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• Wilson Rivera Flores

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MECÁNICA

ESTÁTICA Y DINÁMICA Centroides y Centros de Gravedad

INTRODUCCIÓN

E S T Á T I C A

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D I N Á M I C A

Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo. De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, hemos aprendido que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W. Por lo que nos falta aprender a determinar el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas, el cual es llamado Centro de Gravedad.

INTRODUCCIÓN

E S T Á T I C A

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D I N Á M I C A

En primera instancia se describen cuerpos bidimensionales como placas planas y alambres que están contenidos en un plano dado. Se introducen dos conceptos que están muy relacionados con la determinación del centro de gravedad. 1. Concepto de centroide 2. y el concepto del primer momento, con respecto a un eje dado.

CENTROS DE GRAVEDAD Para iniciar, consideraremos una placa plana horizontal, la cual puede dividirse en n elementos pequeños. E S T Á T I C A

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CENTROS DE GRAVEDAD

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D I N Á M I C A

Las coordenadas del primer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se representan con x2 y y2 y así sucesivamente. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con W1, W2, . . . , W n. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos:

CENTROS DE GRAVEDAD Para obtener las coordenadas x e y del Centro de Gravedad, que es donde debe aplicarse la resultante W, se debe calcular los momentos respecto al eje x e y, esto es: E S T Á T I C A

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D I N Á M I C A

Si ahora, incrementamos el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa, lo que ocurre es que el tamaño de cada elemento disminuye y calculando el límite cuando W  0, se obtienen las siguientes expresiones:

Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x e y del centro de gravedad G de una placa plana.

CENTROIDES DE ÁREAS Se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como: E S T Á T I C A

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D I N Á M I C A

donde W es el peso de la placa,  es el peso específico, t es el espesor y A es el área total de la placa. Usando unidades Inglesas, se debe expresar el peso específıco en lb/ft3, el espesor t en ft y las el Área A en ft2, así el peso W estará expresado en libras. Si se usan las unidades del SI, se debe expresar  en N/m3, el espesor en metros y a el área A en m2, así, el peso W estará Newton. Si se sustituye W en las ecuaciones de momento por tA, y luego dividimos todos los términos por t, obtenemos la siguiente expresión:

CENTROIDES DE ÁREAS

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D I N Á M I C A

Al igual que en el caso del Centro de Gravedad, si incrementamos el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento A y calculamos el límite cuando A  0, se obtienen las siguientes expresiones:

Estas ecuaciones definen las coordenadas x e y del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son x e y también se conoce como el centroide C del área A de la placa. Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, éstas aún definen al centroide del área.

CENTROIDES DE ÁREAS

E S T Á T I C A

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D I N Á M I C A

MOMENTOS DE PRIMER ORDEN La integral xdA en las ecuaciones del centroide, se conoce como el primer momento del área A, respecto al eje y, y se representa con Qy. E S T Á T I C A

En forma similar, la integral ydA, define el primer momento de A, respecto al eje x y se representa como Qx. Así, se puede escribir las siguientes formulas:

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D I N Á M I C A

Si comparamos las ecuaciones del centroide con las del primer momento del área A, se observa que los primeros momentos pueden ser expresados como los productos del área con las coordenadas de su centroide, así:

MOMENTOS DE PRIMER ORDEN

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D I N Á M I C A

A partir de las ecuaciones anteriores se concluye que las coordenadas del centroide de un área pueden obtenerse al dividir los primeros momentos de dicha área entre la misma área. Los primeros momentos de un área también son útiles en la mecánica de materiales para determinar los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales. Por último, se observa que si el centroide de un área está localizado sobre un eje coordenado, entonces el primer momento del área con respecto a ese eje es igual a cero; de manera inversa, si el primer momento de un área respecto a un eje coordenado es igual a cero, entonces el centroide del área está localizado sobre ese eje.

