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Ejercicios del Capitulo Ejercicio 2.1 Identifique un conjunto de variables de decisión apropiados para este ejercicio. Proporcione nombres simbólicos relevantes y una descripción completa de cada variable. No necesita formular el modelo. Florida Citrus, Inc. Procesa jugo de naranja y lo transforma en concentrado congelado en tres plantas localizadas en Tampa, Miami y Jacksonville. De cualquiera de los dos ubicados cerca de Orlando y Gainesville se pueden enviar libras de naranja hacia cualquier planta. Dado el costo de embarque y el precio de venta del concentrado, el objetivo, sujeto a ciertas restricciones de oferta y demanda, es determinar cómo embarcar estas naranjas desde los dos huertos a las tres plantas procesadoras para maximizar la ganancia total. Resolución: 1. Definición del Problema: Desconocimiento de la cantidad de libras de naranjas que se deben enviar desde los huertos hasta las plantas para maximizar la ganancia. 1.1 Objetivo: Identificar variables de decisión apropiadas para el modelo sin formular el modelo. Plantas

Acrónimo

Huertos

Acrónimo

Tampa

T

Orlando

O

Miami

M

Gainesville

G

Jackson

J

2. Desarrollo del modelo matemático y recolección de datos: 2.1 Definición de variables Huertos O

Plantas T M

G

J

𝑋𝑂𝑇 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑂 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑇 𝑋𝑂𝑀 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑂 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑀 𝑋𝑂𝐽 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑂 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝐽 𝑋𝐺𝑇 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐺 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑇

𝑋𝐺𝑀 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐺 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑀 𝑋𝐺𝐽 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐺 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝐽 Ejercicio 2.2 Identifique un conjunto de variables de decisión apropiadas para este ejercicio. Proporcione nombres simbólicos relevantes y una descripción completa de cada variable. No necesita formular el modelo. Pensión Planners, Inc. Administra una cartera particular que consiste en 1800, 1000 y 500 acciones de fondos mutuos. Dadas ciertas suposiciones sobre las condiciones económicas en los siguientes 2 meses, el administrador de la agenda desea determinar el número de acciones de cada fondo por vender o comprar en cada uno de los siguientes dos meses, para maximizar el valor esperado de la agenda. Resolución: 1. Definición del problema: Desconocimiento de la cantidad de acciones que se deben vender o comprar de cada uno de los fondos que permitan maximizar la ganancia de la agenda. 1.1 Objetivo: Determinar la cantidad de acciones que se deben vender o comprar de cada uno de los fondos que permitan maximizar la ganancia de la agenda. 2. Desarrollo del modelo matemático y recolección de datos 2.1 Identificación de variables: Identificar las variables de decisión apropiadas para el modelo sin formular el modelo. Numero de Fondos Fondo 1 (1800 acciones)

Actividades sobre Fondos

Fondo 2 (1000 acciones)

Vender

Fondo 3 (500 acciones)

Comprar

Ventas

Fondo 1 Fondo 2

Comprar

Fondo 3

𝑿𝟏 : 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 1 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑿𝟐 : 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 2 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝑿𝟑 : 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 3 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑿𝟒 : 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 1 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑿𝟓 : 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 2 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑿𝟔 : 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 3 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝒀𝟏: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 1 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝒀𝟐: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 2 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝒀𝟑: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 3 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

Ejercicio 2.3 Para el ejercicio 2.1, el huerto que está cerca de Orlando tiene 20.000 libras de naranja y el huerto cercano a Gainesville tiene 12.000 libras de naranjas. La planta de Tampa requiere al menos 8.000 libras de naranjas para cumplir su cuota de producción. Las plantas de Miami y Jacksonville requieren cada una al menos 11.000 libras de naranja. Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones. No necesita formular las restricciones; sin embargo, especifique el número de restricciones de cada grupo. Resolución: 1. Restricciones. Restricciones de Producción. 𝑋𝑂𝑇 + 𝑋𝑂𝑀 + 𝑋𝑂𝐽 ≤ 20.000 El huerto de Orlando puede enviar hasta 20.000 lb de naranja. 𝑋𝐺𝑇 + 𝑋𝐺𝑀 + 𝑋𝐺𝐽 ≤ 12.000 El huerto de Gainesville puede enviar hasta 12.000 lb de naranja. Restricciones de Demanda. 𝑋𝑂𝑇 + 𝑋𝐺𝑇 ≥ 8.000 La planta de Tampa requiere al menos 8.000 lb de naranjas. 𝑋𝑂𝑀 + 𝑋𝐺𝑀 ≥ 11.000 La planta de Miami requiere al menos 11.000 lb de naranjas. 𝑋𝑂𝐽 + 𝑋𝐺𝐽 ≥ 11.000

