• Author / Uploaded
• Andrea Esneydi Lara Aleman

• Categories
• Centro de masa
• Masa
• Integral
• Gravedad
• Sistema de coordenadas Cartesianas

Citation preview

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

“PRIMEROS MOMENTOS: CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD” PROFESOR ING. LUIS GUILLERMO GONZÁLEZ REYES

SECCIÓN 03 INTEGRANTES DEL EQUIPO FRAGA LÓPEZ ABRAHAM NEGRETE GONZÁLEZ AXEL LARA ALEMÁN ANDREA ESNEYDI VALDOVINOS LÓPEZ MARIO VEGA MORENO LUIS ALBERTO

1

ÍNDICE INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 3 OBJETIVO............................................................................................................... 4 MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL ..................................................................... 5 PESO ................................................................................................................... 5 CENTRO DE MASA ............................................................................................. 5 CENTRO DE GRAVEDAD ................................................................................... 5 CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL ............................. 6 PROBLEMAS ........................................................................................................ 27 APLICACIONES .................................................................................................... 29 CONCLUSIÓN ...................................................................................................... 30 BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................... 31 LIBROS .............................................................................................................. 31 SITIOS WEB ...................................................................................................... 31

2

INTRODUCCIÓN Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza llamada W, denominada fuerza de gravedad y aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. En este tema se aprenderá como determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas. En la primera parte del capítulo se describen cuerpos bidimensionales como placas planas y alambres que están contenidos en uno plano dado. Se introduce dos conceptos que están muy relacionado con la determinación del centro de gravedad de una placa o de un alambre. También se aprenderá el cálculo de un área de una superficie de revolución o el volumen de un cuerpo de revolución. Está directamente relacionado con la determinación del cetroide de la línea o del área utilizado para generar dichas superficies o cuerpos de revolución (teorema de Pappus-Guldinus) Al final del capítulo se aprenderá como determinar tanto el centro de gravedad de cuerpos tridimensionales como el centroides de un volumen y los primeros momentos de dicho volumen con respecto de los planos coordenados

3

OBJETIVO El objetivo principal de este proyecto es dar a conocer el uso del cálculo diferencial en la vida cotidiana, aplicando los límites, y así demostrar que están presentes en cosas tan simples como la reflexión de un objeto. Demostrar la aplicación del cálculo diferencial en el proyecto presentado a continuación. Demostrar el uso de la formula encontrada, para comprobar su efectividad en la práctica. Descubrir que es lo que pasa cuando los espejos están en 0° Conocer las propiedades de los límites

4

MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL Para poder determinar los centros de masa, los centros de gravedad, los centroides de cuerpos geométricos así como las coordenadas es necesario conocer los siguientes conceptos:

PESO Es la fuerza resultante con la que la Tierra atrae a todas las partículas que constituyen un cuerpo.

CENTRO DE MASA El centro de masa, es el punto donde se encuentra ubicada la masa total de un cuerpo o un sistema.

CENTRO DE GRAVEDAD El centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. El equilibrio será estable cuando la vertical que pasa por el centro de gravedad caiga dentro de su base de sustentación.

5

CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA Para un sistema de partículas Centro de gravedad. El centro de gravedad G es un punto que ubica el peso resultante de un sistema de partículas. Para mostrar cómo determinar este punto, considere el sistema de n partículas fijas dentro de una región del espacio como se muestra en la figura 9-1a. Los pesos de las partículas comprenden un sistema de fuerzas paralelas' que puede ser reemplazado por un solo peso resultante (equivalente) que tenga el punto G de aplicación definido. Para encontrar las coordenadas x,) I, z de G, debemos usar los principios delineados en la sección 4.9. *Esto no es estrictamente cierto, ya que los pesos no son paralelos entre sí; más bien son concurrentes al centro de la Tierra. Además, la aceleración g de la gravedad es realmente diferente para cada partícula ya que depende de la distancia del centro de la Tierra a la partícula. Sin embargo, para todo fin práctico, generalmente estos dos efectos pueden ser ignorados. Esto requiere que el peso resultante sea igual al peso total de toda la n partículas; es decir, WR=EW La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas con respecto a los ejes x, y, y z es entonces igual al momento del peso de la resultante con respecto a esos ejes. Así, para determinar la coordenada x de G, podemos sumar momentos con respecto al eje y. Esto resulta En xWR = XIWl + X2W2 +... + xnWn De la misma manera, sumando momentos con respecto al eje x, podemos obtener la coordenada y; es decir yWR = YIWl + Y2W2 +... + YnWn

