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EL PRINCIPIO DEL PALOMAR David Palomino Alva Consultor en Educación Matemática [email protected]

¿Es posible demostrar que hay al menos cuarenta ciudadanos limeños que tienen exactamente el mismo número de cabellos? Pues sí, y es muy sencillo demostrarlo, primero recolectemos ciertos datos de importancia, por ejemplo se sabe que en Lima viven aproximadamente siete millones de personas, además se sabe que el número de cabellos en la cabellera humana no supera los 150 000. Supongamos que Defensa Civil ha ordenado la construcción de refugios numerados desde el 0 hasta el 150 000, si hay peligro, los limeños deben guarecerse en el refugio cuyo número coincida con el número de cabellos que tiene en la cabeza. En un simulacro se pide a los ciudadanos que a la cuenta de tres, ingresen a los refugios. Fieles a su deber cívico, la totalidad de limeños se ha refugiado en el lugar correspondiente. La situación ahora se torna evidente, como el número de personas es mayor que el número de refugios, de hecho existirán al menos dos personas dentro de un mismo refugio. En realidad como el cociente de dividir siete millones entre ciento cincuenta mil, es 46,66, podemos decir que existen al menos cuarenta limeños que tienen el mismo número de cabellos. Este principio en apariencia tan sencilla fue utilizado inicialmente por el matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet, para resolver un tipo de problemas que aparecían con frecuencia en la teoría de números. Desde entonces se utiliza para resolver una variada colección de acertijos y problemas en diversos campos de la matemática. Conocido como el principio del palomar, adopta este nombre debido a un viejo acertijo que reza aproximadamente este modo: Hay 40 palomas jugando en una plaza, asimismo observas que hay exactamente 39 palomares alrededor. Suena un disparo, y las aves se esconden rápidamente en los palomares, ninguna queda en la plaza. Demuestra que hay al menos un palomar donde se encuentran escondidas 2 palomas.

Para comprender mejor este principio y apreciar su versatilidad en la solución de problemas, vamos a explorar algunos ejemplos extraídos de diversa ramas de la matemática, te recomendamos que intentes resolverlos antes de leer la solución. LA REUNIÓN En una reunión hay 50 personas. Demuestra que existen dos personas que conocen exactamente al mismo número de otros participantes (asumir que si x conoce a y, entonces y conoce a x). Solución Coloquemos unas casillas en las cuales colocamos letreros desde cero hasta 49, en el letrero cero estarán las personas que no conocen a nadie en la reunión, en el letrero 1 las que conocen exactamente a una persona, y así sucesivamente hasta que en el letrero 49 estará aquel que conozca a las 49 personas de la reunión. Reflexionemos algo más, observamos que no puede haber simultáneamente personas que no conozcan a nadie y que conozcan a las 49 personas, pues si existe una persona que no conoce a nadie, entonces no puede existir una persona que conozca a los 49 participantes. Entonces la casilla 0 o la 49 debe estará desocupada. Por tanto quedan solo 49 casillas para colocar a las cincuenta personas de la reunión, y entonces habrá una casilla con al menos dos participantes.

EL CUADRADO Dibuja un cuadrado de 10 cm de lado, dibuja cinco puntos en su interior. Demuestra que hay al menos dos puntos de los dibujados que distan entre sí, menos de ocho centímetros.

Solución:

Es muy sencillo, solo hay que dividir el cuadrado en cuatro partes, mediante dos verticales como se muestra. Ahora por el principio del palomar, si tenemos cinco puntos y cuatro regiones, de hecho habrá al menos una región con dos puntos en su interior o su borde, la distancia mayor entre dos puntos de la región es la longitud de la diagonal. En este caso d= 5 2 cm, esto es aproximadamente 7,07 cm que es menos de 8 cm

I

II

III

IV

NUMERITOS Escribe en un papel diez números positivos menores que 100. No debes repetir los números. Demuestra que no importa cual haya sido el conjunto de números escrito, siempre habrán dos subconjuntos de números que tengan la misma suma. Por ejemplo si escribes:

{56; 25; 3; 27; 2; 34; 54; 7; 89; 12} Podemos encontrar los subconjuntos: {56; 3; 2} y {54; 7}, de modo que en ambos la suma de sus elementos es 61.

