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• Erika Ruiz Torres

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´ Indice general 1. Matrices 1.1. Matrices cuadradas . . . . 1.2. Operaciones con matrices 1.3. Propiedades elementales . 1.4. Matrices Semejantes . . . 1.5. Rango de una Matriz . . . 1.5.1. Propiedades . . . . 1.6. Inversa de una Matriz . . 1.6.1. Propiedades . . . .

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2 2 2 2 3 3 3 3 3

Cap´ıtulo 1 Matrices Consideraremos a K = C o R como el cuerpo sobre el cual trabajaremos, dando la siguiente notaci´on:

1.2.

Operaciones con matrices

Son las siguientes

Mm×n (K), matrices m × n sobre K

Producto de un escalar por una matriz. Sea A = (aij ) ∈ Mm×n y λ ∈ K, definamos C = (cij ) donde C = λ · A ∈ Mm×n (K), cij = λaij .

Mn (K), matrices cuadradas de n × n sobre K.

Iniciaremos dando conceptos generales de matrices para posteriormente tocar puntos relevantes necesarios para el Suma de matrices. Sean A = (aij ) ∈ Mm×n (K) y desarrollo del trabajo. B = (bij ) ∈ Mm×n (K), definimos su suma como: Definici´ on 1. Una matriz A = (aij )m×n es decir “m” S = (sij ) ∈ Mm×n , donde S = A + B, sij = aij + bij . filas y “n” columnas, es un ordenamiento rectangular con Producto de matrices. Sean A = (aij ) ∈ Mm×n (K) y elementos en el cuerpo K, tal como: B = (bij ) ∈ Mn×l (K) definimos su producto como:   n ∑ a11 a12 · · · a1n P = (pij ) ∈ Mm×l , donde P = AB, pij = aik bkj ,  a21 a22 · · · a2n  k=1   A = (aij ) =  . .. ..  .. es decir el elemento pij es el producto escalar de la  .. . . .  fila i de la matriz A y la columna j de la matriz B, es am1 am2 · · · amn por ello la necesidad de que la primera matriz tenga tantas columnas como filas de la segunda. El elemento aij est´a en la fila i y la columna j, adem´as es u ´nico. Notaremos por Mm×n (K) al conjunto de todas de Traspuesta de una matriz. Sea A = (aij ) ∈ las matrices A, B, C, etc. Mm×n (K), definimos su traspuesta At = (aji ) ∈ Mn×m (K), de aqu´ı decimos que las matrices sim´etricas cumplen At = A. 1.1. Matrices cuadradas Si m = n, decimos que las matrices son cuadradas, i.e: Mn (K). Las matrices cuadradas m´as importantes son:

1.3.

Propiedades elementales

A continuaci´on mencionaremos las propiedades m´as importantes:

Diagonales. Son matrices diagonales cuando aij = 0, ∀ i ̸= j

a) (Mm×n (K), +, ·), es un K- espacio vectorial de orden m · n.

Triangulares Superiores. Son matrices triangulares b) El elemento neutro de la suma de matrices es la matriz superiores cuando nula. aij = 0, ∀ i > j c) El elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad. Triangulares Inferiores. Son matrices triangulares inferiores cuando

d) El producto de matrices es asociativo (AB)C = A(BC).

aij = 0, ∀ i < j

e) EL producto de matrices en general no es conmutativo. Matrices Sim´ etricas. Son matrices sim´etricas cuando f ) EL producto de matrices no tiene la propiedad del elemento inverso.

aij = aji 2

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´ 1.6.1 SUBSECCION

g) Propiedad distributiva del producto de matrices:

Propiedades A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC h) La transpuesta de la traspuesta es la matriz inicial: (At )t = A i) La transpuesta de la suma es la suma de transpuestas: t

t

(A + B) = A + B

t

j) La transpuesta del producto es el producto permutado de transpuestas: (AB)t = B t At

1.4.

