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• Adan Dominguez Robledo

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UNIDAD IV

CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD



Cuerpo Rígido Sabemos que el cuerpo rígido es un sistema de partículas en el cual cada uno de sus constituyentes mantiene su distancia relativa respecto a los otros. Cuando el cuerpo rígido se encuentra inmerso en el campo gravitacional terrestre, éste actúa sobre cada una de las partículas del sistema de tal forma que la fuerza de atracción sobre el cuerpo es la suma de las fuerzas sobre cada uno de los constituyentes. Sin embargo, el efecto total del campo gravitacional puede representarse por una fuerza equivalente aplicada en un punto especial del espacio llamado centro de gravedad.

4.1. CONCEPTOS GENERALES El centro de gravedad puede definirse como un punto tal que el momento de fuerza gravitacional total sobre el cuerpo rígido es nulo. En otras palabras, el centro de gravedad es un punto en el cual el campo gravitacional terrestre no produce un momento sobre el cuerpo rígido. Este punto puede encontrarse dentro o fuera del cuerpo a considerar. De las cuatro interacciones fundamentales (Fuerza Nuclear fuerte, Fuerza Electromagnética, Fuerza Nuclear débil, Fuerza Gravitatoria), la Gravedad es una fuerza de atracción central ejercida por la tierra sobre cada partícula de una distribución o de un cuerpo finito. La fuerza resultante de esta interacción se conoce como Peso y se localiza en su centro de gravedad o en el centroide, este punto puede estar en el interior o en el exterior del cuerpo. Para cuerpos rígidos de densidad uniforme, el centro de gravedad coincide con el centro de masa, cuando se analiza la interacción de una placa o alambre nos referimos a su centroide. CONCEPTOS Centroide. - lugar geométrico que depende de la forma del sistema, tiene coordenadas de acuerdo a la posición que ocupe en el espacio. Existen centroides de línea, de área y de volumen. Centro de gravedad. - es el punto donde se encuentra aplicada la resultante de la suma de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre cada una de las partículas del cuerpo. Si el cuerpo es simétrico y homogéneo, la resultante de todas las fuerzas gravitatorias se localizará en su centroide. Centro de masa. - se localiza en aquel punto en el cual para cualquier plano que pasa por él los momentos de las masas a un lado del plano son iguales a los momentos de las masas del otro lado. Masa. - es la cantidad de materia que contiene un cuerpo. la masa es una medida absoluta de la materia, no depende de la gravedad y no cambia en ninguna condición. La masa de un cuerpo está relacionada con el número y clase de las partículas que lo forman. Peso. - se define como la fuerza de atracción que ejerce la Tierra o cualquier astro sobre un cuerpo, es decir, es la interacción entre la masa y la fuerza de gravedad. Densidad. - es la razón de la concentración de la masa, en una línea, superficie o volumen, para el caso de densidad volumétrica, se define como el cociente entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa. Las magnitudes extensivas son aquellas que varían en forma proporcional a la cantidad de materia que constituyen el cuerpo. A esta última categoría corresponden la masa, el peso, el volumen, el número de moléculas, etc.

4.2. CENTROIDE DE AREAS Y LINEAS. 4.2.1 Primer momento de áreas y líneas PRIMEROS MOMENTOS DE AREAS El primer momento de área o de primer orden, es una magnitud geométrica que se define para un área plana. El primer momento de área coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al Centroide del área. Considérese un cuerpo bidimensional constituido por n elementos. Cada uno de esos elementos tendrá las coordenadas (x1, y1), (x2, y2) etc. Sobre cada uno de ellos actuará una fuerza debido a su peso de magnitud W1, W2, etc. z

z

y

W2

y

W3 W 1 W6

W Wn

x

=

x y

𝑥̅ 𝑦̅

x

x



∆𝑊1 + ∆𝑊2 + ∆𝑊3 + ∆𝑊4 + ⋯ + ∆𝑊𝑛 = 𝑊

𝑊 = ∑𝑛𝑖=1 ∆𝑊𝑖

Momentos con respecto al eje “y”:

𝑊 ∗ 𝑥̅ = ∆𝑊1 𝑥1 + ∆𝑊2 𝑥2 + ⋯ + ∆𝑊𝑛 𝑥𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥∆𝑊

Momentos con respecto al eje “x”:

𝑊 ∗ 𝑥̅ = ∆𝑊1 𝑦1 + ∆𝑊2 𝑦2 + ⋯ + ∆𝑊𝑛 𝑦𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑦∆𝑊

𝑊𝑥̅ = ∑𝑖 𝑥𝑖 ∆𝑊𝑖

(1)

𝑥̅ = 𝑊 ∑𝑖 𝑥𝑖 ∆𝑊𝑖

𝑊𝑦̅ = ∑𝑖 𝑦𝑖 ∆𝑊𝑖

(2)

𝑦̅ = 𝑊 ∑𝑖 𝑦𝑖 ∆𝑊𝑖

Coordenadas del Centro de gravedad

Coordenadas en el Límite Continuo

Peso Total (Caso discreto)

1

1

𝑋𝐺 =

𝑋𝐺 =

1 𝑊

1 𝑊

𝑌𝐺 =

𝑊

∫ 𝑥𝑖 𝑑𝑊

𝑌𝐺 =

𝑊

𝑊 = ∑ 𝑊𝑖 , 𝑖

Peso Total (Caso continuo)

1

∑𝑖 𝑥𝑖 𝑊𝑖

𝑊 = ∫ 𝑑𝑊,

1

∑𝑖 𝑦𝑖 𝑊𝑖

∫ 𝑦𝑖 𝑑𝑊

Si se tiene una placa de espesor h y densidad uniforme ρ, el peso de un elemento de área A i está dado por 𝑊𝑖 = 𝜌𝑔ℎ𝐴𝑖 , donde: Wi = Peso de la placa  = Densidad t = Espesor de la placa A = área de la placa g = Aceleración de la gravedad  = Peso específico

𝜌𝑔 = 𝛾



𝑊𝑖 = 𝛾ℎ𝐴𝑖



𝑊𝑖 = 𝛾𝑉



𝛾=

Sustituyendo en 1.

