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Instituto de Matem´atica, F´ısica y Estad´ıstica.

Preparando C´ atedra #1 Ejercicios Resueltos Mat170 C´ alculo Diferencial 1. Al realizar un estudio en un sector minero se encontr´o un gran porcentaje de personas con niveles elevados de plomo en la sangre. El instituto de salud p´ ublica decidi´o comenzar un tratamiento con un costoso medicamento a las personas que tengan un 6 por ciento de sangre contaminada. El porcentaje que describe la cantidad de plomo en la sangre como efecto de x gramos del medicamento, viene dado por la relaci´on P (x) =

x2 + 5x + 6 x2 + x + 1

Con P expresado en porcentaje. a) Determine el porcentaje de plomo cuando x = 1 b) ¿Al menos cu´ antos gramos deben administrarse para el porcentaje de plomo sea menor que 2 por ciento?, para ello resuelva x2 + 5x + 6 ≤ 2(x2 + x + 1) Soluci´on 12 + 5 · 1 + 6 = 4% 12 + 2 + 1 Es decir cuando tiene 1 gramo de medicamento el porcentaje de plomo en la

a) Cuando x = 1, tendremos: P (1) =

sangre es 4. b) Resolviendo la inecuaci´ on x2 + 5x + 6 ≤ 2(x2 + x + 1)

x2 + 5x + 6 ≤ 2x2 + 2x + 2 0 ≤ 2x2 + 2x + 2 − x2 − 5x − 6 0 ≤ x2 − 3x − 4 0 ≤ (x − 4)(x + 1) La soluci´ on de la inecuaci´on ser´ıa: ] − ∞, −1]∪]4, ∞[, pero en el contexto del problema seria como m´ınimo 4 gramos.

Profesor: Luis Z´ un ˜iga Moya

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2. Las estrellas se clasifican en categor´ıas de brillo llamadas magnitudes. A las estrellas m´as d´ebiles (con lujo luminoso L0 ) se les asigna magnitud   6. A las estrellas m´as brillantes se les asigna magnitud L . En donde L es flujo luminoso de la estrella. conforme a la f´ ormula: m = 6 − 2, 5Log L0 a) Determine m si L = 100,4 L0 b) Despeje L

Soluci´on a) Reemplazando:  m = 6 − 2, 5 log

100,4 L0 L0



m = 6 − 2, 5 log(100,4 ) ⇒ m = 5 b) Despejando L , esto es:  2, 5 log  log

L L0 

L L0

 =6−m =

6−m 2, 5

Aplicando definici´ on de logaritmo: 6−m 6−m L = 10 2,5 ⇒ L = L0 · 10 2,5 L0

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3. En una poblaci´ on de 5 mil personas se est´a transmitiendo una infecci´on estomacal por bacter´ıas. Sea: P (t) =

5000t t + 100

el n´ umero de personas infectadas t semanas despu´es del comienzo de la epidemia. a) Determine si la funci´ on es biyectiva. b) Determine una funci´ on que describa el tiempo en funci´on de la poblaci´on.(Calcule funci´on inversa)

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Soluci´on a) Para ser biyectiva una funci´on, necesariamente debe cumplir con ser inyectiva y epiyectiva. Probaremos ambas: Inyectiva Si P (a) = P (b) ⇒ a = b con a, b ∈ Dom(f ), en este caso: P (a) =

5000a 5000b = = P (b) a + 100 b + 100

5000a(b + 100) = 5000b(a + 100)

·

1 5000

a(b + 100) = b(a + 100) ab + 100a = ab + 100b ⇒ a = b ∴ P (t) es inyectiva. Epiyectiva Para determinar la epiyectividad el Recorrido de la funci´on debe ser igual al conjunto Im´ agen de la funci´on, en este caso s´olo debemos calcular el recorrido, para ello despejamos x en funci´on de t. P =

5000t t + 100

P t + 100P = 5000t t(5000 − P ) = 100P t=

100p 5000 − P

Luego el recorrido es Rec(f ) = R+ − {5000}

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4. Un lago formado por un dique contiene inicialmente 1000 peces. Se espera que su poblacin aumente seg´ un: N (t) =