6

Aunque los pesos no producen un momento con respecto al eje z, podemos obtener la coordenada z de G imaginando al sistema coordenado, con las partículas fijas en él, como si estuviera girado 90° con respecto al eje x (o al y), figura 9-1b. Sumando momentos con respecto al eje x, tenemos,

Podemos generalizar estas fórmulas, y escribirlas simbólicamente en la forma (9-1)

Aquí, x, y, z x, y, z EW Representan las coordenadas del centro de gravedad G del sistema de partículas. Representan las coordenadas de cada partícula presente en el sistema. Es la suma resultante de los pesos de todas las partículas presentes en el sistema. Estas ecuaciones son recordadas fácilmente si se tiene en mente que sólo representan un balance entre la suma de los momentos de los pesos de cada partícula del sistema y el momento del peso resultante para el sistema. Centro de masa. Para estudiar problemas que implican el movimiento de materia bajo la influencia de una fuerza, esto es, la dinámica, es necesario localizar un punto llamado centro de masa. Si la aceleración debida a la gravedad g para cada partícula es constante, entonces W =mg. Sustituyendo en las ecuaciones 9-1 y cancelando g en el numerador y el denominador resulta

7

Por comparacion resulta .entonces,la ubicación del centro de gravedad coincide con la del centro de masa .Sin embargo, recuerden que las particulas tienen ‘’peso’’unicamente bajo la la influencia de una atraccion gravitatoria,mientras que el centro de masa es independiente de la gravedad .por ejemplo,no tendria sentido definir el centro de gravedad de un sistema de particulas que representasen los planetas de nuestro sistema solar,mientras que el centro de masa de este sistema si es importante. Centroide. El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su ubicación puede ser ‘determinada a partir de fórmulas similares a las usadas para encontrar el centro de gravedad del cuerpo o centro de masa. En particular, si el material que compone un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo, y, por tanto, este término saldrán de las integrales y se cancelará a partir de los numeradores y denominadores de las ecuaciones 9-4. Las fórmulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya que son independientes del peso del cuerpo y dependen sólo de la geometría de éste. Consideraremos tres casos específicos. Volumen. Si un objeto es subdividido en elementos de volumen dV, figura 9-3, la ubicación del centroide C(x, y, z) para el volumen del Objeto puede ser determinada calculando los "momentos" de los elementos con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Las fórmulas resultantes son

8

Área. De manera similar, el centroide del área superficial de un objeto, como una placa o un cascarón, figura 9-4, se pueden encontrar subdividiendo el área en elementos dA y calculando los "momentos" de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados, esto es,

Línea. Si la simetría del objeto, tal como la de una barra delgada o la de un alambre, toma la forma de una línea, figura 9-5, el equilibrio de los momentos de los elementos diferenciales dL con respecto a cada uno de los ejes coordenados resulta en

