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• Jose Luis Arimosa Garcia

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PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

PRACTICA MEC-3263 Problema

LA

GU

E

Determinar el rendimiento del sistema, dimensionar los pares cilindricos y conicos y el eje II

Datos:

IC UR MA

Solucion

2do par (3-4):

IO

1er par (1-2):

kgf DB1 ≔ 300 ―― 2 mm H ≔ 20000 hr α ≔ 14.5 ° t1 ≔ 5 s Mt1 ≔ 4700 kgf ⋅ cm iT ≔ 5

i2 ≔ 2.5 δ ≔ 105°

kgf DB3 ≔ 300 ―― 2 mm α = 14.5 ° A3 ≔ 8 t2 ≔ 1 s −1 w4 ≔ 30 s

X.

-Analisis 1er par

AU

Relacion de transmision

iT i1 ≔ ― i2

i1 = 2

Numero de revoluciones del piñon n1 ≔ iT ⋅ w4 AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

n1 = 1432.39 rpm Página 1

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

Numero de golpes: 60 ⋅ n1 ⋅ H W1 ＝ ―――― 6 10

W1 = 1718.873

Millones de golpes

Presion de rodadura

2

32 ⎛ DB1 ⎞ k1 ＝ ――⋅ ⎜―― ⎟ 1 ― ⎝ 100 ⎠ 3 W1

E

kgf k1 = 24.04 ―― 2 cm

GU

Relacion ancho diametro

LA

1.6 ⋅ Mt1 ⋅ ⎛⎝1 + i1⎞⎠ 3 = 1935.486 cm bndn2 ≔ ――――――― k1 ⋅ i1 ⋅ sin (α) ⋅ cos (α) Asumiendo los siguientes valores:

IO

A1 ≔ 30

IC

z1 ≔ 22 β1 ≔ 10 °

MA

UR

El modulo normal sera: 3

m'n ≔

6 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ bndn2 ⋅ cos ⎛⎝β1⎞⎠ ―――――― 2 A 1 ⋅ z1

m'n = 4.95 mm

AU

X.

Se eligira un modulo normalizado de:

Calculo de sobredimensionamiento:

Ancho:

Diametro primitivo del piñon:

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO Por lo tanto tenemos:

mn ≔ 5 mm

DIN780 SERIE 1

bn ≔ A1 ⋅ mn = 150 mm z1 ⋅ mn = 115.17 mm dn1 ≔ ――― 3 cos ⎛⎝β1⎞⎠ Página 2

Diametro primitivo del piñon: PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

Por lo tanto tenemos: 2

bn ⋅ dn1 = 1989.61 cm

3

2

bn ⋅ dn1 − bndn2 SD ≔ ―――――― ⋅ 100 = 2.8 bndn2 Este valor es menor a 10% por lo tanto el modulo normalizado es correcto Tambien tenemos: z1 ⋅ mn d01 ≔ ――― cos ⎛⎝β1⎞⎠

GU

E

d01 = 111.7 mm

b ≔ bn ⋅ cos ⎛⎝β1⎞⎠

b = 147.72 mm

IC

3 6 V2 = ⎛⎝5.79 ⋅ 10 ⎞⎠ mm

UR

kgf ―― 3 mm

MA

−6

d02 = 223.39 mm

2 π V2 ≔ ―⋅ d02 ⋅ b 4

Peso de la rueda 2 γacero ≔ 7.85 ⋅ 10

d02 ≔ d01 ⋅ i1

IO

Volumen del rueda 2

LA

Diametro primitivo de la rueda 2

G2 ≔ V2 ⋅ γacero

AU

X.

velocidad angular de la rueda

Acelereacion angular de la rueda:

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

G2 = 45.45 kgf

n1 n2 ≔ ― i1

n2 = 716.2 rpm

π ⋅ n2 w2 ＝ ―― 30

1 w2 = 75 ― s

w2 w�2 ≔ ― t1

1 w�2 = 15 ― 2 s Página 3

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

Momento de inercia de masa de la rueda: 2

1 ⎛ G2 ⎞ ⎛ d02 ⎞ IG2 ≔ ―⋅ ⎜―― ⎟ ⋅ ⎜―― ⎟ 2 ⎝ g ⎠ ⎝ 2 ⎠

IG2 = 0.02891 kgf ⋅ m ⋅ s

2

Momento torsor absorbido por la rueda: MG2 ≔ IG2 ⋅ w�2

MG2 = 0.43 kgf ⋅ m

E

Potencia absorbida por la rueda

NG2 = 0.32 kW

N1 ≔ Mt1 ⋅ n1

N1 = 69.14 kW

GU

MG2 ⋅ w2 NG2 ＝ ――― 102

IO

Potencia perdida total:

LA

Potencia de entrada

NGT ≔ NG2 + 0.02 ⋅ N1

IC

Por lo tanto la potencia en la rueda 2 sera:

UR

MA

Rendimiento del primer par

N2 ≔ N1 − NGT

N2 η1 ≔ ―― N1

NGT = 1.7 kW

N2 = 67.44 kW

η1 = 0.9754

X.

