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ÁLGEBRA – V– V ARITMÉTICA

PAMER – UNI

PROBLEMAS

11. Hallar: “a+b”; si:

abb

(9)

= (b + 1)(b + 1)a

a) 5

d) 8

b) 6

e) 9

(7)

PROPUESTOS

16. Si: abab (n) = 50 ; calcular: “a+b+n”

c) 7

a) 5

d) 8

b) 6

e) 9

c) 7 12. Hallar: “a+b”, sabiendo que:

(a + 1)b6

(x)

= abb

17. Si se cumple que: w0a (c) = ac0 (w+ 2) , (8)

donde (0 =cero), hallar el menor valor de

a) 8

d) 11

b) 9

e) 12

“w + a + c”

c) 10

a) 10

d) 9

b) 7

e) 13

c) 11 13. Hallar el valor de “n”, si se cumple que:

( n2 )( n2 )( n2 )(n) = n ( n2 ) a) 2

d) 6

b) 4

e) 8

18. ¿Cuántas cifras “0” (cero) tiene la siguiente expresión: E = 217 + 2 8 + 2 4 + 2 + 1 , al representar-

se en el sistema binario?

c) 5

a) 12

d) 15

b) 13

e) 16

c) 14 14. Expresar el valor de “E” en el sistema de base “n” (n > 3), sabiendo que:

19. Si:

E = 2n 8 + n 6 + 3n 5 + 2n 3 - n + 1

A = 17x119 + 5x116 - 13x115 + 9x113 - 4x11 2 + 15;

Dar como respuesta la suma de sus cifras.

expresar “A” en el sistema undecimal. Dar

a) 2n + 6

d) 3n – 1

como respuesta la suma de sus cifras.

b) 3n + 1

e) 4n – 1

a) 37

d) 40

b) 38

e) 41

c) 2n – 1

c) 39 15. Hallar: “a+n”; en: aa

a) 34 b) 36

(n)

+ aa

(n+ 1)

+ aa

(n+ 2)

20. Si: abab (5) = (a + b)aa

= 105

d) 28 e) 29

a) 8

d) 9

b) 6

e) 5

c) 7

c) 32 4 5

(8)

ÁLGEBRA – V– V ARITMÉTICA

PAMER – UNI

01. ¿Cómo se representa en base 9 el menor de 04. Se tiene que: abcd

los siguientes números: 7a3

(8) ;

545(b) ; 6b5

d) 184(9)

b) 252(9)

e) 236(9)

(7)

a) 6

d) 9

b) 7

e) 10

c) 8

c) 418(9)

02. Si se cumple que:

2a5

( )( m6 )( m9 )

= 15 m

Hallar el valor de: “a + b + c + d”

(a)

a) 623(9)

(m+ 2)

(n)

05. Si se cumple que: 144 (n) = aa5

= 1n(a + 1)

Calcular: “a + n”

(7)

Calcular el valor de “a”

a) 11

d) 15 e) 9

a) 4

d) 1

b) 14

b) 9

e) 3

c) 13

c) 5 06. En una isla hay “abc ” seres vivientes, de los cuales “ a0c ” son hombres; “ ab ” son mu-

03. Sabiendo que:

jeres; “a” son niños; y “c” son niñas. Si el número de habitantes está comprendido

G = 124 (m) + 30m + mnp + 1n5 (n) (p) (8)

entre 150 y 300, determinar cuántas mujeDar “G”, en el sistema decimal.

res hay en dicha isla.

a) 623

d) 621

a) 21

d) 25

b) 620

e) 619

b) 23

e) 26

c) 24

c) 625

4 6

ÁLGEBRA – V– V ARITMÉTICA

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07. ¿Cuál es el valor de “n” en: 13

= 200 (3)

13 13 13 (n)

a) 4

d) 7

b) 5

e) 8

c) 6

08. Si: 25a = a75

(8)

; el valor de “a” es:

a) 1

d) 4

b) 2

e) 5

c) 3

09. Si: mnn (9) = 10m3 (7) ; hallar: “m.n” a) 20

d) 16

b) 12

e) 25

c) 15

10. Si: (a - 1)(a - 2)(a - 1)(a - 1)

(a)

= 5(3b)(3b)

Calcular: “a + b” a) 5

d) 8

b) 6

e) 9

c) 7

4 7

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4 8

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⎡⎧

⎫

⎤

⎪⎭

⎥ ⎦⎥

2n f(x)> g(x) ⇔ f(x) ≥ 0 ∧ ⎢⎪g(x)> 0 ∧ f(x) > g(x) 2n ⎪ ∪ g(x)< 0 ⎥ ⎡ ⎤ ⎬ ⎨

⎣

⎢⎪ ⎣⎢ ⎩

⎧ 1 ⎫ ⎨αβ; ⎬ αβ ⎭ ⎩

⎦

3m 24

m 18

a

$ CONCEPTOS BÁSICOS DE

b

$ ECUACIONES DE 2do GRADO – INECUACIONES DE 2do GRADO.

$ INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

4 9

m

x

=

6m

ECUACIONES

E INECUACIONES.

$ FUNCIONES.

m

22 00 00 55

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5 0

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ECUACIONES DE 1ER GRADO Forma General : ax + b = 0 Casos para su Resolución: 1.

a≠ 0

2.

a = 0 ∧ b = 0 : x∈

3.

a = 0 ∧ b ≠ 0 :x ∈φ

: x = – b/a

Clases de Ecuaciones 1. Compatible: cuando tiene solución. Se subdivide en dos. A. Determinado: si tiene un número finito de soluciones. B. Indeterminado: Si tiene infinitas soluciones. 2. Incompatible: cuando no tiene solución. SISTEMAS DE ECUACIONES DE 1ER

GRADO

Para resolver un sistema se utiliza el proceso denominado MÉTODO ALGEBRAICO, que consiste en la eliminaicón progresiva de las incógnitas por medio de transformación realizados en el sistema. Este proceso genera los métodos por REDUCCIÓN, IGUALDAD y SUSTITUCIÓN ANÁLISIS DE UN SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS: Dados:

ax + by = c dx + ey = f

a b 1. El sistema tiene solución única si: d ≠ e a b c 2. El sistema tiene infinitas soluciones cuando: d = e = f a b c 3. El sistema no tiene solución si: d = e ≠ f

CLASES DE SISTEMAS: 1. Sistema Compatible o Consistente: cuando tiene solución. Se subdivide en dos. A. Determinado: sit tiene cierto número de soluciones. B. Indeterminado: cuando tiene infinitas soluciones. 2. Sistema Incompatible o Inconsistente: si no tiene solución 5 1