La planta de Jacksonville requiere al menos 11.000 lb de naranjas. Restricción de Lógica. 𝑋𝑖 ≥ 0

Ejercicio 2.4 Al determinar el número de acciones por comprar o vender en el ejercicio 2.2, la administración nunca desearía vender más acciones de las que tiene. Asimismo, el fondo 1 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo 2, y este último tampoco debe tener más del doble del número de acciones del fondo 3. Finalmente, la cantidad total invertida en cada fondo no debe exceder los $75.000 Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones. No necesita formular las restricciones; sin embargo, especifique el número de restricciones de cada grupo. Resolución: 1. Restricciones Restricciones de Venta. 𝐹1 = 1800 + 𝑋4 − 𝑋1 Total del fondo 1. Es lo que tiene más lo que compra y vende. 𝐹2 = 1000 + 𝑋5 − 𝑋2 Total del fondo 2. Es lo que tiene más lo que compra y vende. 𝐹3 = 500 + 𝑋6 − 𝑋3 Total del fondo 3. Es lo que tiene más lo que compra y vende. 𝑋1 ≤ 1800 + 𝑋4 Lo que hay para vender del fondo 1 debe ser al menos la suma de lo que tiene más lo que compra. 𝑋2 ≤ 1000 + 𝑋5 Lo que hay para vender del fondo 2 debe ser al menos la suma de lo que tiene más lo que compra. 𝑋3 ≤ 500 + 𝑋6 Lo que hay para vender del fondo 3 debe ser al menos la suma de lo que tiene más lo que compra.

Restricciones de Compra. 𝐹1 ≤ 𝐹2 ∗ 2 El fondo 1 no debe tener más del doble de acciones del fondo 2. 𝐹2 ≤ 𝐹3 ∗ 2 El fondo 2 no debe tener más del doble de acciones del fondo 3. Restricciones de Inversión. 𝐹1 ≤ 75000 La inversión total en el fondo 1 no debe ser superior a $75000 𝐹2 ≤ 75000 La inversión total en el fondo 2 no debe ser superior a $75000 𝐹3 ≤ 75000 La inversión total en el fondo 3 no debe ser superior a $75000 Restricción de lógica. 𝑋𝑖 ≥ 0

Ejercicio 2.5 Para el ejercicio 2.1, use la técnica de descomposición para expresar la función de maximización de ganancias dados los siguientes datos de costo e ingresos: COSTO DE EMBARQUE ($/TON) A DESDE

TAMPA Conve. MIAMI Conve. JACKSONVILLE Conve. Lb

Lb

Lb

Orlando

50

100000

75

150000

60

120000

Gainesville

60

120000

90

180000

45

90000

Ingresos ($/ton de naranjas procesadas) Conve. Lb Tampa

550

1100000

Miami

750

1540000

Jacksonville

600

1200000

Resolución: Determinación de la función objetivo. 𝑮𝑨𝑵𝑨𝑵𝑪𝑰𝑨 = INGRESOS - COSTOS 𝒁𝒎𝒂𝒙 = (𝑋𝑂𝑇 ∗ 𝐼 − 𝑋𝑂𝑇 ∗ 𝐶) + (𝑋𝑂𝑀 ∗ 𝐼 − 𝑋𝑂𝑀 ∗ 𝐶) + (𝑋𝑂𝐽 ∗ 𝐼 − 𝑋𝑂𝐽 ∗ 𝐶) + (𝑋𝐺𝑇 ∗ 𝐼 − 𝑋𝐺𝑇 ∗ 𝐶) + (𝑋𝐺𝑀 ∗ 𝐼 − 𝑋𝐺𝑀 ∗ 𝐶) + (𝑋𝐺𝐽 ∗ 𝐼 − 𝑋𝐺𝐽 ∗ 𝐶) 𝒁𝒎𝒂𝒙 = (𝑋𝑂𝑇 ∗ 550 − 𝑋𝑂𝑇 ∗ 50) + (𝑋𝑂𝑀 ∗ 750 − 𝑋𝑂𝑀 ∗ 75) + (𝑋𝑂𝐽 ∗ 600 − 𝑋𝑂𝐽 ∗ 60) + (𝑋𝐺𝑇 ∗ 550 − 𝑋𝐺𝑇 ∗ 60) + (𝑋𝐺𝑀 ∗ 750 − 𝑋𝐺𝑀 ∗ 90) + (𝑋𝐺𝐽 ∗ 600 − 𝑋𝐺𝐽 ∗ 45)