DIMENSIONES DEL PIÑON Y LA RUEDA CILINDRICA

AU

PIÑON CILINDRICO 1 Numero de dientes:

z1 = 22

Modulo normalizado: Modulo frontal:

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

Ancho frontal:

Diametro primitivo:

mn = 5 mm mn ms ≔ ――― cos ⎛⎝β1⎞⎠

ms = 5.08 mm

Página 4

Modulo frontal:

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

Ancho frontal:

b1 ≔ b

Diametro primitivo:

Altura de pie: Paso normal:

df1 ≔ d01 − 2.4 ⋅ mn

df1 = 99.7 mm

h1 ≔ 2.2 ⋅ mn

h1 = 11 mm

hk1 ≔ mn

hk1 = 5 mm

hf1 ≔ 1.2 ⋅ mn

hf1 = 6 mm

tn ≔ π ⋅ mn

Paso frontal:

s t1 = 5000 ―⋅ mm m

d01 + d02 a0 ≔ ――― 2

a0 = 167.55 mm

IC z2 ≔ i1 ⋅ z1

mn ms ≔ ――― cos ⎛⎝β1⎞⎠

Ancho frontal:

Diametro de pie:

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO Altura del diente: Altura de cabeza:

ms = 5.08 mm

b1 = 147.72 mm

Diametro primitivo:

Diametro de cabeza:

z2 = 44 mn = 5 mm

AU

X.

MA

UR

RUEDA CILINDRICA 2

Modulo normalizado:

tn = 15.71 mm

tn ts ≔ ――― cos ⎛⎝β1⎞⎠

IO

Distancia entre centros:

E

Altura de cabeza:

dk1 = 121.7 mm

GU

Altura del diente:

dk1 ≔ d01 + 2 ⋅ mn

LA

Diametro de pie:

Numero de dientes:

b1 = 147.72 mm d01 = 111.7 mm

Diametro de cabeza:

Modulo frontal:

FNI

d02 = 223.39 mm dk2 ≔ d02 + 2 ⋅ mn

dk2 = 233.39 mm

df2 ≔ d02 − 2.4 ⋅ mn

df2 = 211.39 mm

Página 5

Diametro de pie:

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

Altura del diente:

Altura de cabeza: Altura de pie: Paso normal: Paso frontal:

Distancia entre centros:

FNI

h2 ≔ 2.2 ⋅ mn

h2 = 11 mm

hk2 ≔ mn

hk2 = 5 mm

hf2 ≔ 1.2 ⋅ mn

hf2 = 6 mm

tn ≔ π ⋅ mn

tn = 15.71 mm

tn ts ≔ ――― cos ⎛⎝β1⎞⎠

ts = 15.95 mm a0 = 167.55 mm

GU

E

-Dimensionado del par conico (2do par)

LA

La potencia y el numero de revoluciones del piñon 3 sera el mismo que el de la rueda 2, ademas la dureza brinell del piñon 3 es la misma que la del piñon 1 y de igual forma la vida util

IO

N3 ≔ N2 = 67.44 kW n3 ≔ n2 = 716.2 rpm

UR

IC

Momento torsor del piñon 3

MA

N3 Mt3 ＝ 97400 ⋅ ―― n3

Angulos de cono

⎛ sin (δ) ⎞ δ1 ≔ atan ⎜―――― ⎟ ⎝ i2 + cos (δ) ⎠

δ1 = 23.32 °

δ2 ≔ δ − δ1

δ2 = 81.68 °

X. AU

Mt3 = 9168.63 kgf ⋅ cm

Numero de golpes del piñon 3 60 ⋅ n3 ⋅ H W3 ＝ ―――― 6 10

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

W3 = 859.44

MG

Página 6

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

Presion de rodadura del 2do par 2

32 ⎛ DB3 ⎞ k2 ＝ ――⋅ ⎜―― ⎟ 1 ― ⎝ 100 ⎠ 3 W3 Relacion ancho diametro

kgf k2 = 30.29 ―― 2 cm

2 ⋅ Mt3 ⋅ ⎛⎝i2 ⋅ cos ⎛⎝δ1⎞⎠ + cos ⎛⎝δ2⎞⎠⎞⎠ b3dm32 ≔ ―――――――――― k2 ⋅ i2 ⋅ sin (α) ⋅ cos (α) b3dm32 = 2437.84 cm