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ECUACIONES DE 2DO GRADO Forma General : ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0)

Resolución: 1. Por factorización 2. Por fórmula: x1;2 =

−b ±

b 2 − 4 ac 2a

DESIGUALDADES Es la relación que existe entre dos cantidades de diferente valor SIGNOS DE RELACIÓN: >

mayor que

≥ mayor o igual que
b ∧ c ∈ → a ± c > b ± c 2. a > b ∧ c > 0 ↔ ac > bc ∨ a > b c c 3. a > b ∧ c < 0 ↔ ac < bc ∨ a < b c

4. Si

c

a > b ∧ c > d →a +c > b+d a > b > 0 ∧ c > d > 0 → ac > bd

5. Si

a >b ∧ c < d → a − c > b − d

a > b > 0 ∧ 0 < c < d → a :c > b:d

6. a > b > 0 ↔ 0 < 1 < 1 a b 7. a < b < 0 ↔ 0 > 1 > 1 a b 8. a > b ↔ a 2n +1 > b 2n +1 ; n ∈ +

5 2

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9. a > b > 0 → a 2n > b 2n ; n ∈ +

ó bien: − ∞ ; b = {x ∈ / x < b}

10. a < b < 0 → a 2n > b 2n ; n ∈ + ⎧a > b ∧ x > 1 11. x a > x b ↔ ⎨ ⎩a < b ∧ 0 < x < 1

b INECUACIONES DE 1ER GRADO

INTERVALOS: Es un sub conjunto de .

Forma General:

CLASES:

> 0 ax + b
0) ax + b > 0 ; x > − b / a ; x ∈ − b / a ; ∞

a

b

ax + b ≥ 0 ; x ≥ − b / a ; x ∈ ⎡⎣ − b / a ; ∞

2. Abierto: Sea a < b

ax + b < 0 ; x < − b / a ; x ∈ − ∞ ; − b / a

a ; b = { x ∈ / a < x < b}

a

ax + b ≤ 0 ; x ≤ − b / a ; x ∈ − ∞ ; − b / a ⎤⎦

b

3. Semiabierto: Sea a < b ⎡⎣a ; b = { x ∈ / a ≤ x < b}

a

b

ó bien: a ; b ⎤⎦ = {x ∈ / a < x ≤ b}

a

b

4. No Actodado: ⎡a ; ∞ = { x ∈ / x ≥ a } ⎣

a 5 3

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b)

− 1 ab

1

e) a + b

c) a – b

01. Resolver: 2(x – 1) + 3 (x – 2) = 4 (x – 3) a) 2

d) – 4

b) – 2

e) 3

06. Resolver: 2x + 3y = 4 + 5x + 6y ...(1) 2x – 3y = 4 – 5x + 6y ...(2)

c) – 1

Calcular “12xy” 1 1 02. Resolver: x + 1 = 2 x −1

a) – 5

d) 3 e) 5

a) 1

d) a y c

b) – 3

b) 2

e) a o c

c) 0

c) 4

03. Resolver e indicar:

07. Resolver:

x − 25 .

x (y + 4) – y (x + 4) = 4 ...(1) 3 14 + x + 3 14 − x = 4

a) 25

d) 13

b) 20

e) 4

x (x + 4) – y (y + 4) = 9 ...(2) Calcular “2x – 3y”

c) 12

d) 2

b) – 2

e) 4

c) 0

04. Resolver: 3m

a) – 4

24 m 18 m

mx = 6m

08. Resolver: a) 2 m

d) 4 m

b) m

e) 1

x + y + 3 x + y + 2 ...(1) = 2 3

c) 2

x − y + 4 x − y + 3 ...(2) = 3 4

05. Resolver en “x”: Calcular “y” a b a b − = − a x −1 b x −1 a x +1 b x +1

a) ab

1

d) a − b

a) – 6

d) 1

b) – 1

e) 6

c) 0 5 4

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09. Calcular “x”

13. Resolver: 1 +1− 1 =1 2x 4 10x 5

a) – 9

d) – 6

b) – 8

e) 7

c) – 7

2 + 4 =3 3x + y 3x − y

...(1)

2 − 4 =1 3x + y 3x − y

...(2)

Calcular “6x” a) 1

d) 7

b) 3

e) 9

10. Calcular “x”

(

)

a 2 + ab x

a 2 + ab + b 2

3 2 2 − ab − a b = x 3 a − b3

a) a

d) ab

b) b

e) a – b

c) 5

14. Calcular “a” para que el siguiente sistema sea incompatible:

c) a + b

(a + 2) x + 2ay = 7 ...(1) 5x + (a + 3) y = 8

x2

11. Calcular

si :

x+

24 − x

x−

24 − x

=

2 +1 2 −1

a) 49

d) 100

b) 64

e) 81

a) 2

d) 8

b) 4

e) 10

...(2)

c) 6

15. Hallar los valores de “a” y “b” sabiendo que

c) 36

los siguientes sistemas tienen las mismas soluciones:

12. Resolver: 2x + 3y = 8

...(1)

4x + 5y = 14

...(2)

Calcular “xy” a) 1

d) 4

b) 2

e) 5

ax + 2y = 5

2x + ay = 4

bx + 3y = 10

3x + by = 11

a) (11 ; 4)

d) (3;1)

b) (4 ; 11)

e) (2;3)

c) (1;3) c) 3 5 5

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PROBLEMAS

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19. Una raíz de la ecuación:

PROPUESTOS

x 2 − 5x + n − 2 = 0 16. Resolver para “x” en:

es 2. Indique la otra raíz.

x m+m =m x mx + n

a)

m n +1

d) m(1 – n)

b)

n m +1

e)

c)

n m −1

a) – 1

d) 3

b) 1

e) – 3

c) – 2

n 1−m

20. Si: 1 < x < 3 entonces x − 3 se encuentra x +1 entre:

17. Hallar “x” del sistema:

y – a (y – a (y – a)) = 1 d) a + 1

b) a – 1

e) a + 2

c) a

18. Halle “m” de manera que x excede en 1 a “y” en el sistema: 5x – 2y = m ...... (1) 3x + y = m – 1 ... (2) a) 5

d) 8

b) 6

e) 9

d) – 4 y – 3

b) – 1 y 0

e) 1 y 2

c) – 3 ; – 2

x – y (x – y (x – y)) = 1

a) a – 2

a) – 2 y – 1

c) 7

5 6

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01. Resolver: x −1 − x − 3 = x − 4 − x − 2 x − 2 x − 4 x − 3 x −1

a) 3a + b = c

d) a 2 + b 2 = c 2

b) 2a + 3b = c

e) 2a – c = 3b

c) 3a + 2b = c a) 3/2

d) 7/2

b) 5/2

e) 1/2

05. Del sistema:

c) 9/2 x 2 y 4 − 4 xy 2 − 32 = 0....(1)

xy = 4 ... (2)

