón es perseguido por un patrullero y al llegar a un determinado cruce se encuentra tres posibles calles por las que huir (A, B y C) de tal manera que las dos últimas son tan estrechas que por ellas no cabe el patrullero, si bien el ladrón va tan nervioso que no es consciente de ello. Si huye por la calle A le atrapan seguro puesto que al final de la misma está cortado por otra patrulla de la policía, si huye por la calle C se escapa con toda seguridad puesto que no está vigilada. Si huye por la calle B se encuentra con que está cortada y que se bifurca en dos callejuelas la BA, que conduce a la calle y la BC que lleva a la calle C. Calcular: a)

La probabilidad de que el ladrón sea atrapado.

b)

Sabiendo que escapó, ¿cuál es la probabilidad de que huyera por la calle C entrando por la B y llegando a la C por la callejuela que la une, BC?

87.-

El 8% de los días laborables se presentan fallas de funcionamiento en un sistema de cómputo de una universidad. Estas fallas son de tres tipos: hardware, software o electrónicas (alimentación), y nunca se presentan más de una de éstas en un día. Ahora, el sistema debe suspender el servicio 73% de los días cuando se experimentan problemas de hardware, 12% de las veces cuando se presentan problemas de software, y 88% del tiempo ante fallas electrónicas. Históricamente, los ingenieros de mantenimiento han observado que una falla de software es cinco veces más probable que un problema de hardware y 2.5 veces más frecuente que una falla electrónica. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema no suspenda su servicio en un día? b) Si el sistema ha dejado de prestar su servicio diario, ¿cuál es la causa más probable de suspensión?

88.-

La compañía Microtel desea mejorar la resistencia de las computadoras personales que construye, con respecto a fallas en la unidad de disco y el teclado. En la actualidad, el diseño de sus computadoras es tal que las fallas de la unidad de disco significan un tercio de las fallas del teclado. La probabilidad de que se presente una falla conjunta en la unidad de disco y en el teclado es de 0.05.

89.-

a)

Si la computadora es 80% resistente a fallas en la unidad de disco o teclado. ¿Qué tan baja debe ser la probabilidad de que se presente una falla en la unidad de disco?

b)

Si el teclado mejoró de tal modo que sólo falla el doble de veces que la unidad de disco (y la probabilidad de falla conjunta sigue siendo de 0.05). ¿La probabilidad de que la unidad de disco del inciso a) producirá una resistencia a fallas en la unidad de disco duro, en el teclado, o en ambos, es mayor o menor que 0.90? 0.862

Un experimento estadístico consiste en lanzar dos dados una o dos veces. Un jugador gana si consigue la suma 7 en el primer lanzamiento; pierde si saca 2 ó 12 ; si consigue otras sumas no pierde ni gana, en este último caso tiene opción para un segundo lanzamiento y si en este segundo lanzamiento consigue la suma 7 pierde, en caso contrario gana y termina el juego. ¿Cuál es la probabilidad que el jugador pierda? 0,1852

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90.-

Se dispone de cuatro cajas que contienen cada una de ellas 10 fichas que pueden ser blancas o negras. La composición de cada caja es la siguiente: Caja 1: 5 blancas y 5 negras. Caja 2: 6 blancas y 4 negras. Caja 3: 7 blancas y 3 negras Caja 4: 3 blancas y 7 negras. Elegimos una caja al azar y sacamos de ella cuatro fichas sin reemplazamiento, resultando que tres son blancas y una es negra, ¿cuál es la probabilidad de que esa caja sea la Caja 1? 0.2066

91.-

Un juego consiste en tirar un dado y gana el que obtiene un 6. Por experiencias anteriores se sabe que determinado jugador tiene una probabilidad de hacer trampas de 0.642 y que siempre gana cuando hace trampas. En una tirada, ese jugador gana. Hallar la probabilidad de que haya hecho trampa. 0.915

92.-

Considérese el siguiente experimento: se lanza un dado y se colocan en una caja tantas fichas blancas como indique el número obtenido. A continuación se lanza por segunda vez el dado y se introducen en la misma caja tantas fichas negras como indique el dado. Ahora se comprueba (sin mirarlas) que hay ocho fichas en la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco de esas fichas sean blancas? 0.20

93.-

Patricia se encuentra preparando un informe para la empresa en que trabaja. El informe deberá ser aprobado, en primer lugar, por el responsable del grupo del cual Patricia es integrante, luego por el jefe de su departamento y después por el jefe de división, en ese orden. Patricia sabe que los tres directores actúan de manera independiente, además sabe que su responsable de grupo aprueba el 85% de sus trabajos, el jefe de su departamento rechaza dos de cada diez informes preparados por ella, y el jefe de división aprueba el 82% de los trabajos de Patricia. Dado esto calcular la probabilidad que: a)

La primera versión del informe sea enviada.