(𝛾ℎ𝐴)𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖 𝛾ℎ∆𝐴𝑖



𝑥̅ 𝐴 =

𝑖

𝛾ℎ ∑𝑖 𝑥𝑖 ∆𝐴𝑖 𝛾ℎ



𝑥̅ 𝐴 = ∑ 𝑥𝑖 ∆𝐴𝑖

Cuando 𝑖 → 𝑛 = 𝛼

𝑥̅ 𝐴 = ∫ 𝑥𝑑𝐴

Llamando

𝑄𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝐴 Primer momento de área respecto al eje y

Con el mismo procedimiento llegamos al:

𝑄𝑥 = ∫ 𝑦𝑑𝐴 Primer momento de área respecto al eje x

𝑥̅ 𝐴 = 𝑄𝑦

y

𝑦̅𝐴 = 𝑄𝑥

𝑖

𝑊 𝑉

PRIMEROS MOMENTOS DE LINEAS

z

z

y

x

=

L1

y

y

𝑥̅

L

𝑦̅

x

x

𝑥𝑊 = ∫ 𝑥 𝑑𝑊



𝑥(𝛾 𝐴 𝐿) = ∫ 𝑥 𝛾 𝐴∆ 𝐿



𝑥𝐿 = ∫ 𝑥 ∆ 𝐿

𝑦𝑊 = ∫ 𝑦 𝑑𝑊



𝑦(𝛾 𝐴 𝐿) = ∫ 𝑦 𝛾 𝐴∆ 𝐿



𝑦𝐿 = ∫ 𝑦 ∆ 𝐿

̅𝑳 = ∫ 𝒙∆𝑳 𝒙

̅𝑳 = ∫ 𝒙∆𝑳 𝒙

4.2.2 Centroides de áreas y líneas por integración Cuando un área está limitada por curvas analíticas, las coordenadas de su Centroide pueden determinarse por integración. Esto se puede realizar evaluando las integrales dobles en las ecuaciones o evaluando una sola integral que emplea uno de los elementos del área que tienen la forma de un rectángulo delgado o de un fragmento del circulo delgado. Al representar con Xc y Yc las coordenadas de los centroides de elemento dA, se tiene que:

𝑋𝑐 =

1 ∫ 𝑥𝑑𝐴 𝐴

𝑌𝑐 =

1 ∫ 𝑦 𝑑𝐴 𝐴

Que es otra forma de calcular el centro de gravedad de un cuerpo de densidad uniforme. Las ecuaciones anteriores definen un punto geométrico llamado Centroide del área total A, de coordenadas (𝑥̅ , 𝑦̅). Es importante remarcar que el centroide coincide con el centro de gravedad sólo cuando el cuerpo presenta una densidad de masa uniforme. En el caso de que el cuerpo sea unidimensional, por ejemplo, un alambre, el Centroide del cuerpo está dado por:

𝑋𝑐 = 𝑌𝑐 =

1 ∫ 𝑥 𝑑𝐿 𝐿

1 ∫ 𝑦 𝑑𝐿, 𝐿

donde dL representa el diferencial de trayectoria. El Centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de fórmulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el Centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo, el Centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente. El centro de gravedad es el punto de aplicación de un cuerpo rígido donde al ubicar la resultante de las fuerzas los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de gravedad se sustituye por el Centroide del área, el cual considera las áreas de los elementos en vez de los pesos, las expresiones anteriores determinan las coordenadas centroides.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

Determinar las coordenadas del Centroide del triángulo rectángulo mostrado. y

a x b SOLUCIÓN: Sea la diferencial de área que se muestra y obtengamos su momento con respecto al eje “y” y

Por triángulos semejantes tenemos: 𝑎 𝑦 = 𝑏 𝑥 dA

a



x

𝑎 𝑥 𝑏

𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 𝑘𝑥 𝑏

𝐿𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘 =

y

𝑦=

La diferencial del área es:

dx x



𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥

𝑑𝐴 = 𝑘𝑥𝑑𝑥

b 𝑏

𝑏

∫ 𝑑𝐴 = 𝐴 = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥 = |𝑘 0

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑘 =

𝑎 𝑏

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 =

𝑎 𝑏2 𝑏 2



𝑨=

𝒂𝒃 𝟐

0

𝑥 2 𝑏 𝑘𝑏2 | = 2 0 2

𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠:

𝑥3 𝑥3 𝑏 𝑘 ∫0 𝑥(𝑘𝑥𝑑𝑥) 1 𝑏 𝑏 𝑏 2𝑥 𝑏 2𝑏 𝑋𝐶 = ∫ 𝑥𝑑𝐴 = = | 32 | = | 32 | = | | = 𝑏 𝑥 𝑥 𝐴 0 0 0 3 0 3 ∫0 𝑘𝑥𝑑𝑥 𝑘 2 2