Ejercicio 2.6 Para el ejercicio 2.2, suponga que al final del segundo mes se espera que el precio por acción del fondo 1 sea $28, que el del fondo 2 sea $60 y el fondo 3, $45. Formule una restricción para asegurar que, con estos precios, el valor de la cartera al final del segundo mes sea al menos $125000. Ilustre el uso de la descomposición. Datos: Fondo 1: $28

Fondo 2: $60

Fondo 3: $45

Restricciones: 𝐹1 ∗ 28 + 𝐹2 ∗ 60 + 𝐹3 ∗ 45 >= 125000 Determinación de la función objetivo Maximizar ganancia total: Ganancia F1 + Ganancia F2 + Ganancia F3 𝒁𝒎𝒂𝒙 = 28 𝐹1 + 60 𝐹2 + 45 𝐹3

Ejercicio 2.7 World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de $25por barril, y petróleo pesado a $22 por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo: GASOLINA

TURBOSINA

QUEROSENO

Crudo ligero

0.45

0.18

0.30

Crudo pesado

0.35

0.35

0.20

La refinería se ha comprometido a entregar 1260000 barriles de gasolina, 900000 barriles de turbosina y 300000 barriles de queroseno. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. Defina todas las variables de decisión. Use el esquema de la sección 2,3 para clasificar su modelo. 1. Definición del problema: Desconocimiento de la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo toral al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. 1.1 Objetivo: Determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo toral al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. 2. Desarrollo del modelo matemático y recolección de datos 2.1 Definición de variables: 𝑋1 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑟ó𝑙𝑒𝑜 𝑙𝑖𝑔𝑒𝑟𝑜 𝑋2 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑟ó𝑙𝑒𝑜 𝑝𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 2.2 Determinación de la función objetivo: 𝒁𝒎𝒂𝒙 = 𝑋1 ∗ 25 + 𝑋2 ∗ 22 2.3 Determinación de restricciones 0.45 𝑋1 + 0.35 𝑋2 > = 1260000 0.18 𝑋1 + 0.36 𝑋2 > = 900000 0.30 𝑋1 + 0.20 𝑋2 > = 300000 2.4 Modelo matemático: 𝒁𝒎𝒂𝒙 = 𝑋1 ∗ 25 + 𝑋2 ∗ 22 ST 0.45 𝑋1 + 0.35 𝑋2 > = 1260000 0.18 𝑋1 + 0.36 𝑋2 > = 900000 0.30 𝑋1 + 0.20 𝑋2 > = 300000 END Ejercicio 2.8 Reconsidere el ejercicio 2.7. Cada barril de petróleo crudo refinado produce un desecho de 0.07 de barril que se tira a un costo de $1 por barril de desecho. De manera similar,

cada barril de petróleo crudo pesado produce un desecho de 0.09 de barril y su eliminación cuesta $1.50 por barril. Formule un nuevo modelo para incorporar estos costos adicionales usando los mismos datos del ejercicio 2.7. DATOS: Desecho

Costo

Petróleo crudo

0.07

$1

Petróleo pesado

0.09

$1.50

Nuevo modelo matemático: 𝒁𝒎𝒂𝒙 = (𝑋1 ∗ 25 + 𝑋1 ∗ 0.07 ∗ 1) + (𝑋2 ∗ 22 + 𝑋2 ∗ 0.09 ∗ 1.50) Ejercicio 2.9 Carmac Company fabrica carros compactos y subcompactos. La producción de cada carro requiere una cierta cantidad de materia prima y mando de obra, como se especifica en la siguiente tabla: Materia Prima

Mano de obra

(Libras)

(Horas)

Compactos

200

18

Subcompactos

150

20

Costo Unitario ($)