GU

E

Asumiendo:

3

3

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ b3dm32 ――――――― 2 A3 ⋅ ⎛⎝z3 − A3 ⋅ sin ⎛⎝δ1⎞⎠⎞⎠

ms ≔ 10 mm

UR

Calculo de sobredimensionamiento:

IC

Se normalizara segun norma DIN780 SERIE 1

b3 ≔ A3 ⋅ ms = 80 mm

MA

Ancho:

ms = 9.86 mm

IO

ms ≔

LA

z3 ≔ 21

Diametro primitivo del piñon:

d03 ≔ z3 ⋅ ms = 210 mm

X.

Diametro medio del piñon:

dm3 ≔ d03 − b3 ⋅ sin ⎛⎝δ1⎞⎠ = 178.34 mm

AU

Por lo tanto tenemos:

2

b3 ⋅ dm3 = 2544.311 cm

3

2

b3 ⋅ dm3 − b3dm32 SD ≔ ―――――― ⋅ 100 = 4.37 b3dm32 Este valor es menor a 10% por lo tanto el modulo normalizado es correcto

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

Página 7

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

Tambien tenemos: d03 Ra ≔ ―――― 2 ⋅ sin ⎛⎝δ1⎞⎠

Ra = 265.29 mm Ra ― = 88.43 mm 3 Ra b3 < ― 3

DETERMINACION DEL RENDIMIENTO DEL SEGUNDO PAR

LA

GU

Diametro primitivo de la rueda conica d04 ≔ i2 ⋅ d03

d04 = 525 mm

di4 ≔ d04 − 2 ⋅ b3 ⋅ sin ⎛⎝δ2⎞⎠

di4 = 366.68 mm

IC

Diametro medio de la rueda

IO

Diametro interioir de la rueda:

dm4 ≔ d04 − b3 ⋅ sin ⎛⎝δ2⎞⎠

dm4 = 445.84 mm

UR

MA

El volumen de la rueda sera:

E

CUMPLE

π ⋅ b3 ⋅ cos ⎛⎝δ2⎞⎠ ⋅ ⎛⎝d04 + d04 ⋅ di4 + di4 ⎞⎠ ⎛ 3 6 V4 ≔ ―――――――――――― = ⎝1.83 ⋅ 10 ⎞⎠ mm 12 El peso especifico del acero es: 2

X.

2

AU

Peso de la rueda

G4 ≔ V4 ⋅ γacero = 14.33 kgf

Momento de inercia masico:

2

2 1 ⎛ G4 ⎞ ⎛ dm4 ⎞ IG4 ≔ ―⋅ ⎜―― ⎟ ⋅ ⎜―― ⎟ = 0.04 kgf ⋅ m ⋅ s 2 ⎝ g ⎠ ⎝ 2 ⎠

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

Página 8

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

Aceleracion de la rueda w4 1 = 30 ― w�4 ≔ ― 2 t2 s Por lo tanto tenemos: MG4 ≔ IG4 ⋅ w�4 = 1.09 kgf ⋅ m

MG4 ⋅ w4 NG4 ＝ ――― 102

E

NG4 = 0.32 kW

LA

GU

Las perdidas en los rodamientos seran: NC4 ≔ 0.02 ⋅ N3 = 1.35 kW

IO

La potencia perdida es:

IC

UR

La potencia en la rueda sera:

NP4 ≔ NG4 + NC4 = 1.67 kW

MA

N4 ≔ N3 − NP4 = 65.77 kW

AU

X.

Finalmente el rendimiento sera:

N4 = 65.77 kW

N4 η2 ≔ ―― N3

η2 = 0.975

Rendimiento total del sistema ηT ≔ η1 ⋅ η2 ηT = 0.9512

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

Página 9

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

DIMENSIONES DEL PIÑON Y LA RUEDA CILINDRICA PIÑON CONICO 3 Numero de dientes:

z3 = 21

Modulo normalizado:

ms = 10 mm

Modulo medio:

b3 ⋅ sin ⎛⎝δ1⎞⎠ mm ≔ ms − ―――― mm = 8.56 mm z1 2 ⋅ b3 ⋅ sin ⎛⎝δ1⎞⎠ mi ≔ ms − ――――― mi = 7.12 mm z1

E

Modulo interioi:

GU

Angulo de cono:

δ1 = 23.32 °

LA

Ancho:

Diametro primitivo:

IO

Diametro interioir:

di3 ≔ d03 − 2 ⋅ b3 ⋅ sin ⎛⎝δ1⎞⎠

d03 = 210 mm di3 = 146.67 mm dm3 = 178.34 mm Ra = 265.29 mm

⎛ 2 ⋅ sin ⎛⎝δ1⎞⎠ ⎞ γ1 ≔ atan ⎜―――― ⎟ z3 ⎝ ⎠

γ1 = 2.16 °

β1 ≔ δ1 − γ1

β1 = 21.16 °

z4 ≔ i2 ⋅ z3

z4 = 52.5

X.