02. Resolver:

indique el número de soluciones.

x + 1 + 3x + 1 = 5 2x + 1 4 x + 1 4

a) 1

d) 4

a) 0,1

d) – 0,2

b) 2

e) 5

b) – 0,1

e) – 0,3

c) 3

c) 0,2 06. Determine

y del sistema: z+ x

03. Resolver: x + y + z = 24 (x + 2)(x − 4) (x + 4)(x − 7) − = 5 7(x + 3)(x − 5) 12(x + 5)(x − 8) 84

x + y – z = 18 x – y + z = – 16

a) – 10

d) – 30

b) – 20

e) – 40

c) – 25

a) 6

d) 3

b) 5

e) 2

c) 4

04. Determine la relación entre a; b y c de modo

07. Resolver la ecuación de primer grado en “x”

que el sistema: n

x – 2y = – 1

x n x = n(n − 1)

2x + 3y = 12

a) 1

d) – 2

ax + by = c

b) – 1

e) n

c) 2

admita solución. 5 7

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08. Un valor de “x” en: abx 2 + (3a + 2b)x + 6 = 0 ;es

a) 2/a

d) 3/b

b) b/3

e) – 2/a

c) – 9/2

09. Si x = 1 + 1 + 1 + ... puede decirse que: a) x = 3

d) x = 2

b) 0 < x 3(x + 3) + (x 3 − 4)

a) – 4

d) – 1

b) – 3

e) 0

c) – 2

5 8

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ax2 + bx + c = 0

Forma General:

donde: a; b ;c ∈ ∧ a ≠ 0 . siendo : x1 ; x 2 sus raíces ó soluciones NATURALEZA o CARACTERÍSTICA DE LAS RAÍCES Si a ; b ; c ∈ ∧ ∆ = b 2 - 4ac (Discriminante) Setiene: 1. ∆ > 0 : Raíces Reales y diferentes 2. ∆ = 0 : Raíces Reales e iguales 3. ∆ < 0 : Raíces Complejas y conjugadas OBSERVACIÓN: Cuando las raíces son reales: ∆ ≥ 0 . OBSERVACIÓN: Para: ⎫ Raíz doble ⎪ Raíz única ⎬ ∆= 0 Raízde multiplicidad 2 ⎪⎭

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 1. Suma:

x1 + x 2 = - b a

* Para raíces simétricas: b = 0

2. Producto:

x1 x 2 = c a

* Para raíces recíprocas: a = c

3. Diferencia:

x1 - x 2 = ± ∆ a

5 9

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FORMACIÓN DE LA EC. CUADRÁTICA A PARTIR DE SUS RAÍCES Sean x 1 y x las raíces y S = x + x ; P = x x 2 1 2 1 2

x2 - Sx+ P = 0

Luego la ecuación requerida es:

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON RAÍCES COMUNES Dadas:

ax 2 + bx + c = 0 dx 2 + ex + f = 0

puede ocurrir que las ecuaciones tengan:

* Una sola raíz común; entonces los coeficientes verifican:

( af - cd )2 = ( ae - bd )( bf - ce ) * Las dos raíces comunes; por tanto se cumple que:

a= b= c d e f

ax 2 + bx + c > < 0

Forma General: siendo a ; b ; c ∈ ∧ a ≠ 0 Resolución: Existen tres casos 1. Cuando ∆ > 0 : (a > 0)

* Se forma ax 2 + bx + c = 0 y se obtiene sus raíces x1 ;x 2 * x1 ;x 2 son llamados PUNTOS ó VALORES CRÍTICOS y se ubican en la recta numérica. * Se aplica la REGLA DE SIGNOS empezando con (+) en el primer intervalo formado a la derecha.

∞

(+ )

(+ ) ∞

( ) x1

x2 6 0

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* Los INTERVALOS SOLUCIÓN se toman dependiendo de la desigualdad por resolver, es decir: > 0 ; x∈ Unión de intervalos (+) < 0 ; x∈ Intervalo (–) ó también

ax 2 + bx + c > 0 ; x ∈ − ∞ ; x1 ∪ x 2 ; ∞ ax 2 + bx + c ≥ 0 ; x ∈ − ∞ ; x1 ⎤⎦ ∪ ⎡ x 2 ; ∞ ⎣

ax2 + bx + c < 0 ; x ∈ x1 ;x2 ax 2 + bx + c ≤ 0 ; x ∈ ⎡⎣x1 ; x 2 ⎤⎦ 2. Cuando ∆ = 0 ∧ a > 0 (se forma un trinomio cuadrado perfecto).

(

Se tiene x - x1

)

2

> 0 (pues x = x ) ; luego: < 1 2

{ }

ax 2 + bx + c > 0 ; x ∈ - x1 ax 2 + bx + c ≥ 0 ; x ∈ ax 2 + bx + c < 0 ; x ∈ φ

{ }

ax 2 + bx + c ≤ 0 ; x ∈ x 1

2 > 0 ; con β > 0 ; 3. Cuando ∆ < 0 ∧ a > 0 ; resulta un trinomio positivo, es decir ( x + α ) + β
0 ⎫⎪ ⎬ x ∈ ax 2 + bx + c ≥ 0 ⎭⎪ ax 2 + bx + c < 0 ⎫⎪ ⎬ x ∈φ ax 2 + bx + c ≤ 0 ⎪⎭ OBSERVACIÓN : Cuando ocurra que:

ax 2 + bx + c ≥ 0 ; a > 0 ; x ∈ Usaremos: ∆ ≤ 0 .