𝑋𝐶 =

2 𝑏 3

Ahora obtengamos el momento de primer orden con respecto al eje “x” y 𝑘=

𝑎 𝑏

𝑦 = 𝑘𝑥

La diferencial del área es: a

dA

𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥

y/2



𝑑𝐴 = 𝑘𝑥𝑑𝑥

x dx x

𝐴=

b

𝑘𝑏 2 2



𝐴=

𝑎𝑏 2

𝑎𝑦 𝑥3 𝑎 𝑎 3 𝑘 ∫0 2 (𝑘𝑥𝑑𝑥) ∫0 𝑦(𝑥𝑑𝑥) 𝑘 ∫0 𝑥(𝑥𝑑𝑥) 1 𝑎 3 | 𝑎 = |𝑘𝑥 | 𝑎 = |𝑘𝑥 | 𝑎 = |𝑦| 𝑎 = 𝑎 𝑌𝐶 = ∫ 𝑦𝑑𝐴 = = = = | 𝑎 𝑎 𝑎 𝑥2 0 𝐴 0 3𝑥 2 0 3 0 3 0 3 2 ∫0 𝑥𝑑𝑥 2 ∫0 𝑥𝑑𝑥 ∫0 𝑘𝑥𝑑𝑥 2 2

1 𝑌𝑐 = 𝑎 3 Coordenadas del Centroide:

y

a C

𝑎ൗ 3 x

2𝑏ൗ 3 b

2𝑏 𝑎 𝐶( , ) 3 3

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Determinar el Centroide del área de la figura mostrada limitada ´por la curva analítica y = kx 2 y

h 𝑦 = 𝑘𝑥 2 x

a

SOLUCIÓN: Sea la diferencial de área que se muestra y obtengamos su momento con respecto al eje “y” y

Como sabemos que



𝑦 = 𝑘𝑥 2

𝑘=

𝑦 𝑥2

La diferencial del área es: 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥



h 2

𝑑𝐴 = 𝑘𝑥 𝑑𝑥

𝑦 = 𝑘𝑥

𝑥3 𝑎 𝑦 𝑥3 𝑎 ∫ 𝑑𝐴 = 𝐴 = ∫ 𝑘𝑥 2 𝑑𝑥 = |𝑘 | = | 2 | 3 0 𝑥 3 0 0 0 𝑎

𝐴=|

𝑏

𝑥𝑦 𝑎 | 3 0

2

dA

dx

x a

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = ℎ



𝑨=

𝒂𝒉 𝟑

𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 𝑥4 𝑥4 𝑎 𝑘 ∫0 𝑥(𝑘𝑥 2 𝑑𝑥) 1 𝑎 𝑎 𝑎 3𝑥 𝑎 3𝑎 𝑋𝐶 = ∫ 𝑥𝑑𝐴 = = | 43 | = | 43 | = | | = 𝑎 2 𝑥 𝑥 𝐴 0 0 0 4 0 4 ∫0 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝑘 3 3

3 𝑋𝐶 = 𝑎 4

y x

Ahora obtengamos el momento de primer orden con respecto al eje “x” y 𝑘=

𝑦 𝑥2

𝑦 = 𝑘𝑥 2

La diferencial del área es: h 𝑦 = 𝑘𝑥

𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥

2

dA

y/2

ℎ𝑦 ∫0 2 (𝑘𝑥 2 𝑑𝑥) 1 ℎ 𝑌𝐶 = ∫ 𝑦𝑑𝐴 = 𝑎 𝐴 0 ∫ 𝑘𝑥 2 𝑑𝑥

a

ℎ𝑦

𝑌𝐶 =

𝑘 ∫0

(𝑥 2 𝑑𝑥)

2 ℎ 𝑘 ∫0 𝑥 2 𝑑𝑥

0

ℎ

=

𝑑𝐴 = 𝑘𝑥 2 𝑑𝑥

Obteniendo momentos:

x

dx

x



∫0 𝑦(𝑥 2 𝑑𝑥) ℎ

2 ∫0 𝑥 2 𝑑𝑥

ℎ

=

∫0 𝑘𝑥 2 (𝑥 2 𝑑𝑥) ℎ

2 ∫0 𝑥 2 𝑑𝑥

𝑌𝑐 = Coordenadas del Centroide:

𝑥5 ℎ 3𝑘𝑥 5 ℎ 3𝑘𝑥 2 ℎ 3𝑦 ℎ 3ℎ = | 53 | = | | = | | =| | = 3 𝑥 0 10𝑥 0 10 0 10 0 10 2 3 𝑘

3 ℎ 10

y

h 𝑦 = 𝑘𝑥

2

3𝑎ൗ 4 a

3𝑎 3ℎ 𝐶( , ) 4 10

C

3ℎൗ 10

x

EJEMPLO ILUSTRATIVO 3

Localizar el centroide de la varilla doblada en forma de arco parabólico y

1m 𝑥 = 𝑦2

x 1m

SOLUCIÓN: y La diferencial de la línea curva trazada es tan pequeña que parece una recta. Formando un triángulo, tenemos:

𝑥 = 𝑦2

1m

x

dL

dL y

dx 𝑑𝐿 = √𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2

x 1m

𝑥 = 𝑦2

𝑑𝐿 = √𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 = √(

𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 + 1)𝑑𝑦 2 = √( 2 + 1) 𝑑𝑦 , 2 𝑑𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝐿 = √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦



1

𝑋𝑐 =

∫0 𝑥 𝑑𝐿 1 ∫0 𝑑𝐿

1

dy

𝑑𝑥 2 𝑑(𝑦 2 ) 2 ) =( ) = (2𝑦)2 = 4𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑦

1

∫0 𝑥(4𝑦 2 + 1)2 𝑑𝑦 1 ∫0 (4𝑦 2

1 2

+ 1) 𝑑𝑦

1

1

𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑥 = 𝑦 2

 𝑋𝐶 =

1

∫0 𝑦 𝑑𝐿 ∫0 𝑦 √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 𝑌𝑐 = = 1 𝐿 ∫ √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 0