(b) (AB)−1 = B −1 A−1 (c) (At )−1 = (A−1 )t (d) (λA)−1 = λ1 A−1 , λ ̸= 0 (e) (An )−1 = (A−1 )n , ∀ n ∈ Z+ . (f ) I −1 = I, I =identidad. Ejercicios de Aplicaci´ on

Matrices Semejantes

Definici´ on 2 (Matrices Semejantes). Sea A ∈ Mn (K) y B ∈ Mn (K) decimos que A es semejante a B si ∃ P ∈ Mn (K) inversible / A = P −1 BP .

1.5.

(a) (A−1 )−1 = A

Rango de una Matriz

Definici´ on 3 (Rango de una matriz). Sea A = (aij ) ∈ Mm×n (K), el rango de A lo definimos de la siguiente manera: Es igual al n´ umero de filas no nulas que quedan en la u ´ ltima iteraci´on de las sucesivas transformaciones elementales que se hacen con la matriz. Decimos que el rango de la matriz A denotado por R(A) es igual a “p” si existe una submatriz cuadrada B de A de orden p, tal que, |B| ̸= 0 y el determinante de cualquier submatriz cuadrada de A de orden mayor que “p” es cero. ´ 1.5.1 SUBSECCION

Propiedades

1. Una f´abrica de autom´oviles dispone en el mes de junio de tres monedas: econ´omico, de lujo y deportivo. En determinada ciudad la firma posee tres concesionarios, A, B y C. En cierto momento, el concesionario A posee en stock 3 econ´omicos, 2 de lujo y 1 deportivo; el concesionario B, respectivamente, 6, 1 y 1; por u ´ltimo, el concesionario C tiene, tambi´en respectivamente, 2, 3 y 3 veh´ıculos. a) A partir de estos datos, formar la matriz M correspondiente y se˜ nala sus dimensiones. En el mes de julio llega otro env´ıo. Para el concesionario A el env´ıo est´a compuesto por 5 econ´omicos, 12 de lujo y 5 deportivos; para el concesionario B, respectivamente, 3, 4 y 1; por u ´ltimo, para el concesionario C, tambi´en respectivamente, 4, 3 y 6 veh´ıculos. b) Disp´on en forma de matriz N el env´ıo del mes de julio y se˜ nala sus dimensiones. c) ¿De cu´antos coches de cada modelo dispone cada concesionario a lo largo de los meses de junio y julio?. Expr´esalo en forma de matriz. d ) Se˜ nala el elemento c32 de la matriz del apartado anterior y com´entalo.

Si A = (aij ) ∈ Mm×n (K) se cumplen: (a) R(A) ≤ min(m, n) (b) R(At ) = R(A) (c) Si A = (aij ) ∈ Mn (K), entonces R(A) < n, si y s´olo si |A| = 0

1.6.

Inversa de una Matriz

Definici´ on 4 (Inversa de una Matriz Cuadrada). Sea A = (aij ) ∈ Mn (K), decimos que A es invertible o no singular si existe una matriz B de n × n tal que: AB = BA = I. La matriz B se conoce como matriz inversa de A y se denota A−1 .

2. En una peque˜ na comunidad de 1200 habitantes, 640 son conservadores, 410 son liberales y 150 socialistas. De los primeros, el 65 por ciento gana m´as de tres millones de soles anuales; de los segundos, s´olo el 40 por ciento, y de los u ´ltimos, 42 personas. a) Formar la matriz que especifique la ideolog´ıa nala sus dimensiones. pol´ıtica, ll´amala A, y se˜ b) Forma la matriz que especifique la ideolog´ıa pol´ıtica en relaci´on con el nivel anual de ingresos y denom´ınala B. c) Si se van 4 habitantes de cada ideolog´ıa, especificar, en forma de matriz, los que se van, atendiendo a la ideolog´ıa pol´ıtica y denom´ınala C.