Recuerde que al aplicar las ecuaciones de la 9-4 a la 9-7 es mejor ele-gir un sistema coordenado que simplifique tanto como sea posible la ecuación usada para describir la frontera del objeto. Por ejemplo, las coordenadas polares generalmente son más apropiadas para áreas que tengan fronteras circulares. Los términos X, y, z en las ecuaciones se refieren a los "brazos de momento" o coordenadas del centro de gravedad o centroide del elemento diferencial usado. De ser posible, este elemento diferencial debe elegirse de manera que tenga un tamaño diferencial o espesor en sólo una dirección. Cuando se hace así, sólo es requerida una integración simple para cubrir toda la región. Simetría. Los centroides de algunas formas o perfiles pueden ser parcial o completamente especificados usando condiciones de simetría. En los casos donde la forma tenga un eje de simetría, el centroide de la forma se encontrará a lo largo

9

de ese eje. Por ejemplo, el centroide C para la línea mostrada en la figura 9-6 debe encontrarse a lo largo del eje y, puesto que para toda longitud elemental dL a una distancia + x a la derecha del eje y hay un elemento idéntico a una distancia -x a la izquierda. Por tanto, el momento total para todos los elementos con respecto al eje de simetría se cancelará; esto es, Jx dL = O (Ecuación 9-7), por lo que x = O. En los casos donde una forma tenga dos o tres ejes de simetría, se infiere que el centroide se encuentra en la intersección de esos ejes, figuras 9-7 y 9-8.

10

PRIMEROS MOMENTOS DE ÁREAS Y LÍNEAS

Esta ecuación definen las coordenadas x y y del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son X y Y también se conoce como el centroide C del área A de la placa La ∫ 𝑥 𝑑𝐴 se conoce como el primer momento del área A con respecto al eje y y se representa con 𝑄𝑦. En forma similar, la ∫ 𝑦 𝑑𝐴 define el primer momento de A con respecto al eje x y se representa con 𝑄𝑥. Así se escribe

Los primeros momentos del área A pueden ser expresados como los productos del área con las coordenadas de su centroide.

Con estas ecuaciones se concluye que Las coordenadas del centro de de un área pueden obtenerse al dividir los primeros momentos de dicha área entre el área misma. Los primeros momentos de un área también son los útiles en la mecánica de materiales para determinar los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales. A partir de estas ecuaciones se observa que si el centroide de un área está localizado sobre un eje coordenado, entonces el primer momento del área con respecto a ese eje es igual a cero. De manera inversa, si el primer momento de un área con respecto a un eje coordenado es igual a cero, entonces el centroide del área está localizado sobre ese eje. Se pueden utilizar relaciones similares a partir de las ecuaciones anteriores para definir los primeros momentos de una línea con respecto a los ejes coordenados y

11

para expresar dichos momentos como los productos de la longitud L de la línea y las coordenada x y y de su centroide. Se dice que un área A es simétrica con respecto de un eje BB’ si para todo el punto P del área existe un punto P y dicha línea está dividida en dos partes iguales por el eje de cuestión.

Si una área o una

línea posee dos ejes de simetría su

centroide C debe estar localizado en la intersección de esos dos ejes

esta

propiedad permite determinar de inmediato el centroide de áreas como círculos, elípticos, cuadrados, rectángulos, triángulos equiláteros u otras figuras geométricas.

12

PLACAS Y ALAMBRES COMPUESTOS En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras formas comunes. La abscisa X de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de las abscisas x1,x2,…,xn de los centros de gravedad de las diferentes partes de constituyen la placa, expresando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje Y es igual a la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje. La ordenada Y del centro de gravedad de la placa se encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al eje X. Así se escribe: ∑My: X_(W1 _ W2 _ _ _ _ _ Wn) _ x_1W1 _ x_2W2 _ _ _ _ _ x_nWn ∑Mx: Y_(W1 _ W2 _ _ _ _ _ Wn) _ y_1W1 _ y_2W2 _ _ _ _ _ y_nWn