6 1

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a) – 3

d) 23/13

b) – 2

e) 21/13

c) 14/9

05. Resolver la inecuación:

01. Si la diferencia de las raíces de la ecuación:

3x 2 + 14 x − 5 ≥ 0

x 2 − 2ax + a + 1 = 0 : vale 4, hallar la suma

de los valores de “a”. a) 1

d) – 1

b) 2

e) – 2

c) 3

02. Dada la ecuación: (m − 1)x 2 − 2mx + x + 1 = 0

a)

⎡ x ∈ −∞ ;1⎤⎦ ∪ ⎢ 5 , + ∞ ⎣3

b)

x ∈ −∞ ; − 5 ⎤ ∪ ⎡⎣1, + ∞ 3 ⎥⎦

c)

x ∈ −∞ ; − 5 ⎤⎦ ∪ ⎢⎡ 1 , + ∞ ⎣3

d)

x ∈ −∞ ; − 1 ⎤⎦ ∪ ⎡⎢ 5 , + ∞ ⎣3

e)

x ∈ −∞ ; − 1 ⎤ ∪ ⎡⎣5 , + ∞ 3 ⎥⎦

cuyo conjunto solución es x ∈ { r , s} . Calcule la suma de los valores de “m” que cumplen la condición : r – 2s = 1 a) 1

d) – 1

b) – 2

e) 2

06. La inecuación: x 2 − 6x + 1 < 0.

c) 3

Presenta como conjunto solución a: α ;β . 03. Hallar el menor número impar que se debe Determine: asignar a “k” en kx 2 + 8x + 4 = 0 con la

R = α + β − αβ.

condición que sus raíces sean números complejos. a) 1

d) 7

b) 3

e) 9

a) 6

d) 4

b) 7

e) 3

c) 5

c) 5 07. Resolver:

( 2x − 3 )( x + 1 ) ≥ ( x + 5 ) ( x − 2 )

04. Para que valor de “p” la inecuación:

( 3 p 2 − p ) x 2 + ( 2p − 9 ) x + 2p 2 − 5 < 0 se satisface sólo para: x ∈ 3 / 7 ; 1 / 2 .

6 2

a)

φ

d)

b)

+

e) x ∈ {0}

c)

−

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08. Resolver:

Hallar la suma de las cifras del número “x”

( 2x − 3 )( x + 1 ) ≥ ( x + 5 ) ( x − 2 ) a)

φ

d)

b)

+

e) x ∈ {0}

c)

−

a) 10

d) 13

b) 11

e) 14

c) 12 2 13. Si la desigualdad: − 3 < x + ax − 2 < 2 x2 − x + 1

se cumple ∀ x ∈ . Hallar entre que límites

09. Si una de las raíces de la ecuación:

varía “a” x 2 − ( 3n − 2 ) x + n 2 = 1 ; es el triple de la

otra. Indicar 11n. a) 31

d) 21

b) 20

e) 14

a)

− 2 ;0

d)

− 2;2

b)

− 1; 2

e)

2 ;5

c)

− 1;1

c) 51 14. Resolver el siguiente sistema de inecuaciones: ⎧ 4 x2 − 1 > 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪− ⎩ 2x + 5x − 3 > 0

10. Si las raíces de: x 2 + mx + n = 0 ; son las recíprocas de las raíces de la ecuación: 3x 2 + 8x − 5 = 0 . Hallar: (mn)

a) 3/8

d) 8/3

b) 24/25

e) 1

a)

1; 1 2

d)

− 1;1

b)

− 1; 3 2

e)

−3;3 2 2

c)

− 3 ;−1 2

c) 25/24

11. ¿Para que valor de “p” la suma y el producto de raíces de: (p − 1)x 2 + px − 2 = 0

15. HallarA',si:

{

A = K∈ / Kx 2 + (2K + 3)x − 3 < 0 ; ∀ x ∈

tienen el mismo valor? a) 2

d) 3

b) – 2

e) – 3

}

Dar como respuesta uno de los extremos finitosdelosintervalossolución. c) – 1 a)

3 3 +3 2

d)

2 3 −3 3

b)

3 3 −3 2

e) 0

c)

2 3 +3 3

12. Si: “x” es un entero positivo, múltiplo de 73 que verifica la siguiente desigualdad

1


b) < −∞;6 ⎤⎦

e) < −6;6 ⎤⎦

c)

c) 33

}

6;+∞

20. Dado la inecuación en “x” 2x 2 + x + n 2 − m ≤ 0

17. Sabiendo que las ecuaciones:

{ }

a 2 x 2 + a 1x + a o = 0 a 1x 2 + a o x + a 2 = 0

Cuyo conjunto solución x o

admiten una raíz común. Determina el va-

a) – 1/2

d) 1/3

lorde:

b) 1/2

e) 1

a o2 a 1a 2

+

a 12 a oa 2

| xo | .

+

a 22 a o a1

a) 3

d) 1

b) 2

e) – 3

;( x ∈

c) 1/4

)

c) 3/2 18. {α;β} es el C.S. de: ax 2 + bx + c = 0

Determinar el C.S. de:

(

) (

)

ac x 2 + 1 − b 2 − 2ac x = 0

a)

⎧1 1⎫ ⎨ ; ⎬ ⎩α β ⎭

d) ⎧⎨ α ; β ⎫⎬

b)

⎧α β ⎫ ⎨ ; ⎬ ⎩2 2⎭

e) ⎨αβ; 1 ⎬ αβ

c)

{α 2 ;β2 }

⎩β α⎭ ⎧ ⎩

⎫ ⎭

6 4

entonces

ÁLGEBRA – V

{

PAMER – UNI

}

04. Si p y q son las raíces de la ecuación:

01. Si: x ; x + 2 es conjunto solución de la 1 1

x 2 + 2bx + 2c = 0

ecuación en “x”: 2x 2 − 6x + a + 1 = 0 .

Entonces el valor de: 1 + 1 es: p2 q 2

Halle el valor de “a” a) 1/2

d) 3/2

b) 1

e) 5/2

a)

4b2 − c 4c

c) 2 b)

b2 − 4 c

c)

b2 − c

c2

02. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son la suma y el producto de las in-

2

2 d) b − c c2 2 e) 4 b + c 4 c2

4 c2

versas de las raíces de: 2x 2 − 9x + 13 = 0

05. Si a y b son números reales de manera que

Dar como respuesta su término indepen-

las ecuaciones:

diente. a) 12

d) 9

b) 2

e) 15

(7a − 2 ) x 2 − ( 5a − 3 ) x + 1 = 0 8 bx 2 − ( 4 b + 2 ) x + 2 = 0

c) 18

Tengan la mismas raíces, luego: (a + b) es:

2 03. En la ecuación: x − bx = m . ax − c m +1

a) 5

d) – 3

b) 3

e) 2

c) – 1

Hallar “m” si sus raíces son iguales pero de 06. Resolver:

signo contrario.

x 2 − 14 x + 50 < 0.