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d ) Una vez se vayan esos cuatro individuos, especifica la operaci´on de matrices que realizas para obtener la nueva matriz de la ideolog´ıa pol´ıtica de los que se quedan. Analiza y comenta los resultados. 3. Una f´abrica de electrodom´esticos produce televisores, radios, lavavajillas y aspiradoras. Con objeto de atender de forma m´as r´apida los pedidos de los establecimientos comerciales del ramo, dispone de tres almacenes en la ciudad. En el mes de enero se guardan en el almac´en A, 12 televisores, 18 radios, 10 lavavajillas y 24 aspiradoras. En el almac´en B, hay respectivamente, 8, 15, 12 y 30. Por u ´ltimo, en el C est´an almacenados, tambi´en respectivamente, 16, 12, 10 y 22. a) Disp´on los anteriores datos organizadamente en forma de matriz, ll´amala P y se˜ nala sus dimensiones.

a) Expresa estos datos en forma de matriz y se˜ nala sus dimensiones. b) Si se prev´e un incremento en la venta de billetes del 15 % para el pr´oximo fin de semana, expresa en forma de matriz dichas previsiones de ventas atendiendo al d´ıa y a los diferentes tipos de entradas, se˜ nalando la operaci´on matricial que realizas. c) Si en los dos pr´oximos fines de semana las ventas se prev´e vuelven a ser normales, determinar tambi´en el n´ umero de billetes de adulto e infantil vendidos ese mes (con 4 fines de semana), seg´ un se trate del s´abado o del domingo. Analiza y comenta los resultados. 7. Las relaciones comerciales entre tres pa´ıses, A, B y C, en el a˜ no 1992 vienen expresadas en millones de d´olares, por la siguiente matriz, A B C   A 0 16 69 B  18 0 42  C 29 11 0

b) Si en febrero dispone del triple de cada uno de los art´ıculos, expresa en forma de matriz las existencias durante ese mes. c) Si en marzo tiene tanto como en enero, expresa en forma de matriz las existencias acumuladas en los tres meses. 4. Marta es una persona muy activa; por la ma˜ nana, de lunes a viernes y de 7 a 13, trabaja como administrativo en una empresa. Los lunes, mi´ercoles y viernes lleva la contabilidad de otra empresa de 4 a 7 de la tarde, y los martes y jueves de 5 a 9 ejerce como abogado en un bufete. a) Escribe la matriz semanal de su trabajo, ll´amala A, indicando el n´ umero de horas que dedica a cada actividad. b) Si trabaja durante 12 semanas, escribe la nueva matriz con el n´ umero total de horas que dedica durante esas 12 semanas, a cada actividad, seg´ un el d´ıa de la semana. 5. Una compa˜ n´ıa de muebles fabrica butacas y mecedoras de tres modelos: E, modelo econ´omico; M , modelo medio y L, de lujo. Cada mes la compa˜ n´ıa produce 20 modelos E, 15 M y 10 L de butacas, y 12 modelos E, 8 M y 5 L de mecedoras.

donde el elemento ij de la matriz indica el volumen de exportaciones del pa´ıs correspondiente a la fila i al pa´ıs correspondiente a la columna j. En el a˜ no 1993 la nueva matriz es: A B C   A 0 17 48 B  15 0 30  C 59 38 0 Con esta informaci´on, calcular, expres´andolo en forma de matriz: a) Las exportaciones totales en el bienio 1992 1993. b) Las exportaciones medias por a˜ no. c) Si para el a˜ no 1994 se espera respecto a 1993 un aumento en exportaciones del 23 %. ¿Cu´al ser´a la nueva matriz que exprese las relaciones comerciales, en millones de d´olares. 8. El precio de una vivienda, en funci´on de la zona de la ciudad y del n´ umero de habitaciones, viene dado por la siguiente matriz Q: 1 2 3   A 6,2 9 4,1  B  8,5 13,5 6,2  C  12,5 19,4 9,1  D 17,2 25,2 12

a) Representa en una matriz 3 × 2 dicha informaci´on. b) A partir de la matriz del apartado anterior, obt´en la matriz de producci´on en un trimestre. 6. En el zool´ogico se venden dos tipos de billetes de entrada: el de adulto y el infantil. El s´abado se venden 1200 billetes de adulto y 1650 infantiles. El domingo de esa misma semana se expenden 1640 billetes de adulto y 2142 infantiles.

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Donde las cantidades se expresan en millones de pesetas. Cada a˜ no se incrementa el precio en un 10 %. a) Se˜ nala el significado del elemento a13 de la matriz.