Angulo de corte:

UR

Angulo de cabeza y raiz:

MA

Radio de cono:

IC

Diametro medio:

b3 = 80 mm

AU

RUEDA CONICA 4

Numero de dientes:

Modulo normalizado: Modulo medio:

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO Modulo interioi: Angulo de cono:

ms = 10 mm

mm = 8.56 mm

Página 10

Modulo medio: PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

Modulo interioi:

mi = 7.12 mm

Angulo de cono:

δ2 = 81.68 °

Ancho:

b3 = 80 mm

Diametro primitivo:

d04 = 525 mm

Diametro interioir:

di4 ≔ d04 − 2 ⋅ b3 ⋅ sin ⎛⎝δ2⎞⎠

Diametro medio:

di4 = 366.68 mm dm4 = 445.84 mm

E

Radio de cono:

Angulo de cabeza y raiz: Angulo de corte:

γ2 = 2.16 °

LA

⎛ 2 ⋅ sin ⎛⎝δ2⎞⎠ ⎞ γ2 ≔ atan ⎜―――― ⎟ z4 ⎝ ⎠

GU

Ra = 265.29 mm

β2 = 79.53 °

IO

β2 ≔ δ2 − γ2

MA

UR

IC

DISEÑO DEL EJE II

Ra = 265.29 mm a0 = 167.55 mm j ≔ 0.05 ⋅ Ra + 10 mm = 23.26 mm

AU

X.

B ≔ 30 mm b1 = 147.72 mm b'3 ≔ b3 ⋅ cos ⎛⎝δ1⎞⎠ = 73.47 mm LI ≔ 2 ⋅ j + b1 = 194.25 mm LII ≔ 2 ⋅ j + b'3 = 120 mm

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

Página 11

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

CALCULO DE LAS FUERZAS ACTUANTES PIÑON CONICO

Fuerza tangencial: Fuerza axial: Fuerza radial:

2 ⋅ Mt3 Fu3 ≔ ――― dm3

Fu3 = 10083.589 N

Fa3 ≔ Fu3 ⋅ tan (α) ⋅ sin ⎛⎝δ1⎞⎠

Fa3 = 1032.151 N

Fr3 ≔ Fu3 ⋅ tan (α) ⋅ cos ⎛⎝δ1⎞⎠

Fr3 = 2394.839 N

Fuerza tangencial:

E

RUEDA CILINDRICA

Fa2 ≔ Fu2 ⋅ tan ⎛⎝β1⎞⎠

Fu2 = 8049.78 N

LA

Fuerza axial:

GU

2 ⋅ Mt3 Fu2 ≔ ――― d02

Fu2 ⋅ tan (α) Fr2 ≔ ―――― cos ⎛⎝β1⎞⎠

Fr2 = 2232.279 N

IC

IO

Fuerza radial:

Fa2 = 3115.326 N

AU

X.

MA

UR

Las longitudes seran

B + LI = 112.13 mm L1 ≔ ――― 2 LI + B = 112.13 mm L2 ≔ ――― 2 B + LII = 75 mm L3 ≔ ――― 2

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

L ≔ L1 + L2 + L3 = 299.25 mm

Página 12

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

LA

GU

E

DIAGRAMA DE FUERZAS ACTUANTES EN EL EJE

AU

ΣMA ＝ 0

X.

MA

UR

IC

IO

PLANO XZ

ΣFx ＝ 0

Fu3 ⋅ (L) − RBx ⋅ ⎛⎝L1 + L2⎞⎠ + Fu2 ⋅ L1 ＝ 0 Fu2 ⋅ L1 + Fu3 ⋅ (L) RBx ≔ ―――――― ⎛⎝L1 + L2⎞⎠

RBx = 17480.827 N

RAx − Fu2 + RBx − Fu3 ＝ 0 RAx ≔ Fu2 − RBx + Fu3

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

RAx = 652.542 N

Página 13

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

DIAGRAMA DE MOMENTOS L1 = 112.13 mm L2 = 112.13 mm L3 = 75 mm

Tramo

L1 + L2 = 224.25 mm L = 299.25 mm

0 < z ≤ 112.13

M'x (z) ≔ RAx ⋅ z 112.13 < z ≤ 224.25

E

Tramo

224.25 < z ≤ 299.25

IC

IO

M'''x (z) ≔ RAx ⋅ z − Fu2 ⋅ (z − 112.13) + RBx ⋅ (z − 224.25)

LA

Tramo

GU

M''x (z) ≔ RAx ⋅ z − Fu2 ⋅ (z − 112.13)

UR

Mx (z) 300000

100000 0

0

30

60

-100000

MA

200000

90

120

240

270

300

AU

-500000

210

X.