−a a+b

d) a + b

b) ac – b

e) a + c

a)

c)

−b a+b

6 5

a)

x ∈

d) x ∈ − 7 ; ∞

b)

x ∈ − {3}

e) x ∈ φ

c)

x∈ 2 ; 4

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

10. Para que la desigualdad:

2 07. Resolver: x − 4 ≤ ( x + 2 ) . 2

x 2 − 3x + 9

ax + x (1 − 2a ) + a 2

Indicar el intervalo solución: a)

x ∈ ⎡⎣ 0 ; ∞ − {2}

>0

Se verifique ∀ x ∈ ; “a” debe pertenecer alintervalo.

b) x ∈ ⎡⎣ 0 ; ∞ ∪ {−2} c)

x ∈ ⎡⎣ 0 ;7 ∪ {−2}

d)

x∈φ

e)

x∈

a) ⎡⎣0 ;1⎤⎦

b)

c)

08. Si: ∀ x ∈ se verifica: x 2 + ( m − 1) x + 4 > 0

El mayor valor natural de “m” es: a) 2

d) 5

b) 3

e) 8

c) 4

09. Dado el conjunto:

{

A = x ∈ / x 2 − 3x − 1 < 3

}

Obtener el cardinal de A a) 5

d) 2

b) 4

e) 1

c) 3

6 6

− ∞;− 1 ⎤ 2 ⎥⎦

⎡1 ;∞ ⎢⎣ 2

d)

1 ;∞ 4

e)

−∞; 1 4

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

Forma General:

a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ...+ a n-1x + a n > 0 ) . 1. Se factoriza y se iguala a cero, cada uno de los factores, para obtener los puntos críticos. Si un factor no tine punto crítico real, se elimina y la inecuación no se altera. 2. En la recta numérica se ubica los puntos críticos que provienen de un factor de exponente impar. Los demás puntos críticos se prueban en la inecución para saber si forman parte ó no de la solución. 3. Se aplica la regla de signos empezando con “+” en el primer intervalo de la derecha y alternando signos en los demás intervalos formados. 4. Se elige la solución de acuerdo al tipo de igualdad que se está resolviendo; es decir: > 0 : x ∈ unión de intervalos de signos “+” < 0 : x ∈ unión de intervalos de signo “ – ” OBSERVACIÓN: Cuando se presentan factores de la forma ( x − α )

2n +1

se forman como si

tuviesen exponente UNO ; es decir ( x − α ) . OBSERVACIÓN: Cuando se presentan factores de la forma ( x − α )

2n

; el punto crítico " α " no

será colocado en la recta numérica; se analiza por separado, reemplazando en la inecuación, para saber si forma parte o no del conjunto solución:

OBSERVACIÓN: Cuando existan factores positivos o de ∆ < 0 estos serán eliminados, sin alterar la inecuación.

6 7

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

INECUACIONES FRACCIONARIAS

Forma General: Sean N(x) y D(x) polinomios; luego:

N(x) >0 D(x)
< 0

∧

D(x) ≠ 0

INECUACIONES IRRACIONALES

(

)

+ Casos que se presentan: n ∈ :

> 1. 2n+ 1 f(x) > < g(x) ⇔ f(x) < 2.

2n

[g(x)]2n+ 1

f(x)< g(x) ⇔ f(x) ≥ 0 ∧ g(x)> 0 ∧ f(x)< [ g(x)] ⎡⎧

2n ⎫

⎤

⎪⎭

⎥ ⎥⎦

2n f(x)> g(x) ⇔ f(x) ≥ 0 ∧ ⎢ ⎪g(x)> 0 ∧ f(x) > g(x) 2n ⎪ ∪ g(x)< 0 ⎥ ⎡ ⎤ ⎬ ⎨

⎣

⎢⎪ ⎢⎣ ⎩

⎦

OBSERVACIÓN: En 2n f(x) > g(x) cuando ocurra g(x) < 0, bastará con f(x) ≥ 0 .

6 8

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

5 ≥1 x

04. Resolver:

indicar su intervalo solución

(

2

)(

2

)

01. Resolver: x - x - 6 x - 5x + 6 ≤ 0 indicar el intervalo solución. a)

−∞, − 2 ] ∪ ⎣⎡ 2, +∞

b)

−∞, − 2 ∪ 2, +∞

c)

[ − 2 , 2]

d)

[ − 2 , 2 ] ∪ {3}

e)

− 2, 2 ∪ {4}

a)

x≤ 5

d) x ∈ ⎡⎣0, 5

b)

x ≥ 5

e) x ∈ 0, 5 ]

c)

x ∈ ⎣⎡ 0, 5 ⎦⎤

05. Resolver:

x2 4 > −2 x+ 2 x+ 2

indicando el intervalo solución

02. Resolver: x 5 > x .

a)

− 2,0

d)

b)

0,2

e) φ

c)

0 ,+ ∞

indicar su intervalo solución a)

−∞, − 1 ∪ 0 ,1

b)

−1 , 0 ∪ 1, +∞

c)

− ∞ , 0 ∪ 1, +∞

d)

− ∞ , 1 ∪ 2, +∞

e)

− 1, 0 ∪ 2, +∞

06. Hallar el conjunto solución de:

( x + 1 )7 ( x − 2 )5 ( x − 3 )3 ( x 2 + 1 ) ( x + 7 )9 ( x + 5 )

dar como respuesta la suma de extremos finitosdelosintervalossolución.

03. Resolver:

( x + 1)( x + 2 )( x + 3 ) ≤ ( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 )

[ − 3 , − 2]

b)

− 3, − 2

c)

⎣⎡− 3 , − 2

a) – 4

d) – 7

b) – 5

e) – 8

c) – 6

indique el conjunto no solución. a)

< 0

07. Resolver: x − 6 > − 2 indicando el intervalo solución.

d) −∞, − 3 ] ∪ ⎡⎣ − 2 , + ∞ e) −∞, − 3 ∪ − 2 , + ∞

6 9

a)

φ

d) 10, +∞

b)

⎡⎣6 , + ∞

e)

c)

− {6}

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

{

−∞, − 3 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ 3 , +∞

a) b)

}

12. Si: | a − 1| ; a − 3; a;a − 5; 12 − a ⊂ Z-

08. Resolver la desigualdad : x 2 − 9 < 4

hallar el conjunto solución en: x 2 − 3ax + 2a 2

⎡⎣ − 5 , 5 ⎤⎦

x 2 − 2ax − 3a 2

c)

−5,5

d)

