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PRACTICA DIRIGIDA N° 5 Nombre: Julio Rubén Barrios Llacuachaqui

CODIGO: 20110447D

11. En Vargas del Rio et al. (2005) se presenta un estudio para evaluar la posibilidad de utilizar puzolana como material alternativo en la construcción. Se aplica un diseño de experimentos de mezclas, cuyos componentes son: puzolana, cal y cemento; y como variable de respuesta se tiene la resistencia a la compresión de la mezcla. Se decide emplear un diseño simplex reticular (3,3) con dos replicas en todos los puntos y se agrega seis mezclas de particular interés (las últimas seis mezclas) en la siguiente tabla: Puzolana

Cal

Cemento

replica 1

replica 2

1

0

0

0

0

0.666

0.333

0

43.91

47.01

0.666

0

0.333333

245.67

264.48

0.333

0.666

0

11.95

11.13

0.333

0.333

0.333

113.67

120.19

0.333

0

0.666

499.19

420.4

0

1

0

5.13

3.08

0

0.666

0.333

35.97

32.69

0

0.333

0.666

269.73

244.79

0

0

1

617.78

599.94

0.666

0.166

0.166

132.67

121.34

0.166

0.666

0.166

13.26

18.4

0.166

0.166

0.666

317.01

328.86

0.75

0.25

0

49.99

50.82

0.85

0.15

0

64.2

62.87

0.15

0

0.85

613.71

613.71

a) Represente gráficamente el diseño empleado.

b) Ajuste el modelo apropiado, anote la ecuación y señale la ecuación y señale si es suficiente para explicar lo que ocurre en el experimento. El modelo q mejor se ajusta es cubico cuya ecuación se muestra a continuación: Y = 20*puz-7*cal+632*cem+160*puz*cal+202*puz*cem-765*cal*cem-1436*puz*cal*cem Los parámetros de regresión se muestran a continuación: Análisis de varianza para RM (proporciones del componente) Fuente Regresión Lineal Cuadrática Cúbico especial Error residual Total

GL 6 2 3 1 9 15

SC Sec. 670985 614251 54194 2539 5785 676769

SC Ajust. 670985 387133 47224 2539 5785

MC Ajust. 111831 193567 15741 2539 643

F P 173,99 0,000 301,15 0,000 24,49 0,000 3,95 0,078

El modelo tiene un p-valor de cero, por lo que se acepta dicho modelo. S = 25,3526 R-cuad. = 99,15%

PRESS = 26021,3 R-cuad.(pred.) = 96,16%

R-cuad.(ajustado) = 98,58%

Se observa que el modelo explica alrededor del 98% de la varianza, lo que indica que es bastante eficiente, sin embargo no es del todo suficiente para explicar completamente los valores de respuesta.

c) Por medio de la gráfica de trazas jerarquice en orden de importancia los materiales que tienen mayor impacto sobre la resistencia, y diga si hay alguna sinergia de relevancia o antagonismo. Justifique sus afirmaciones. La grafica de trazas para el modelo cubico utilizado se observa a continuación:

En la siguiente grafica es observar que el componente que más afecta a la resistencia al compresión es el cemento, este seguido por la puzalona. La que menos influye es la cal. Esto tiene sentido ya que es el cemento el más duro de entre estos y por tanto el que mayor resistencia da. El grafica que sigue se observa sinergia entre la puzalona y la cal:

Es deir, cuando la mezcla tan solo contine puzalona y cal, hay un aumento en la resistencia extra dado por la interaccion entre estos dos componentes. En la siguiente se observa que también hay sinergia entre la puzalona y el cemento:

Lo contrario ocurre para la interacción entre la cal y el cemento donde hay interacción antagónica, al parecer los efectos de la cal afectan a los del cemento.

Mediante las gráficas se podría concluir que la interacción más relevante es la cemento y cal, aunque en general esta no es muy pronunciada. d) Bosqueje la gráfica de contornos y señale en q zona se dan las respuestas máximas. Se muestra la gráfica de contornos:

Los valores máximos se dan cuando la proporción de cemento es cerca de ser igual a la unidad. e) Encuentre la mezcla óptima.

Para el modelo utilizado, el máximo valor se logra cuando la mezcla es cemento puro, es decir que el valor del cemento es 1.

