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• Dario Al Congreso

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• Circulo
• Elipse
• Plano (Geometría)
• Geometría elemental

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FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

Hermano (a)

Pedro: Fue Rodrigo Hugo: Pedro tiene razón

Reafirmación:

14 cuadrados

3 cuadrados

(1)(2)

V F V F

(1)(2)

Hace 3 días Anteayer Ayer Hoy Mañana Pasado mañana Dentro de 3 días

: -3 : -2 : -1 : 0 : +1 : +2 : +3

Relaciones temporales

s

a

b

s

15 15 15

4 9 2 3 5 7 8 1 6

:

Ejercicios con peleas

se repiten

3S=1+2+3+...9+a+b+c

c

s

Distribuciones mágicas Normales

: Horario : Antihorario

Unidas por un eje

:

Con correas cruzadas :

Con correas paralelas :

Juntas

RAZONAMIENTO LÓGICO

Juan: Carlos fue el culpable V F Carlos: Juan está mintiendo F V

Contradicción:

Principio de suposición

yo

Abuela materna

Madre

Abuela Abuelo paterna materno

Padre

Abuelo paterno

Relaciones de parentesco

Ejercicios con cerillos

15 15 15 15 15

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Hab. Matemática

Hab. Matemática

Lima Ingeniero

Hugo

Paco Tacna Médico

De forma directa:

1 2 3 x x A B x x x C x

Cuadro de descarte:

Luis Piura Profesor

Test de decisiones

C E D

B

A

Menor

Mayor

• A es mayor que B • B no es menor que C • C es mayor que D • D es menor que E

Creciente Decreciente

Lateral Izquierda Derecha Oeste Este Siniestra Diestra

Ordenamiento lineal

(ORDEN DE INFORMACIÓN)

H E

G D

Izquierda (horario)

A

B

Derecho (antihorario)

C

F

Ordenamiento circular

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Lenguaje Literal (Enunciado)

Traducción

• A excede a B en 10 unidades • El doble, de un número disminuido en 3 unidades. • El doble de un número, disminuido em 3 unidades. • A es por dos veces B • A es dos veces más que B

Lenguaje Matemático (Ecuaciones) A – B = 10 2(x – 3) 2x – 3 A = 2B A = B + 2B A=3B

Con dos o más sujetos Pas Pre Fut a d e Daniella c b f Melanie • La diferencia de sus edades es siempre la misma. a–c=d–d=e–f • La suma en aspa da el mismo resultado: a+b=c+d d+ f=b+e a +f=c+e Importante Caso 1: Año nacimiento + edad = año en curso • Si la persona ya cumplió años en el año en curso. Caso 2: Año nacimiento + edad = año en curso – 1 • Si la persona todavía no cumple años en el año en curso. Nota: Si el problema no dice si ya cumplió o todavía, se trabaja con el caso 1.

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

Hab. Matemática

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Máquina +

Adición Sustracción

X

División Materia prima Números

Producto terminado Resultado

Botones Operadores Proceso de producción Operación matemática

Definición

a*b = 3a + 5b + 4

2

Explícita ..........................................

Definición

2

a*b = 3(b *a ) + a

Implícita ..........................................

5

=m

m

=5

Se resuelve de adentro hacia .............. afuera ...............

Si x = x+1

Hab. Matemática

Se resuelve de adentro afuera hacia .............. ...............

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

Se consideran 27 letras del abecedario (No se considera Ch, ni Ll)

Literales r

r

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

* Para una sucesión con una cantidad impar de término.

Producto de extremos *

q: razón aritmética

×q ×q ×q

Sucesión Geométrica

* para una cantidad impar de términos en la sucesión.

r: razón aritmética

r

Sucesiones aritmética (Lineal)

SUCESIONES

2 2

A+B=4 6

2

2

8 10 12

t1 t2 t3 t4 t5 C = 0 4; 10; 18; 28; 40; ...

De 2º Orden

Sucesiones Notables

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Hab. Matemática

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Hab. Matemática

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

ECUACIONES DIOFÁNTICAS MULTIPLICIDAD

PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD

1. Si N es múltiplo de n

1. n + n + n + ... + n = n

o



Si N = n ⇒ N= nk; k ∈ 

o

o

o

 n : se lee múltiplo de n

Ejemplo:

Ejemplo:

8 • 8+8+8=





Si N= 5 N =5k= {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....) 