− 5, − 3 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ 3, 5

a) 3

d) 15

e)

− 5, 3 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ 3, 5

b) 7

e) 17

< 0

e indicar la suma de sus elementos enteros.

c) 13 09. Dado el conjunto: B = {X ∈ + / − x +

13. Dada la ecuación :

4 ≥0 x

(m 2 + 6m + 5)x 2 + (m 2 + 6m + 5) x + m 2 = 0

¿Cuántos elementos tiene? a) 1

d) 3

b) 0

e) Infinitos

Indicar los límites de «m»para que el número (– 2) quede a su vez comprendido entre las dos raíces de la ecuación.

c) 2 a) m ∈ − 5; 10. Para que valores de «n»el polinomio: P(x;y) = ny 2 + 2(x + 1)+ (x + y)2 no es

b) m ∈ − 5;

−6 − 6 −6+ 6 ;− 2 ∪ 3 3

c) m ∈ − 4;

−6 − 6 −6+ 6 ∪ ;−1 3 2

negativo para cualquier valor real de “x” e “y”. a) ⎡⎣1 ; ∞

d) −1; ∞

b) − 1;1 c) [_ 1;1]

e) − ∞ ; 0

−6 − 6 −6+ 6 ;−1 ∪ 3 3

d) m ∈ e) N.A.

11. De la ecuación : 4 x + 6 (x + 1) 5 x − 3 ≤ 0

14. Resolver:

¿Qué se puede afirmar del mayor valor ob-

2x − 1 > 1 − x

tenido para x? a) Es negativo

a)

1 − 2 ;∞

d)

b)

1 ;∞ 2

e)

c)

1;∞

b) Es impar c) Es primo d) Es multiplo de 2 e) Hay 2 correctas 7 0

2 ;∞ 3

2 − 2 ;∞

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

18. Si S es el conjunto solución de la ecuación:

15. La solución de la desigualdad :

x 2 + 2 x 2 + 6x > 24 _ 6x

2 − x − 3 − x + x − 3 = x + 3;

es el conjunto S, el conjunto CS (Complemento de S) tendrá “m” elementos enteros,

Entonces se puede afirmar:

el valor de “m” es :

a)

n ⎣⎡ P(S)⎦⎤ = 4

d) S ∩ ⎡⎣ 2;10 ⎤⎦ = φ

b)

n ⎡⎣ P(S)⎤⎦ = 1

e) S ⊂ ⎡⎣ 3;9 ⎤⎦

c)

n (S) = 1

a) 11

d) 12

b) 7

e) 10

c) 6

PROBLEMAS

PROPUESTOS 19. A es el conjunto solución de la inecuación: | 3x − 1| − | 2x | − | x − 1| + 2x ≥ 1;

16. Resolver:

Entonces el conjunto A es:

x 2 − 3x − 4 ≥ x 2 − 2x − 29 5 − 16 − x 2

a)

⎡ 1 ;∞ > ⎢⎣ 2

d) ⎡⎣1;∞ >

b)

< −∞;1 ⎤⎦

e) < −∞;1 >

c)

< −∞;0 ⎤⎦

a) x ∈ ⎡⎣ −4; −1 ⎤⎦ ∪ {4 } b) x ∈ ⎣⎡ −3; −1 ⎦⎤ ∪ {4 } c) x ∈ ⎡⎣ −2; −1 ⎤⎦ ∪ {4 } d) x ∈ ⎣⎡ −2;1 ⎦⎤ ∪ {4 }

20. El mayor conjunto al cual pertenece “x” ,

e) x ∈ ∅

satisfaciendo la desigualdad: x+

17. Si la desigualdad: 2 −3 < x + ax − 2 < 2 x2 − x + 1

Se verifica ∀x ∈ . ¿Entre qué límites varía“a”?. a)

d)

b)

e)

1 + 1 ≥ 2 ; es x +1

a)

< −∞; +∞ >

b)

< −∞; −1 > ∪ < 0; ∞ >

c)

< −∞; −1 > ∪ < −1; ∞ >

d) < −3; ∞ > e)

c)

7 1

< −∞; −1 > ∪ < 0;1 >

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

(

01. Determinar el número “a” a ∈ −

) de

c)

manera que la raíz de la ecuación: d)

3 = 2a − 1 x x+a

⎡⎣ 3 ; ∞ − 3 / 2 ;1 − {− 1}

e) Hay dos respuestas

Sea mayor que 1 a)

− ∞;− 2

d)

− 2;0

b)

− ∞;− 4

e)

− 4 ;0

c)

− 4 ;− 2

05. Resolver: 2x − 3 − 2 − x > 0

Dar el intervalo solución. 02. Resolver:

5 < x+5 < 1 x−5 x−5

a)

0 ;5

d)

−∞ ; ∞

b)

5 ;∞

e)

−∞ ; 0

c)

0 ;∞

a)

5 / 3 ; 2 ⎤⎦

d)

− 5 / 3 ;7

b)

5 / 3;2

e)

− ∞;5 / 3

c)

− 5 / 3 ; 2 ⎤⎦

03. Indicar el menor valor entero que no verifica 3 3 la inecuación: x − 5 < x − 7 x2 + 2 x2 + 3

a) 1 b) 0 c) – 1

06. Resolver:

x2 − x − 6 < 3 − x

d) – 2 e) 2

04. Resolver: 3

x − 1 ( 2x + 3 )

3

( x + 1 ) 4 ( 3 − x )5 < 0

a)

− ∞;3

b)

− ∞ ; − 2 ∪ {3}

c)

− ∞ ;− 2 ∪ 3 ;∞

d)

− ∞;− 2

e)

−∞ ; − 2 ⎤⎦

Indicando un intervalo solución. a)

−3 /2 ; 1

b)

1;3

7 2

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

07. Resolver:

10. Dada la inecuación: ax + 1 ≥ x + a bx + 1 x + b

x 2 − 6x + 9 + x 2 + 6x + 9 > x a)

x ∈ +

d) x ∈ − 2 ;7

con a>b>1. Halle el conjunto solución

b)

x ∈ −

e) x ∈ −10;11⎤⎦

a)

c)

x ∈

− b ; − 1⎤⎦

b) ⎣⎡− 1 / b ;1⎦⎤ c)

⎣⎡− 1 ;1⎦⎤

08. Para qué valor de “K” la inecuación:

(

)

4 − K2 x 2 + ( 4K − 4 ) x − 4 < 0

severifica ∀ x ∈ . a)

− ∞ ; − 2 ⎤⎦

d)

b)