10

70

80000

9000

Total Disponible

La división de comercialización ha estimado que a lo más 1500 compactos pueden venderse a $ 10 000 cada uno y que a lo más 200 subcompactos pueden venderse a $8000 cada uno. Como vicepresidente de programación, formule un modelo para determinar la cantidad a fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos). Defina todas las variables de decisión. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo Resolución: 1. Definición del problema: Desconocimiento de la cantidad de cada tipo de carro a producir para maximizar la ganancia total. 1.1 Objetivo: Determinar la cantidad de cada tipo de carro a producir para maximizar la ganancia total. 2. Desarrollo del modelo matemático y recolección de datos 2.1 Definición de variables 𝒙: 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟

𝒚: 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 2.1.1 Identificar los datos determinísticos Costo de materia prima

Costo de mano de obra

Costo carro compacto

200*10

18 *70

3260

Costo de materia prima

Costo de mano de obra

Costo carro subcompacto

150*10

20*70

2900

2.2 Determinación de la función objetiva Función objetiva: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐. 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 + 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐. 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 𝒁𝒎𝒂𝒙 = 10000𝑥 + 8000𝑦 − 3260𝑥 − 2900𝑦 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 6740𝑥 + 5100𝑦 2.3 Determinación de las restricciones: Suministro 

La cantidad de libras de materia prima utilizada en la producción de los carros compactos y subcompactos no puede ser mayor a 80000 lb.



Las horas de mano de obra utilizada en la producción de los carros compactos y subcompactos no puede ser mayor a 9000 h.

2000𝑥 + 1500𝑦 ≤ 80000 18𝑥 + 20𝑦 ≤ 9000 Demanda 

Se ha estimado que como máximo se deben vender 1500 unid de carros compactos



Se ha estimado que como máximo se deben vender 200 unid de carros subcompactos 𝑥 ≤ 1500 𝑦 ≤ 200

Lógicas 𝑥, 𝑦 ≥ 0

2.4 Modelo matemático: 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 6740𝑥 + 5100𝑦 ST

2000𝑥 + 1500𝑦 ≤ 80000 18𝑥 + 20𝑦 ≤ 9000 𝑥 ≤ 1500 𝑦 ≤ 200 𝑥, 𝑦 ≥ 0 END

Ejercicio 2.10 Fresh Dairy Farms, tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla: Leche

Mantequilla

Queso

Descremada Máquina 1

0.2 min/gal

0.5 min/lb

1.5 min/lb

Máquina 2

0.3 min/gal

0.7 min/lb

1.2 min/lb

$0.22/gal

$0.3/lb

$0.72/lb

Ganancia Neta

Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como gerente del departamento de producción, formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso. Desarrollo: 1. Definición del problema: Desconocimiento del plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas. 1.1 Objetivo: Determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas. 2. Desarrollo del modelo matemático y recolección de datos 2.1 Definición de variables 𝒙 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝒚 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝒗 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 2.1.1 Identificar los datos determinísticos

Producción mínima Leche descremada

300 gl

Mantequilla

200 lb

Queso

100 lb

2.2 Determinación de la función objetiva Función objetiva: 𝑀𝑎𝑥. 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒 + 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑙𝑎 + 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 𝒁𝒎𝒂𝒙 = 0,22𝑥 + 0,38𝑦 + 0,72𝑣 2.3 Determinación de las restricciones: Suministro 

La máquina 1 puede estar activa 480 min diarios.



La máquina 2 puede estar activa 480 min diarios. 0,2𝑥 + 0,5𝑦 + 1,5𝑣 ≤ 480 0,3𝑥 + 0,7𝑦 + 1,3𝑣 ≤ 480

Demanda 

Se debe producir como mínimo 300 gl de leche descremada



Se debe producir como mínimo 200 lb de mantequilla.



Se debe producir como mínimo 100 lb de queso. 𝑥 ≥ 300 𝑦 ≥ 200 𝑣 ≥ 100

Lógicas 𝑥, 𝑦, 𝑣 ≥ 0 2.4 Modelo matemático: 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 0,22𝑥 + 0,38𝑦 + 0,72𝑣 ST +0,2𝑥 + 0,5𝑦 + 1,5𝑣 ≤ 480 0,3𝑥 + 0,7𝑦 + 1,3𝑣 ≤ 480 𝑥 ≥ 300 𝑦 ≥ 200 𝑣 ≥ 100