Si N = 8 N= 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}



     15 + 15 + 15 + 15 = 15

•

o o o 2. n+ n =n

Ejemplo: 



N= n + rd ó N = n − re









14 − 14 = 14

•

  0 10 = 10    

o

Ejemplo: 



• 27 = 7    

Ejemplo:



•

3. k n= n; k ∈ Z

n donde: rd + re = rd : residuo por defecto re : residuo por exceso 

20 no es múltiplo de 6 (20 ≠ 6 ) 20 6 20 6 24 4 18 3 -4 2 



⇒ 20 =6 + 2 ⇒ 20 =6 − 4 Donde: 2 + 4 =6 Aplicación: 



PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES o

Sea A x B = n o

o

o

o

Si A ≠n ⇒ B = n Si B ≠n ⇒A = n Ejemplo: 

Si N = 9 + 3 ⇒ N =9 − 6

4x = 5

Si N = 12 −1 ⇒N = 12 + 11

4 ≠5⇒ x = 5





• 7 −7 = 7

2. Si N no es múltiplo de n 



o



FORMULARIO PREUNIVERSITARIO





Hab. Matemática

Hab. Matemática

P5 = 5! = 120

5 amigos en 5 asientos

Ejemplo:

Pn = n!

Permutación Lineal

• Multiplicativo (y): Para eventos de dependientes, simultáneos.

• Aditivo (o): Para eventos independientes

Principio de Conteo

n! = (n k)!

P52 =

5! = 20 3!

5 amigos en 2 asientos

Ejemplo:

Pnk

Permutación de “n” elementos tomados de “k” en “k”

n! k!(n k)!

PR62; 3; 1 =

2

Ejemplo:

6! 2!3!1!

3

1

Pc(6) = 5!

6 amigos en una mesa circular

Ejemplo:

Pc(n) = (n − 1)!

n! a!b!c!... PRna; b; c; ... =

Permutación circular

• Cnk = Cnn−k

Propiedades:

Cnk =

Combinación (agrupar)

Permutación con repetición

Permutación (Ordenar)

ANÁLISIS COMBINATORIO

n! = 1×2×3×4×...n 0! = 1 n! = n(n 1)!

Factorial de un número

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FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Problemas sobre certeza

Expresiones algebraicas de 2do grado

Casos Casos Número de : + extraciones desfavorables favorables Lo que no quiero que salga

2

E(x) = Ax + Bx + C

Lo que pide el problema

A>0

EMÍN

A>0

EMÁX

X=

2A

Otras situaciones • Si: a + b = K K K (a.b)máx = . 2 2

• Si: a > 0 1 a+ >2 a

• Si: a × b = K

• Si: × ∈ = IR

(a+b)mín = K +

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

K

2

x >0

Hab. Matemática

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Aritmética

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

MAGNITUDES PROPORCIONALES DP

IP A IP B

A DP B Valor de A = Cte Valor de B

(Valor de A) (Valor de B)=Cte

A IP B

A DP B Constante f(x) = K x Valor de A

Constante

Propiedades Valor de B

• A IP B • A DP B

1 B 1 A IP B

• A DP B (C cte) Gráfica: Valor “A” Línea Recta

Valor de B

Valor de A

A IP C (B cte) AxC = cte B

a1

f(x) = k x

A DP

Gráfica: Valor “A” Hipérbola Equilátera

a1 a2

a2 b1 a1 b1

=

Valor “B” b2 a2 b2

=k

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

b1

b2 Valor “B”

a1 . b1 = a2 . b2 = k

Aritmética

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

A = {a1; a2; a3;.......; an}  elementos

donde :

• Cardinal = n(A) = n

ai ≠ a j

• N° subconjuntos = 2n(A) = 2n

i, j ∈  +

• N° subconjuntos propios = 2n(A) – 1 = 2n – 1

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Complemento ( (A)): No A

Unión (U): A o B A

B

A

Diferencia (–): Solo A A

Intersección (∩): A y B A

B

B

Diferencia Simétrica (A): Sólo A o sólo B A

Aritmética

B

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

4

3

2

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO 2

5 14

2

Aritmética → 2435 = 73

73 ← Base 10

3 + + 10 70

4

2

2. Ruffini Ejemplo: 243(5)

Descomposición polinómica

abcdn = an + bn + c.n + d

3

3. Cambios de base: 3.1 De base "n" a base 10 1.

abcabc n = abc n ⋅ n + abc n

3

ababn = abn ⋅ n2 + abn

abab = ab.100 + ab

2. Descomposición por bloques:

abcde(n) = an + bn + cn + dn + e

4.

