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29

30

ALPC61106

 1

INTRODUCCIÓN:

-3

En este campo de las matemáticas, en el álgebra se toma criterios de la divisibilidad entre polinomios, para ello se tomarán 7 teoremas como base para determinar si un polinomio(f(x)) es divisible por otro (g(x)). Para ello se tomarán en cuenta lo llevado en las semanas anteriores.

1



10 1

CAPACIDADES: -

TEOREMA DEL FACTOR

+ 5

-4

-3

10

2

-6

20

2

0

0

-20

Un polinomio P(x) de grado no nulo se anula para x =   P(x) es divisible por (x – ); luego (x – ) es un factor de P(x).

De donde h(x) = x + 2, luego f(x)  h(x) . g(x) Si el polinomio P(x) se anula para x = , es decir, P() = 0  el resto de dividir P(x) entre (x – ) es cero; luego P(x) es el producto de (x – ) por otro polinomio de grado (n – 1), siendo "n" el grado del polinomio P(x), es decir, P(x) es divisible por (x – ). Recíprocamente si P(x), es equivalente a (x – ) . g(x), entonces P(x) se anula para x = . La condición necesaria y suficiente para que el polinomio P(x) sea divisible por (x – ) es que P(x) se anule para x = .

Aplicar los teoremas en forma correcta para determinar si un polinomio es divisible por otro.

CONTENIDOS:

DIVISIBILIDAD

Ejemplo:

3

2

P(x) = 2x + 5x – 7x – 12, evaluando en x = – 3 P(–3) = 0  (x + 3) es un factor de P(x) P(x) entre x + 3 g(x); g(x) es de 2do. grado

Sean f(x) y g(x) dos polinomios de grados no nulos con coeficientes reales o complejos, si el resto de la división de f(x) entre g(x) es idénticamente nulo, entonces g(x) se llama divisor de f(x).

 



Para conocer g(x) se tendrá que dividir P(x) entre x + 3 por la regla de Ruffini.

Definición: Dados dos polinomios f(x) y g(x) de grados no nulos se dirá que f(x) es divisible por g(x) si existe un único polinomio h(x), tal que se verifique la identidad de división exacta.

2

f ( x) es divisible por g(x)   ! h( x) ; f(x)  g(x). h(x)

+ 5

+ -7

-12

-6

3

12

-1

-4

0

x = -3

En efecto, si g(x) es divisor de f(x), el cociente de la división f(x) entre g(x) es h(x). Si f(x) es divisible por g(x), entonces g(x) es un factor de f(x).

2

Ejemplo:

2

2

De donde: g(x) = 2x – x – 4

2

Sean f(x) = (x – 4) (x + 5) y g(x) = x + 3x – 10, diremos que f(x) es divisible por g(x) ya que f(x) entre g(x) es una división exacta. Entonces existirá un único polinomio h(x) de tal modo que f(x)  g(x) . h(x); siendo h(x) el cociente de dividir f(x) entre g(x). 2

3

g(x) = x + 3x – 10 Luego aplicando Horner.

Teoremas de Divisibilidad: Teorema 1: Si f(x) es divisible por g(x) y g(x) es divisible por h(x), entonces f(x) es divisible por h(x).

2

En efecto: f(x) = (x – 4) (x + 5)  f(x) = x + 5x – 4x – 20 2



Teorema 2: Si f(x) y g(x) son divisibles por h(x), la suma y la diferencia de f(x) y g(x) es divisible por h(x). Teorema 3: Si f(x) es divisible por g(x), el producto de f(x) por cualquier otro polinomio no nulo h(x) es también divisible por g(x).

29

30 R'(x) = (– 9x + 4) (x + 1) Como el resto quedó multiplicado por x + 1, se tendrá que R(x) = – 9x + 4 Teorema 7: En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor se les divide por un polinomio de grado no nulo, el cociente no se altera; pero el residuo queda dividido por dicho polinomio. Ejemplo: (2x  1) ( x  2)3 ( x  1) ( x  2) Hallar el residuo en ( x  2) 4 ( x  1)

Teorema 4: Si el polinomio P(x) es divisible separadamente por los binomios (x – a), (x – b) y (x – c) / a  b  c, entonces P(x) es divisible por el producto: (x – a) (x – b) (x – c). * Nota: Recíprocamente, si P(x) es divisible por (x – a) (x – b) (x – c) ; a  b  c, será divisible separadamente por (x – a), (x – b) y (x – c) Ejemplo: 4

