• Author / Uploaded
• Anonymous yeTg3p1faH

Citation preview

Capítulo 1 Introducción 33

Problemas 1.1 Clasifique las siguientes señales según sean (1) unidimensionales o multidimensionales; (2) de un solo canal o multicanal, (3) continuas o discretas en el tiempo y (4) analógicas o digitales (en amplitud). Proporcione una breve explicación. (a) Los precios de cierre de las acciones de la Bolsa de Nueva York. (b) Una película en color. (c) La posición del volante de un automóvil en movimiento respecto a un sistema de referencia situado en el automóvil. (d) La posición del volante de un automóvil en movimiento respecto a un sistema de referencia situado en el suelo. (e) Las medidas de peso y altura mensuales de un niño. 1.2 Determine cuáles de las siguientes sinusoides son periódicas y calcule su período fundamental. (a) cos 0.01 n   30n (b) cos 105 (c) cos 3 n (d) sen 3n   62n (e) sen 10 1.3 Determine si las siguientes señales son periódicas. En caso afirmativo, especifique su frecuencia fundamental. (a) xa (t) = 3 cos(5t + /6) (b) x(n) = 3 cos(5n + /6) (c) x(n) = 2 exp[ j(n/6 − )] (d) x(n) = cos(n/8) cos( n/8) (e) x(n) = cos( n/2) − sen( n/8) + 3 cos( n/4 + /3) 1.4

(a) Demuestre que el período fundamental N p de las señales siguientes: sk (n) = e j2

kn/N

,

k = 0, 1, 2, . . .

está dado por N p = N/MCD(k, N), donde MCD es el máximo común divisor de k y N. (b) ¿Cuál es el período fundamental de este conjunto para N = 7? (c) ¿y para N = 16? 1.5 Considere la siguiente señal analógica sinusoidal: xa (t) = 3 sen(100 t) (a) Represente gráficamente la señal xa (t) para 0 ≤ t ≤ 30 ms. (b) La señal xa (t) se muestrea con una tasa de muestreo de Fs = 300 muestras/s. Determine la frecuencia de la señal discreta en el tiempo x(n) = xa (nT ), T = 1/Fs , y demuestre que es periódica.

34 Tratamiento digital de señales

(c) Calcule los valores de la muestras en un período de x(n). Dibuje x(n) en la misma gráfica que xa (t). ¿Cuál es el período de la señal discreta en el tiempo en milisegundos? (d) ¿Puede hallar una frecuencia de muestreo Fs tal que la señal x(n) alcance su valor de pico en 3? ¿Cuál es la frecuencia mínima Fs aceptable para esta tarea? 1.6 Una sinusoide continua en el tiempo xa (t) con un período fundamental de Tp = 1/F0 se muestrea a una frecuencia Fs = 1/T , con el fin de generar una sinusoide discreta en el tiempo x(n) = xa (nT ). (a) Demuestre que x(n) es periódica si T /Tp = k/N (es decir, T /Tp es un número racional). (b) Si x(n) es periódica, ¿cuál es su período fundamental Tp en segundos? (c) Explique la siguiente afirmación: x(n) es periódica si su período fundamental Tp , en segundos, es igual a un número entero de períodos de xa (t). 1.7 Una señal analógica contiene frecuencias hasta 10 kHz. (a) ¿Cuál es el rango de frecuencias de muestreo que permite la reconstrucción exacta de esta señal a partir de sus muestras? (b) Suponga que muestreamos esta señal a una frecuencia de muestreo Fs = 8 kHz. Examine lo que ocurre con la frecuencia F1 = 5 kHz. (c) Repita el apartado (b) para una frecuencia F2 = 9 kHz. 1.8 Una señal analógica de electrocardiograma (ECG) contiene frecuencias útiles hasta 100 Hz. (a) ¿Cuál es la frecuencia de Nyquist de esta señal? (b) Suponga que muestreamos esta señal a una tasa de 250 muestras/s. ¿Cuál es la frecuencia más alta que puede representarse de forma unívoca para esta tasa de muestreo? 1.9 Una señal analógica xa (t) = sen(480 t) + 3 sen(720 t) se muestrea 600 veces por segundo. (a) (b) (c) (d)

Determine la frecuencia de muestreo de xa (t). Determine la frecuencia de solapamiento. ¿Cuáles son las frecuencias, en radianes, de la señal discreta en el tiempo resultante x(n)? Si x(n) se pasa a través de un convertidor ideal D/A, ¿cómo es la señal reconstruida ya (t)?