7 4

→ 243 = 465(7)

243 7 33 34 5 6

1

→n xy

– + = abc(n)_ xy(m) + Como

Si:

2

Base m

Divisiones Sucesivas

Base 10

Descomposición Polinómica

Base n

3.3. De base "n" a base "m" (n 10; m 10)

≠

3.2. De base 10 a base "n" (Divisiones sucesivas) Ejemplo: 243 a base 7

≠

1. Descomposición polinómica:

NUMERACIÓN

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Números capicúas

121; 3553; 27372; abccba

BASES SUCESIVAS 1a

1b

=a+b+c+d+e+x

1c

1d

1e

x

NUMERALES DE CIFRAS MÁXIMAS (n – 1)(n – 1)(n – 1)... (n – 1) = nk – 1   n k cifras

Aritmética

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

I. ADICIÓN

II. SUSTRACCIÓN

a + b + c +...+ z = S Sumandos

Suma total

Progresión aritmética Sea:

M–S=D Propiedades: •

2M = M + S + D

•

ab(n) – ba(n) = xy (n)

→ an = a1 + (n – 1)r

an – a1 +1; r n: Número de términos

→ x +y=n –1

donde n ≥ 3 y a > b

n → =

•

→ x +z=n –1

 an + a1  → Sn =  2 n;  

y=n–1

Sn: Suma de términos

Sumas notables

• • •

n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =

•

n(n + 1) (2n + 1) 6 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 =

•

 n(n + 1)    2   •

donde: n ≥ 3; a > c •

an – 1 a– 1

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

abcd – dcba = xyzw

donde: a > d → x + y + z + w = 18 ó 27

Complemento Aritmético •

2

a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an–1 =

abc(n) – cba(n) = xyz(n)

CA(N(b)) = 100...00   

k +1 cifras b

– N(b)

Si N tiene k cifras •

CA(abcd(n) ) =

(n – 1 – a) (n – 1 – b) (n – 1 – c) (n – d)n

Aritmética

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

o

*

A = B = B(k) Se dice: - A es múltiplo de B - A es divisible entre B - A dividido entre B da residuo cero o

o

o

o

o

o

*

n+n =n

*

n– n=n

*

o o o  o  n(k) = n = k =  nk   

*

(n)k = n

*

(n + a)(n + b)(n + c) = n + a.b.c

*

(n + r)k = n + r k

o

o

o

o

o

o

o

Aritmética

o

o

o

o

o

*

(n – r)k = n + r k , k: par

*

(n – r)k = n – rk , k: impar

*

o N = a O o  N = b  N = MCM(a,b, c) o N = c 

*

o  N = a + r O  o  N = b + r  N = MCM(a,b, c) + r  o N = c + r 

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

o

o

o

•

Por 2

abcde = 2 + e. Si e = 2 → abcde = 2

•

Por 4

abcde = 4 + de. Si de = 4 → abcde = 4

•

Por 8

abcde = 8 + cde. Si cde = 8 → abcde = 8

•

Por 5

abcde = 5 + e. Si e = 5 → abcde = 5

•

Por 25

abcde = 25 + de. Si de = 25 → abcde = 25

•

Por 125

abcde = 125+ cde. Si cde = 125 → abcde = 125

•

Por 3

abcde = 3 + a + b + c + d + e . Si E = 3 → abcde = 3

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

E

•

Por 9

o

abcde = 9 + a + b + c + d + e . Si E = 9 → abcde = 9 E

•

Por 11

o

o

o

abcde = 11 + e – d + c – b + a. Si E = 11 → abcde = 11  E +-+-+

•

Por 13

•

a b c d e f g h = 13 – 3a + b + 4c + 3d – e – 4f – 3g + h. Si E = 13 → abcdefgh = 13  31431431 E - + - + Por 7

o

o

o

o

o

o

+ b – 2c –  3d – e + 2f + 3g + h. Si E = 7 → abcdefgh = 7 a b c d e f g h = 7+ 3a  31 2312 31 E + - +

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

Aritmética

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

•

Por 33

o

o

o

o

o

a b c d e = 33 + a + bc + de . Si E = 33 → abcde = 33 E

•

Por 99

o

a b c d e = 99+ a + bc + de. Si E = 99 → abcde = 99  E

o

o

o

•

+ b + c + d + e . Si E=(n – 1) → abcde(n) = (n – 1) P or n − 1 abcde(n) = (n − 1)+ a  en E base n

•

P or n + 1 a b c d e = (n + 1) + e – d + c – b + a. Si E=(n + 1) → abcde(n) = (n + 1) (n)  en +-+-+ E base n

•

o

o

o

Dada la descomposición canonica del número N: N = p1α1p2α2p3α3...pk αk ...D .C .