17. En Bowles y Montgomery (1997) se presenta el problema de elaborar una margarita (bebida de tequila). Diseñar la fórmula de una margarita es un problema que corresponde al ámbito de los experimentos con mezclas, donde los ingredientes tienen restricciones, ya que una mezcla que contenga 100% de cualquiera de los cuatro ingredientes resultara poco satisfactoria y se desea que cada componente éste presente en cualquier formulación. Con base en la experiencia práctica con esta bebida se definieron las siguientes restricciones: Margarita Mix:| Tequila: Triple Sec: Jugo de lima:

0.49 ≤ X1 ≤ 0.55 0.25 ≤ X2 ≤ 0.31 0.08 ≤ X3 ≤ 0.16 0.04 ≤ X4 ≤ 0.10

Con X1 + X2 + X3 + X4 = 1. La variable de respuesta de este experimento debe ser una medida del goce de esta bebida. Se usaron dos variables de respuesta, Y2: Los panelistas evaluaron cada receta sobre una escala del 1 al 10, indicando que el 10 se refiere a la más deliciosa (sabor y la intensidad de la bebida); Y1: cada participante fue cuestionado para comparar el goce relacionado con cada receta, construyendo una escala en la que la mejor se considerará en el lugar número 1, la siguiente ocupara el número 2 y así sucesivamente. Se formó un jurado con 15 participantes. Se reportan los resultados promedio. Mezcla 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

X1 49 51 55 55 55 51 55 52 52 49 55 55 55 49 49

X2 25 31 28 25 29 31 25 28 25 28 25 29 31 31 31

X3 16 8 13 10 8 8 10 16 16 13 16 8 10 13 16

X4 10 10 4 10 8 10 10 4 7 10 4 8 4 7 4

Y1 9.33 9.17 9.57 3.67 7.33 9 5.33 12.33 8.67 6.5 8 7.17 7.5 7.67 9.17

Y2 5.14 4.45 3.96 6.29 5.07 4.12 6.21 4.21 5.54 4.92 4.6 5.79 4.6 4.99 2.79

a) Ajustar el modelo apropiado y depurar el modelo para Y2. Haciendo para un ajuste lineal tenemos los siguientes resultados para Y2: Regresión para mezclas: Y2 vs. X1, X2, X3, X4 Coeficientes de regresión estimados para Y2 (proporciones del componente)

Término X1 X2 X3 X4

Coef 13.84 -13.53 -0.58 19.88

SE Coef 2.757 4.447 4.224 5.588

S = 0.543429 R-cuad. = 72.24%

T * * * *

P * * * *

VIF 106.503 80.101 14.159 9.579

PRESS = 5.92222 R-cuad.(pred.) = 49.39%

R-cuad.(ajustado) = 64.67%

Análisis de varianza para Y2 (proporciones del componente) Fuente Regresión Lineal Error residual Falta de ajuste Error puro Total

GL 3 3 11 8 3 14

SC Sec. 8.4543 8.4543 3.2485 2.9316 0.3168 11.7028

SC Ajust. 8.4543 8.4543 3.2485 2.9316 0.3168

MC Ajust. 2.8181 2.8181 0.2953 0.3665 0.1056

F 9.54 9.54

P 0.002 0.002

3.47

0.167

Coeficientes de regresión estimados para Y2 (cantidades del componente) Término X1 X2 X3 X4

Coef 0.138442 -0.135303 -0.00575196 0.198773

Luego obtenemos un mejor ajuste para un modelo cuadrático. Regresión para mezclas: Y2 vs. X1, X2, X3, X4 Coeficientes de regresión estimados para Y2 (proporciones del componente) Término X1 X2 X3 X4 X1*X2 X1*X3 X1*X4 X2*X3 X2*X4 X3*X4

Coef -39.1 5.6 -279.8 -765.1 82.4 520.5 1120.1 115.0 559.0 1241.7

SE Coef 101.0 198.1 228.7 306.0 531.1 522.0 543.8 364.6 444.4 418.7

S = 0.462055 R-cuad. = 90.88%

T * * * * 0.16 1.00 2.06 0.32 1.26 2.97

P * * * * 0.883 0.364 0.094 0.765 0.264 0.031

VIF 197932 219984 57404 39732 433937 80902 34202 11244 6562 993

PRESS = 23.8193 R-cuad.(pred.) = 0.00%

R-cuad.(ajustado) = 74.46%

Análisis de varianza para Y2 (proporciones del componente) Fuente Regresión Lineal Cuadrática Error residual Falta de ajuste Error puro Total