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b) ¿Cu´al ser´a la matriz correspondiente despu´es de tres a˜ nos?. Se˜ nala sus dimensiones. c) Comenta brevemente los datos del enunciado. 9. Dos concesionarios, A y B, de una marca de autom´oviles, venden los modelos X, Y , Z. El volumen de ventas de cada modelo, en el mes de Enero, viene dado por la matriz:

A B

(

X Y Z ) 42 30 12 30 10 24

donde las cifras expresan millones de pesetas. Si en febrero se experimenta un 12 % de aumento en las ventas, en marzo un 10 % respecto del mes anterior, en abril un descenso del 8 %, igualmente respecto del mes anterior, en mayo de nuevo un 8 % de descenso y en junio un 18 % de aumento. a) Se˜ nala el significado del elemento a12 de la matriz. b) Determina mediante matrices el volumen total de ventas del semestre por modelo y concesionario. Analiza y comenta los resultados. 10. La cantidad de $ que cuestan en dos tiendas distintas A y matriz: A ( Jug 1 1,4 Jug 2 1,2

2 modelos de juguetes B, viene dado por la B ) 2,3 3,9

Si el primer a˜ no experimentan un aumento del 7 %, el segundo un aumento del 9 % con respecto al a˜ no anterior y el tercer a˜ no un descenso del 3 %, tambi´en con respecto al a˜ no anterior. Resolver el problema de forma matricial y contestar mediante una matriz cu´al ser´a el precio de ambos juguetes al final de los 3 a˜ nos en cada jugueter´ıa. 11. Una compa˜ n´ıa de muebles fabrica butacas y mecedoras de tres modelos: E, modelo econ´omico; M , modelo medio y L, de lujo. En el mes de Enero la compa˜ n´ıa vendi´o 500 000 PTAS en modelos E, 1 500 000 PTAS en modelos M y 1 000 000 PTAS en modelos L de butacas, y 1 200 000 en modelos E, 800.000 en modelos M y 560 000 en modelos L de mecedoras. a) Representa en una matriz 3 × 2 dicha informaci´on. Si en febrero se experimenta un 12 % de aumento en las ventas, en marzo un 10 % respecto del mes anterior, en abril un descenso del 8 %, igualmente respecto del mes anterior, en mayo de nuevo un 8 % de descenso, y en junio un 18 % de aumento. Determina mediante matrices: b) El Volumen de ventas en el mes de Junio. Analiza y comenta los resultados.

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c) El volumen total de ventas del semestre de butacas y mecedoras seg´ un el modelo. Analiza y comenta los resultados. 12. Un proveedor A de aparatos de televisi´on en color tiene 7 aparatos de 14 pulgadas, 18 de 21, 6 de 24 y 10 de 26 y un proveedor B tiene 5 de 14 pulgadas, 12 de 21, 7 de 24 y 4 de 26. Los precios de cada uno de ellos son: 29 950, 55 000, 65 000 y 110 000 PTAS, respectivamente. Expresa, por medio de matrices, el precio total de venta de cada proveedor. 13. Una cadena de grandes almacenes tiene 4 tiendas, A, B, C y D. Vende tres tipos de perfumes, 1, 2 y 3, a 1200, 2500 y 1800 PTAS, respectivamente. En un momento determinado, la tienda A tiene 24 frascos del tipo 1, 12 del tipo 2 y 14 del 3, La tienda B, 16, 12 y 32, respectivamente. Tambi´en respectivamente, ´ltimo, las cifras correla tienda C, 40, 10 y 30. Por u spondientes a D son 28, 18 y 26. a) Disp´on estos datos en forma de matrices y se˜ nala sus dimensiones. b) Se˜ nala y di el significado del elemento W12 . c) Averigua, con ayuda de las matrices, cu´ales ser´an los ingresos totales obtenidos por la venta de perfumes en cada tienda. 14. Tres agentes de bolsa, Pedro, Jorge y Mar´ıa, tienen acciones de tres importantes grupos bancarios: BCP, BBVA y Santander. Pedro tiene 18, 20 y 50 acciones, Jorge, 25, 32 y 28 acciones, y Mar´ıa, 10, 51 y 42 acciones, respectivamente. a) Disp´on organizadamente estos datos mediante una matriz. b) Se˜ nala el elemento a23 del apartado anterior e interpr´etalo. c) Si en el momento de venderlas, ´estas se encuentran a 5 900 soles, 3 075 soles y 6 650 soles cada una, respectivamente, calcula matricialmente cu´al ser´a el importe total en soles que recibir´an los 3 agentes de bolsa. Analiza y comenta el resultado final. 15. Un constructor hace una urbanizaci´on con tres tipos acabados: Superlujo (S), Lujo (L) y normal N ). De cada tipo piensa hacer A (Pisos), B (Apartamentos) y C (Estudios). De superlujo piensa construir 10 pisos, 12 apartamentos y 3 estudios, de Lujo, respectivamente, 12, 20, y 7 y viviendas normales 34, 47 y 11, respectivamente. Cada piso tiene 8 ventanas y 7 puertas, cada apartamento 6 ventanas y 5 puertas y cada estudio 9 ventanas y 3 puertas. a) Escribe una matriz P que exprese el n´ umero de cada tipo de vivienda seg´ un los acabados y otra umero de puertas y matriz M que describa el n´ ventanas en cada tipo de vivienda.