Solución Una vez elegido el conjunto de diez números sabemos que se puede formar 210 - 1 = 1023 subconjuntos no vacíos distintos. Cada uno de estos subconjuntos tiene por suma de sus elementos a una cantidad menor que 1000, ya que lo peor que puede pasar es que escogiéramos al conjunto cuyos elementos son 90, 91,..., 99 y se tiene que 90 + 91 + ... + 99 < 1000. Por lo tanto, por el principio del palomar (aquí hay que distribuir 1023 subconjuntos en cajas etiquetadas con las sumas de estos subconjuntos, que son como hemos vito menos de 100000, por tanto por el principio del palomar existen dos subconjuntos cuyas sumas de elementos son iguales, de hecho pueden haber muchos más. Ahora bien, estos dos conjuntos podrían tener elementos comunes. Para conseguir que los conjuntos sean disjuntos lo que se hace es eliminar a los elementos comunes y considerar los nuevos conjuntos que no poseen esos elementos; además resulta claro que si al inicio poseían igual suma de elementos, luego, al quitar los elementos comunes, siguen teniendo la misma suma. CURISOSOS POLIEDROS Cuenta las aristas alrededor de las caras de un poliedro. Encontrarás que hay dos caras acotadas por el mismo número de aristas. Para probar que esto siempre se cumple basta investigar qué ocurre cuando las caras se distribuyen en casillas numeradas 3,4,5,,,n, de modo que una cara con n aristas se coloque en la casilla correspondiente. Ya que las aristas separan a las caras de un poliedro, una cara con el máximo número de bordes n es así mismo rodeada por n caras, esto implica que el poliedro debe tener n +1 caras. Entonces por el principio del palomar alguna caja debe contener al menos dos caras con el mismo número de aristas rodeadas

TEOREMA DE RAMSEY En una circunferencia se dan 6 puntos. Se unen dos a dos obteniéndose varios segmentos. Si vas pintando los segmentos de rojo o de verde, a tu antojo, los hagas como lo hagas, siempre al final encontrarás tres segmentos que forman un triángulo cuyos tres lados son del mismo color. Es muy divertido experimentar con este teorema, pruébalo a ver si se te ocurre un modo de demostrarlo. Solución: Llama a los puntos 1,2,3,4,5,6 y píntalos así: Los segmentos que parten de 1 son 12, 13,14, 15, 1,6. Al pintarlos unos quedarán rojos otros verdes, pero como son cinco en total al menos habrá tres del mismo color. Supón que hay tres rojos y que son 13,14,15, ahora observa, si 34 es rojo entonces el triángulo 134 es todo rojo y tienes lo que deseabas. Si 45 es rojo entonces el triángulo 145 es rojo lo que finaliza la prueba. Pero si 45 es verde y 35 rojo, el triángulo 135 es rojo, pero si ninguno (45 y 35) es rojo, el triángulo 345 es verde, y también finaliza la prueba. Entonces de cualquier forma siempre existe un triángulo con los tres lados de un mismo color.

Tomando como punto de partida este teorema el matemático Gustave Simmons inventó el juego de Sim. Es un juego de estrategia pura, en el que participan dos jugadores. Se traza en una hoja de papel una circunferencia y se seleccionan sobre ella seis puntos. Cada jugador tiene un lápiz de un color determinado. Por turnos los jugadores unen un par de puntos con segmentos rectos de su color. Pierde la partida, el que se ve obligado a formar un triangulo de su mismo color. La figura muestra una partida que usa los colores rojo y azul. El teorema de Ramsey nos garantiza que este juego no puede nunca terminar en empate.

Una partida de Sim en la que ganó el color verde Pese a la aparente sencillez del juego, hasta el día de hoy se desconoce una estrategia que garantice la victoria del primer o segundo jugador. Experimenten con este juego tal vez sean los primeros en descubrir alguna estrategia.