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• César Guerrero

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Una esfera magn´etica de radio R tiene magnetizaci´on constante M0 zˆ, determine el campo de inducci´ on magn´etica B en el centro de la esfera. Del penultimo problema → → − 1− H = −∇ϕ = − M 3 → − → − − → B = µ0 ( H + M ) → − → − → → 1− 2µ0 − B = µ0 (− M + M ) = M 3 3 Por otro lado → − µ0 B = 4π

Z → − J dv × rˆ r2

Corriente de magnetizaci´on → − − → JM =∇×M =0 − → − → JS = M × n b = M0 zˆ × rˆ zˆ = cosθˆ r − senθθˆ − → − → ˆ × rˆ JS = M × n b = M0 (cosθˆ r − senθθ) − → − → JS = M × n b = M0 senθφˆ Z → − → − J S dS × rˆ µ0 B = 4π r2 Z ˆ 2 senθdθdφ) × rˆ → − µ0 M0 senθφ(a B = 4π a2 Z → − µ0 B = M0 sen2 θ(dθdφ)θˆ 4π Un im´ an cil´ındrico de radio R y longitud L se define por medio de 0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 2π y 0 ≤ z ≤ L, y tiene una magnetizaci´on dada por
 ρ M0 1 − R zˆ, si 0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ L M= 0 en cualquier otra regi´on Determine el campo de inducci´on magn´etica B en el origen de coordenadas.

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→ − µ0 B = 4π Corriente de magnetizaci´on

Z → − J dv × rˆ r2

 → − − → ρ J M = ∇ × M = ∇ × M0 1 − zˆ R  ρˆ − → 1 ∂ ∇×M = ∂ρ ρ 0

ρθˆ

zˆ

∂ ∂θ

∂ ∂φ

0

Mz (ρ)



  ˆ ∂ Mz − 0) + zˆ(0)  = 1 ρˆ(0) − ρθ( ρ ∂ρ

   → − − → 1 ∂ J M = ∇ × M = − Mz θˆ = − M0 0 − θˆ ∂ρ R → − − → M0 ˆ JM =∇×M =− θ R − → − → JS = M × n b = Mz zˆ × zˆ + Mz zˆ × (−ˆ z ) + Mz zˆ × ρˆ − → R JS = Mz θˆ = M0 (1 − )θˆ = 0 R Z ˆ − MR0 θρdρdθdz × (−ˆ r) → − µ0 B = 4π ρ2 + z 2 Dados dos cilindros conc´entricos muy largos determine el potencial vector y la densidad de energ´ıa magn´etica en todo punto del espacio, determine tambi´en la energ´ıa total magn´etica por unidad de longitud, teniendo en cuenta que el primer cilindro es conductor de radio R y conduce una corriente de densidad J = J0 zˆ y el segundo conductor es un cilindro magn´etico hueco de radio interior ρˆ R y radio exterior 2R con una magnetizaci´on M = M0 φ, donde ρ es la R distancia radial de un punto al eje del cilindro y M0 una constante. Considere que el campo de inducci´ on magn´etica B es cero en ρ = 0 y el potencial vector A es una funci´ on continua en todo el espacio y toma el valor cero en ρ = 0. Un magneto permanente en a forma de un cilindro de longitud L y radio R es orientada tal que su eje de simetr´ıa coincide con el eje z. El origen de coordenadas se encuentra en el centro del magneto. Si el cilindro tiene una magnetizaci´ on constante M = M0 zˆ, (a) determine el potencial vector en puntos sobre el eje z, dentro y fuera del magneto. (b) encontrar la inducci´on magn´etica Bz en puntos del eje de simetr´ıa. Una esfera de material magn´etico de radio R es ubicado en el origen de coordenadas. La magnetizaci´on es dado por M = (ax2 + b)ˆi, donde a y b son constantes. Determine las densidades y corrientes de magnetizaci´on. 2