∑My : ∑X W

∑x W

∑Mx : ∑Y

∑y W

W

O en forma condensada

X∑W =∑xW Y∑W =_y_W

13

DETERMINACIÓN DE CENTROIDES DE INTEGRACIÓN TEOREMA DE PAPPUS-GULDINUS Los dos teoremas de Pappus y Guldinus, que fueron desarrollados primero por Pappus de Alejandría durante el tercer siglo de la era cristiana y luego reformulados por el matemático suizo Paul Guldin o Guldinus (1577-1643), se usan para encontrar el área superficial y el volumen de cualquier objeto de revolución. Un área superficial de revolución es generada al girar una curva plana alrededor de un eje fijo no intersecante en el plano de la curva; en cambio, un volumen de revolución es generado al girar un área plana al-rededor de un eje fijo no intersecante en el plano del área. Por ejemplo, si la línea AB mostrada en la figura 9-20 es girada alrededor de un eje fijo, genera el área superficial de un cono (menos el área de la ba-se); si el área triangular ABC mostrada en la figura 9-21 es girada alre-dedor del eje, genera el volumen de un cono. A continuación, se proporcionan los enunciados y las pruebas de los teoremas de Pappus y Guldinus. Las pruebas requieren que las curvas y áreas generatrices no crucen el eje alrededor del cual giran; de otra manera, dos secciones situadas a cualquier lado del eje generarían áreas o volúmenes con signos opuestos y, por tanto, se cancelarían entre sí.

Área de una superficie. El área de una superficie de revolución es igual al producto de la longitud de la curva generatriz y la distancia recorrida por el centroide de la curva al generar el área superficial.

Prueba. Cuando una longitud diferencial dL de la curva que muestra la figura 9-22 es girada alrededor de un eje a través de una distancia de 27T L, la longitud genera un anillo que tiene área superficial dA = 27Tr dL. El área superficial completa, generada al girar la curva entera con respecto al eje, es por tanto A = 27T fLr dL. Sin embargo, esta ecuación puede ser simplificada al advertir que la posición r del

14

centroide para la línea de longitud total L puede ser determinada a partir de una ecuación que tiene la forma de las ecuaciones 9-7, es decir, fLr dL = rL. Así, el área superficial total es A = 27Tr L. En general, si la línea no sufre una revolución completa, entonces,

Donde A = área superficial de revolución

15

() = ángulo de revolución medido en radianes, () = 27T r = distancia perpendicular del eje de revolución al centroide de la curva generatriz L = longitud de la curva generatriz Volumen. El volumen de un cuerpo de revolución es igual al producto del área generatriz y la distancia recorrida por el centroide del área al generar el volumen. Prueba. Cuando el área diferencial dA que muestra la figura 923 es girada alrededor de un eje a través de una distancia de 21Tr, genera un anillo con volumen dV = 21Tr dA. El volumen total, generado al girar A alrededor del eje, es por tanto V = 21T Jvr dA. Aquí, la integral puede ser eliminada usando una ecuación análoga a las ecuaciones 9-6, Jvr dA = r A, donde r localiza el centroide e del área generatriz A. El volumen se convierte entonces en V = 21Tr A. En general, (9-10)

Donde V = volumen de revolución O = ángulo de revolución medido en radianes, O =21T r = perpendicular distancia perpendicular desde el eje de revolución al centroide del área generatriz A = área generatriz Formas compuestas. También podemos aplicar los dos teoremas anteriores a líneas o áreas que pueden estar compuestas por una serie de partes componentes. En este caso, el área superficial o volumen generado total es la suma de las áreas superficiales o volúmenes generados por cada una de las partes componentes. Como cada parte sufre el mismo ángulo de revolución, O, y la distancia desde el eje

16

de

revolución

al

centroide

de

cada

parte

componente es r, entonces A = OE (rL) (9-11) y V = OE (rA) (9-12)

