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• AndresGarcia

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PROBABILIDAD CONDICIONAL

𝑃(𝐴|𝐵) =

𝑃(𝐴|𝐵) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐸)

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑨 𝒚 𝑩 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑩 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑑𝑒𝑟

Ejemplo 1.- Se lanzan dos dados comunes y corrientes, si los dos números que aparecen son distintos, hallar la probabilidad 𝑷 de que: a) la suma sea seis y b) la suma sea menor o igual que 4 Solución: de entrada ya se está condicionando de que los números son distintos, dejando a un lado las parejas de números iguales (1, 1), (2, 2), etc.; por tanto se tienen 30 formas distintas de parejas que es a su vez el espacio muestral finito equiprobable. a) La suma del valor 6 puede suceder de 4 formas: (1, 5), (2, 4), (4, 2), (5, 1), por tanto 4 2 𝑃= = 30 15 b) La suma sea menor o igual que 4 puede suceder de 4 formas: (3,1), (1,3), (1, 2), (2, 1) por tanto 4 2 𝑃= = 30 15 En el ejemplo 2 se verá la aplicación del Teorema de Multiplicación

Ejemplo 2.- Una caja contiene 7 bolas rojas y 3 bolas blancas, se retiran 3 bolas de la caja una después de otra, calcular la probabilidad 𝑷 de que las 2 primeras sean rojas y la tercera blanca. Solución: Considérese que al retirar la 1ª bola y que sea roja hay 7 bolas rojas de 10 disponibles, si es roja la que sale entonces quedan 6 bolas rojas disponibles de 9 restantes, y para la tercera bola extraída si se espera que sea blanca hay 3 bolas blancas disponibles de 8 restantes, por tanto 7 6 3 7 𝑃= ∗ ∗ = 10 9 8 40

Ejemplo 3.- En una escuela, el 25% de los estudiantes reprobaron matemáticas, 15% reprobaron química y 10% reprobaron ambas materias, si se selecciona un estudiante al azar a) Si reprobó química, ¿Cuál es la probabilidad de que reprobó matemáticas? b) Si reprobó matemáticas, ¿Cuál es la probabilidad de que reprobó química? c) ¿Cuál es la probabilidad de haber reprobado? Solución: considérese a los que reprobaron Matemáticas 𝑃(𝑀) = 0.25, que reprobaron Química 𝑃(𝑄) = 0.15 y que reprobaron ambas 𝑃(𝑀 ∩ 𝑄) = 0.10 a) Como ya reprobó Química, la probabilidad de que reprobó Matemáticas es 𝑃(𝑀 ∩ 𝑄) 0.10 2 𝑃(𝑀|𝑄) = = = 𝑃(𝑄) 0.15 3 b) Como ya reprobó Matemáticas, la probabilidad de que reprobó Química es 𝑃(𝑄 ∩ 𝑀) 0.10 2 𝑃(𝑄 |𝑀) = = = 𝑃(𝑀) 0.25 5 c) Para la probabilidad de haber reprobado matemáticas o química 𝑃(𝑀 ∪ 𝑄), hay que recordar que la conjunción “o” es la operación Unión de conjuntos, por tanto 3 𝑃(𝑀 ∪ 𝑄) = 𝑃(𝑀) + 𝑃(𝑄) − 𝑃(𝑀 ∩ 𝑄) = 0.25 + 0.15 − 0.10 = 0.30 = 10 Ejemplo 4.- Sean lo eventos A y B con 𝑃(𝐴) =

1 2

, 𝑃(𝐵) =

1 3

1

y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = . Hallar 𝑃(𝐴𝑐 |𝐵𝑐 ). 4

Solución: de la fórmula de Probabilidad Condicional se tiene: 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ) 𝑃(𝐴𝑐 |𝐵𝑐 ) = 𝑃(𝐵𝑐 ) lo que nos muestra que será necesario calcular el denominador que es el complemento de B y el numerador que es la intersección (∩) del complemento de A con el complemento de B, primero para el complemento de B se tiene: 1 2 𝑃(𝐵𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐵) = 1 − = 3 3 en segundo lugar para los complementos de A y B usaremos la Ley de De Morgan, se tiene que: (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 por tanto 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ) = 𝑃((𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) y a su vez 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) esto último es porque el problema no da el dato de la probabilidad de la unión de A con B por eso hay que calcularlo, luego 1 1 1 7 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = + − = 2 3 4 12

Con este dato obtenido lo sustituimos en la fórmula para obtener 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ) 7 5 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 − = 12 12 Finalmente ya podemos calcular 𝑃(𝐴𝑐 |𝐵𝑐 ): 5 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ) 12 5 𝑐 𝑐 𝑃(𝐴 |𝐵 ) = = = 2 𝑃(𝐵𝑐 ) 6 3

𝑃(𝐴𝑖 |𝐵) = 𝐵

𝑃(𝐴𝑖 )𝑃(𝐵|𝐴𝑖 ) 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐵|𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 )𝑃(𝐵|𝐴2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 )𝑃(𝐵|𝐴𝑛 )

𝐴𝑖 𝐴𝑖

𝐴𝑖 𝐴𝑛

𝐴𝑖 𝐴𝑛

Ejemplo 5: En una fábrica hay 3 máquinas A, B y C, las cuales producen respectivamente 60%, 30% y 10% del total de productos de una fábrica; se tienen identificados los porcentajes de desperfectos de producción de cada una de ellas, para A es del 2%, para B es del 3% y para C es del 4%. Si se selecciona un artículo al azar que resulta defectuoso, hallar la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina C. Solución: si proponemos que la probabilidad de que un artículo sea defectuoso sea 𝑃(𝑋), entonces el problema está pidiendo 𝑃(𝐶|𝑋) es decir es la probabilidad que dado un artículo que sea defectuoso haya sido producido por la máquina C, entonces con el Teorema de Bayes tenemos: (0.10)(0.04) 𝑃(𝐶)𝑃(𝑋|𝐶) 4 𝑃(𝐶 |𝑋) = = = 𝑃(𝐴)𝑃(𝑋|𝐴) + 𝑃(𝐵)𝑃(𝑋|𝐵) + 𝑃(𝐶)𝑃(𝑋|𝐶) (0.60)(0.02) + (0.30)(0.03) + (0.10)(0.04) 25 este problema se puede visualizar con un diagrama de árbol siguiendo las ramas defectuosas: A 60%