− ∞;− 2

e) B ∪ C

c)

2 ;5 / 2

5 / 2 ;∞

09. Resolver la siguiente inecuación: 2 < 7x + 3 ≤ 3 2x + 1

a)

⎡⎣ − 1 / 2 ; − 1 / 3

b)

− 1 / 3 ;1 / 2 ⎤⎦

c)

⎡⎣0 ;1 / 2

d)

− 1 / 2 ;0 ⎤⎦

e)

− 1 / 3 ; 0 ⎤⎦

7 3

d)

− ∞ ; − b ∪ ⎡ − 1 ; − 1 / b ∪ ⎡⎣1 ; ∞ ⎣

e)

− ∞ ; − b ⎤⎦

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

Par ordenado Es un conjunto que consta de dos elementos en el que interesa el orden, es decir, uno se le distingue como el primero y el otro, el segundo del par ordenado. A los elementos de un par ordenado se les llama componentes o coordenadas. Ejemplo: (a ; b) ; (2; – 7) ; (1/2 ; 3) Primeras componentes : a ; 2 ; 1/2 Segundas componentes: b; – 7 ; 3 Producto Cartesiano Dados los conjuntos “A” y “B” se llama producto cartesiano de “A” y “B” denotado como "A × B " , al conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde “a” es un elemento de “A” y “b” un elemento de “B”. Así: A × B = {( a ;b ) / a ∈ A, b ∈ B} Ejemplo: 1. Sean: A = {3 ; 2 ; 5} ; B = {5 ; 2} A× B =

{( 3;5 ) , ( 3;2 ) , ( 2;5 ) , ( 2;2 ) , ( 5;5 ) , ( 5;2 )}

B× A =

{( 5;3 ) , ( 5;2 ) , ( 5;5 ) , ( 2;3 ) , ( 2;2 ) , ( 2;5 )}

Note que: A × B ≠ B × A 2. Sea: A = {a ; b ; c} A× A=

{( a ;a ) , ( a ;b ) , ( a ;c ) , ( b ;a ) , ( b ;b ) , ( c ;a ) , ( c ;b ) , ( c ;c )}

3. Siendo el conjunto de los números reales. × es el conjunto de todos los puntos del plano y se denota por 2 . Relación binaria Sean “A” y “B” dos conjuntos, se define la relación binaria de “A” en “B” (R : A B) de la siguiente manera: R=

{( a ;b ) / a ∈ A , b ∈ B ∧ a R b }

Entiéndase que a R b implica que entre a y b existe alguna relación o aun cuando en muchos casos no se pueda traducir en una fórmula o regla de correspondencia. 7 4

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

Ejemplos: Dado: A = {(1;2 ;3 ;4 ) y B = {5 ;6}}. Halar R : A B si: R = {(a , b) / a ∈ A, b ∈ B y a + b < 9}

{

}

R = (1;5 ) ; (1;6 ) ; ( 2;5 ) ;(2;6); ( 3;5 )

Al conjunto “A” se le denomina conjunto de partida y al conjunto B, conjunto de llegada Funciones Es la relación binaria en la que pares distintos no tienen el mismo primer elemento. Ejemplos: 1. f = {(1 ; 3) , (2 ; 4) , (3 ; 5)} Es una función, pues no existen dos pares distintos que tienen el mismo primer elemento. 2. A = {(2 ; 7) , (3 ; 8) , (2 ; 11)} No es función, pues los pares (2 ; 7) y (2 ;11) tienen el mismo primer elemento.

( )

Dominio de la función D F . Se llama así al conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados

( )

Rango de la Función R F Se llama así al conjunto de segundos elementos de los pares ordenados. A estos valores se les domina imagen de su correspondiente en el Dominio. Ejemplo:

f = {(1 ; 1) ; (2 ; 4) ; (3 ; 9)} DF = {1; 2 ;3}

R F = {1; 4 ; 9}

Observación: Las funciones se denotan usualmente por letras tales como f, g, h, F, G, H. Si “f” es una función, entonces f(x) (léase “f en x” o simplemente “fx”) indica el segundo elemento del par cuyo primer elemento es “x”. Así podemos escribir:

(

⎧ f = ⎨ x, f(x) ⎩

)

7 5

⎫ x ∈ Df ⎬ ⎭

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

05. Hallar el dominio de la función: f(x) = x − 3 + 2

01. Hallar "a × b " si el conjunto de pares ordenados representa una función

{(

)(

}

)

a)

x≥0

d) − {3}

b)

e) N.A.

c)

− {0}

F = 3 ;a 2 − 1 ; 5 ;b 2 + 1 ; ( 3 ;8 ) ; ( 5 ;10 )

06. Hallar el dominio de la siguiente función:

siendo: a > 0 ; b > 0 a) 9

d) – 8

b) – 9

e) N.A.

f(x) = 2 + x + 2 x +1

a)

x ∈ ⎡⎣ − 2 ; ∞

b)

x ∈ ⎡⎣ − 2 ; ∞ − {− 1}

c)

x≥0

d)

x≤0

c) 8

02. Hallar el rango de la función: G(x) = 3x − 2 x +1

a)

− {2}

d) − {− 3}

b)

− {3}

e) N.A.

c)

− {− 1}

e) N.A.

07. Siendo: ⎧ 2x − 3 ; x ≥ 0 f(x) = ⎨ ⎩ 3−x ;x < 0

03. Hallar el dominio de la función: Calcular: F(1) + F(0) + F(− 2)

f(x) = x 2 − 2x + 4

a)

x∈

b)

x ∈ − {3}

c)

x ∈ ⎡⎣ − 3 ; ∞

a) 0

d) 3

d) x ∈ − ∞ ; − 3 ⎤⎦

b) 1

e) N.A.

e) N.A.

c) 2

08. Dada la función:

{(

a)

x≥0

d) x ∈ ⎣⎡0 ;4 ⎦⎤

b)

x∈

e) N.A.

c)

x≤0

)(

}

)

F = 1;m m ; 2 ; m m ; (1 ;4 ) ; ( m ; 3b − a ) ; (1 ; a + b )

2 04. Hallar el dominio de la función: f(x) = x 2 x +1

Calcular: "a m + b m " a) 2

d) 8

b) 4

e) 16

c) 6

7 6

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

09. Hallar el dominio de la función:

13. Hallar el rango de la función: f(x) = x 2 − 4 x + 7 ; si x ∈ ⎡⎣ 2 ;3 ⎤⎦

f(x) = 7x + 3 x−6

a)