𝑦 = √𝑥

1 1 𝐿 = ∫0 (4𝑦 2 + 1)2 𝑑𝑦

1

=

𝑝𝑒𝑟𝑜 (



∫0 𝑦 2 (4𝑦 2 + 1)2 𝑑𝑦 1

1

∫0 (4𝑦 2 + 1)2 𝑑𝑦 1

1



𝑌𝑐 =

∫0 𝑦(4𝑦 2 + 1)2 𝑑𝑦 1

1

∫0 (4𝑦 2 + 1)2 𝑑𝑦

Resolveremos las tres integrales:

I)

1

∫0 𝑦 2 √(4𝑦2 + 1)

𝑑𝑦

2y

 1

cos 𝜃 =

tan 𝜃 =

1



√(4𝑦 2 + 1)

2𝑦 1

 𝑦=

1 𝑦 = tan 𝜃 2 1

1

∫ 𝑦 2 √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = ∫ 0

0

tan 𝜃 2



sec 𝜃 = √(4𝑦 2 + 1)

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 2 =

𝑑𝑦 =

tan2 𝜃 4

1 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 2

tan2 𝜃 1 1 ∗ sec 𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 = ∫(𝑡𝑎𝑛2 𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃𝑑𝜃 4 2 8

1 1 1 ∫ 𝑦 2 √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = ∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1)𝑠𝑒𝑐 3 𝜃𝑑𝜃 = ∫(𝑠𝑒𝑐 5 𝜃 − 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃)𝑑𝜃 8 8 0

1

∫ 𝑦 2 √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = 0

1

∫ 𝑦 2 √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = 0

1 [∫(𝑠𝑒𝑐 5 𝜃)𝑑𝜃 − ∫(𝑠𝑒𝑐 3 𝜃)𝑑𝜃] 8

1 tan 𝜃 sec 𝜃 ln (sec 𝜃 + tan 𝜃 [(tan 𝜃 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃 − 3 ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝜃𝑠𝑒𝑐 3 𝜃𝑑𝜃) − ( + )] 8 2 2

1 1 (tan 𝜃 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃 tan 𝜃 sec 𝜃 ln (sec 𝜃 + tan 𝜃 1 ∫ 𝑦 2 √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = [ − − ] 8 4 8 8 0 0

3

1

∫ 𝑦

2

√(4𝑦 2

0

1 2𝑦(√(4𝑦 2 + 1)) 2𝑦√(4𝑦 2 + 1) ln (√(4𝑦 2 + 1) + 2𝑦 1 + 1) 𝑑𝑦 = [ − − ] 8 4 8 8 0

3

1

∫ 𝑦 0

2

√(4𝑦 2

𝑦(√(4𝑦 2 + 1)) 𝑦√(4𝑦 2 + 1) ln (√(4𝑦 2 + 1) + 2𝑦 + 1) 𝑑𝑦 = [ − − ] 16 32 64

1

∫ 𝑦 2 √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = 0.60634 0

1

II) ∫0 (4𝑦 2

1

+ 1)2 𝑑𝑦

2y

 1

sec 𝜃 = √(4𝑦 2 + 1)

tan 𝜃 =

1 𝑦 = tan 𝜃 2

2𝑦 1



 𝑦=

𝑑𝑦 =

tan 𝜃 2

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 2 =

tan2 𝜃 4

1 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 2

1 1 1 1 1 1 1 ∫ √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = ∫ sec 𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃𝑑𝜃 = [ (sec 𝜃 tan 𝜃) + (ln (𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃)] 2 2 2 2 2 0 0

1 1 1 ∫ √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = (sec 𝜃 tan 𝜃) + (ln(𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃) 4 4 0

1 1 1 ∫ √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = (√(4𝑦 2 + 1)2𝑦) + (ln (√(4𝑦 2 + 1) + 2𝑦) 4 4 0

1

∫ √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = 0

1

III) ∫0

1 1 (√(4𝑦 2 + 1) 𝑦) ∗ (ln (√(4𝑦 2 + 1) + 2𝑦) = 1.47894 2 4

1

𝑦(4𝑦 2 + 1)2 𝑑𝑦

1 ∫0 𝑦(4𝑦 2

+ 1)

1 2

1 𝑑𝑦= ∫0 (4𝑦 2 8 1

1 2

1 2

+ 1) (8𝑦𝑑𝑦) =

∫ 𝑦(4𝑦 + 1) 𝑑𝑦 = 0

En resumen: 1

I) ∫0

𝑦 2 √(4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = 0.60634

1

II) ∫0 (4𝑦 2 1

III) ∫0

1

+ 1)2 𝑑𝑦 = 1.47894 1

𝑦(4𝑦 2 + 1)2 𝑑𝑦 = 0.84836

3

1 2

(4𝑦 2 +1)2 1 | |0 3 8∗

3

=

2

3 (5) ൗ2

12

−

1 12

=

5√ 5 − 1 12

= 0.84836

(4𝑦 2 +1)2 | 12 | 10

1

1

𝑋𝐶 =

∫0 𝑦 2 (4𝑦 2 + 1)2 𝑑𝑦 1 2

1

∫0 (4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦

1

1

𝑌𝑐 =

=

∫0 𝑦(4𝑦 2 + 1)2 𝑑𝑦 1 2

1

∫0 (4𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦

=

0.60634 1.47894

0.84836 1.47894





𝑿𝑪 = 𝟎. 𝟒𝟏 𝒎

𝒀𝒄 = 𝟎. 𝟓𝟕 𝒎

y 𝑥 = 𝑦2

1m C

Yc

𝐶(0.41, 0.57) x Xc

1m

A continuación, se presentan los centroides de figuras comunes en ingeniería.