1.10 Un enlace de comunicaciones digital transporta palabras codificadas en binario que representan muestras de una señal de entrada xa (t) = 3 cos 600 t + 2 cos1800 t El enlace trabaja a una velocidad de 10.000 bits/s y cada muestra de entrada se cuantifica en 1024 niveles de tensión distintos. (a) (b) (c) (d)

Determine las frecuencias de muestreo y de solapamiento. ¿Cuál es la frecuencia de Nyquist de la señal xa (t)? ¿Cuáles son las frecuencias de la señal discreta en el tiempo resultante x(n)? ¿Cuál es la resolución !?

1.11 Considere el sistema de procesamiento de señales mostrado en la Figura P.1.11. Los períodos de muestreo de los convertidores A/D y D/A son T = 5 ms y T ′ = 1 ms, respectivamente. Determine la salida ya (t) del sistema si la entrada es xa (t) = 3 cos100 t + 2 sen 250 t

(t en segundos)

El post-filtro elimina cualquier componente de frecuencia por encima de Fs /2.

Capítulo 1 Introducción 35

xa(t)

A/D T

x(n)

Filtro de post-procesado

D/A T’

ya(t)

Figura P.1.11. 1.12

(a) Obtenga la expresión correspondiente a la señal discreta en el tiempo x(n) del Ejemplo 1.4.2 utilizando las propiedades de periodicidad de las funciones sinusoidales. (b) ¿Cuál es la señal analógica que podemos obtener a partir de x(n) si en el proceso de reconstrucción suponemos que Fs = 10 kHz?

1.13 La señal discreta en el tiempo x(n) = 6.35 cos( /10)n se cuantifica con una resolución (a) ! = 0.1 o (b) ! = 0.02. ¿Cuántos bits son necesarios en el convertidor A/D en cada caso? 1.14 Determine la tasa de bits y la resolución para el muestreo de una señal sísmica con un rango dinámico de 1 voltio si la frecuencia de muestreo es Fs = 20 muestras/s, utilizando un convertidor A/D de 8-bits. ¿Cuál es la frecuencia máxima que puede estar presente en la señal sísmica digital resultante? 1.15 Muestreo de señales sinusoidales: aliasing. Considere la siguiente señal sinusoidal continua en el tiempo xa (t) = sen 2 F0t,

−" < t < "

Puesto que xa (t) está descrita en forma matemática, su versión muestreada puede describirse mediante sus valores cada T segundos. La señal muestreada se describe mediante la fórmula siguiente x(n) = xa (nT ) = sen 2

F0 n, Fs

−" < n < "

donde Fs = 1/T es la frecuencia de muestreo. (a) Represente gráficamente la señal x(n), 0 ≤ n ≤ 99 para Fs = 5 kHz y F0 = 0.5, 2, 3 y 4.5 kHz. Explique las similitudes y diferencias entre las distintas representaciones. (b) Suponga que F0 = 2 kHz y Fs = 50 kHz. 1. Represente gráficamente la señal x(n). ¿Cuál es la frecuencia f 0 de la señal x(n)? 2. Represente gráficamente la señal y(n) obtenida tomando las muestras pares de x(n). ¿Es una señal sinusoidal? ¿Por qué? En caso afirmativo, ¿cuál es su frecuencia? 1.16 Error de cuantificación en la conversión A/D de una señal sinusoidal Sea x q (n) la señal obtenida al cuantificar la señal x(n) = sen 2 f 0 n. La potencia del error de cuantificación Pq se define como sigue Pq =

1 N−1 2 1 N−1 e (n) = # # [xq (n) − x(n)]2 N n=0 N n=0

La “calidad” de la señal cuantificada puede medirse mediante la relación señal-ruido de cuantificación (SQNR) definida como sigue Px SQNR = 10 log10 Pq donde Px es la potencia de la señal sin cuantificar x(n).

36 Tratamiento digital de señales

(a) Para f 0 = 1/50 y N = 200, escriba un programa para cuantificar la señal x(n), utilizando truncamiento para 64, 128 y 256 niveles de cuantificación. En cada caso, represente gráficamente las señales x(n), xq (n) y e(n), y calcule la relación SQNR correspondiente. (b) Repita el apartado (a) utilizando redondeo en lugar de truncamiento. (c) Comente los resultados obtenidos en los apartados (a) y (b). (d) Compare la SQNR medida experimentalmente con la obtenida teóricamente mediante la fórmula (1.4.32) y comente las diferencias y similitudes.