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• Agustin Machaca

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1) Considere el sistema descrito mediante 𝑦 +3𝑦 +2𝑦 =𝑢 Obtenga una representación en el espacio de estado del sistema.

2) Obtenga una representación en el espacio de estados del sistema de la figura

3) Considere el sistema descrito mediante

Obtenga la función de transferencia del sistema 4) Considere un sistema definido por las siguientes ecuaciones en el espacio de estados:

Obtenga la función G(s) del sistema 5) Obtenga la ecuación en el espacio de estados y la ecuación de salida definida por

6) Obtenga el modelo en el espacio de estados del sistema que aparece en la Figura

Solución. El sistema contiene un integrador y dos integradores con retardo. La salida de cada integrador o integrador con retardo puede ser una variable de estado. Se define la salida de la planta como x1, la salida del controlador como x2 y la salida del sensor como x3. Así, se obtiene

Es importante observar que esta no es la única representación en el espacio de estados del sistema. Son posibles muchas otras representaciones en el espacio de estados. Sin embargo, el número de variables de estado es igual en cualquier representación en el espacio de estados del mismo sistema. En este sistema, las variables de estado son tres, sin considerar cuáles se elijan como variables de estado. 7) Obtenga un modelo en el espacio de estados para el sistema que aparece en la Figura

8) Obtenga una representación en el espacio de estados del sistema que se muestra en la Figura

9) Obtenga la función de transferencia del sistema definido por:

10) Considere un sistema con múltiples entradas y múltiples salidas. Cuando el sistema tiene más de una salida, la instrucción [NUM,den]%ss2tf(A,B,C,D,iu)

calcula la función de transferencia de todas las salidas a cada entrada. (Los coeficientes del numerador se devuelven en la matriz NUM con tantas filas como salidas haya). Considere el sistema definido por

Este sistema tiene dos entradas y dos salidas. Las cuatro funciones de transferencia son: Y1(s)/ U1(s), Y2(s)/U1(s), Y1(s)/U2(s) y Y2(s)/U2(s). (Cuando se considera la salida u1, se supone que laentrada u2 es cero, y viceversa.)

PRACTICA #2

1) Usando Matlab dibuje los lugares de las raíces para el sistema de la Figura. (Se supone que la ganancia K es positiva.) Observe que para valores pequeños o grandes de K el sistema es sobreamortiguado y para valores medios de K es subamortiguado.

Solución. El procedimiento para dibujar los lugares de las raíces es el siguiente: 1. Sitúe los polos y ceros en lazo abierto sobre el plano complejo. Existen lugares de las raíces sobre el eje real negativo entre 0 y .-1 y entre .-2 y .-3. 2. El número de polos en lazo abierto y el de ceros finitos son iguales. Esto significa que no hay asíntotas en la región compleja del plano s. 3. Determine los puntos de ruptura y de ingreso. La ecuación característica para el sistema es

4. Determine un número suficiente de puntos que satisfagan la condición de ángulo. (Se obtiene que el lugar de las raíces es un círculo con centro en .1.5 que atraviesa los puntos de ruptura y de ingreso.) La gráfica del lugar de las raíces para este sistema se muestra en la Figura 6-64(b). Observe que este sistema es estable para cualquier valor positivo de K, puesto que todos los lugares de las raíces se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. Los valores pequeños de K (0aKa0.0718) corresponden a un sistema sobreamortiguado. Los valores medios de K (0.0718aKa14) corresponden a un sistema subamortiguado. Por último, los valores grandes de K (14aK) corresponden a un sistema sobreamortiguado. Para un valor grande de K, el estado estacionario se alcanza en un tiempo mucho menor que para un valor pequeño de K. El valor de K debe ajustarse para que el comportamiento del sistema sea óptimo, de acuerdo con un índice de comportamiento determinado.

2) Usando Matlab dibuje los lugares de las raíces para el sistema de la Figura.

3) Usando Matlab dibuje el lugar de las raíces de la figura

4) Considere el sistema de la Figura. Usando Matlab dibuje los lugares de las raíces para el sistema. Observe que para valores pequeños o grandes de K el sistema es su amortiguado y para valores medios de K es sobreamortizado.

5) Usando Matlab dibuje los lugares de las raíces para el sistema de la Figura.

