• Author / Uploaded
• Anonymous yeTg3p1faH

Citation preview

114 Tratamiento digital de señales

que es una fórmula que permite determinar la respuesta y(n) del sistema caracterizado por h(n) para cualquier secuencia de entrada dada x(n). Los sistemas LTI caracterizados por las ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes son, con mucho, los más importante de los sistemas LTI en la teoría y aplicación del tratamiento digital de señales. Se ha deducido la solución general de una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes y se ha demostrado que consta de dos componentes: la solución de la ecuación homomgénea, que representa la respuesta natural del sistema cuando la entrada es cero y la solución particular, que representa la respuesta del sistema a la señal de entrada. A partir de la ecuación en diferencias, también hemos demostrado cómo obtener la respuesta al impulso unitario del sistema LTI. Generalmente, los sistemas LTI se subdividen en sistemas FIR (finite-duration impulse response, respuesta al impulso de duración finita) e IIR (infinite-duration impulse response, respuesta al impulso de duración infinita) dependiendo de si h(n) tiene duración finita o infinita, respectivamente. Se han descrito de forma breve las implementaciones de estos sistemas. Además, en la implementación de los sistemas FIR, hemos diferenciado entre las realizaciones recursiva y no recursiva. Por el contrario, hemos podido comprobar que los sistemas IIR sólo se pueden implementar de forma recursiva. Hay disponibles una serie de libros dedicados a las señales y sistemas discretos en el tiempo. Por ejemplo, los textos de McGillem y Cooper (1984), Oppenheim y Willsky (1983), y Siebert (1986). Las ecuaciones en diferencias lineales de coeficientes constantes se tratan en profundidad en los libros de Hildebrand (1952) y Levy y Lessman (1961). El último tema tratado en el capítulo, la correlación de señales discretas en el tiempo, desempeña un papel importante en el tratamiento digital de señales, especialmente en aplicaciones de comunicaciones digitales, detección y estimación de señales de radar, sonar y geofísicas. Al abordar la correlación, hemos evitado utilizar conceptos estadísticos. La correlación se define simplemente como una operación matemática entre dos secuencias, que genera otra secuencia denominada correlación cruzada cuando las dos secuencias son distintas o autocorrelación cuando los dos secuencias son idénticas. En las aplicaciones prácticas en las que se emplea la correlación, una o ambas secuencias pueden estar contaminadas por ruido y, quizá, por otras formas de interferencias. En dicho caso, la secuencia de ruido se conoce como secuencia aleatoria y se caracteriza en términos estadísticos. La correlación correspondiente es una función de las características estadísticas del ruido y de cualquier otra interferencia. En el Capítulo 12 se aborda la caracterización estadística de secuencias y su correlación. En los libros de Davenport (1970), Helstrom (1990), Peebles (1987) y Stark y Woods (1994) puede encontrar información complementaria sobre conceptos de probabilidad y estadística relacionados con la correlación.

Problemas 2.1 Una señal discreta en el tiempo x(n) se define como x(n) =

  

1 + n3 , −3 ≤ n ≤ −1 1, 0≤n≤3 0, en otro caso

(a) Determine sus valores y dibuje la señal x(n). (b) Dibuje las señales que se obtienen si: 1. Primero reflejamos x(n) y luego desplazamos la señal resultante cuatro muestras. 2. Primero desplazamos x(n) cuatro muestras y luego reflejamos la señal resultante. (c) Dibuje la señal x(−n + 4). (d) Compare los resultados de los apartados (b) y (c) y deduzca una regla para obtener la señal x(−n + k) a partir de x(n).

Capítulo 2 Señales y sistemas discretos en el tiempo 115

1

2

x(n)

1

1

1

1 2

1 2

1 0

1

2

3

4

n

Figura P.2.2. (e) ¿Puede expresar la señal x(n) en función de las señales ! (n) y u(n)? 2.2 En la Figura P.2.2 se muestra una señal discreta en el tiempo x(n). Dibuje y etiquete con detalle cada una de las señales siguientes:

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

x(n − 2) x(4 − n) x(n + 2) x(n)u(2 − n) x(n − 1)! (n − 3) x(n2 ) la parte par de x(n) la parte impar de x(n)

2.3 Demuestre que (a) ! (n) = u(n) − u(n − 1) (b) u(n) = "nk=−# ! (k) = "#k=0 ! (n − k) 2.4 Demuestre que cualquier señal se puede descomponer en una componente par y otra impar. ¿Es unívoca la descomposición? Ilustre sus argumentos utilizando la señal

x(n) = {2, 3, 4, 5, 6} ↑

2.5 Demuestre que la energía (potencia) de una señal de energía (potencia) real es igual a la suma de las energías (potencias) de sus componentes par e impar.

2.6 Considere el sistema

y(n) = T [x(n)] = x(n2 )

(a) Determine si es invariante en el tiempo. (b) Clarifique el resultado del apartado (a) suponiendo que se aplica al sistema la siguiente señal x(n) =



1, 0 ≤ n ≤ 3 0, en otro caso

1. Dibuje la señal x(n). 2. Determine y dibuje la señal y(n) = T [x(n)]. 3. Dibuje la señal y′2 (n) = y(n − 2).

116 Tratamiento digital de señales

4. Determine y dibuje la señal x2 (n) = x(n − 2). 5. Determine y dibuje la señal y2 (n) = T [x2 (n)]. 6. Compare las señales y2 (n) e y(n − 2). ¿Cuál es su conclusión? (c) Repita el apartado (b) para el sistema y(n) = x(n) − x(n − 1)

¿Puede utilizar este resultado para hacer algún comentario sobre la invarianza en el tiempo de este sistema? ¿Por qué? (d) Repita los apartados (b) y (c) para el sistema y(n) = T [x(n)] = nx(n)

2.7 Un sistema discreto en el tiempo puede ser 1. 2. 3. 4. 5.

Estático o dinámico Lineal o no lineal Invariante en el tiempo o variante en el tiempo Causal o no causal Estable o inestable

Examine los siguientes sistemas respecto de las propiedades enumeradas.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

y(n) = cos[x(n)] +1 x(k) y(n) = "nk=−#

y(n) = x(n) cos($0 n) y(n) = x(−n + 2) y(n) = Trun[x(n)], donde Trun[x(n)] indica la parte entera de x(n) obtenida por truncamiento y(n) = Round[x(n)], donde Round[x(n)] indica la parte entera de x(n) obtenida por redondeo Nota: los sistemas de los apartados (e) y (f) son cuantificadores que efectúan truncamiento y redon-

deo, respectivamente.

y(n) = |x(n)| y(n) = x(n)u(n) y(n) = x(n) + nx(n + 1) y(n) = x(2n)  0 (k) y(n) = 0x(, n), sisi xx((nn)) ≥