•

Su cantidad de divisores se calcula como: C DN = (α1 + 1)(α2 + 1)(α3 + 1)...(αk + 1)

Además: CDN = CD

•

SIMPLES

+ CD

COMPUESTOS

La suma de divisores se calcula como: SD(N) =

Aritmética

p1α1 +1 – 1 p2α2 +1 – 1 p αk +1 – 1 × × ... × k p1 – 1 p2 – 1 pk – 1

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

•

La suma de inversas de divisores se calcula como: SID(N) =

•

SD(N) N

El producto de los divisores se calcula como: C D(N)

P D(N) = N

•

El esquema del algoritmo de Euclides: Cocientes

A

B

K

MCD (A;B)

O Residuos

•

Conociendo el MCD de dos números podemos concluir que:

MCD(A;B)

•

A = p x k   ; donde: p y q son PESI  = k B = q x k  MCM =k x p x q (A;B) 

Siempre se cumple que: MCD(A;B) × MCM(A;B) = A × B

•

n× A n×B  n×k = MCM  ; m  m  m

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

•

n× A n×B  n×k = MCD  ; m  m  m

Aritmética

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Números enteros Z

Número fraccionario

Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Fracción Clases de fracciones

• • • •

Propia Impropia Reductible Irreductible

• • • •

Común y ordinaria Decimal Homogénea Heterogénea

Variación porcentual

Operaciones con tanto por ciento Adición

 Aumento ó    disminución  = × 100% porcentual  Cantidad     inicial 

Variación

Sustracción

Aumentos y descuentos sucesivos

Aumento único Descuento único

Aritmética

a×b  =  a + b + % 100   a×b  =  a + b – % 100  

Aplicaciones comerciales Pventa = Pcosto + ganancia Pventa = Pfijado – descuento Pventa = Pcosto – pérdida Pfijado = Pcosto + incremento

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

INTERÉS SIMPLE M=C+I

I=C M=C

r%

t

(1 + r%

t)

r% y t en las mismas unidades

Pmedio =

Grado

Costo total Peso total

alcohólico

Gaparente = Paparente

xL a%

=

Alcohol × 100% Total

Pventa = Pcosto + Ganancia

yL + b%

zL + c%

(x+y+z) L = d%

a%(x) + b%(y) + c%(z) = d%(x+y+z)

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

Aritmética

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Álgebra

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

5

4

3

2

1

3

2

2

3

(x + a)(x + b) = x2+(a + b)x+ab

(a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b

3

(a ± b)3 = a 3 ± b3 ± 3ab(a ± b)

(a + b)(a2 – ab + b2) = a 3 + b3 (a – b)(a2 + ab + b2) = a 3 – b 3

(a + b)(a – b) = a2 – b2

(a + b) 2 – (a – b) 2 = 4ab

(a + b) 2 + (a – b)2 = 2(a 2 + b2)

(a ± b) 2 = a2 ± 2ab + b2

10

9

8

7

6

2n

n m

)(x –x y +y

2m

4n

ARGAN’D

+y4m

2n 2m

) = x +x y

2m

3

3

2

2

2

GAUSS

a +b +c –3abc = (a+b+c)[a +b +c –(ab+bc+ca)]

3

(a + b + c) 3 = a3 + b3 + c 3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)

(x 2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

n m

(x +x y +y

2n

• a2 + b 2 + c 2 = – 2(ab + ac + bc)

Si: a + b + c = 0. Se verifica que: • a3 + b3 + c 3 = 3abc

(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c 2 + 2(ab + ac + bc)

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Álgebra

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

ECUACIÓN CUADRÁTICA Análisis de las raíces

Forma

• Si: D > 0

ax 2 + bx + c = 0 ; a 0

Fórmula x=

2 raíces IR diferentes • Si: D = 0

b 2 – 4ac 2a

–b

2 raíces IR iguales • Si: D < 0

Discriminante

x1

x2

x1=x2

2 raíces CI conjugadas

D = b 2 – 4ac

Propiedades de las raíces x1+x2=– b a

Si: ax 2 + bx + c = 0

x1.x2= c a

suma:0 b=0 c=0

Una raíz nula

(x1+x2) 2 – (x1 – x2) 2 = 4x1.x2

x1–x2=?? Raíces recíprocas (inversas)

