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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

EJERCICIOS RESUELTOS CON MATLAB (II)

ASIGNATURA: Análisis matemático II

DOCENTE: M. Cs. Ing. Tito Chilon Camacho

INTEGRANTES: -

Alcalde Vargas, Carlos Antonio Cordova Gutierrez, Ronald.

GRUPO: “B”

Cajamarca, junio del 2016.

Universidad nacional de Cajamarca APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN (Áreas de ecuaciones cartesianas)

Ejercicios N° 1: Calcular el área limitada por las curvas: a) 𝑦 = 𝑥 2

;

𝑦 = 8 − 𝑥 2 ; 4𝑥 − 𝑦 + 12 = 0 Solución

Gráfica de la función:

syms x y hold on x=-10:0.001:10; y1=x.^2; plot(x,y1,'r'); y2=8-x.^2; plot(x,y2,'g'); y3=(4*x)+12; plot(x,y3); grid 100 80 60 40

Eje "Y"

20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -10

-8

-6

Análisis matemático II

-4

-2

0 Eje "X"

2

4

6

8

10

Página 2

Universidad nacional de Cajamarca

b) 2y = 4𝑥 2 − 𝑥 3

𝑥 2 = 4𝑦

;

Solución Gráfica de la función:

clear; syms x y hold on x=-10:0.00001:10; y1=(1/2).*((4.*x.^2)-x.^3); plot(x,y1,'r'); y2=(1/4).*x.^2; plot(x,y2); grid 700 600 500 400

Eje "Y"

300 200 100 0 -100 -200 -300 -10

-8

Análisis matemático II

-6

-4

-2

0 Eje "X"

2

4

6

8

10

Página 3

Universidad nacional de Cajamarca

c) 𝑦 = 2𝑥 2 𝑒 𝑥

;

𝑦 = −𝑥 3 𝑒 𝑥 Solución

Gráfica de la función: syms x y hold on x=-4:0.001:4; y1=2*(x.^2).*exp(x); plot(x,y1,'r'); y2=-(x.^3).*exp(x); plot(x,y2); grid on

2000

1000

Eje "Y"

0

-1000

-2000

-3000

-4000 -4

-3

-2

Análisis matemático II

-1

0 Eje "X"

1

2

3

4

Página 4

Universidad nacional de Cajamarca d) 𝑦 =

𝑙𝑛𝑥 4

;

𝑦 = x. ln 𝑥

Solución Gráfica de la función:

>> syms x >> x=0:0.001:3; >> y1=log(x)/4; >> y2=x.*log(x); >> plot(x,y1, 'r') >> hold on >> plot(x,y2) >> grid on

4

3

Eje "Y"

2

1

0

-1

-2

0

0.5

Análisis matemático II

1

1.5 Eje "X"

2

2.5

3

Página 5

Universidad nacional de Cajamarca ÁREAS DE REGIONES PLANAS PARAMÉTRICAS Ejercicio N°01: Hallar el área de la región limitada por las curvas: a) X=b(2𝑐𝑜𝑠∅ − 𝑐𝑜𝑠2∅)

;

𝑏 ∈ 𝑅+

y= b(2𝑐𝑜𝑠∅ − 𝑐𝑜𝑠2∅) Solución

Gráfica de la función:

syms t t = 0:0.1:10; >> x = 4*cos(t) - 2*cos(2*t); >> y = 4*sin(t) - 2*sin(2*t); >> plot(x,y) >> grid on 6

4

Eje "Y"

2

0

-2

-4

-6 -6

-5

-4

-3

-2 -1 Eje "X"

0

1

2

3

Calculamos el área entre las curvas >> x=2*b*cos(t) - b*cos(2*t); >> y=2*b*sin(t) - b*sin(2*t); >> Cardiode=4*int(abs(y*diff(x,t)),t,0,pi/2) Cardiode=4*int(abs((b*sin(2*t) - 2*b*sin(t))*(2*b*sin(2*t) - 2*b*sin(t))), t, 0, pi/2)