𝑥, 𝑦, 𝑣 ≥ 0 END

Ejercicio 2.11 Cada galón de leche, libra de queso y libra de manzana proporciona un numero conocido de miligramos de proteínas y vitaminas A, B y C. La siguiente tabla incluye esos datos junto con los requerimientos diarios de los ingredientes nutricionales, según lo recomendado por el Departamento de Agricultura de los E.E.U.U. La tabla también incluye la cantidad mínima de cada alimento que debe incluirse en la comida y su costo. Leche

Queso

Manzanas

Requerimientos

(mg/gal)

(mg/lb)

(mg/lb)

Mínimos Diarios (mg)

Proteínas

40

30

10

80

Vitamina A

5

50

30

60

Vitamina B

20

30

40

50

Vitamina C

30

50

50

30

Cantidad mínima

0,5 gal

0,5 lb

0,5 lb

Costo Unitario($)

2,15

2,25

1,25

Como dietista de una escuela pública, formule un modelo para determinar la comida de costo mínimo que reúna todos los requerimientos nutricionales. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Desarrollo: 1. Definición del problema: Desconocimiento de qué tipo de comida reúne todos los requerimientos nutricionales a un costo mínimo. 1.1 Objetivo: Identificar la comida que reúne todos los requerimientos nutricionales a un costo mínimo. 2. Desarrollo del modelo matemático y recolección de datos 2.1 Definición de variables 𝒙 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑟 𝒚 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑟 𝒗 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑟

2.2 Determinación de la función objetiva Función objetiva: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒 + 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 + 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎𝑠 𝒁𝒎𝒊𝒏 = 2,15𝑥 + 2,25𝑦 + 1,25𝑣 2.3 Determinación de las restricciones: 

Se requiere como mínimo consumir 80 mg de proteínas



Se requiere como mínimo consumir 60 mg de vitamina A



Se requiere como mínimo consumir 50 mg de vitamina B



Se requiere como mínimo consumir 30 mg de vitamina C 40𝑥 + 30𝑦 + 10𝑣 ≥ 80 5𝑥 + 50𝑦 + 30𝑣 ≥ 60 20𝑋 + 30𝑦 + 40𝑣 ≥ 50 30𝑥 + 50𝑦 + 50𝑣 ≥ 30



Se debe consumir como mínimo 0,5 galones de leche.



Se debe consumir como mínimo 0,5 libras de queso.



Se debe consumir como mínimo 0,5 libras de manzanas. 𝑥 ≥ 0,5 𝑦 ≥ 0,5 𝑣 ≥ 0,5

Lógicas 𝑥, 𝑦, 𝑣 ≥ 0

2.4 Modelo matemático: 𝑍𝑚𝑖𝑛 = 2,15𝑥 + 2,25𝑦 + 1,25𝑣 ST 40𝑥 + 30𝑦 + 10𝑣 ≥ 80 5𝑥 + 50𝑦 + 30𝑣 ≥ 60 20𝑋 + 30𝑦 + 40𝑣 ≥ 50 30𝑥 + 50𝑦 + 50𝑣 ≥ 30 𝑥 ≥ 0,5 𝑦 ≥ 0,5 𝑣 ≥ 0,5

𝑥, 𝑦, 𝑣 ≥ 0 END

Ejercicio 2.12 Una suposición implícita en el modelo de inversión de High Tech del ejemplo 2.4, de la sección 2.2.3, es que cualquier fondo no usado en un año no puede usarse en ningún año subsecuente. Modifique la formulación del problema para permitir el remanente de fondos no utilizados de un año al siguiente definiendo las siguientes cuatro variables y suponiendo que los fondos no utilizados ganan 10% de interés actual: U1= El número de dólares no utilizados después del año 1. U2= El número de dólares no utilizados después del año 2. U3= El número de dólares no utilizados después del año 3. U4= El número de dólares no utilizados después del año 4. 1. Definición del problema: Desconocimiento de la cantidad a invertir en cada fondo para maximizar el rendimiento total de las inversiones. 1.1 Objetivo: Determinar de la cantidad a invertir en cada fondo para maximizar el rendimiento total de las inversiones. 2. Desarrollo del modelo matemático y recolección de datos 2.1 Definición de las variables B=1 Si Higt Tech debe invertir en Bio-Tech B=0 Si Higt Tech no debe invertir en Bio-Tech T=1 Si Higt Tech debe invertir en Tele-Comm T=0 Si Higt Tech no debe invertir en Tele-Comm L=1 Si Higt Tech debe invertir en Laser-Optics L=0 Si Higt Tech no debe invertir en Laser-Optics C=1 Si Higt Tech debe invertir en Compu-Ware C=0 Si Higt Tech no debe invertir en Compu-Ware U1= El número de dólares no utilizados después del año 1. U2= El número de dólares no utilizados después del año 2.