Producción fábrica

B 30%

C 10%

No defectuoso 98% Defectuoso 2% No defectuoso 97% Defectuoso 3% No defectuoso 96% Defectuoso 4%

Ejemplo 6: Una caja A contiene 9 cartas numeradas del 1 al 9; y la caja B contiene 5 cartas numeradas del 1 al 5. Al azar se escoge una caja y se saca una carta; si el número es par, hallar la probabilidad de que la carta provenga de la caja A. Solución: se busca que dado un número par este venga de la caja A, es decir 𝑃(𝐴|𝑅) en donde 𝑹 simboliza que sea PAR, mientras que 𝑰 es IMPAR, por lo que la fórmula es 𝑃(𝐴|𝑅) =

𝑃(𝐴∩𝑅) 𝑃(𝑅)

y hay que

calcular tanto el denominador como el numerador. Para el numerador 𝑃(𝐴 ∩ 𝑅) se tiene que la probabilidad de que se escoja la caja A y sea un número 1 4

2

2 9

9

par 𝑹, (o sea “y” es la intersección), 𝑃(𝐴 ∩ 𝑅) = ∙ = . Luego para el denominador 𝑃(𝑅) se considera que existe también la caja B con sus cartas, calculamos 1 2 2 5

1 5

𝑃(𝐵 |𝑅), 𝑃(𝐵 ∩ 𝑅) = ∙ = , y como los pares de A y de B son eventos que no son simultáneos se 2

1

19

suman para obtener el espacio muestral de los pares 𝑃(𝑅) = + = , finalmente calculamos 𝑃(𝐴|𝑅) 9 5 45 2 𝑃(𝐴 ∩ 𝑅) 10 𝑃(𝐴|𝑅) = = 9 = 19 19 𝑃(𝑅) 45 Con un diagrama de árbol se visualiza mejor, siguiendo las ramas que terminan en número par 𝑹, las cajas tienen ambas ½ pues es la probabilidad de elegir una u otra, y los pares e impares están en función de las cartas en cada caja. 4

Número par P R = 9 1 2

P(A)=

5

Número impar P I = 9

Origen 2

Número par P R = 5 1 2

P(B)=

3

Número impar P 𝐼 = 5

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

Ejemplo 7: La probabilidad de que un hombre vivirá 10 años más es de esposa vivará 10 años mas es de

1 3

1 4

y la probabilidad de que su

. Hallar la probabilidad de que: a) ambos estén vivos dentro de 10

años, b) al menos uno estará vivo a los 10 años, c) solamente la esposa estará viva a los 10 años. Solución: sea 𝑷(𝑨) la probabilidad de que el hombre viva a los 10 años y 𝑷(𝑩) la probabilidad de que la mujer este viva a los 10 años, luego a) Si se espera que ambos estén vivos entonces son eventos independientes por lo que es la intersección de A y B 1 1 1 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) = ∙ = 4 3 12 b) Si se espera que al menos uno esté vivo después de 10 años, significa que es o ella o él, o sea la unión de A y B 1 1 1 1 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = + − = 4 3 12 2 c) Si la esposa es la única que sobrevive, entonces la ausencia del esposo es 𝑨𝒄 y para calcularlo 1

3

hacemos 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − = , y como son eventos independientes se tiene 4 4 3 1 1 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴𝑐 )𝑃(𝐵) = ∙ = 4 3 4

PROBLEMAS PROPUESTOS • PROBABILIDAD CONDICIONAL 1. Una clase tiene cinco niñas y diez niños. Se escogen 3 estudiantes al azar, uno detrás de otro: Halar la probabilidad de que: a) los 2 primeros sean niños y la tercera niña; b) el primero y el tercero sean niños y el segundo sea niña; c) el primero y el tercero sean del mismo sexo y el segundo del sexo opuesto. 2. Sean los eventos sigs. A y B con 𝑃(𝐴) =

1 3

, 𝑃(𝐵) =

1 4

1 2

, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = .

Hallar: a) 𝑃(𝐴|𝐵) , b) 𝑃(𝐵|𝐴), c) 𝑃(A∩ 𝐵𝑐 ) 3. En cierta facultad 25% de los jóvenes y 10% de los jóvenes son estudiantes de matemáticas, Las mujeres constituyen el 60% de los hombres, es decir el 40%. Si se selecciona al azar un estudiante y resulta ser de matemáticas, determinar la probabilidad de que el estudiante sea una joven. • PROCESOS ESTOCÁSTICOS FINITOS 4. Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una bola al azar, se descarta y se colocan 2 bolas del otro color en la urna. Luego se saca de la urna una segunda bola. Hallar la probabilidad de que a) la 2ª bola sea roja, b) ambas sean del mismo color. •

INDEPENDENCIA 1 4

1 3

5. La probabilidad de que A dé en el blanco es y la probabilidad de que dé B es , calcular: a) Si cada uno dispara 2 veces, ¿cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado una vez por lo menos? b) Si cada uno dispara una vez y el blanco es alcanzado solamente una vez, ¿cuál es la probabilidad de que A dé en el blanco?