30 1 + 29e−kt

Donde N es el nmero de peces en unidades de mil, que se espera despu´es de t a˜ nos. Si se sabe que al cabo de 6 meses la poblaci´ on aument´ o a 1900 peces y se plantea que el lago estar´a abierto para la pesca cuando el n´ umero de peces sea de 20000. ¿ Cu´antos a˜ nos pasar´an para que se abra el lago a la pesca? Soluci´on Se sabe de los datos que N (0, 5) = 1, 9 mil de peces por lo que: N (0, 5) =

30 = 1, 9 1 + 29e−0,5k

30 = 1 + 29e−0,5k 1, 9 30 − 1 = 29e−0,5k 1, 9 281 = 29e−0,5k 19 281 = 29e−0,5k 551   281 ln = −0, 5k 551   281 k = −2 ln 551 Se pide que N (t) = 20 miles, luego: 20 =

30 ln 58 ⇒t= k 1 + 29e−kt

Por lo que: t=

ln 58   281 −2 ln 551

de donde t ≈ 3, 01491 a˜ nos.

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5. Una huerta de manzanos tiene 40 ´ arboles por hect´area y el promedio de producci´on son 500 manzanas por ´arbol por a˜ no. Si por cada ´ arbol que se plante por hect´area, adem´as de los 40, la producci´ on promedio disminuye en 5 manzanas, determinar: a) La funci´ on producci´ on que modele la situaci´on anterior, con variable independiente el n´ umero de ´arboles. b) La producci´ on m´ axima de manzanas

Soluci´on a) Sea x el n´ umero de ´ arboles nuevos plantados, por lo que (40 + x) es el n´ umero de ´ arboles plantados.La producci´on luego de plantar x ´arboles nuevos ser´a: (500 − 5x), entonces la funci´on producci´on dependiendo del n´ umero de ´arboles nuevos plantados ser´ a: P (x) = (40 + x)(500 − 5x) P (x) = 20000 + 300x − 5x2 b) Al ser una funci´ on cuadr´ atica, el m´aximo estar´a en el v´ertice, luego:   −300 4 · −5 · 20000 − 3002 V = , 2 · −5 2 · −5 V = (30, 24500)

Esto quiere decir, que con 30 ´arboles nuevos plantados la producci´on m´axima de manzanas es 24500.

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6. Resuelva la siguiente inecuaci´ on en R

x2 − 6x + 7 >0 x−2

Soluci´on Observe que la inecuaci´ on se puede reescribir como: (x − 7)(x + 1) >0 x−2 Usando tabla francesa tendremos: ] − ∞, −1[ ] − 1, 2[ ]2, 7[ ]7, +∞[ x+7

−

−

−

+

x+1

−

+

+

+

x−2 − − (x − 7)(x + 1) − + x−2 Por lo tanto, el conjunto soluci´ on est´a dado por:

+

+

−

+

S =] − 1, 2[∪]7, +∞[

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7. Resuelva la siguiente inecuaci´ on en R

x2 − 2x − 8 >0 x2 + x − 42

Soluci´on Observe que la inecuaci´ on se puede reescribir como: (x − 4)(x − 2) >0 (x + 7)(x − 6) Usando tabla francesa tendremos: ] − ∞, −7[ ] − 7, −2[ ] − 2, 4[ ]4, 6[ ]6, +∞[ x−4

−

−

−

+

+

x+2

−

−

+

+

+

x+7

−

+

+

+

+

x−6 (x − 4)(x − 2) (x + 7)(x − 6)

−

−

−

−

+

+

−

+

−

+

Por lo tanto, el conjunto soluci´ on est´a dado por: S =] − ∞, −7[ ∪ ] − 2, 4[ ∪ ]6, +∞[

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8. El gerente de ventas de una tienda de art´ıculos deportivo grafic´o las venta contre el tiempo para los u ´ltimos cinco a˜ nos y determin´ o que en el primer a˜ no las ventas fuerons de 20 mil d´olares y que para el quinto a˜ no es de 60 mil d´ olares, si el comportamiento es lineal determine ¿Qu´e monto de ventas se espera para el sexto a˜ no? Soluci´on Como es un comportamiento lineal tendremos que la funci´on que modela esta situaci´on es de la forma y = ax + b, pero sabemos que pasa por los puntos (1, 20) y (5, 60), lo que significa quex = 1, cuando

y = 20 y x = 5, cuando

modelo tendremos el siguiente sistema de ecuaciones:   20 = a + b ⇒ a = 10 y  60 = 5a + b

y = 60,reemplazando en el

b = 10

Luego el modelo es y = f (x) = 10x + 10. Si x = 6 entonces: y = 10 · 6 + 10 ⇒ y = 70. Es decir al sexto a˜ no vende 70 unidades.