GL 9 3 6 5 2 3 14

SC Sec. 10.6353 8.4543 2.1810 1.0675 0.7506 0.3168 11.7028

SC Ajust. 10.6353 1.5246 2.1810 1.0675 0.7506 0.3168

MC Ajust. 1.1817 0.5082 0.3635 0.2135 0.3753 0.1056

F 5.54 2.38 1.70

P 0.037 0.186 0.288

3.55

0.162

Coeficientes de regresión estimados para Y2 (cantidades del componente) Término X1 X2 X3 X4 X1*X2 X1*X3 X1*X4 X2*X3 X2*X4 X3*X4

Coef -0.391486 0.0556546 -2.79774 -7.65137 0.00824337 0.0520509 0.112009 0.0115017 0.0559007 0.124168

Para un modelo con depuración que mejor se ajusta seria el cubico centrado.

Regresión para mezclas: Y2 vs. X1, X2, X3, X4 No se pueden estimar los siguientes términos y se eliminaron: X1*X3*X4 X2*X3*X4 Coeficientes de regresión estimados para Y2 (proporciones del componente) Término X1 X2 X3 X4 X1*X2 X1*X3 X1*X4 X2*X3 X2*X4 X3*X4 X1*X2*X3 X1*X2*X4

Coef 119 -1106 5247 -14029 1835 -9548 25581 -10031 53944 -344 16944 -99346

SE Coef 271.7 666.5 2837.0 5135.2 1677.7 5610.4 9344.1 7554.9 20469.2 672.5 13748.5 38030.2

S = 0.324987 R-cuad. = 97.29%

T * * * * 1.09 -1.70 2.74 -1.33 2.64 -0.51 1.23 -2.61

P * * * * 0.354 0.187 0.071 0.276 0.078 0.644 0.306 0.080

PRESS = * R-cuad.(pred.) = *%

VIF 2891901 5031919 17854788 22621134 8753671 18890677 20416145 9759055 28138589 5178 8693374 26338522

R-cuad.(ajustado) = 87.37%

Análisis de varianza para Y2 (proporciones del componente) Fuente Regresión Lineal Cuadrática Cúbico especial Error residual Total

GL 11 3 6 2 3 14

SC Sec. 11.3859 8.4543 2.1810 0.7506 0.3168 11.7028

SC Ajust. 11.38592 1.47140 2.78538 0.75063 0.31685

MC Ajust. 1.035084 0.490465 0.464231 0.375313 0.105617

F 9.80 4.64 4.40 3.55

P 0.043 0.120 0.126 0.162

Coeficientes de regresión estimados para Y2 (cantidades del componente) Término X1 X2 X3 X4

Coef 1.18897 -11.0584 52.4713 -140.290

X1*X2 X1*X3 X1*X4 X2*X3 X2*X4 X3*X4 X1*X2*X3 X1*X2*X4

0.183495 -0.954757 2.55810 -1.00306 5.39438 -0.0344444 0.0169444 -0.0993461

Se concluye que mejor el mejor modelo sin depuración que se ajusta seria el cuadrático con un R- cuadrado de 90.88% pero si queremos con depuración seria de cubica centrada con un R-cuadrado de 97.99%.

b) De acuerdo con el modelo ajustado ¿Cuáles son los aspectos más relevantes? Con el modelo cubico centrado podemos ver que el factor que más influye es X3 seguido de X1 el cual corresponde al Triple Sec y Margarita Mix respectivamente. De acuerdo al modelo ajustado los aspectos más importantes es el R-cuadrado que para nuestro modelo cuadrático seria 90.88% y para nuestro modelo cubico centrada seria de 97.99%, Otro aspecto importante es el P-valor observando q para los modelos ajustados van a ser menor de 0.5 lo cual van a ser significativos teniendo una observación de que para el modelo cubico centrado aumenta el P valor en comparación del cuadrático pero ambos dentro del rango pero lo que más tendríamos que decidir seria por el R cuadrado. Tenemos una representación Aquí tenemos la gráfica de superficie para el modelo cubico centrado:

Gráfica de superficie de mezcla de Y2 (cantidad de los componentes)

Valores fijos X4 4

40

20

X1

Y2

63.00 8.00

0

25.00 X2

39.00

49.00 22.00 X3

c) ¿Cuál sería la mezcla optima? Para el modelo de cubica centrada tendríamos los siguientes valores óptimos.