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b) Calcular una matriz que exprese el n´ umero de puertas y ventanas que son necesarias en cada tipo de acabado. 16. A una serie de conferencias internacionales han asistido los siguientes delegados de los diversos pa´ıses: En el primer semestre, por Estados Unidos han acudido 10 a la conferencia de “desarme”, 5 a la ponencia sobre la “capa de Ozono” y 3 a la de “Econom´ıa mundial”. Por Rusia se han presentado 8, 3 y 12 y por parte de la Comunidad Econ´omica Europea 2, 15 y 20 respectivamente. En el segundo semestre, por Estados Unidos han acudido 15 a la conferencia de “desarme”, 6 a la ponencia sobre la “capa de Ozono” y 2 a la de “Econom´ıa mundial”. Por Rusia se han presentado 10, 4 y 15 y por parte de la Comunidad Econ´omica Europea 12, 5 y 14 respectivamente. a) Disp´on, organizadamente, estos datos mediante matrices. b) Calcula matricialmente cu´al es el n´ umero total de delegados, a lo largo del a˜ no, que han asistido a cada conferencia seg´ un los pa´ıses. c) Si la dietas estipuladas por asistir a una conferencia de desarme, capa de Ozono y econom´ıa mundial son, respectivamente, $100, $200 y $300, calcula matricialmente cu´anto tendr´a que pagar a cada pa´ıs, en total, la entidad organizadora. Comenta y analiza los resultados. d ) Si se celebran 3 a˜ nos consecutivos est´as reuniones, con los mismos asistentes y con las mismas dietas, calcula matricialmente cuanto se le pagar´a en total a cada pa´ıs. 17. Tres personas, A, B y C, que salen de compras, entran en una tienda a comprar fruta. A compra 12 naranjas, 5 melocotones, 20 manzanas, 6 pl´atanos y tres limones, B compra 20 naranjas, 3 melocotones, 10 manzanas y 4 pl´atanos, C compra 10 naranjas, 10 melocotones y 12 pl´atanos. Supongamos que las naranjas cuestan 10 soles cada una, los melocotones 20 soles cada uno, las manzanas 8 soles la pieza, los pl´atanos 6 soles la unidad y los limones 5 soles. a) Prop´on una matriz P que resuma los productos que compra cada persona y se˜ nala sus dimensiones. b) Prop´on una matriz M que indique los precios por unidad de cada producto. c) Calcula, mediante matrices, la cantidad total de dinero gastada por cada persona. Analiza y comenta los resultados. d ) Sabiendo que la cotizaci´on del EURO est´a en 1 EURO = 3.03 soles, ¿Cu´antos EUROS se gast´o en total cada persona?. Resu´elvelo mediante matrices.