-400000

180

z

-200000 -300000

150

-600000 -700000 -800000

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

Página 14

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

Los momentos en las secciones seran: MxA ≔ 0

N ⋅ mm

Mx2 ≔ Mx (112.13) = 73169.56

N ⋅ mm

MxB ≔ Mx (224.25) = −756208.71 N ⋅ mm Mx3 ≔ Mx (299.26) = 0

N ⋅ mm

Fr3 ⋅ (L) + Fa3 ⋅ rm3 + RBy ⋅ ⎛⎝L1 + L2⎞⎠ − Fr2 ⋅ L1 − Fa2 ⋅ r02 ＝ 0

X.

ΣMA ＝ 0

d02 = 111.7 mm r02 ≔ ―― 2

MA

dm3 = 89.17 mm rm3 ≔ ―― 2

UR

IC

IO

LA

GU

E

PLANO YZ

AU

−Fr3 ⋅ (L) − Fa3 ⋅ rm3 + Fr2 ⋅ L1 + Fa2 ⋅ r02 RBy ≔ ―――――――――――― ⎛⎝L1 + L2⎞⎠

ΣFx ＝ 0

RBy = −938.324 N

RAy + Fr3 + RBy − Fr2 ＝ 0 RAy ≔ −Fr3 − RBy + Fr2

AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

RAy = 775.764 N

Página 15

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

DIAGRAMA DE MOMENTOS

Tramo

0 < z < 112.13

M'y (z) ≔ RAy ⋅ z Tramo

112.13 < z ≤ 224.25

M''y (z) ≔ RAy ⋅ z − Fr2 ⋅ (z − 112.13) + Fa2 ⋅ r02 224.25 < z ≤ 299.25

E

Tramo

LA

GU

M'''y (z) ≔ RAy ⋅ z − Fr2 ⋅ (z − 112.13) + Fa2 ⋅ r02 + RBy ⋅ (z − 224.25)

My (z)

IO

600000 540000 480000

IC

420000 360000 300000

UR

240000 180000

60000 0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

z

X.

0

MA

120000

AU

Los momentos en las secciones seran: MyA ≔ 0

N ⋅ mm

My2 ≔ My (112.135) = 434951.5 N ⋅ mm MyB ≔ My (224.26) = 271630.42

N ⋅ mm

My3 ≔ My (299.25) = 92041.471 N ⋅ mm AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

Página 16

PROBLEMAS ELEMENTOS DE MAQUINAS II

FNI

MOMENTOS RESULTANTES 2

2 2 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ MxA + MyA

MA = 0 N ⋅ mm

2

2 2 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ Mx2 + My2

M2 = 441063.03 N ⋅ mm

2

2 2 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ MxB + MyB

MB = 803513.973 N ⋅ mm

2

2 2 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ Mx3 + My3

M3 = 92041.47 N ⋅ mm

MA ≔ M2 ≔

MB ≔ M3 ≔

E

CALCULO DE LOS DIAMETROS

GU

Los diametros en las secciones A y B se calcularan por resistencia a la torsion:

dB ≔

d3 ≔

3

3

‾‾‾‾‾‾‾ 32 ⋅ MB ――― π ⋅ σbadm

IC

‾‾‾‾‾‾‾ 32 ⋅ M2 ――― π ⋅ σbadm

dA = 48.56 mm

d2 = 42.15 mm

UR

3

‾‾‾‾‾‾‾ 16 ⋅ Mt3 ――― π ⋅ τtadm

MA

d2 ≔

3

‾‾‾‾‾‾‾ 16 ⋅ Mt3 ――― π ⋅ τtadm

X.

dA ≔

N σbadm ≔ 60 ―― 2 mm

IO

N τtadm ≔ 40 ―― 2 mm

LA

Para un eje de st50 se tiene:

dB = 51.48 mm

d3 = 48.56 mm

AU

Los diametros normalizados seran: dA ≔ 50 mm d2 ≔ 55 mm dB ≔ 60 mm d3 ≔ 55 mm AUX. MAURICIO LAGUE CONDARCO

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