17

CARGAS DISTRIBUIDAS DE VIGAS El concepto del centroide de un área puede utilizarse para resolver otros problemas distintos a los relacionados con los pesos de placas planas. Por ejemplo, considérese una viga que soporta una carga distribuida; esta carga puede estar constituida

por

el

peso

de

los

materiales

soportados directa o indirectamente por la viga o puede ser ocasionada por el viento o por una presión hidrostática. La carga distribuida puede representarse al graficar la carga w soportada por unidad de longitud (figura 5.17); esta carga está expresa da en N/m o en lb/ft. La magnitud de la fuerza ejercida sobre un elemento de viga de longitud dx es dW =w dx, y la carga total soporta da por la viga es:

Se observa que el producto w dx es igual en magnitud al elemento de área dA mostrado en la figura 5.17a. Por tanto, la carga W es igual en magnitud al área total A bajo la curva de carga: W = ∫ dA = A Ahora se procede a determinar dónde debe aplicarse,

sobre

la

viga,

una

sola

carga

concentrada W, de la misma magnitud W que la carga distribuida total, si se de ben producir las mismas reacciones en los apoyos (figura 5.17b). Sin embargo, debe aclararse que esta carga concentrada W, la cual representa la resultante de la carga distribuida dada, es equivalente a esta última sólo cuando se considera el diagrama de cuerpo libre de toda la viga. El punto de aplicación P de la carga concentrada equivalente W se obtiene expresando que el momento de W con respecto a un punto O es igual a la suma de los momentos de las cargas elementales dW con respecto a O:

18

(OP)W = ∫ x dW O, como dW = w dx = dA y W = A,

Puesto que la integral representa el primer momento con respecto al eje w del área bajo la curva de carga, ésta puede ser reemplazada por el producto x_A. Por tanto, se tiene que OP = x_, donde x_ es la distancia desde el eje w hasta el centroide C del área A (nótese que dicho centroide no es el centroide de la viga). En este sentido, una carga distribuida que actúa sobre una viga puede reemplazarse por una carga concentrada, la magnitud de dicha carga es igual al área bajo la curva de carga y su línea de acción pasa a través del centroide de dicha área. Sin embargo, se debe señalar que la carga concentrada es equivalente a la carga distribuida dada sólo en lo que respecta a las fuerzas externas.

19

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS El procedimiento usado en la sección anterior puede emplearse para determinar la resultante de las fuerzas de presión hidrostática ejercidas sobre una superficie rectangular sumergida en un líquido. Considérese la placa rectangular mostrada en la figura 5.18, la cual tiene una longitud L y un ancho b, donde b se mide perpendicular al plano de la figura. Como se señaló en la sección 5.8, la carga ejercida sobre un elemento de la placa de longitud dx es w dx, donde w es la carga por unidad de longitud. Sin embargo, esta carga también puede expresarse como p dA = pb dx, donde p es la presión manométrica en el líquido† y b es el ancho de la placa; por tanto, w = bp. Como la presión manométrica en un líquido es p =h, donde = es el peso específıco del líquido y h es la distancia vertical a partir de la superficie libre, se concluye que: w = bp = b ỵ h lo cual demuestra que la carga por unidad de longitud w es proporcional a h y, por tanto, varía linealmente con x. De acuerdo con los resultados de la sección 5.8, se observa que la resultante R de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre un lado de la placa es igual en magnitud al área trapezoidal bajo la curva de carga y su línea de acción pasa a través del centroide C de dicha área. El punto P de la placa donde se aplica R se conoce como el centro de presión.‡ A continuación se consideran las fuerzas ejercidas por un líquido sobre una superfıcie curva de ancho constante (figura 5.19a). Como la determinación por integración directa de la resultante R de dichas fuerzas podría no ser fácil, se considera el cuerpo libre obtenido por la separación del volumen de líquido ABD el cual está limita do por la superficie curva AB y por las dos superficies planas AD y DB como se