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e) Si hiciesen esta misma compra durante 7 d´ıas. Calcula, mediante matrices, la cantidad de cada pieza comprada a lo largo de este periodo de tiempo. 18. Una f´abrica de coches produce utilitarios, descapotables, deportivos y furgonetas. En estos momentos en la regi´on hay 3 concesionarios: Oviedo, Gij´on y Avil´es. En un determinado momento en Oviedo hay 10 utilitarios, 2 descapotables, 3 deportivos y 5 furgonetas. En Gij´on, respectivamente, 2, 4, 5 y 16; y en Avil´es, tambi´en respectivamente, 23, 2, 6 y 13. Los descapotables tienen un precio de 3 millones, los deportivos de 4 millones, las furgonetas de 2 millones y los utilitarios de 1 mill´on. a) Disp´on estos datos organizadamente en forma de matriz. b) Se˜ nala el significado del elemento a23 en ambas matrices. c) ¿Cu´ales ser´an los ingresos totales obtenidos por la venta de los coches en cada concesionario?. Analiza y comenta los resultados. 19. Una f´abrica de muebles produce dos modelos de madera, A y B, en tres terminaciones: R, S y T . Del modelo A produce: 350 unidades en la terminaci´on R, 1750 unidades en la terminaci´on S y 40 unidades en la terminaci´on T . Produce del modelo B: 290 unidades en la terminaci´on R, 90 unidades en la terminaci´on S y 21 unidades en la terminaci´on T . La terminaci´on R lleva 12 horas de taller y 1 hora de ventas. La terminaci´on S lleva 14 horas de taller y 1,5 horas de ventas. La terminaci´on T lleva 15 horas de taller y 1,43 horas de ventas. a) Representa la informaci´on en dos matrices. b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de ventas empleadas para cada uno de los modelos. 20. Un administrador puede adquirir las cantidades requeridas de libretas, l´apices, gomas, bol´ıgrafos y cajas de folios de tres proveedores. Los precios de cada proveedor para los materiales vienen dados por la matriz   80 15 7 22 450 A = 90 14 5 22 457 90 15 6 21 500 donde cada fila se refiere a un proveedor y la columna a los materiales, en el orden dado anteriormente. El administrador quiere adquirir todos los materiales de un pedido al mismo proveedor. Actualmente va a hacer tres pedidos: el pedido 1 tiene 21 libretas, 5 l´apices, 5 gomas 4 de bol´ıgrafos y 4 cajas de folios; el pedido 2 necesita 16, 0, 8, 9 y 3 y el pedido 3 necesita 31, 11, 21, 11 y 13 unidades respectivamente. a) Resume esta informaci´on en dos matrices A y E se˜ nalando sus dimensiones.

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b) Se˜ nala y di el significado de los elementos a13 y e12 c) Formar la matriz que nos indique los precios totales que cada proveedor presupuestara para cada pedido. d ) ¿Que proveedor debe abastecer “teoricamente” cada pedido? 21. Una peque˜ na empresa editorial lanza al mercado un mismo t´ıtulo en tres encuadernaciones diferentes: piel, cart´on y r´ ustica. Cada encuadernaci´on necesita las siguientes cantidades: un libro con tapas de piel requiere 7 unidades de material, 10 personal, 5 impuestos y 2 de transporte; la de cart´on 8, 9, 3. 3 respectivamente y la r´ ustica 5, 7 2 y 1. Semanalmente existe una producci´on de 60 unidades de piel, 40 de cart´on y 90 r´ ustica; El coste de cada unidad de material es de 5 soles, la de personal 15 soles, la de impuestos 7 soles y la de transporte 2 soles. a) Disp´on estos datos en forma de matrices C, P y V , se˜ nalando sus dimensiones. b) Calcula las unidades semanales necesarias de cada concepto (materiales, personal, impuestos y transporte). Comenta y analiza los resultados. c) Los costes de un libro con cada tipo de encuadernaci´on. Comenta y analiza los resultados. 22. Una empresa elabora tres tipos de productos A, B y C, combinando libretas, pl´astico y pintura. La composici´on de una unidad de cada tipo de producto es la siguiente: Producto A B C

Madera (gr) 150 100 200

Pl´astico 100 150 80

Pintura 50 25 30

Durante la semana pasada la empresa ha elaborado 3 unidades de producto A, 2 de producto B y 5 de producto C. a) Disp´on estos datos en forma de matriz, se˜ nalando sus dimensiones y comentando el elemento a12 de cada matriz. b) Utilizando el c´alculo matricial, obt´en la cantidad total de madera, pl´astico y pintura utilizados en una semana. Comenta los resultados. c) Utilizando el c´alculo matricial, obt´en la cantidad total de madera, pl´astico y pintura utilizados en cada producto en una semana. Comenta los resultados. d ) Si se elaboran este mismo n´ umero de unidades durante 5 semanas ¿Cu´al es la cantidad total de libretas, pl´astico y pinturas utilizadas.