6) Usando matalb dibuje los lugares de las raíces del sistema de control de la Figura. Determine el rango de valores de la ganancia K para la estabilidad.

7) Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia feedforward:

Utilizando MATLAB, dibuje el lugar de las raíces.

num=[1]; den=[1 3 2 0]; numa=[1]; dena=[1 3 3 1]; K1=0:0.1:0.3; K2=0.3:0.005:0.5; K3=0.5:0.5:10; K4=10:5:100; K=[K1 K2 K3 K4]; r=rlocus(num,den,K); a=rlocus(numa,dena,K); y=[r a]; plot(y,'-') v=[-4 4 -4 4]; axis(v) grid title('Lugar de las raíces de G(s)=K/[s(s+1)(s+2)] y asíntotas') xlabel('Eje Real') ylabel('Eje Imag')

8) Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia feedforward:

Utilizando MATLAB, dibuje el lugar de las raíces. Determinar los puntos exactos donde el lugar de las raíces atraviesa el eje jw.

9) Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia feedforward:

Utilizando MATLAB, dibuje el lugar de las raíces.

10) Obtenga la función de transferencia del sistema mecánico de la Figura. Suponga que el desplazamiento xi es la entrada y el desplazamiento xo es la salida del sistema. ¡Se puede decir que es una red de adelanto o red de retardo mecánica?

11) Obtenga la función de transferencia del sistema mecánico de la Figura. Suponga que el desplazamiento xi es la entrada y el desplazamiento xo es la salida. Se puede decir que es una red de adelanto o red de retardo mecánica?

Practica #3

1) Considere un modelo para un sistema de control de un vehículo espacial, como el que se muestra en la Figura. Diseñe un compensador de adelanto Gc(s) tal que el factor de amortiguamiento relativo ζ y la frecuencia natural no amortiguada ωn de los de los polos dominantes en lazo cerrado sean 0.5 y 2rad/seg, respectivamente.

2) Considere un sistema con una planta inestable, como el de la Figura. Utilizando el método del lugar de las raíces, diseñe un controlador proporcional derivativo (es decir, determine los valores de Kp y Td) tal que el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema en lazo cerrado sea 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada ωn sea 0.5 rad/seg.

3) Considere el sistema de control de la Figura. Diseñe un compensador de retardo Gc(s) tal que la constante de error estático de velocidad Kv sea 50 seg.-1 sin modificar notablemente la localización original de los polos en lazo cerrado, que están en 𝑠=−2±𝑗 √6

4) Considere un sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia de camino directo se obtiene mediante

Diseñe un compensador tal que los polos dominantes en lazo cerrado se localicen en 𝑠=−2±𝑗2 √3y la constante de error estático de velocidad Kv sea igual a 80 seg-1

5) Considere el sistema de la Figura. Dibuje los lugares de las raíces para el sistema. Determine el valor de K tal que el factor de amortiguamiento relativo ζ de los polos dominantes en lazo cerrado sea 0.5. Después, determine todos los polos en lazo cerrado. Dibuje la curva de la respuesta a un escalón unitario con MATLAB.

6) Considere el sistema de control de la Figura. Determine la ganancia K y la constante de tiempo T del controlador Gc(s) para que los polos en lazo cerrado se localicen en 𝑠=−2±𝑗2

7) Considere el sistema de la Figura. Diseñe un compensador de adelanto para que los polos dominantes en lazo cerrado se localicen en 𝑠=−2±𝑗2 √3. Dibuje la respuesta a una entrada escalón del sistema diseñado con MATLAB.

8) Haciendo referencia al sistema de la Figura 6-109, diseñe un compensador tal que la constante de error estático de velocidad Kv sea de 20 seg.-1 sin que se modifique de forma notable la localización original 𝑠=−2±𝑗2√ 3 de un par de polos complejos conjugados en lazo cerrado.

9) Considere el sistema de control de la Figura 6-111. Diseñe un compensador tal que los polos dominantes en lazo cerrado se localicen en 𝑠=−2±𝑗2 √3y la constante de error estático de velocidad Kv sea de 50 seg-1

num=[0 0 0 500 1159.35 110.935]; den=[1 34.1193 200.0570 772.7462 1161.5688 110.935]; step(num,den) grid title('Unit-Step Response of Compensated System')