Raíces simétricas (opuestas) x;–x

Recordar:

x;1/x producto:1 a=c Dos raíces nulas

b=0;c=0

Reconstrucción de una ecuación cuadrática x 2 – Sx + P = 0 Ecuaciones equivalentes: (Raíces iguales) Si:

ax 2 + bx + c = 0 mx 2 + nx + p = 0

Álgebra

a b c = = m n p

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Monomio

Racional Entera

Polinomio Definición

Definición

Términos Semejantes

Grado Absoluto

Grado Relativo

Grado Relativo

Grado Absoluto

Clasificación Homogéneo

Ordenado

Idénticos

Completo

Idénticamente nulo

Recordar las definiciones an =

a.a.a...a ; n∈  "n factores de a" 0

a =1

;

a≠0

Recordar los teoremas am.an = am+n ;

am = am–n an

( an )m = ( am )n = am.n ;

(a.b)n = anbn

n

1 1 a –n = n =   a a m/n

a

n m

= a

n

;

a≠0

n m

= a

an  a n n n  b  = n ; a.b = a. b   b na =

b

n n

a

;

b

nk mk

a

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

nm

a = nm a

n

= am

Álgebra

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

SISTEMA DE ECUACIONES E1 : a1x + b1y = c1 E2 : a2x + b2y = c2

Por su Solución

tienen solución

Ecuación Compatible

soluciones finitas

Determinada a1 a2

≠

y

E2

b1

E1 (x0;y0)

b2

x y

E1

Indeterminada a1 a2

=

b1 b2

=

c2

Ecuación Incompatible a1 b = 1 a2 b2

Álgebra

E1

c1

c1 c2

x

E2

no tienen solución

E2

y

E1

E2 E1 // E2

x

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

FACTORIZACIÓN Criterios de factorización Criterio del aspa simple

Criterio del factor común y/o agrupación Criterio de las identidades

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

Criterio del aspa doble especial Criterio del aspa doble

Criterio de los divisores binomios

Álgebra

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

*

Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0.

*

P(x) = an xn + an–1x n–1 + an–2 x n–2 + ... + a0 =0; an ≠ 0 , también se puede escribir

an(x – r1)(x – r2)(x – r3)...(x – rn) = 0 donde r1 ,r2 ,r3,...,rn raíces de la ecuación. *

Si: P(x) = (x – r1)m(x – r2)n(x – r3)p = 0

*

Entonces: r1 es una raíz de multiplicidad m r2 es una raíz de multiplicidad n r3 es una raíz de multiplicidad p Teorema de Cardano - Viette r1 + r2 + r3 + ... + rn = –

an–1 an

r1.r2 + r1.r3 + ... + rn–1.rn = 



"Suma de raíces"

an–2 an "Suma de productos Binarios"



r1.r2.r3.....rn = (–1)n

a0 an "Producto de raíces"

*

Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a + b ,

*

Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es α + β i ,

la otra es a – b . entonces la otra es α – β i . *

P(x) = anx n + an–1x n–1 + an–2 xn–2 + ... + a0 = 0 por cada cambio de signo es una

raíz positiva. *

P(–x) = an(–x)n + an–1(–x)n–1 + ... + a0 = 0 por cada cambio de signo es una raíz

negativa, o, menos en una cantidad par.

Álgebra

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

TEOREMAS FUNDAMENTALES + T1: a 2n 0 ; ∀ a IR , n Z

Definiciones: Sea: { a ; b ; c } ∈ IR 1. “a” es no positivo 2. “a” es no negativo 3. a b

a 0

T2: a > b ⇒ a ± m > b ± m T3: a > b ∧ m > 0

a< b ∨ a= b

4. a < b < c 5. a < b

a 0

a b ∧ m < 0

b >a

Importante: Sea: ax 2 + bx + c > 0 ; a>0 x IR

am > bm am < bm a/m < b/m

T5: a < b

1/a > 1/b

( a y b tienen el mismo signo)

b 2 – 4ac

FORMULARIO PREUNIVERSITARIO

Álgebra

ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN

Inecuación.... Polinomial

a 0 ax+b >

ax +bx+c < 0

De segundo grado

grado mayor o igual a 3

De grado superior Fraccionaria Irracional Exponencial Logarítmica Trigonométrica

A Se aplica el criterio de los puntos críticos. Importante: P(x) Si: Q(x) 0 Q(x)

Álgebra

A

P(x) > 0 Q(x) < n

b

> P(x) < 0 P(x)

B

> Q(x) 0,5

B 2n S1: Si: P(x) P(x) 0 S2: Elevamos a un exponente igual al indice y resolvemos. Luego el C.S. es: S1 S2 C x y b >b x >y x y x>y Si: 0 logc b, si: c>1 ax > b ⇔  logc ax < logc b, si: 0 logc b, si: 0g(x)>0 loga f(x) > loga g(x)   Si 0