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Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Ambiental Área de Ciencias Básicas

Curso Tema Profesor

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Ciclo 2019 - I

Cálculo Multivariable Funciones Vectoriales de una Variable Real MSc. Alexander Abel Bonifacio Castro







Práctica Dirigida No 1 AA-231

Práctica Dirigida No 1

CA

1. Halle el dominio de cada una de las funciones vectoriales: p p a) f (t) = (t, t(2 − t), 2(2 − t)) c) f (t) = (t, 6 sen(t), 6 cos(t))   2t 1−t d) f (t) = , b) f (t) = (e−t cos(t), e−t sen(t)) 1 + t2 1 + t2 2. Defina una función vectorial de [−3, 2] en R3 cuya imagen es el triángulo de vértices: B = (1, −2, 1)

y

C = (3, 2, −1)

ÁT I

A = (2, 0, 1);

3. Trace la curva C descrita por la ecuación   t f (t) = sen(t), , cos(t) , 2

M

4. Demuestre que: a) l´ım (3t, t 2 ) = (6, 4) t→2

t ∈ [0, 4π]

c) l´ım (3t 2 − t 3 , 3t 2 , 3t + t 3 ) = (2, 3, 4) t→1

AT E

b) l´ım (t 2 − 5, t 4 , 1 − 2t) = (−5, 0, 1) t→0

5. Determine el límite (si existen), de las siguientes funciones hacia t0 : √   p 3 − 5 − t t 2 + t − 20 2 √ a) f (t) = , , t − 16 − t , t0 = 4 1 − 5 − t t 2 − 2t − 8

M

√

b) f (t) = 

c) f (t) =  d) f (t) =

1−t − t

√

1+t

t2 , 1 − cos2 (t)

 √ 1 , 5t − 1, t [[t]] , 1 − t3  1 √ , t|t| , t +3

 ,

t0 = 0

t0 = 2

t0 = 3

6. Calcule los límites: a) l´ım (3t − 1, t)



sen(t) cos(2t) sen(4t) , , sen(3t) cos(3t) cos(5t)

t→0

 t→1

1 − cos(t) 1 − cos(2t) , t2 t2

c) l´ım

t→1

b) l´ım



t2 − 1 t2 − 1 , t −1 t +1

 d) l´ım

t→0

1





     2 3 2 πt 7. Sea f (t) = t , sen , t − [[t]] , donde t ∈ [−1, 1] 2 a) Determine los puntos de discontinuidad de f . b) ¿ Es posible redefenir f en cada punto de discontinuidad de modo que f sea continua en esos puntos ? En caso de que sea posible, indicar el valor que deberá tomar f en esos puntos. 8. Analice la continuidad de las siguientes funciones:   2    t − 1 , t 3 , t 6= 1 t −1 a) f (t) =   (2, 1), t = 1

CA

b) f (t) = ( [[2t]] , t, t ), t ∈ [0, 4]  (−t, −2t, t), t ∈ [−2, 0]     p c) f (t) = 1 3 2 2  , t(t − 2) , t ∈ h0, 2]  t , 1 + t2

ÁT I

9. Determine la derivada de las siguientes funciones en t0        t 2 sen 1 , 1 + t 2 , t 6= 0 t a) f (t) =   (1, 0), t = 0   2t 1 − t2 b) f (t) = , , 1 1 + t2 1 + t2

M

10. Trace la curva C representada por la función vectorial f (t) = a cos(~i ) + a sen(~j ),

0 ≤ t ≤ 2π

en el espacio y hallar su dirección en el punto (0, a, 0).

AT E

√ 11. Un punto se mueve hacia la derecha sobre la curva y = x 2 + 4 partiendo del punto (0, 2) en el instante t = 2. Si la distancia de cualquier punto al origen es proporcional a t, halle la función vectorial que describa el movimiento del punto.Halle el vector velocidad de la particula en el instante t = 6.

M

12. Sea f : R −→ Rn una función diferenciable, demostrar que kf (t)k es una constante no nula si y solo si, para todo t ∈ R, f (t)⊥f 0 (t).

13. Sea f : [a, b] −→ Rn una función diferenciable, tal que f (a) = f (b). Pruebe que existe t ∈ ha, bi tal que hf (t), f 0 (t)i = 0.

14. Una persona observa una hormiguita en el extremo del minutero de un reloj de radio r al mediodía. Si la hormiguita se desplaza hacia el centro del reloj con rapidez constante, halle la parametrización de la trayectoria realizada por la hormiguita vista por la persona después de t minutos. 15. Una partícula se desplaza por la curva C : f (t) = (et cos(t), et sen(t), et ),

t≥0

a rapidez 3u/s dar una parametrización de la posición de la partícula en cada instante de tiempo.

2

16. Muestre que una parábola f : R −→ R2 , f (t) = (t, at 2 + bt + c), no posee asíntota. Por otro lado, determine la asíntota de la hipérbola p f : [a, ∞i −→ R2 , f (t) = (t, t 2 − a2 ). 17. Sea

   sen(t)   t, , t 6= 0 t f (t) =   (0, 1), t = 0

tal que 2

(

e−1/s , s 6= 0

ϕ(s) =

.

0, s = 0 Pruebe que f ◦ ϕ es continua en s = 0.

CA

18. Pruebe que si f : I −→ Rn es continua en t0 entonces l´ım f (t) = f (t0 ). t→0

19. Sea G ⊆ R2 el gráfico de la función

muestre que existe un camino

ÁT I

y = |x|, f : R −→ R2

M

AT E

M

de clase C 1 , tal que f (R) = G y f (0) = (0, 0).

§

Hecho en LATEX

3

UNI, Marzo 2019 § El Profesor.