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23. En una academia de idiomas se imparte ingl´es y alem´an en cuatro niveles y dos modalidades: grupos normales y grupos reducidos. La matriz   130 160 120 80   A= 210 130 100 60 expresa el n´ umero de personas de cada grupo, donde la primera columna corresponde a los cursos de ingl´es, la segunda a los de alem´an y las filas, a los niveles primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente. Las columnas de la matriz ( ) 0,2 0,25 0,4 0,75 B= 0,8 0,75 0,6 0,25 reflejan el porcentaje de estudiantes (com´ un para ambos idiomas) que siguen curso reducido (primera fila) y curso normal (segunda fila) para cada uno de los niveles. a) Obt´en la matriz que proporciona el n´ umero de estudiantes por modalidad e idioma b) Sabiendo que la academia cobra 3000 soles por persona en grupos reducidos y 2000 soles por persona en grupo normal, halla de forma matricial la cantidad ingresada en cada uno de los idiomas. 24. Un IES tiene que hacer un pedido de bol´ıgrafos, libros, hojas para fotocopiadora y transparencias. Para ello tiene tres proveedores: Almacenes P´erez, Gr´aficas Z y El avilesino. Les pide precios por unidad de lo que necesitan y les dan los siguientes: Almacenes P´erez les cobra 235 soles por cada bol´ıgrafo, 556 soles por libro, 469 soles por el paquete de hojas y 1575 soles por las cajas de transparencias. Gr´aficas Z, 295, 450, 500 y 1800 soles, mientras que El avilesino, 325, 470, 400 y 1300 soles, respectivamente. Si el pedido consta de 120 bol´ıgrafos, 100 libros, 250 paquetes de hojas y 25 cajas de transparencias: a) Disp´on organizadamente estos datos mediante matrices. b) Se˜ nala el elemento a13 de cada matriz e interpr´etalo. c) ¿Calcula matricialmente cu´al ser´a el presupuesto total que presenta cada almac´en al instituto?. d ) Si tienes que pagar un 6 % de IVA. Calcula matricialmente cu´al ser´a el presupuesto final que ofrece cada proveedor. e) Comenta los resultados y sugiere cu´al ser´a el proveedor m´as adecuado. 25. En una confiter´ıa elaboran tres tipos de tarta (A, B y C), cuyos ingredientes b´asicos son: harina, almendra

Lic. Mat. Jos´e Orlando Namuche Paiva

´ ´ MATEMATICA BASICA

y az´ ucar. Una tarta de tipo A contiene 100 gr. de harina, 200 de almendra y 100 de az´ ucar; una de la variedad B contiene 150, 120 y 80 gr. de cada ingrediente, respectivamente; una tarta de tipo C contiene 200 de harina, 150 de almendra y 90 gr. de az´ ucar. Cierto d´ıa, se consumieron en la elaboraci´on de las tartas 10 kg. de harina, 8.9 de almendra y 5.3 de az´ ucar.

los zapatos se venden a $40 el par y las botas a $60 el par, encu´entrese el ingreso m´aximo. 30. Sup´ongase que los requerimientos m´ınimos mensuales para una persona son 60 unidades de carbohidratos, 40 de prote´ına y 35 de grasa. Dos alimento A y B contienen el n´ umero de unidades de los tres componentes de dieta por libra.