CENTROIDES DE LINEAS Figura Longitud

Descripción

Arco semicircular

𝑟

𝑦

𝒙

𝒚

𝐿 = 𝜋𝑟

0

𝑦=

2𝑟 𝜋

𝜋𝑟 2

𝑥=

𝑦=

2𝑟 𝜋

𝑟 𝑑

Un cuarto de arco circular

𝑟

𝑦

𝐿= 𝑥

2𝑟 𝜋

𝑟

𝑟

Arco de circulo

𝛼 𝛼

𝑥

𝐿 = 2𝛼𝑟

𝑥=

𝑟 sen 𝛼 𝛼

0

CENTROIDES DE ÁREAS Figura Área

Descripción

𝑎

Triángulo rectangular

𝑦

𝒙

𝐴=

𝑏𝑎 2

𝐴=

𝑏𝑎 2

𝐴=

𝜋𝑟 2 2

0

𝐴=

𝜋𝑟 2 4

𝑥=

𝐴=

𝜋𝑎𝑏 2

0

𝐴=

𝜋𝑎𝑏 4

𝑥=

𝐴=

4𝑎𝑏 3

0

𝑥

𝒚

1 𝑥= 𝑏 3

𝑦=

1 𝑎 3

𝑦=

1 𝑎 3

𝑦=

4𝑟 3𝜋

𝑦=

4𝑟 3𝜋

𝑦=

4𝑎 3𝜋

𝑦=

4𝑎 3𝜋

𝑦=

3𝑎 5

𝑏

𝑎

Triangular

𝑦 𝑏 2

𝑏

𝑟

Semicircular

𝑦 𝑟 𝑑

𝑟

Un cuarto de circulo

𝑦 𝑥

4𝑟 3𝜋

𝑟

𝑎

𝑦

Semieliptica

2𝑏

𝑎

Un cuarto de elipse

𝑦 𝑥

4𝑏 3𝜋

𝑏

𝑎

Parabólica

𝑦 2𝑏

Descripción

Figura

Semiparabólica

𝑎

𝒙

Área

2𝑏𝑎 3

𝑥=

3 𝑏 8

3 𝑦= 𝑎 5

𝐴=

𝑏𝑎 3

𝑥=

3 𝑏 4

𝑦=

𝐴=

𝜋𝑟 2 2

𝑥=

𝑛+1 𝑏 𝑛+2

𝐴 = 𝛼𝑟 2

𝑥=

2𝑟 sen 𝛼 3𝛼

𝐴=

𝑦

𝒚

𝑥 𝑏

Enjuta Parabólica

𝑎

𝑦 = 𝑘𝑥 2

𝑦 𝑥

3 𝑎 10

𝑏

𝑦 = 𝑘𝑥 𝑛

Enjuta general

𝑎

𝑦

𝑦=

𝑛+1 𝑎 4𝑛 + 2

𝑥 𝑏

𝑟 𝛼 𝛼

Sector circular 𝑥

Circulo

𝐴 = 𝜋𝑟 2

𝑟

𝑦

𝑥=𝑟

0

𝑦=𝑟

𝑥 𝑙

Cuadrado

𝑙

𝑦

𝐴 = 𝑙2

𝑥=

𝑙 2

𝑦=

𝑙 2

𝐴 = 𝑎𝑏

𝑥=

𝑏 2

𝑦=

𝑎 2

𝑥

𝑏

Rectángulo

𝑎

𝑦 𝑥

Descripción

CENTROIDES DE VOLÚMENES Figura Área

𝒙

𝒚

𝒛

𝑦=

1 ℎ 4

0

Pirámide

𝐴=

𝑏𝑎ℎ 3

0

Tetraedro rectángulo

𝐴=

𝑏𝑎ℎ 6

𝑥=

1 𝑏 4

𝑦=

1 ℎ 4

1 𝑧= 𝑎 4

Semicilindro

𝐴=

𝜋𝑟 2 𝐿 2

𝑥=

1 𝐿 2

𝑦=

4𝑟 3𝜋

0

Semiesfera

𝐴=

2𝜋𝑟 3 3

𝑥=

5𝑟 8

0

0

Semielipsoide de revolución

𝐴=

2𝜋𝑟 3 𝑎 3

𝑥=

5𝑟 8

0

0

Paraboloide de revolución

𝐴=

𝜋𝑟 2 𝑎 2

𝑥=

2𝑎 3

0

0

Cono

𝐴=

𝜋𝑟 2 𝑎 2

𝑥=

3𝑎 4

0

0

4.2.3 Centroides de áreas compuestas En ingeniería a veces tenemos que localizar el centroide de una figura por integración, por lo general ya se conocen los centroides de las figuras comunes los cuales se encuentran tabulados, pero con frecuencia tenemos que localizar el centroide de una figura compuesta. Un área compuesta, consiste en una serie de áreas más simples conectados entre sí, estas figuras simples pueden ser como las mostradas en la tabla anterior. Por lo tanto, podemos dividirla en sus partes componentes y, si se conocen el peso o el área y la ubicación de cada una de esas partes, es posible eliminar la necesidad de la integración para determinar el centroide o centro de gravedad del área total. Las áreas y momentos estáticos del área compuesta pueden calcularse sumando las propiedades correspondientes de las partes componentes. Para hallar el centroide de un área compuesta, se divide en sus “n” partes compuestas, se determinan las coordenadas del centroide de cada parte y se calcula las coordenadas del centroide de la figura total, empleando las siguientes ecuaciones:

𝑥̅ =

𝑄𝑦 𝐴

=

∑𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 𝐴𝑖

𝑦̅ =

∑𝑛 𝑖=1 𝐴𝑖

𝑄𝑥 𝐴

=

∑𝑛 𝐼=1 𝑦𝑖 𝐴𝑖 ∑𝑛 𝐼=1 𝐴𝑖

Para este tipo de figuras compuestas, sus coordenadas centroidales se pueden calcular empleando la técnica de la Matriz o tabla centroidal, es una tabla donde se ordena la información básica que caracteriza una figura. Para ello hay que seguir los pasos que a continuación se dictan: 1. En la primera columna se hará la descripción de cada figura básica que conforman el área total. 2. En la segunda columna se indican sus áreas de cada área de las figuras componentes. 3. En la tercera y cuarta columna se muestran las proyecciones de los centros geométricos sobre un sistema de referencia definido para la figura, para “x” y “y” respectivamente. 4. En la quinta y sexta columna se multiplican cada área por su respectiva coordenada centroidal con respecto a X y a Y. 5. Considerar la ausencia de un área por medio de una resta (es útil cuando se tienen recortes u orificios en la figura)

MATRIZ CENTROIDAL Descripción Figura 1 Figura 2 … Figura n Total:

Áreas A1 A2

Xi X1 X2

Yi Y1 Y2

An

Xn

Yn

Ai

Xi Ai X1 A1 X2 A2 Xn An

Yn An

 Xi Ai

 Yi Ai

Esto nos lleva al cálculo del centroide de la figura original:

𝑥̅ =

∑𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 𝐴𝑖 ∑𝑛 𝑖=1 𝐴𝑖

𝑦̅ =

Yi Ai Y1 A1 Y2 A2

∑𝑛 𝐼=1 𝑦𝑖 𝐴𝑖 ∑𝑛 𝐼=1 𝐴𝑖

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4

20 cm

40 cm

Localizar el Centroide de la siguiente placa: r = 10 cm

30 cm

:

5 cm 15 cm

15 cm

15 cm

SOLUCIÓN: Y

Se tienen las siguientes figuras simples: 1) Triángulo isósceles 30(15) 𝐴= = 225 𝑐𝑚2 2 2) Triángulo rectángulo 40(30) 𝐴= = 600 𝑐𝑚2 2 3) Rectángulo 𝐴 = 20(30) = 600 𝑐𝑚2

20 cm

40 cm

r = 10 cm

30 cm

o

X

5 cm 15 cm

15 cm

4) Semicírculo (recorte) 𝜋(10)2 −𝐴 = − = −157.08 𝑐𝑚2 2

15 cm

Colocando el sistema coordenado en el punto ”o” 40 cm o

15 cm y

o

1 (15) = 5 3

y 15 cm

x

15 cm

Dónde: x = -40/3 cm

Dónde:

10 cm

1 (30) = 10 3

1 (40) 3

10 cm

Dónde: x = -15-(-10) = -25 cm, y =-15-(-5) = -20 cm

Dónde:

x

y = -15 – (-10) = -5 cm

10 cm 10 cm

x = 10+10 – 4.24

x = 10 cm x = 15.76 cm y = 0 cm

y o

y = 0 cm

x

y

o

4𝑟 40 = = 4.24 𝑐𝑚 3𝜋 3𝜋 x

Descripción

Áreas

Xi

Yi

Xi Ai

Yi Ai

225 cm2

-25 cm

-20 cm

-5,625 cm3

-4,500 cm3

600 cm2

-40/13 cm

-5 cm

-1,846.15 cm3

-3,000 cm3

600 cm2

10 cm

0

6,000 cm3

0

-157.08 cm2

15.76 cm

0

-2,475.58 cm3

0

-9,946.73 cm3

-7,500.00 cm3

…

Total:

𝑥̅ = 𝑦̅ =

1,267.92 cm2

∑𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 𝐴𝑖 ∑𝑛 𝑖=1 𝐴𝑖

=

∑𝑛 𝐼=1 𝑦𝑖 𝐴𝑖 ∑𝑛 𝐼=1 𝐴𝑖

−9946.73 1267.92

=

−7500 1267.92

= −7.8 𝑐𝑚 = −5.9 𝑐𝑚

y 20 cm

40 cm

r = 10 cm

30 cm

C

o 5 cm

15 cm

15 cm

15 cm

x

𝐶 (−7.8, −5.9)

4.2.4 Aplicación a fuerzas distribuidas Cuando se aplica una fuerza distribuida uniformemente sobre un cuerpo, ésta puede ser reemplazada por una fuerza equivalente, aplicada en un punto especial, de forma análoga al peso del cuerpo que puede concentrarse en el centro de gravedad. Considere una fuerza distribuida de manera uniforme sobre una viga. No nos preocuparemos en estos momentos de la naturaleza de dicha fuerza. Se está considerando que la forma funcional de la función de fuerza, w, está dada por la curva de la figura abajo. W(x)

A

B L1 L2 L

w(x)

dW

A

B dx x

𝑑𝑊 = 𝑤(𝑥)𝑑𝑥 En ese caso, la fuerza total distribuida sobre la viga está dado por 𝐿2

𝑊 = ∫ 𝑤 𝑑𝑥. 𝐿1

Si olvidamos por un momento que la función w es una función de fuerza y nos concentramos en la gráfica de la función en el plano cartesiano veremos que el producto w dx es un elemento de área, y que el área total bajo la función w está dado por 𝐿2

𝐴 = ∫ 𝑤 𝑑𝑥, 𝐿1

que es igual a la fuerza total aplicada sobre la viga. Siguiendo esta analogía podemos darnos cuenta que el punto P donde se puede concentrar la fuerza total coincide con el centroide de la figura que forma el área bajo la curva w, es decir, 1 𝐿2 𝑃 = ∫ 𝑥 𝑑𝐴. 𝐴 𝐿1

W

C

A

B

𝑥̅ En resumen, una carga de magnitud W distribuida de manera uniforme sobre una viga puede reemplazarse por una carga de la misma magnitud, aplicada en el centroide del área formada por la curva de distribución de la carga.