3

2

Si P(x) = 3x + 2x + ax + bx + c es divisible por (x – 2) (x + 3) (x + 2) Calcular el valor de 4a – 2b + c Resolución:

Resolución: 3

Dividiendo al dividiendo y divisor por (x – 2) (x + 1) se tiene:

Como P(x) es divisible por (x – 2) (x + 3) (x + 2), entonces será divisible en forma separado por (x – 2), (x + 3) y (x + 2), luego P(x)  (x + 2) es exacta. Por el teorema del resto P( – 2) = 0 4

3

2

3

*

Ejercicios: Halle el resto en cada una de las divisiones:

P(x)  (x – b)  R2(x) = R P(x)  (x – c)  R3(x) = R P(x)  (x – a) (x – b) (x – c)  R(x) = R

III.

Teorema 6: En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor, se les multiplica por un polinomio de grado no nulo, el cociente no se altera; pero el residuo queda multiplicado por dicho polinomio. Ejemplo: 2x34  7x  4 Hallar el resto en: x2  x  1 Resolución: Multiplicando el dividendo y divisor por x + 1

(2x34  7x  4) ( x  1) ( x2  x  1) ( x  1)



(2x34  7x  4) ( x  1)

3

x3  1 3

Por teorema del resto x + 1 = 0  x = – 1 3 11

Luego el resto es [2 (x ) R'(x) = [2 (–1)

11

. x – 7x + 4] (x + 1)

. x – 7x + 4] (x + 1)

3

Pero como el resto quedó dividido por (x – 2) (x + 1)  R(x) = 20(x – 2) (x + 1)

I.

Así: P(x)  (x – a)  R1(x) = R

x2

Por teorema del resto: x – 2 = 0  x = 2  R'(x) = (2(2) + 1) (2 + 2) = 20

 P(– 2) = 3(– 2) + 2(–2) + a(–2) + b(–2) + c = 0  48 – 16 + 4a – 2b + c = 0 4a – 2b + c = –32 Teorema 5: Si al dividir un polinomio P(x) entre (x – a); (x – b) y (x – c) / a  b  c en forma separada deja el mismo resto en cada caso, entonces al dividir dicho polinomio entre (x – a) (x – b) (x – c) dejará el mismo resto común.

( 2x  1) ( x  2)

V.

5 ( x  1) 28  x  9 x 2  3x  3 x37  x  15 x3  x2  x  1 x 332  4x15  10x  12 x 3  1  x ( x  1)

II.

IV.

VI.

( x2  2x  1)31  x ( x  1)2  x

( 2 x  5) 7 ( 3 x  1) ( x  2) 5 ( 3 x  1) ( x  2) 6

x 7  2x2  1 x3  x2  x  1

29

2

PRACTICA DE CLASE

divisible por (x – c) , el valor de E = a + b + c es: a) 3 b) 5 c) 10 d) 12 e) 14

NIVEL I

5

3

01.

2

Si el polinomio x + 3x – 2

2x – 6 es divisible por x – a. ¿Cuál es el valor de a? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 02.

Si el polinomio:

P(x) = ax

5

4

3

2

+ 3x + ax + 3x – 2x – (a + 3

2

5) es divisible por Q(x) = x – bx + 2x + bx – , además Q(x) es divisible por 2

g(x) = (x2 – 1)(x + ) el valor de  +  es: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 03.

Calcular mn, sabiendo que el

polinomio P(x) = x divisible entre a) – 8 b) – 6 04.

n

+ mx

n–2

+ 1 es

2

3

e) – 1 2

Si P(x) = ax + bx + cx + 3x + 2

1 se divide entre x – x + 1 se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 22 y un resto de R(x) = 10x – 1, calcular a+c a) 47 b) 57 c) 67 d) 77 e) 87 05.

5

Si el trinomio racional x – ax + 2

b es divisible por x – 2x + 1, hallar a + b si además a, b son distintos de cero. a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12 06. Hallar la suma coeficientes de un polinomio 2

de los de tercer

grado divisible entre x + x – 2 tal que al dividir entre x – 2 y entre x – 3 se obtiene residuos 8 y 20 respectivamente. a) – 4 b) – 2 c) 0 d) 2 e) 4 07.

Si

el

polinomio 5

09.