a) Plantear un sistema para determinar el n´ umero de tartas elaboradas de cada variedad. A B

b) Expresar ese sistema matricialmente. c) ¿Cu´antas tartas se elaboraron ese d´ıa de cada variedad. Resu´elvelo por el m´etodo de la matriz inversa? 26. Una compa˜ n´ıa hace un producto en dos l´ıneas de montaje, A y B. Hay disponible una fuerza laboral de 900 horas por semana y los costos semanales no deben exceder a $1 500. Lleva 4 horas producir un art´ıculo en la l´ınes de montaje A y 3 horas en la l´ınea de montaje B. El costo por art´ıculo en la l´ınea A es de $5 y el la l´ınea B es de $6. Encu´entrese el mayor n´ umero de art´ıculos que se pueden producir en una semana. 27. Una refiner´ıa de petr´oleo tiene una producci´on m´axima de 2 000 barriles de petr´oleo diarios. Produce dos tipos de petr´oleo; el tipo A que es utilizado para gasolina y el tipo B que es utilizado para calefacci´on. Hay un requerimiento de que al menos 300 barriles del tipo B sean producidos cada d´ıa. Si la utilidad es de $3 por barril del tipo A y $2 por barril del tipo B, encu´entrese la utilidad m´axima diaria. 28. Un fabricante de remolques desea determinar cu´antas unidades de casas rodantes y cu´antas casas remolque debe producir para ser el mejor uso posible de sus recursos. Tiene 42 unidades de madera, 56 semanas-obrero de trabajo y 16 unidades de aluminio. (sup´ongase que todos los otros recursos necesarios est´an disponibles y no influyen en su decisi´on.) La cantidad necesaria de cada recurso para producir casa rodante o cada remolque se da a continuaci´on.

Por camper Por trailer

Madera 3 6

Semanas-trabajadas 7 7

8

Carbohidratos 5 2

Prote´ına 3 2

Grasa 5 1

Si el alimento A cuesta $3.00 por libra y el alimento B cuesta $1.40 por libra, ¿cu´antas libras de cada uno deber´a adquirir una persona al mes para minimizar el costo? 31. Un campesino tiene 100 acres aprovechables para la siembra de avena y trigo. Las semillas de avena cuestan $5 por acre y las semillas de trigo cuestan $8 por acre. Los costos laborables son de $20 por ecre para la avena y de $12 por acre para el trigo. El campesino espera un ingreso de $220 por acre de avena y de $250 de trigo por acre. ¿Cu´antos acres de cada cosecha deber´a sembrar para maximizar su utilidad, si no desea gastar m´as de $620 para las semillas y $1800 para mano de obra?. 32. Un fabricante produce dos productos A y B. Por cada unidad vende que vende de A la ganancia es de $8 y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $11. De la experiencia se ha encontrado que puede ser vendido 25 % m´as de A que de B. Para el a˜ no siguiente el fabricante desea una ganancia total de $42, 000.¿Cu´antas unidades de cada producto debe vender?.

33. Un fabricante produce tres art´ıculos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es uno, dos y tres d´olares, respectivamente. Los costos fijos son de $17, 000 por a˜ no y los costos de producci´on por cada unidad son $4, $5 y $7, respectivamente. El a˜ no siguiente ser´an producidas y vendidas un total de 11, 000 unidades entre los tres productos y se obtenAluminio dr´a una utilidad total de $25, 000. Si el costo total 3 ser´a de $80, 000, ¿cu´antas unidades de cada producto 1 deber´an producirse en a˜ no siguiente?.

Si el fabricante obtiene una utilidad de $600 en una casa rodante y $800 en un remolque, ¿cu´al deber´a ser su producci´on para maximizar su utilidad? 29. Un zapatero tiene un surtido de 100 pies cuadrados de piel tipo A que es utilizada para suelas y de 600 pies cuadrados de piel tipo B utilizado para el resto del zapato. El zapatero promedio utiliza 14 pies cuadrados de la piel del tipo A y 1 pie cuadrado de la piel del tipo B. La bota promedio utiliza 14 pies cuadrados y 3 pies cuadrados de piel del tipo A y B respectivamente. Si

34. Escritorios nacionales tiene plantas para la producci´on de escritorios en la costa de Este y en la Oeste. En la planta de la costa Este, los costos fijos son $20, 000 por a˜ no y el costo de producci´on de cada escritorio es no siguiente la compa˜ n´ıa quiere producir de $80. El a˜ un total que de 800 escritorios. Determine la producci´on de cada planta para el a˜ no pr´oximo si el costo total de cada una debe ser el mismo.

Lic. Mat. Jos´e Orlando Namuche Paiva