0.5576

b)

La primera versión del informe sea aprobada por su responsable de grupo y por su jefe de departamento, pero no por el jefe de su división. 0.1224

94.-

La urna 1 contiene 8 bolitas blancas y 2 negras; la urna 2 contiene 3 bolitas blancas y 7 negras y la urna 3 contiene 5 blancas y 5 negras. Se lanza un dado no cargado. Si resulta 1, 2 ó 3, se saca una bolita de la urna 1; si resulta 4 ó 5, la bolita se saca de la urna 2, y finalmente si resulta 6, se saca de la urna 3. Dado que la bolita extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que ella provenga de la urna 2? 0.1714

95.-

La urna A contiene 6 bolitas grises y 4 rojas y la urna B 2 bolitas grises y 7 rojas. Se saca una bolita de la urna A y se coloca en la B; en seguida, se saca una bolita de la urna B. Dado que la bolita extraída de B es gris, ¿cuál es la probabilidad de que la bolita extraída de A también haya sido gris? 0.6923

96.-

La Organización en la que trabaja Juan va a ofrecer, a los empleados que tienen por lo menos un hijo varón, una comida para padre e hijo. Se invita a cada uno de estos empleados a que asista con su hijo menor. Si se sabe que Juan tiene sólo dos hijos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean niños puestos que está invitado a la comida? 0.3333

97.-

Una empresa que gestiona la red de una gran empresa adquiere un antivirus con las siguientes características. Si hay virus, da la alarma con probabilidad 0.95. Aunque no haya virus, hay una probabilidad de 0.08 de que dé una falsa alarma de virus. Si la red de dicha empresa suele recibir un ataque de virus por cada 100 accesos, calcular la probabilidad de que cuando dé la alarma de virus, haya de verdad un ataque. 0.012

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98.-

En sistemas complejos que se averían, no es fácil averiguar qué componente ha fallado, pues eso requeriría un desmontaje que puede ser caro si al final la pieza desmontada no era la causante del fallo. Por esa razón, puede tenerse un conjunto de pruebas indirectas alternativas que pueden ayudar a detectar el origen del fallo. Dichas pruebas pueden tener cierto margen de error. Es decir, pueden detectar fallos inexistentes o no detectarlos cuando los hay. Supongamos un componente de un sistema y que la probabilidad de que dicho componente se averíe en un período de tiempo dado es 0,01. Su estado (averiado, funcionando) se comprueba con un ensayo que cumple que cuando el componente funciona la probabilidad de que el ensayo diga lo contrario es 0,05, pero si el componente está averiado el ensayo no se equivoca. Si el ensayo indica que el componente está averiado, ¿cuál es la probabilidad de que realmente lo esté? 0.168

99.-

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? 0.405

100.- Un determinado proyecto tiene por objetivo detectar de forma automática intrusos empleando microprocesadores y un equipo de video de alta tecnología. El prototipo se ha diseñado en el laboratorio de modo que detecte la presencia de intrusos con probabilidad 0.9. Sin embargo, se tiene sospecha de que la probabilidad varía con las condiciones atmosféricas. Experimentalmente se ha podido determinar que en los casos en que el prototipo sí detectó al intruso, el cielo estaba despejado el 75% de las ocasiones, nublado el 20% y estaba lloviendo el 5% restante. Cuando el prototipo no detectó al intruso, el 60% de los experimentos coincidieron con cielo despejado, el 30% nublado y el 10% restante, lluvioso. Si un día el cielo está nublado, ¿cuál es la probabilidad de no detectar un intruso? 101.- Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de 0.001. En cambio, todo cliente sin fondos pone una fecha errónea en sus cheques. El 90% de los clientes del banco tienen fondos. Se recibe hoy en caja un cheque con fecha equivocada. ¿Qué probabilidad hay de que sea de un cliente sin fondos? 0.99108 102.- El equipo directivo de cierta empresa del sector de hostelería está constituido por 25 personas de las que un 60% son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en un certamen internacional. Decide lanzar una moneda: si sale cara, selecciona a una mujer y si sale sello, a un hombre. Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no hablan inglés, determinar la probabilidad de que la persona seleccionada hable inglés. 0.6833 103.- En una familia de cuatro hermanos parece más probable que haya tres hermanos del mismo sexo a que haya dos varones y dos mujeres, pero ¿realmente es así? Sí 0.5 0.375 104.- En un sistema de alarma, la probabilidad de que esta funcione habiendo peligro es 0.95 y la de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1: a) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro. 0.2213 b) Hallar la probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione. 0.005 c) Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro. 0.00569 d) ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione? 0.122

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