5

m–1

2

2

divisible entre x – x – 6, el resto de dividir P(x) entre (x + 2) es: a) – 7 b) – 5 c) – 3 d) 3 e) 5 10. Un polinomio P(x) de tercer grado tiene el mismo valor numérico 15, para x = – 1, x = 2 y x = 3. Si la suma de sus coeficientes es 3, el polinomio será: 3

2

a) x – 7x + 9

con

coeficiente enteros P(x) = x – ax + b es

3

3

b) x + 7x – 9 3

c) x – 7x + 9

d) x + 7

2

e) x – 5x + x + 1 11. (x

3

Si el resto de dividir P(x) entre – 1) es 2, halle el resto de dividir 5

2

(P(x)) entre x + x + 1 a) 4 b) 8 c) 16

d) 32

e) 64

12. Hallar el producto de los coeficientes del polinomio de segundo grado al ser dividido entre 2x + 1 y 3x + 1 da el mismo resto 2 y se anula para x = – 1. a) 30 b) 20 c) 10 d) – 10 e) – 20 13.

Si el polinomio P(x) = x

4



2

19x + ax + b es divisible por Q(x) = x + x – 20, el valor de E = | a | + | b | es: a) 7 b) 14 c) 21 d) 28 e) 35 2



5 2

1 2

d)

15.

1 2

b)



e)

3 2

3 2

4

c)

14. Al dividir P(x) = 6x – 5x + kx – 1 entre 2x + 1, se obtiene un cociente Q(x) y un residuo R, si Q(5) = 58 el valor de R es:

2

2

Sea P(x) un polinomio de 4to 2

grado divisible separadamente entre x + 2

3

1, x + 2x + 2, al dividir P(x) entre x – 1, 2

el resto es 6x + 6x + 8. Halle el término independiente de P(x). a) 8 b) 4 c) 2 d) – 1 e) – 3

NIVEL II

grado, se obtuvo como cociente (x – 1) y como residuo (2x+ 1), calcular el valor de B. a) – 1 b) 1 c) – 3 d) 3 e) 2 06. El cociente de dividir un polinomio de tercer grado entre (2x – 1) 2

es: x + 2x – 3 y el resto al dividir dicho polinomio entre (2x + 1) es 1. Averigüe el resto que se obtiene al dividirlo entre (2x – 1). a)

01. Al dividir P(x) separadamente por (x – 1) y (x – 2) se obtiene por resto 6 y 18. Determinar el resto que se obtiene al dividir P(x) entre (x – 1)(x – 2) a) 12x + 6 b) 12x – 6 c) 12x – 5 d) 12x + 7 e) 12x + 3 02. Indicar el término independiente de un polinomio de 3er grado tal que al dividirlo por (x – 1), (x + 2) y (x – 4) da el mismo resto 20 y además que sea divisible por (x + 1). a) 12 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1 03. Al dividir un polinomio P(x) entre el producto de (x + 1) (x + 3) (x – 2), el 2

resto obtenido es x – 5x + 1, encontrar el resto que se obtiene al dividir P(x) 2

entre x – x – 2 a) – 4x b) 4x d) – 4x + 3 e) 4x + 3

3

05. Al dividir: P(x) = x + Ax + Bx + 2x – 1, entre un polinomio de segundo

3 2

b) d)

07.

3 2 13  2 

13 2

c) e) 1

Determinar el valor de E = a + b

de tal manera que al polinomio P(x) = x + ax + b sea divisible por (x – 1) a) – 4 b) – 2 c) – 1 d) 1

3

2

e) 3

08. Si un polinomio P(x) mónico de término independiente – 2 y de grado 3 tiene como factor (x + 1) y (x – 2). Hallar el resto de dividir P(x) por (x – 3) a) 8 b) 16 c) 24 d) 32 e) 45 09.

Determinar M y N de manera que

el polinomio x

4

+ 2x

3

2

– 7x + Mx + N,

2

c) 4x + 3

3

+ x –

2

3

a)

m+4

Si al dividir un polinomio P(x)

3

(x – 1) c) – 4 d) – 2 4

m

08. Si n x – 3n x +2 es divisible entre (x – 2), el valor de n es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

entre (x + 2) se obtiene un cociente Q(x) y un resto (3x – 1). Si Q(x) es

4

30

04. Un polinomio P(x) de 2do grado y primer coeficiente 1, al ser dividido entre x + 3 da como resultado un cierto cociente Q(x) y un resto 12. Si se divide P(x) entre el mismo cociente, aumentado en 4, la división resulta exacta. Hallar el resto de dividir P(x) entre x– 5 a) 20 b) 15 c) 10 d) 5 e) 1

sea divisible entre x – 3x + 5 a) 13; 12 b) 14; 11 c) 15; 17 d) 16; 15 e) 9; 11 10.

