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• Farah Sheikh

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Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann

FIAG – ESGE 3º

PROBLEMA01: 1-

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

Una placa cuadrada apoyada simplemente en sus extremos está sujeta a una carga por unidad de área como se muestra en la figura: la deflexión en la dimensión z se determina resolviendo la EDP elíptica: (

)

Sujeta condiciones de frontera en los extremos, donde la deflexión y la pendiente normal a la frontera son 0. El parámetro D es la rigidez de flexión, (1) Donde E=el modulo de elasticidad, ∆z = el espesor de la placa y δ=razón de poisson. Si definimos una nueva variable como sigue

La ecuación (1) se re expresa como:

……… (2) de manera sucesiva dos ecuaciones

de poisson. Primero, de la ecuación (**) se obtiene u sujeta a la condición de frontera u=0 en los extremos. Después los resultados se emplean junto con

, para obtener z

sujeta la condición que z=0 en los extremos. Desarrolle un programa computacional para determinar las deflexiones de una placa cuadrada sujeta a una carga constante por unidad de aire. Pruebe el programa con una placa de 2m de longitud en sus extremos, q=33.6 KN/m2, δ=0.3, ∆z= m y E=2x Pa. Emplee ∆x=∆y=0.5 m para su corrida de prueba.

a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. Rpta: Deflexiones de una placa cuadrada sujeta a una carga constante por unidad de aire. b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia, identificando el tipo de EDP. Rpta: El problema a tratar es una EDP tipo elíptica. c)

Plantear el esquema numérico de solución. Rpta: El método de solución que se usará es el método de diferencias finitas.

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2.-DATOS DEL PROBLEMA: q= E= ∆z= σ2=

33600 2x1011 10-2 0.3

3.-SOLUCIÓN: Aplicando el método de diferencias finitas, se puede sustituir cada uno de los sumandos en la ecuación (2): ………………………………………….………(*) Sustituyendo el valor numérico de cada constante y sabiendo que: entonces la ecuación (*) quedaría de la siguiente forma:

0

0

0

0 a).-De acuerdo a las condiciones dadas, establecemos las ecuaciones respectivas a cada nodo:      

Nodo 1: Nodo 2: Nodo 3: Nodo 4: Nodo 5: Nodo 6:

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 Nodo 7:  Nodo 8:  Nodo 9:

Realizando cálculos en la hoja de Excel (primer cálculo):

b).-Dada la forma de la ecuación característica establecemos las segundas ecuaciones para cada nodo con los resultados anteriormente obtenidos en la hoja de cálculo: De acuerdo a los datos del problema se sabe que ∆x=∆ y=0.5

        

Nodo 1: Nodo 2: Nodo 3: Nodo 4: Nodo 5: Nodo 6: Nodo 7: Nodo 8: Nodo 9:

-0.00315315x0.25 -0.0040131x0.25 -0.00315315x0.25 -0.0040131x0.25 -0.0051597x0.25 -0.0040131x0.25 -0.00315315x0.25 -0.0040131x0.25 -0.00315315x0.25

-Ahora establecemos las ecuaciones para el cálculo final:  Nodo 1:

-0.000788288

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Nodo 2: Nodo 3: Nodo 4: Nodo 5: Nodo 6: Nodo 7: Nodo 8: Nodo 9:

-0.001003275 -0.000788288 -0.001003275 -0.001289925 -0.001003275 -0.000788288 -0.001003275 -0.000788288

Realizando cálculos en la hoja de Excel (cálculo final):

C.-Deflexiones resultantes:

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3.-CODIFICACION EN MATLAB: Método 1: % calculo de las deflexiones en una placa sometida a esfuerzos clc dx=0.5; dy=0.5; dz=1e-2; q=33.6e3; dens=0.3; E=2e11; D=(E*dz^2)/(12*(1-dens^2)); K=(dx*dy*q)/D; %mattriz principal A=[-4 1 0 1 1 -4 1 0 0 1 -4 0 1 0 0 -4 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 -4 1 0 1 0

0 0 1 0 1 -4 0 0 1

T=ones(9,1); C=K*T; B=inv(A)*C; V=B Z=0.25*(inv(A)*V); z1=Z(1,1); z2=Z(2,1); z3=Z(3,1); z4=Z(4,1); z5=Z(5,1); z6=Z(6,1); z7=Z(7,1); z8=Z(8,1); z9=Z(9,1); fprintf('El valor obtenido fprintf('El valor obtenido fprintf('El valor obtenido fprintf('El valor obtenido fprintf('El valor obtenido fprintf('El valor obtenido fprintf('El valor obtenido fprintf('El valor obtenido fprintf('El valor obtenido

0 0 0 1 0 0 -4 1 0

0 0 0 0 1 0 1 -4 1

(z1) (z2) (z3) (z4) (z5) (z6) (z7) (z8) (z9)

de de de de de de de de de

0 0 0 0 0 1 0 1 -4];

deflexión deflexión deflexión deflexión deflexión deflexión deflexión deflexión deflexión

es es es es es es es es es

= = = = = = = = =

%6.8f %6.8f %6.8f %6.8f %6.8f %6.8f %6.8f %6.8f %6.8f

\n \n \n \n \n \n \n \n \n

',z1); ',z2); ',z3); ',z4); ',z5); ',z6); ',z7); ',z8); ',z9);

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Los resultados obtenidos usando MATLAB:

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