20

muestra en la fıgura 5.19b. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre ABD son el peso W del volumen de líquido separado, la resultante R1 de las fuerzas ejercidas sobre AD, la resultante R2 de las fuerzas ejercidas sobre BD y la resultante _R de las fuerzas ejercidas por la superficie curva sobre el líquido. La resultante _R es igual y opuesta y tiene la misma línea de acción que la resultante R de las fuerzas ejercidas por el líquido sobre la superficie curva. Las fuerzas W, R1 y R2 se pueden determinar mediante los métodos convencionales; una vez que se han encontrado estos valores, la fuerza _R se obtiene al resolver las ecuaciones de equilibrio para el cuerpo libre de la figura 5.19b. Entonces la resultante R de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre la superficie curva se obtiene invirtiendo el sentido de _R. Los métodos presentados en esta sección pueden emplearse para determinar la resultante de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre las superfıcies de presas y de compuertas rectangulares y álabes. †La presión p, la cual representa una carga por unidad de área, se expresa en N/m2 o en lb/ft2. La unidad derivada del SI N/m2 recibe el nombre de pascal (Pa). ‡Observe que el área bajo la curva de carga es igual a wEL, donde wE es la carga por unidad de longitud en el centro E de la placa y de acuerdo con la ecuación (5.13), se puede escribir:

Donde A representa el área de la placa. Por tanto, se puede obtener la magnitud de R si se multiplica el área de la placa por la presión en su centro E. Sin embargo, la resultante R debe ser aplicada en P, no en E.

21

CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO TRIDIMENSIONAL. CENTROIDE DE UN VOLUMEN El centro de gravedad G de un cuerpo tridimensional de obtiene dividiendo el cuerpo en pequeños elementos ΣF: -wj= Σ(-∆wj) Σmo: rx(-wj)= Σ[rx(-∆wj)] Donde: W: peso r: vector de posición del origen al centro de gravedad del volumen R: vector de posición del origen a cualquier punto del volumen ∆wj: pesos de los elementos pequeños Incrementando el número de elementos y disminuyendo el tamaño de estos W=∫ dw

Descomponiendo en vectores r y R en sus componentes rectangulares Si el cuerpo está hecho de un material homogéneo de peso específico y, la magnitud “dw” del peso de un elemento infinitesimal se puede expresar en términos del volumen “dV de dicho elemento y la magnitud del peso total (W) puede expresarse en términos del volumen total (V):

22

Dw=ydv

W=yv

Sustituyendo dW y W en la segunda relación Rv = ∫ rdv

Xv= ∫ xdv

Yv= ∫ ydv

Zv= ∫ zdv

El punto cuyas coordenadas a x, y, z, también se le conoce como es centroide del volumen del cuerpo. La integral ∫ xdv se conoce como el primer momento con respecto al eje y z. Las Integrales ∫ ydv y ∫ zdv defienden cada uno de los primeros momentos en los planos x z x y respectivamente.

23

CUERPOS COMPUESTOS

24

DETERMINACIÓN DE CENTROIDES DE VOLÚMENES POR INTEGRACIÓN EL centroide de un volumen limitado por superficies analíticas se puede determinar al evaluar las integrales dadas en la sección 5.10: xV= ∫ d xV

ӯV= ∫ y dv

zV= ∫ z dV (5.22)

Si el elemento de volumen dV se selecciona de manera que sea igual a un pequeño cubo de lados dx, dy y dz, la evaluación de cada una de estas integrales requiere una integración triple. Sin embargo, es posible determinar las coordenadas del centroide de la mayoría de los volúmenes utilizando integración doble si dV se selecciona de tal forma que sea igual al volumen de un fılamento delgado (figura 5.22). Entonces, las coordenadas del centroide del volumen se obtienen reescribiendo las ecuaciones (5.22),

y sustituyendo después las expresiones dadas en la fıgura 5.22 para el volumen dV y para las coordenadas x_el, y_el y z_el. Si se utiliza la ecuación de la superfıcie para expresar a z en términos de x y y, la integración se reduce a una integración doble en x y y. Si el volumen en consideración posee dos pla nos de simetría, su centroide debe estar localizado sobre la línea de intersección de los dos planos. Seleccionando al eje x de manera que coincida con esta línea se tiene

y la única coordenada que se tiene que determinar es x_. Esto se puede realizar con una sola integración dividiendo el volumen dado en placas delgadas paralelas al plano yz y expresando a dV en términos de x y dx en la ecuación x