Optimización de respuesta Parámetros Y2

Meta Máximo

Inferior 1

Objetivo 5

Superior 5

Ponderación 1

Importar 1

Solución global Componentes X1 X2 X3 X4

= = = =

49 28 16 7

Respuestas pronosticadas Y2

=

8.70281

,

conveniencia =

1.000000

Conveniencia compuesta = 1.000000 Se observa que se tendría un valor optimo como es este caso que es para maximizar teniendo para margarita Mix 49, tequila 28, triple Sec 16 y jugo de lima de 7

d) Repita el análisis anterior Ahora para Y1: Haciendo para un ajuste lineal tenemos los siguientes resultados para Y2: Regresión para mezclas: Y1 vs. X1, X2, X3, X4 Coeficientes de regresión estimados para Y1 (proporciones del componente) Término X1 X2 X3 X4

Coef -6.68 32.69 28.29 -14.72

SE Coef 8.502 13.715 13.030 17.235

S = 1.67612 R-cuad. = 45.58%

T * * * *

P * * * *

VIF 106.503 80.101 14.159 9.579

PRESS = 58.4575 R-cuad.(pred.) = 0.00%

R-cuad.(ajustado) = 30.73%

Análisis de varianza para Y1 (proporciones del componente) Fuente Regresión Lineal Error residual Falta de ajuste Error puro Total

GL 3 3 11 8 3 14

SC Sec. 25.880 25.880 30.903 29.498 1.405 56.783

SC Ajust. 25.880 25.880 30.903 29.498 1.405

MC Ajust. 8.6265 8.6265 2.8094 3.6873 0.4683

F 3.07 3.07

P 0.073 0.073

7.87

0.059

Coeficientes de regresión estimados para Y1 (cantidades del componente) Término X1

Coef -0.0667942

X2 X3 X4

0.326929 0.282901 -0.147200

Luego obtenemos un mejor ajuste para un modelo cuadrático. Regresión para mezclas: Y1 vs. X1, X2, X3, X4 Coeficientes de regresión estimados para Y1 (proporciones del componente) Término X1 X2 X3 X4 X1*X2 X1*X3 X1*X4 X2*X3 X2*X4 X3*X4

Coef -561 -1177 89 126 3375 1154 1020 213 439 -1414

SE Coef 261.3 512.3 591.3 791.1 1373.2 1349.7 1405.9 942.7 1149.1 1082.6

S = 1.19468 R-cuad. = 87.43%

T * * * * 2.46 0.85 0.73 0.23 0.38 -1.31

P * * * * 0.057 0.432 0.501 0.830 0.718 0.248

VIF 197932 219984 57404 39732 433937 80902 34202 11244 6562 993

PRESS = 174.674 R-cuad.(pred.) = 0.00%

R-cuad.(ajustado) = 64.81%

Análisis de varianza para Y1 (proporciones del componente) Fuente Regresión Lineal Cuadrática Error residual Falta de ajuste Error puro Total

GL 9 3 6 5 2 3 14

SC Sec. 49.646 25.880 23.767 7.136 5.731 1.405 56.783

SC Ajust. 49.646 7.416 23.767 7.136 5.731 1.405

MC Ajust. 5.5163 2.4718 3.9611 1.4273 2.8656 0.4683

F 3.86 1.73 2.78

P 0.075 0.276 0.141

6.12

0.087

Coeficientes de regresión estimados para Y1 (cantidades del componente) Término X1 X2 X3 X4 X1*X2 X1*X3 X1*X4 X2*X3 X2*X4 X3*X4

Coef -5.60693 -11.7749 0.892155 1.25783 0.337451 0.115388 0.101998 0.0212972 0.0438548 -0.141420

Para un modelo con depuración que mejor se ajusta seria el cubico centrado.

Regresión para mezclas: Y1 vs. X1, X2, X3, X4 No se pueden estimar los siguientes términos y se eliminaron: X1*X3*X4 X2*X3*X4

Coeficientes de regresión estimados para Y1 (proporciones del componente) Término X1 X2 X3 X4 X1*X2 X1*X3 X1*X4 X2*X3 X2*X4 X3*X4 X1*X2*X3 X1*X2*X4

Coef 1185 3082 10728 -1089 -8436 -22668 -951 -40756 -523 -1256 77778 3825

SE Coef 572.1 1403.5 5974.2 10813.8 3533.0 11814.5 19676.9 15909.1 43104.3 1416.2 28951.7 80084.3