− {6}

d) − { 1}

b)

− {− 6}

e) N.A.

c)

a)

y ∈ ⎡⎣7 ; ∞

d) y ∈

b)

y ∈ ⎡⎣1; 2 ⎤⎦

e) y ∈ φ

c)

y ∈ ⎡⎣ 3 ;4 ⎤⎦

− {− 1}

14. Calcular "a × b " si : F=

10. Hallar el dominio de la función: f(x) =

x+5 −2

{( 2;6 ) ; (1;a − b ) ; (1;4 ) ; ( 2 ;1 + b ) ; ( 3 ;5 )}

es una función. a) 1

d) 4

a)

y≤0

d) y ∈ − ∞ ; − 2 ⎤⎦

b) 2

e) 5

b)

y≥0

e) N.A.

c) 3

c)

y ∈ ⎡⎣ − 2 ; ∞

15. Dada la función: ⎧3x + 4 ; x < 0 F(x) = ⎨ ⎩ 2x − 3 ; x ≥ 0

11. Hallar el dominio de la función: Calcular:

2 f(x) = x 2 x −1

a)

d) − { ± 1}

b)

− {0}

e) N.A.

F(F

F(−1))

− F(F ) (0)

a) 2

d) 4

b) – 2

e) – 3

c) 3 c)

y≥0

PROBLEMAS

PROPUESTOS

12. Hallar el dominio de la función: 16. Si “F” es una función cuyo rango es un con-

f(x) = | x − 4 |

a)

d) x ≥ 0

b)

− {4 }

e) N.A.

c)

− {− 4 }

junto unitario, determinar el dominio de F. F = {(a+b;b), (ab; a – b), (a;1), (3b;a – 1)} a) {2; 3}

d) {1; 10}

b) {5; 3}

e) {0}

c) { }

7 7

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

17. Dada la función F(x) = 2 x , hallar el punto

20. Dada la función:

de intersección de las funciones:

f(x) = ax 2 + bx + c ; a ≠ 0

G(x) = F(F ) ; H(x) = (F(x))2 (x) a) (2;4)

d) (16 ; 2)

b) (4;2)

e) (4 ; 16)

siendo el intersecto con el eje y: (0;2). Además: Dom f = ;

c) (2 ; 16)

Ran f = ⎡⎣1; + ∞

Calcular: S=

18. Dadas las funciones:

11 ab 2 91 a 2 − 5b 4

F(x) = − 2 − x + 3

a) 1

d) 1/4

G(x) = x 2 + 14 x + 50

b) 2

e) 1/2

c) 4

Calcular: RF ∩ RG . a) [1;3] b)

3;+ ∞

c)

⎡1; + ∞ ⎣

d)

− ∞;3 ⎤⎦

e) φ

19. Hallar el dominio de la función: F(x) = | x | − 2 + 6 4 −| x |

a)

⎡⎣ − 4 ; − 2 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ 2 ;4 ⎤⎦

b)

⎡⎣ − 3 ;2 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣1;2 ⎤⎦

c)

⎡⎣ − 3 ; − 1 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣1;2 ⎤⎦

d)

⎡⎣ − 2;0 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣1;2 ⎤⎦

e) N.A.

7 8

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

01. Hallar la suma de valores máximo y mínimo

05. Calcular el dominio de la función:

de la siguiente función:

{

}

F = (1,| 3x − 5 | ) , ( 6, 3 ) , ( 2, x − 1 ) , (1,7 − x ) , (| x | , 3 )

F(x) =

a) 7

d) 2

a) ⎡⎣− 1 , 5 ⎤⎦

b) 6

e) – 1

b)

c) 4 c)

| x − 2| − 3

− ∞, − 5 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣1 , + ∞

⎡⎣− 5 , 5 ⎤⎦

02. Sea F una función real tal que :

d)

−1, + ∞

F(x) =

e)

−∞ , − 1⎤⎦ ∪ ⎡⎣5 , + ∞

2−x −5

Entonces: DomF ∩ RanF es igual a: a)

−5 , 2

d) ⎡⎣− 5 , 2 ⎤⎦

b)

− 5 ,1⎤⎦

e) ⎡⎣ − 5 , + ∞

c)

06. Hallar el rango de la función dada por: F(x) =

− 3 , − 2 ⎤⎦

a) ⎡⎣0 , 4 ⎤⎦

03. Hallar el rango de la función:

h(x) = x 2 − 6x + 7 a)

y ∈ − ∞ , − 2 ⎤⎦

d) y ∈ ⎡⎣ 2 , + ∞

b)

y ∈ − ∞ , 2 ⎤⎦

e) y ∈⎡⎣− 2 , 2 ⎦⎤

c)

y ∈ ⎡⎣ − 2 , + ∞

b)

⎡0 , 4 ⎤ ⎣⎢ 7 ⎦⎥

c)

⎡1 , 4 ⎤ ⎢⎣ 3 ⎥⎦

x2 2

2x + x + 1

d) ⎡0 , 9 ⎤ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ e) ⎡1 , 7 ⎤ ⎣⎢ 2 ⎦⎥

07. Sabiendo que: F ={(5;7a+2b), (2;5), (2;a+2), (5;5b–2a)}

04. Hallar el rango de la siguiente función: F(x) =

a) [– 2 , 1] b) [– 2 . 2]

Describe una función.

4x

Calcular: F(2) + F(F(2))

x2 + 1

a) 6

d) 44

b) 7

e) 54

d) [1,4] e) [– 2 , 6]

c) 34

c) [– 3 , 3] 7 9

ÁLGEBRA – V

PAMER – UNI

08. Calcular el rango de: F(x) = x − 5 x+6

a)

y ∈ − {− 6}

b)

y ∈ − {1}

c)

y ∈ − {−1}

d)

y ∈ − − 5; 5

e)

y ∈ − {−6}

09. Sean las funciones: 2 f(x) = x 1−x

;

g(x) =

4 x 2 + 2x

Luego podemos afirmar: a) Presentan el mismo rango b) Sus rangos se diferencian en un valor c) f(0) = g(0) d) f(1) = g(1) e) Hay 2 correctas

10. Dada la función: f(x) = 8 − 2x 2 Indicar Df ∩ Rf a) ⎡⎣0 ; 4 ⎤⎦

d) ⎡⎣0 ; 8 ⎤⎦

b) ⎡⎣0 ; 2 ⎦⎤

e) ⎡⎣0 ; 21

c)

⎡⎣0 ; + ∞

8 0