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• Cristhian Vallejo

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Centroides, Centros de Gravedad y Centro de Masa El centroide Es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular o, figuras geométricas no muy conocidas por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente. Centro de Gravedad Punto de aplicación de la fuerza peso en un cuerpo y que es siempre el mismo sea cual sea la posición del cuerpo. Para determinar el centro de gravedad hay que tener en cuenta que toda partícula de un cuerpo situada cerca de la superficie terrestre está sometida a la acción de una fuerza dirigida verticalmente hacia el centro de la Tierra llamada fuerza gravitatoria. Calculo de Centroide, Centro de Gravedad Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales Si se trata de un cuerpo bidimensional se puede dividir ase ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye el este en n elementos pequeños. Las fuerzas o pesos que tamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, las se ejercen por los cuerpos, están dirigidos hacia elsiguientes expresiones: centro de la Tierra, representados por ∆𝑊1 , ∆𝑊2 , … ∆𝑊𝑛 , 𝑊 = ∫ 𝑑𝑊 𝑥̅ 𝑊 = ∫ 𝑥 𝑑𝑊 𝑦̅𝑊 = ∫ 𝑦 𝑑𝑊 sin embargo se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por lo tanto, su resultado es una sola fuerza Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas 𝑥̅ y 𝑦̅ en la misma dirección. La magnitud W se obtiene adel centro de gravedad G de un cuerpo plano. Se pueden partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los derivar las mismas ecuaciones para un alambre o línea que se elementos encuentra en el plano xy. ∑ 𝐹𝑛 :

𝑊 = ∆𝑊1 + ∆𝑊2 + ⋯ + ∆𝑊𝑛

Para obtener las coordenadas 𝑥̅ y 𝑦̅ del punto G, donde debeEl centro de gravedad de un alambre coincide con el aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de Wcentroide C de la línea L que define la forma del alambre. Las con respecto a los ejes y y x son iguales a la suma de los coordenadas 𝑥̅ y 𝑦̅ del centroide de la línea L se obtienen a momentos correspondientes de los pesos elementales, esto partir de las ecuaciones es: 𝑥̅ 𝐿 = ∫ 𝑥 𝑑𝐿 𝑦̅𝐿 = ∫ 𝑦 𝑑𝐿 ∑ 𝑀𝑦 :

𝑥̅ 𝑊 = 𝑥1 ∆𝑊1 + 𝑥2 ∆𝑊2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ∆𝑊𝑛

∑ 𝑀𝑥 :

𝑦̅𝑊 = 𝑦1 ∆𝑊1 + 𝑦2 ∆𝑊2 + ⋯ + 𝑦𝑛 ∆𝑊𝑛

Momentos de Inercia Cualquier cuerpo que gira alrededor de un eje presenta inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su momento de inercia, que no es más que la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro. El momento de inercia desempeña en la rotación un papel equivalente al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si una catapulta lanza una piedra pequeña y una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande. El momento de inercia, es similar a la inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puede pensarse como una nueva definición de la masa. El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el momento de inercia también depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanto más lejos esta del centro de rotación, mayor es el momento de inercia.

Así pues, si como representa en la figura, las coordenadas del centro del elemento diferencial dA son (x,y), el momento de inercia respecto del eje X es la suma de los productos de cada área dA por el cuadrado de su brazo de momento y, por tanto: 𝐼𝑥 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴

Momento Polar de Inercia El momento polar de inercia de un área respecto de un eje perpendicular a su plano se llama momento polar de inercia, y se representa por Ip (o Io). Si tomamos la figura, el momento de inercia de un área cualquiera delimitada en el plano XY respecto del eje Z perpendicular a XY viene dada por:

𝐼𝑥 = Momento de inercia respecto al eje x

𝐼𝑝 = 𝐼𝑜 = 𝐼𝑧

Y análogamente, el momento de inercia respecto al eje Y será:

𝐼𝑜 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝐴 = ∫(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝐴

𝐼𝑦 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴

𝐼𝑜 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴 + ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴

𝐼𝑦 =Momento de inercia respecto al eje y

𝐼𝑜 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦

Las unidades de Ix e Iy son de una longitud a la cuarta, y cabe referir que el valor es siempre positivo ya que la distancia que aparecen en la integral esta elevada al cuadrado, y en cuanto al diferencial de área, un valor negativo carece de significado físico.

Esto quiere decir que el momento polar de inercia de un área respecto de un eje perpendicular a su plano es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de dos ejes perpendiculares contenidos en dicho plano y que pasen por el punto de intersección del eje polar y del plano.