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9. Suponga que se espera que un objeto de arte adquirido por 50000 pesos aumente a su vez su valor a una raz´on constante de 5000 pesos por a˜ no durante los pr´oximos cinco a˜ nos. ¿Cu´al ser´a su valor tres a˜ nos despu´es de la fecha de adquisici´ on?

Soluci´on Sea x el tiempo en a˜ nos transcurridos desde la adquisici´on y sea y el valor del objeto en d´olares. Entonces el modelo lineal ser´a de la forma y = ax + b donde a es la raz´on y b es la constante, en este caso tendremos a = 5000 y b = 50000, por lo que el modelo para este caso es: y = 5000x + 50000 Tres a˜ nos despu´es de la fecha de adquisici´on el valor del objeto estar´a dado por: y = 5000 · 3 + 5000 ⇒ y = $65000

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10. Despu´es de observar una fotocopiadora autom´atica de trabajo continio, el t´ecnico descubre que por un defecto de funcionamiento, la producci´on disminuir´a en un n´ umero constante de hojas impresas por hora, arrojando 4480 hojas impresas durante la primera hora con desperfectos. Si la hora 30 con desperfecto produjo 3900 hojas. a) Determine un modelo lineal que sea capaz de predecir la cantidad de hojas arrojadas por la fotocopiadora con defecto N en funci´on de la cantidad de horas t. antas horas la cantidad de hojas arrojadas por la fotocopiadora alcanza las 4420? b) ¿Despu´es de cu´

Soluci´on Nuestro modelo lineal ser´ a de la forma N (t) = at + b, con la condici´on que pase por los puntos (1, 4480) y (30, 3900) a) Con los datos anteriores tendremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:   4480 = a + b ⇒ a = −20 y b = 4500  3900 = 30a + b Luego el modelo ser´ a de la forma: N (t) = −20t + 4500 b) Existe un t ∈ Dom(f ) tal que N (t) = 4420 esto quieres decir: −20t + 4500 = 4420 ⇒ t = 4 ∴ Despu´es de 4 horas de funcionamiento la m´aquina arroja 4420 hojas.

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11. La tasa de crecimiento de los peces depende de la temperatura t del agua en la cual habitan. Para los peces de un cierto lago, la tasa de crecimiento G ( en porcentaje por d´ıa) est´a dada por la funci´ on: G(t) = −0, 346(t − 23)2 − 0, 0723(t − 23) + 3, 77 a) Encuentre la temperatura del agua que genera la m´axima tasa de crecimiento. Soluci´on Desarrollando el cuadrado de binomio y reduciendo la funci´on toma la forma de: G(t) = −0, 346t2 + 15, 8437t − 177, 6011 a) Al pedir el m´ aximo debemos calcular el v´ertice de la funci´on cuadr´atica:   −15, 8437 4 · −0, 346 · −177, 6011 − (15, 8437)2 V = , 2 · −0, 346 4 · −0, 346 V = (22, 89552023; 7, 547553887) ∴ La temperatura que genera la m´axima tasa de crecimiento es aproximadamente 22, 9 grados Celsius.

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12. Un Investigador de ACHS establece que la funci´on r(s) = −s2 + 12s − 20 es un modelo matem´atico que describe el n´ umero de impulsos emitidos por un trabajador, despu´es de su jornada laboral. La variable s es el n´ umero de segundos transcurridos desde que es estimulado el nervio. Grafique la funci´ on e interprete en el contexto del problema. Soluci´on Para realizar un bosquejo de gr´ afico debemos encontrar algunos puntos notables como; corte con los ejes y el v´ertice. intersecci´ on eje y es (0, −20 intersecci´ on eje x se debe resolver la ecuaci´on: −s2 + 12s − 20 = 0 donde a = −1, b = 12, c = −20 por f´ormula de ecuaci´on cuadr´atica: √ −12 ± 122 − 4 · −1 · −20 S= ⇒ S1 = 2 y S2 = 10 2 · −1 Luego los puntos son (2, 0 y (10, 0) V´ ertice  v=

−12 4 · −1 · −20 − 122 , 2 · −1 4 · −1



V = (6, 16)

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