EJES DE SIMETRÍA

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Se dice que un área A es simétrica con respecto a un eje BB si para todo punto P del área existe un punto P de esa misma área tal que la línea PP’ sea perpendicular a BB’ y dicha línea está dividida en dos partes iguales por el eje en cuestión. Cuando un área A posee un eje de simetría BB’, su primer momento con respecto a BB’ es igual a cero y su centroide está localizado sobre dicho eje. si un área A poseen un eje de simetría, su centroide C está localizado sobre dicho eje.

EJES DE SIMETRÍA

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Además, se debe señalar que si un área o una línea posee dos ejes de simetría, su centroide C debe estar localizado en la intersección de esos dos ejes. Esta propiedad permite determinar de inmediato el centroide de áreas como círculos, elipses, cuadrados, rectángulos, triángulos equiláteros u otras figuras simétricas.

SIMETRÍA DE UN ÁREA RESPECTO A UN PUNTO

E S T Á T I C A

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D I N Á M I C A

Se dice que un área A es simétrica con respecto a un centro O si para cada elemento de área dA de coordenadas x e y existe un elemento de área dA de igual superficie con coordenadas -x y -y. Entonces, se concluye que las integrales de las ecuaciones de momentos de primer orden son iguales a cero: Qx = Qy = 0 También, a partir de las ecuaciones del Centroide, se concluye que x = y = 0, esto es, que el centroide del área coincide con su centro de simetría O.

SIMETRÍA DE UN ÁREA RESPECTO A UN PUNTO

E S T Á T I C A

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D I N Á M I C A

Se debe señalar que una figura con un centro de simetría no necesariamente posee un eje de simetría y que una figura con dos ejes de simetría no necesariamente tiene un centro de simetría. Sin embargo, si una figura posee dos ejes de simetría que son perpendiculares entre sí, el punto de intersección de dichos ejes es un centro de simetría. A continuación, se presenta una tabla con las figuras geométricas más comunes.

TABLA DE CENTROIDES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

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TABLA DE CENTROIDES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

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CENTROIDES DE FIGURAS COMPUESTAS

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En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras de las formas comunes mostradas en la Tabla Anterior. La abscisa X de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de las abscisas x1, x2, . . . , xn, de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje y, es igual a la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje. La ordenada Y del centro de gravedad de la placa se encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al eje x. Así, se escribe:

CENTROIDES DE FIGURAS COMPUESTAS

E S T Á T I C A

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También se puede escribir de la siguiente forma: D I N Á M I C A

Estas ecuaciones se pueden resolver para las coordenadas de X e Y, que representan el centro de gravedad del área o de la placa.

CENTROIDES DE FIGURAS COMPUESTAS

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Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centroide C de su área. La abscisa X del centroide del área puede determinarse observando que el primer momento Qy del área compuesta con respecto al eje y puede expresarse como el producto de X con el área total y como la suma de los primeros momentos de las áreas elementales con respecto al eje y. La ordenada Y del centroide se encuentra de forma similar, considerando el primer momento Qx del área compuesta. Así, se tiene que:

CENTROIDES DE FIGURAS COMPUESTAS

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D I N Á M I C A

Estas ecuaciones proporcionan los primeros momentos del área compuesta o pueden utilizarse para obtener las coordenadas X e Y de su centroide.

Se debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada área. Los primeros momentos de áreas, al igual que los momentos de las fuerzas, pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo: Un área cuyo centroide está localizado a la izquierda del eje y tendrá un primer momento negativo respecto a dicho eje. Además, al área de un agujero se le debe asignar un signo negativo.

EJERCICIOS

E S T Á T I C A

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Para las siguientes figuras, encontrar la ubicación del centroide. D I N Á M I C A

EJERCICIOS

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EJERCICIOS

E S T Á T I C A

Para las dos figuras mostradas, el eje horizontal x se traza a través del centroide C y divide al área mostrada en dos áreas componentes A1 y A2. Determine el primer momento de cada área componente respecto del eje x, y explique los resultados obtenidos.

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EJERCICIOS

E S T Á T I C A

Para las dos figuras mostradas, el eje horizontal x se traza a través del centroide C y divide al área mostrada en dos áreas componentes A1 y A2. Determine el primer momento de cada área componente respecto del eje x, y explique los resultados obtenidos.

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