Si 3

al

polinomio

P(x)

divide entre x + 1 el resto es x 2

2

se

+x –

1, y al dividir P(x) entre x – x + 1 el resto es: a) x + 1 b) 2(x + 1) c) 2(x – 1) d) x – 3 e) x + 3

29 11. Un polinomio P(x) de cuarto grado es divisible separadamente entre 2

2

(x + 1) y (x + 2x + 2). Si se divide 3

2

P(x) entre (x – 1) el resto es 6x + 6x + 8, luego el término independiente del polinomio es: a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 12. Un polinomio P(x) se divide entre (x + 5) y se obtiene un cociente Q(x) y un residuo – 24. Si se divide Q(x) entre (x + 5), se obtiene un residuo 5. El resto de 2

dividir P(x) entre x + 10x + 25 es: a) 5x – 1 b) 5x + 1 c) 5x + 15 d) 5x – 13 e) 5x – 3 13. Los coeficiente de un polinomio P(x) de cuarto grado son números enteros consecutivos. Si se divide P(x) entre (x – 1) el resto es 35, entonces el coeficiente del término cuadrático es: a) 5 b) 7 c) 11 d) 13 e) 15 14. Si se divide P(x) entre (x + 1) y (x – 1) los restos respectivos son 2 y 4. Hallar el resto de dividir dicho polinomio 2

entre x – 1 a) x + 1 d) x + 4

b) x + 2 e) x + 5

c) x + 3

2

3) . Hallar el residuo de dividir P(x) entre

EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Un polinomio P(x) al ser dividido por (x + 2) deja resto 6 y al dividirlo por (x – 3) deja resto – 9. Hallar 2

el resto de dividir P(x) por (x – x– 6) a) – 3x b) 3x c) 3x + 1 d) 3x – 1 e) 3x + 5 2

02. Al dividir P(x) entre (4x – 9)(x + 3) se obtuvo como residuo 2(x –

encuentre

a) 6x + 3 d) 3x + 6

a) 4

P( x) (x  3)(x  2)

b) 6x – 3 e) 3x – 6

c) 3x

05. Si se efectúa P(x) entre (x – 1) el cociente es Q(x) y el residuo es 4, y al 2

efectuar P(x) entre x – 1 el resto es (3x + 1). ¿Qué residuo se obtiene al dividir Q(x) entre (x + 1)? a) 9 b) 6 c) 3 d) 1 e) – 3 06. Al dividir P(x) entre (x – 1) se obtiene como residuo 2x y al dividirlo 3

entre (x – 2) da como residuo 3x, hallar el residuo de la división de P(x) entre (x – 1)(x – 2) a) 4x + 5 b) 4x + 1 c) 4x + 7 d) 4x – 2 e) 4x – 1 5

4

Si el polinomio P(x) = 10x + x 3

de

dividir

2

– 9x + 16x + mx + n es divisible por (x – 1)(2x + 3), el valor de E = m . n es: a) – 3 b) – 6 c) – 12 d) – 18 e) 4 08. Al dividir un polinomio P(x) separadamente entre (x – 1), (x – 2) y (x – 3) se obtiene el mismo resto 16,

b) 8

c) 16

d) 24

e) 28

09. Si el polinomio P(x) de tercer grado que al ser dividido separadamente entre (x – 3); (x – 2) y (x – 1) da el mismo resto – 36 y que se anule para x = 4, el término independiente es: a) – 18 b) – 36 c) – 72 d) 72 e) 36 10.

04. Sea P(x) un polinomio de cuarto grado donde el resto de dividir P(x) entre (2x + 2)(x – 1) es cero, calcular el resto de dividir P(x) entre (x + 1)(2x – 2) a) – x b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

07.

residuo

( x  1)( x  2)( x  3)

c) – 21x + 9

03. Si los restos de las divisiones de P(x) por (x – 3) y (x – 2) son respectivamente 15 y 12, halle el resto de dividir

el

P( x)

2

2x + 9x + 9 a) 21x + 9 b) 21x – 9 d) 7x – 3 e) 7x + 3

2

15. Al dividir P(x) entre (x + 1) (x – 3) el resto es 5x – 2; el resto de dividir P(x) entre x – 3 es: a) 15 b) 13 c) 11 d) 9 e) 7

30

Al efectuar la división indicada

P( x) x2  1

, se obtiene como residuo (x – 2).

Determinar el resto que se obtiene al efectuar a) x d) 3x – 2

[P( x)]3 x2  1

b) x + 1 e) 11x – 2

c) x – 2