S = 0.684361 R-cuad. = 97.53%

T * * * * -2.39 -1.92 -0.05 -2.56 -0.01 -0.89 2.69 0.05

P * * * * 0.097 0.151 0.964 0.083 0.991 0.441 0.075 0.965

PRESS = * R-cuad.(pred.) = *%

VIF 2891901 5031919 17854788 22621134 8753671 18890677 20416145 9759055 28138589 5178 8693374 26338522

R-cuad.(ajustado) = 88.45%

Análisis de varianza para Y1 (proporciones del componente) Fuente Regresión Lineal Cuadrática Cúbico especial Error residual Total

GL 11 3 6 2 3 14

SC Sec. 55.3776 25.8796 23.7668 5.7313 1.4050 56.7827

SC Ajust. 55.3776 12.6416 19.6981 5.7313 1.4050

MC Ajust. 5.03433 4.21385 3.28301 2.86563 0.46835

F 10.75 9.00 7.01 6.12

P 0.038 0.052 0.069 0.087

Coeficientes de regresión estimados para Y1 (cantidades del componente) Término X1 X2 X3 X4 X1*X2 X1*X3 X1*X4 X2*X3 X2*X4 X3*X4 X1*X2*X3 X1*X2*X4

Coef 11.8460 30.8225 107.284 -10.8911 -0.843634 -2.26684 -0.0950752 -4.07556 -0.0522627 -0.125556 0.0777778 0.00382523

Se concluye que mejor el mejor modelo sin depuración que se ajusta seria el cuadrático con un R- cuadrado de 87.43% pero si queremos con depuración seria de cubica centrada con un R-cuadrado de 97.53%.

De acuerdo con el modelo ajustado ¿Cuáles son los aspectos más relevantes? De acuerdo al modelo ajustado los aspectos más importantes es el R-cuadrado que para nuestro modelo cuadrático seria 87.43% y para nuestro modelo cubico centrada seria de 97.53%, Otro aspecto importante es el P-valor observando q para los modelos ajustados van a ser menor de 0.5 lo cual van a ser significativos teniendo una observación de que para el modelo cubico centrado aumenta el P valor en comparación del cuadrático pero ambos dentro del rango pero lo que más tendríamos que decidir seria por el R cuadrado.

Tenemos una representación Aquí tenemos la gráfica de superficie para el modelo cubico centrado:

Gráfica de superficie de mezcla de Y1 (cantidad de los componentes)

Valores fijos X4 4

30

20

X1

Y1

63.00 8.00

10

25.00 X2

39.00

49.00 22.00 X3

¿Cuál sería la mezcla optima? Para el modelo de cubica centrada tendríamos los siguientes valores óptimos. Optimización de respuesta Parámetros Y1

Meta Mínimo

Inferior 5

Objetivo 5

Superior 10

Ponderación 1

Solución global Componentes X1 X2 X3 X4

= = = =

52.4499 25 12.5501 10

Respuestas pronosticadas Y1

=

3.71651

,

conveniencia =

Conveniencia compuesta = 1.000000

1.000000

Importar 1

Se observa que se tendría un valor óptimo como es este caso que es para minimizar Y1 teniendo para margarita Mix 52.4499, tequila 25, triple Sec 12.55 y jugo de lima de 10

e) ¿Qué combinaciones es satisfactoria para ambas variables? Optimización de respuesta Parámetros Y1 Y2

Meta Mínimo Máximo

Inferior 5 1

Objetivo 5 5

Superior 10 5

Ponderación 1 1

Importar 1 1

Solución global Componentes X1 X2 X3 X4

= = = =

54.6091 25 10.4187 9.97218

Respuestas pronosticadas Y1 Y2

= =

4.10806 5.00676

, ,

conveniencia = conveniencia =

1.000000 1.000000

Conveniencia compuesta = 1.000000 Grafica de optimización Para obtener un valor optimo para Y1 (Minimizar) y Y2 (maximizar) se tiene para margarita Mix 52.6091, tequila 25, triple Sec 10.4187 y jugo de lima de 9.97218.

Óptimo Alto D Act 1.0000 Bajo

Compuesto Conveniencia 1.0000

Y1 Máximo y = 12.2628 d = 1.0000

[ ]:X1 55.0 [52.2308] 52.2308

[ ]:X2 31.0 [27.7692] 27.7692

[ ]:X3 16.0 [16.0] 10.8571

[ ]:X4 10.0 [4.0] 4.0