U3= El número de dólares no utilizados después del año 3. U4= El número de dólares no utilizados después del año 4. 2.2 Determinación de la función objetivo 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 250𝐵 + 375𝑇 + 275𝐿 + 140𝐶 + 0,1𝑈1 + 0,1𝑈2 + 0,1𝑈3 + 0,1𝑈4 2.3 Determinación de las restricciones 10𝐵 + 35𝑇 + 50𝐿 + 10𝐶 − 𝑈1 ≤ 90 10𝐵 + 35𝑇 + 50𝐿 + 10𝐶 − 𝑈2 ≤ 80 10𝐵 + 35𝑇 + 50𝐿 + 10𝐶 − 𝑈3 ≤ 80 10𝐵 + 35𝑇 + 50𝐿 + 10𝐶 − 𝑈4 ≤ 50 𝑇+𝐿 ≤1 𝐵, 𝑇, 𝐿, 𝐶 = 0 𝑂 1 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, 𝑈4 ≥ 0 2.4 Modelo matemático 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 250𝐵 + 375𝑇 + 275𝐿 + 140𝐶 + 0,1𝑈1 + 0,1𝑈2 + 0,1𝑈3 + 0,1𝑈4

ST 10𝐵 + 35𝑇 + 50𝐿 + 10𝐶 − 𝑈1 ≤ 90 10𝐵 + 35𝑇 + 50𝐿 + 10𝐶 − 𝑈2 ≤ 80 10𝐵 + 35𝑇 + 50𝐿 + 10𝐶 − 𝑈3 ≤ 80 10𝐵 + 35𝑇 + 50𝐿 + 10𝐶 − 𝑈4 ≤ 50 𝑇+𝐿 ≤1 𝐵, 𝑇, 𝐿, 𝐶 = 0 𝑂 1 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, 𝑈4 ≥ 0 END Ejercicio 2.13 Rich Oil Company, cerca de Cleveland, suministra gasolina a sus distribuidores en camiones. La compañía recientemente recibió un contrato para iniciar el suministro de $800 000 galones de gasolina por mes a distribuidores de Cincinnati. La compañía tiene $500 000 disponibles para crear una flota consistente en tres tipos diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidad relevante, costo de compra, costo operativo y número máximo de viajes por cada tipo de camión:

TIPO CAMION

DE CAPACIDAD COSTO DE COSTO (GALONES)

DE MAXIMO

COMPRA

OPERACIÓN DE

($)

($/MES)

VIAJES/MES

1

6000

50000

800

20

2

3000

40000

650

25

3

2000

23000

500

30

Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la compañía no desea comprar más de 10 vehículos para su flota. Asimismo, la compañía desearía asegurarse que se compren al menos tres de los camiones del tipo 3 (se requieren para su uso en las rutas de trayecto corto/baja demanda). Finalmente, la compañía no desea que más de la mitad de la flota sea de camiones del tipo 1. Como gerente de operaciones, formule un modelo para determinar la composición de la flota que minimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfagan las demandas, no saliéndose del presupuesto y satisfaciendo los requerimientos de las otras compañías. 1. Definición del problema: Desconocimiento de la composición de la flota que minimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfagan las demandas, no saliéndose del presupuesto y satisfaciendo los requerimientos de las otras compañías. 1.1 Objetivo: Determinar de la composición de la flota que minimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfagan las demandas, no saliéndose del presupuesto y satisfaciendo los requerimientos de las otras compañías. 2. Desarrollo del modelo matemático y recolección de datos 2.1 Definición de las variables X1: Nº de camiones tipo 1 X2: Nº de camiones tipo 2 X3: Nº de camiones tipo 3 2.2 Determinación de la función objetivo 𝑍𝑚𝑖𝑛 = 800 𝑋1 + 650 𝑋2 + 500 𝑋3 2.3 Determinación de las restricciones 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 3

𝑋1 − 𝑋2 − 𝑋3 = 250 𝑋3 + 𝑋7 + 𝑋11 >= 350 𝑋4 + 𝑋9 + 𝑋12 >= 480 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 = 350 𝑋4 + 𝑋9 + 𝑋12 >= 480 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4