25 Para un cuerpo de revolución las placas son circulares

PROBLEMA RESUELTO Determine la ubicación del centro de gravedad del cuerpo de revolución homogéneo que se muestra en la figura, el cual se obtuvo al unir una semiesfera y un cilindro y removiendo un cono.

SOLUCIÓN Debido a la simetría, el centro de gravedad se encuentra sobre el eje x, como se muestra en la figura que se presenta a continuación. El cuerpo puede obtenerse sumándole una semiesfera a un cilindro y después restándole un cono. El volumen y la abscisa del centroide de cada una de estas componentes se obtienen a partir de la figura 5.21 y se introduce en la tabla que aparece a continuación. Entonces, se determinan el volumen total del cuerpo y el primer momento de dicho volumen con respecto al plano yz.

componente Volumen, mm3 Semiesfera

Cilindro Cono

X, Xv, mm4 mm −10.18 𝑋 10 ½ 4∏/3 (60)3=0.4524 x 22.5 10 +50 ∏(60)2(100) +56.55 𝑋 10 = 1.1310 𝑥 10 -∏/3 (60)2(100)= +75 −28.28 X 10 -0.3770 x 10 ∑𝑉 = 1.206 𝑋 10 ∑𝑥𝑉 = +18.09 𝑋 10

Por lo tanto, X∑V= ∑XV :

X(1.206 X 10 mm3) = 18.09 X 10 mm4 X= 15 mm◄

26

PROBLEMAS

27

Donde A representa el área de la placa. Por tanto, se puede obtener la magnitud de R si se multiplica el área de la placa por la presión en suuna centro E. Sin embargo, la resultante Una viga soporta carga distribuida como lo muestra la figura;Ra) determine ladebe cargaser concentrada equivalente aplicada en P, no eny E.b) determine las reacciones en los apoyos. PROBLEMA:

SOLUCION: a) Carga concentrada equivalente. La magnitud de la resultante de la carga es igual al área bajo la curva de carga y la línea de acción de la resultante pasa a través del centroide de dicha área. Se divide el área bajo la curva de carga en dos triángulos y se construye la tabla que se presenta a continuación. Para simplificar los cálculos y la tabulación, las cargas por unidad de longitud dadas se han Por tanto, convertido a kN/m. x∑A=∑Xa : x(18 kN) = 63 kN • m x= 3.5 m

La carga equivalente es: W=18kN↓◄ y su línea de acción está localizada a una distancia

x=3.5 m ala derecha de A ◄ b) Reacciones. La reacción en A es vertical y se representa con A; la reacción en B está representada por sus componentes Bx y By. Como se muestra en la figura, la carga dada se puede considerar como la suma de dos cargas triangulares. La resultante de cada carga triangular es igual al área del triángulo y actúa en su centroide. Se escriben las siguientes ecuaciones de equilibrio para el cuerpo libre mostrado:

±∑Fx =0 :

Bx

= 0◄ ∑Ma = 0 :

-(4.5 Kn)(4m)- (13.5 Kn)(4m)+ By(6m) =0

28

APLICACIONES

29

CONCLUSIÓN x

30

BIBLIOGRAFÍA LIBROS Johnston Russell E.; Beer P. Ferdinand, 2010, “Mecánica Vectorial para Ingenieros: Estática” (9ª Edición), Editorial McGraw-Hill.

SITIOS WEB http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/nayive/mr10_web/tema2_centroides.pdf ecánica vectorial para ingenieros décima edición Russel C. Hibbeler.

31