Por ejemplo, se desea encontrar el valor de las fuerzas reactivas de la viga A-B que tiene una carga uniformemente repartida como se muestra en la siguiente figura:

𝑤 = 6 𝐾𝑁ൗ𝑚 A

B

3m

2m

2.5 m

Observamos que las cargas distribuidas forman dos figuras: un triángulo rectángulo y un rectángulo, en el centroide de estas figuras se concentra toda la carga, por lo que debemos remplazar estas fuerzas distribuidas por cargas concentradas en sus centros de gravedad. ½b ⅔b

C

𝑤 = 6 𝐾𝑁ൗ𝑚

C

A

B

3m

La carga concentrada del triángulo es: 𝑊 = 𝐴 =

2m

𝑏ℎ 2

=

2.5 m

(3𝑚)(6𝐾𝑁ൗ𝑚 ) 2

= 9 𝐾𝑁

La carga concentrada del rectángulo es: 𝑊 = 𝐴 = 𝑏ℎ = (2𝑚)(6 𝐾𝑁ൗ𝑚) = 12 𝐾𝑁

Reemplazando: 12 KN 9 KN

A

B 2m

2m

3.5 m

Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) 12 KN 9 KN

RAx

A

B

RAy

RB 2m

2m

3.5 m

Como no tenemos fuerzas horizontales 𝑹𝑨𝒙 = 𝟎 ∑ 𝑀𝐵 = 0 (9 𝐾𝑁)(5.5 𝑚) + (12 𝐾𝑁)(3.5 𝑚) − (𝑅𝐴𝑦 )(7.5 𝑚) = 0

donde

𝑹𝑨𝒚 = 𝟏𝟐. 𝟐 𝑲𝑵 ↑

∑ 𝑀𝐴 = 0 −(9 𝐾𝑁)(2 𝑚) − (12 𝐾𝑁)(4 𝑚) + (𝑅𝐵 )(7.5 𝑚) = 0

donde

𝑹𝑩 = 𝟖. 𝟖 𝑲𝑵 ↑

𝑤 = 6 𝐾𝑁ൗ𝑚 A

B

12.2 KN

8.8 KN 3m

2m

2.5 m

4.3. CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS COMPUESTOS

El centro de gravedad es el punto en el que se concentra el peso total de un cuerpo, es decir, es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, es el punto en donde el cuerpo se encentra en perfecto equilibrio. Cuando calculamos les coordenadas del centro de gravedad de un objeto, deberemos conocer el peso de cada una de las partes que componen dicho cuerpo, debemos localizar el punto de referencia y reemplazar las cantidades conocidas en las ecuaciones de momentos, hemos definido que el momento de la resultante aplicada en el centro de gravedad con respecto a un punto es igual al producido por los pesos de todas las componentes que constituyen el cuerpo con respecto a ese mismo punto.

𝑋𝐺 𝑊 = ∑𝑖 𝑥𝑖 𝑊𝑖

𝑌𝐺 𝑊 = ∑𝑖 𝑦𝑖 𝑊𝑖

Cuando el cuerpo tenga una forma definida, el Centro de Gravedad puede determinarse sabiendo que cada elemento que constituye el cuerpo tienen su propio peso.

𝑑𝑊 = 𝛾𝑑𝑉

𝐸𝑙 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑒𝑠:

𝑊 = ∫ 𝛾𝑑𝑉 𝑉

Donde: W = Peso total del cuerpo V = Volumen del cuerpo g = Aceleración de la gravedad  = Peso específico Eligiendo un sistema de coordenadas donde el eje “y” es vertical, entonces:

𝑑𝑀𝑦 = 𝑥𝑑𝑊 = 𝑥𝛾𝑑𝑉

𝐸𝑙 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑒𝑠:

𝑊 = ∫ 𝛾𝑑𝑉 𝑉

𝑀𝑦 = 𝑥𝑊



𝑥 ∫ 𝛾𝑑𝑉 = ∫ 𝑥 𝛾𝑑𝑉 𝑉



𝑥=

∫𝑉 𝑥 𝛾𝑑𝑉

𝑎𝑛á𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 =

∫𝑉 𝛾𝑑𝑉

𝑉

∫𝑉 𝑦 𝛾𝑑𝑉

𝑦

∫𝑉 𝛾𝑑𝑉

𝑧=

∫𝑉 𝑧 𝛾𝑑𝑉 ∫𝑉 𝛾𝑑𝑉

Cuando el peso específico del cuerpo es constante, entonces:

𝑥=

1 ∫ 𝑥 𝑑𝑉 𝑉 𝑉

𝑦=

1 ∫ 𝑦 𝑑𝑉 𝑉 𝑉

𝑧=

1 ∫ 𝑧 𝑑𝑉 𝑉 𝑉

Nota: estas coordenadas centroidales dependen de la configuración geométrica del cuerpo y son independientes de sus propiedades físicas. El centroide de un volumen coincide en posición con el centro de gravedad del cuerpo si este es homogéneoCuando el peso específico varíe en sus partes compuestas del cuerpo, el Centro de Gravedad y el centroide del cuerpo no tienen por qué coincidir. En la vida real, la mayoría de los objetos no son homogéneos, así que el CG debe ser calculado sumando los momentos de cada uno de los tres ejes. Por ejemplo, un Cono formado con distintos materiales es decir con pesos específicos diferentes, el Centro de gravedad con coincidirá con el centroide.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5

¿Hasta qué altura se debe colar concreto en un tubo vertical de 2 metros de longitud, 0,5 metros de diámetro y 200 kg de masa de tal manera que el peso del tubo sea igual al peso del cilindro de concreto? ¿Cuáles son las coordenadas del centro de gravedad? Densidad del concreto, 2400 Kg/m3.