Análisis matemático II

Página 6

Universidad nacional de Cajamarca b)

X=

𝑡2 𝑡 2 −1

;

y=

𝑡3 𝑡 2 −1

Solución Gráfica de la función:

Eje "Y"

syms t hold on t=-5:0.01:5; x=(t.^2)./((t.^2)-1); y=(t.^3)./((t.^2)-1); [Ax,H1,H2] = plotyy(t,x,t,y,'plot'); grid on

60

60

40

40

20

20

0

0

-20

-20

-40

-40

-60 -5

-4

-3

Análisis matemático II

-2

-1

0 Eje "X"

1

2

3

4

-60 5

Página 7

Universidad nacional de Cajamarca ÁREAS DE COORDENADAS POLARES Ejercicio N°01: Hallar el área de la región plana delimitada por las curvas: a) 𝜌=2cos3𝜃 Solución Gráfica de la función:

>> syms theta >> theta=0:0.1:pi; >> rho=2*cos(3*theta); >> polar(theta,rho)

90

2

120

60 1.5 1

150

30

Eje 90°

0.5

180

0

210

330

240

300 270 Eje Polar

Análisis matemático II

Página 8

Universidad nacional de Cajamarca b) 𝜌=2(2 + 𝑐𝑜𝑠4𝜃) Solución Gráfica de la función:

>> syms theta >> theta=0:0.1:2*pi; >> rho=4+2*cos(4*theta); >> polar(theta,rho)

90

6

120

60 4

150

30

Eje 90°

2

180

0

210

330

240

300 270 Eje Polar

Análisis matemático II

Página 9

Universidad nacional de Cajamarca

EXPRESIÓN GENERAL PARA CÁLCULO DE ÁREAS Ejercicio N°01: Hallar el área de la región plana delimitada por las curvas: x=𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡

;

y= 𝑎2 . 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝑡

Solución Gráfica de la función:

syms t t = 0:0.1:10; x= cos(t); y=(cos(t)).^2+sin(t); plot(x,y) grid on 1.5

1

Eje "Y"

0.5

0

-0.5

-1 -1

-0.8

Análisis matemático II

-0.6

-0.4

-0.2

0 Eje "X"

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Página 10

Universidad nacional de Cajamarca LONGITUD DE CURVA Ejercicio N°02: Calcular el perímetro de uno de los triángulos curvilíneos limitados por el eje de las abscisas y las curvas de la función: 𝑦 = ln(𝑐𝑜𝑠𝑥)

;

𝑦 = ln(𝑠𝑒𝑛𝑥)

Solución

Gráfica de la función: syms x y hold on x=-3:0.001:3; y1=log(cos(x)); plot(x,y1); y2=log(cos(x)); plot(x,y2); grid on

0 -1 -2

Eje "Y"

-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -3

Análisis matemático II

-2

-1

0 Eje "X"

1

2

3

Página 11

Universidad nacional de Cajamarca Ejercicio N°03: 𝑥 = 𝑎(𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡)

;

𝑦 = a(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡)

Solución Gráfica de la función: syms t t = -10:0.1:10; x = t-sin(t); y = 1-cos(t); >> plot(x,y); >> grid on

2 1.8 1.6 1.4

Eje "Y"

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -15

-10

Análisis matemático II

-5

0 Eje "x"

5

10

15

Página 12

Universidad nacional de Cajamarca VOLÚMENES Ejercicio N°01: Hallar el volumen generado por las gráficas, q gira alrededor del eje x 𝑦 = √𝑥 ; 𝑦 = 𝑥 2 x=2 Solución Gráfica de la función: x=0:0.1:2; y=sqrt(x); plot(x,y) y=x.^2; plot(x,y) cylinder(y)

1

Eje "Z"

0.8 0.6 0.4 0.2 0 4 2

4 2

0

0

-2 Eje "Y"

Análisis matemático II

-2 -4

-4

Eje "X"

Página 13