2m

Respuesta:

0.5 m

y r

2m-h

1 m

h

1 m

2m

h/2

x z

0.5 m

Componente 2

Componente 1

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 1: 𝑊1 = 𝑚1 𝑔 = (200 𝐾𝑔) (9.81

𝑚 ) = 1962 𝑁 𝑠2

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 2: 𝑊2 = 𝛾𝑉 = 𝜌𝑔𝑉 = 𝜌𝑔 𝑟 2 ℎ  𝑊2 𝐾𝑔 9.81𝑚 = (2400 3 )( 2 )(0.25 𝑚)2 ℎ 𝑚 𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 2: 𝑊2 = 4,622.85 ℎ 𝑊2 = 𝑊1



4,622.85 ℎ = 1962



ℎ = 0.4244 𝑚

0.4244 (1 𝑚)(1962 𝑁) + ( 𝑚)(1962 𝑁) 1962 + 416.35 1 2 𝑌𝐺 = ∑ 𝑦𝑖 𝑊𝑖 = = 𝑊 1962 + 1962 3924 𝑖

𝑌𝐺 ==

2378.35 = 0.6 𝑚 3924

y r

2m

Cg 0.6 m

1.5756 m

0.4244 m x

z

0.5 m

𝑪𝒈(𝟎, 𝟎. 𝟔 𝒎, 𝟎)

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6

Un anillo de Latón encaja perfectamente en una pieza mecánica de aluminio como se muestra en la figura. Densidad del Latón 8650 kg/m3 y del Aluminio 2500 kg/m3, encontrar el Centro de gravedad de la pieza armada.

5 cm

5 cm

4 cm

(b )

2.5 cm

4 cm

(a)

8 cm

8 cm Pieza 1 (Aluminio)

Pieza 2 (Latón)

SOLUCIÓN 𝑷𝒊𝒆𝒛𝒂 𝟏: 𝑊1 = 𝛾(𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 ) = 𝜌𝑔(𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 )

5 cm

𝑊1 = 2500 𝑔  ((0.04)2 (0.025) + (0.025)2 (0.04))

4.5 cm

𝑊1 = 5 𝑁

1.25 cm 𝑌𝐺1 =

8 cm 5 cm

𝑖

𝑌𝐺1 =

(0.0125)()(0.04)2 (0.025) + (0.045)(𝜋)(0.025)2 (0.04) ()(0.04)2 (0.025) + (𝜋)(0.025)2 (0.04)

𝑌𝐺1 =

2.5 cm 8 cm

1 𝑦𝑎 𝑉𝑎 + 𝑦𝑏 𝑉𝑏 ∑ 𝑦𝑖 𝑉𝑖 = 𝑉 𝑉𝑎 + 𝑉𝑏

(0.0125)(0.04)2 (0.025) + (0.045)(0.025)2 (0.04) (0.04)2 (0.025) + (0.025)2 (0.04)

𝑌𝐺1 =

16.25(10−7 ) = 0.025 𝑚 650(10−7 )

5 cm

𝑷𝒊𝒆𝒛𝒂 𝟐: 𝑊2 = 𝛾𝑉 = 𝛾 𝑟 2 ℎ  𝑊2 = (8650

2 cm 8 cm

5 cm 4 cm

𝑌𝐺𝑏 = ℎ1 +

+

𝐾𝑔 ) 𝑔(0.04 − 0.025 𝑚)2 (0.04) = 2.4 𝑁 𝑚3

ℎ2 0.04 0.05 + 0.04 0.09 = 0.025 + = = = 0.045 𝑚 2 2 2 2

2 cm

2.5 cm

8 cm

4.5 cm

5 cm

4 cm 2.5 cm

Y g 8 cm

8 cm

𝑌𝐺 =

=

5 cm

(0.025 𝑚)(5.0 𝑁) + (0.045 𝑚)(2.4 𝑁) 0.125 + 0.108 0.233 1 ∑ 𝑦𝑖 𝑊𝑖 = = = 0.03 𝑚 𝑊 5.0 𝑁 + 2.4 𝑁 7.4 7.4 𝑖

𝒀𝑮 = 𝟑. 𝟎 𝒄𝒎 𝑪(𝟎, 𝟑, 𝟎)

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Considérese la barra de metal redondeada con dos pesos cilíndricos, tal como se muestra, hallar su Centro de gravedad, sabiendo que sus pesos respectivos son: Ma = 54 KN, Mb = 18 KN y la Mc = 9 KN.

5 cm

10 cm

14 cm

2. Hallar el Centroide de la sección transversal de la viga que se muestra.

3. Calcular las coordenadas del centroide de la región limitada por la curva y = x2 y la recta x=y.

4. Determine las coordenadas del centroide del área compuesta que se muestra en la figura.

5. Determine el centroide del alambre homogéneo ABCD

10 cm

30 cm

40 cm

6. Calcular las fuerzas reactivas de la viga que se muestra

𝜔 = 8 𝐾𝑁/𝑚 𝑦 = 𝑘𝑥 2 𝑦 = 𝑥3

𝐴

𝐵

4𝑚

𝐶

2𝑚

7. Calcular las fuerzas reactivas de la viga empotrada que se muestra.

𝜔 = 2 𝐾𝑁/𝑚

1.50 𝑚

𝐹 = 4 𝐾𝑁

1.50 𝑚