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• Franzer Adnarim

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EJERCICIOS CON MATRICES PARTE1: Antes de realizar las operaciones con matrices, el problema principal es determinar su tipologia: •

Matriz cuadrada

•

Matriz rectangular

•

La matriz cuadrada es la base de muchos otros tipos de matrices como: ◦ la matriz identidad, ◦ la matriz triangular, ◦ la matriz inversa y ◦ la matriz simétrica.

Entonces el problema es: •

Determinar si una matriz es rectangular

•

Si no es rectangular es una matriz cuadrada

•

Si es cuadrada es una: 1.

Matriz Triangular Superior: matriz con todos los elementos por debajo de la diagonal principal igual a 0

2.

Matriz Triangular Inferior: matriz con todos los elementos por encima de la diagonal principal igual a 0

3.

Matriz Diagonal: matriz con todos los elementos que no estén en la diagonal principal iguales a 0

4.

Matriz Escalar: matriz con todos los elementos de la diagonal principal del mismo valor

5.

Matriz Identidad: matriz cuadrada con valores 1 en la diagonal principal y el resto de valores igual a 0

6.

Matriz Regular: es aquella matriz cuadrada que tiene inversa

7.

Matriz Singular: es aquella matriz que no posee inversa

8.

Matriz Idempotente: matriz que multiplicada por si misma da como resultado la misma matriz

9.

Matriz Involutiva: matriz que multiplicada por si misma da como resultado la matriz unidad o identidad

10. Matriz Simétrica: matriz cuadrada que es igual a su traspuesta (A = AT) 11.

Matriz Antisimétrica: matriz que es igual a su traspuesta cambiada de signo (A = -AT)

Fuente: https://www.matematicas10.net/2015/12/ejemplos-de-matriz-cuadrada.html

Ejemplos de Matriz Cuadrada:

Fuente: https://www.matematicas10.net/2015/12/ejemplos-de-matriz-cuadrada.html

Los puntos 5 al 11, involucran ya operaciones sobre las matrices, como por ejemplo: •

Encontrar la traspuesta de una matriz

•

Encontrar la inversa de una matriz

•

Multiplicación de matrices

Caso particular: Matriz nula La matriz nula es aquélla cuyos elementos son todos ceros. La simbolizamos con O. La programación ira dirigida a: •

Determinar si una matriz introducida (cuadrada o rectangular) es una matriz nula

•

Generar automáticamente una matriz nula

•

Obtener una matriz nula a partir de una existente

PARTE2: El segundo caso de analisis, es la creacion o introducion de datos a una matriz. Por ejemplo: •

Crear una matriz cuadrada de orden n

•

Crear una matriz rectangular de mxn dimensiones

•

En los otros casos: ◦ generar automáticamente una matriz identidad ◦ generar automáticamente una matriz diagonal ◦ generar automáticamente una matriz escalar

PARTE3 En esta parte vamos a crear programas que permitan realizar las operaciones basicas sobre matrices: suma, la resta, la división y la multiplicación. Otra operación importante es la comparación de 2 matrices: ¿Cuándo dos matrices son iguales? Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y además los elementos colocados en el mismo lugar valen lo mismo.

Son iguales si: a= 1, b= 3, c=4 y d= -1

Multiplicación por un número (escalar) Para multiplicar una matriz cualquiera por un número real, se multiplican todos los elementos de la matriz por dicho número. Ejemplo:

Matrices ortogonales Una matriz cuadrada es ortogonal cuando su traspuesta coincide con su inversa: A∈Rn×n es ortogonal ⇔At=A–1⇔AAt=I∧AtA=I Por ejemplo las siguientes matrices son ortogonales: A=⎛⎜⎝1√2–1√21√21√2⎞⎟⎠,B=⎛⎜⎝1√103√103√10–1√10⎞⎟⎠ Dejamos a cargo del lector verificar que las matrices cumplen la definición. Observemos que las columnas de A y de B son vectores ortogonales y de módulo 1. Ésta es la característica que distingue a las matrices ortogonales.

PARTE4: Son ejemplos interesantes seleccionados de algunas paginas de internet, cuyo objetivo fundamental es proporcionar datos para correr los programas o resolver algunos problemas especificos.

Cuadrado mágico Un cuadrado mágico es una

tabla de grado primario donde se dispone de una serie de números enteros en un

cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico. Ejemplo:

En esta sección vas a conocer los CUADRADOS MÁGICOS      En la parte izquierda tenemos un ejemplo de cuadrado mágico. Observa que todas las filas, todas las columnas y las dos diagonales suman lo mismo.

las filas suman:

• 8+1+6 = 15 • 3+5+7 = 15 • 4+9+2 = 15

las columnas suman: las diagonales suman:

• 8+3+4 = 15 • 1+5+7 = 15 • 6+7+2 = 15

• 8+5+2 = 15 • 6+5+4 = 15 •

Realizar un programa para determinar:

•

Si una matriz introducida es un cuadrado magico o no

•

La constante magica k, (en este ejemplo k = 15)

•

probar con los datos anteriores

Ejercicio 2 Un comercio que vende productos de electrónica, paga una comisión a los vendedores y tiene un beneficio (ganancia) según cada producto. En una tabla se registra el precio de venta, el beneficio para el comercio, la comisión para el vendedor y el costo del producto. Además se tiene información sobre las unidades vendidas en diferentes sucursales. A continuación mostramos dos tablas que resumen esa información para el mes de agosto 2013: Precio de venta, beneficio, costo, comisión por producto [AGOSTO 2013] Smartphon ITEM LED 32′ BA455 LED BX567 Tablet 10′ e Costo $ 3.200,00 $ 4.500,00 $ 2.500,00 $ 4.800,00 Comisión $ 200,00 $ 250,00 $ 30,00 $ 40,00 Beneficio $ 700,00 $ 900,00 $ 200,00 $ 340,00 Precio de venta $ 4.100,00 $ 5.650,00 $ 2.730,00 $ 5.180,00 Unidades vendidas de cada producto por sucursal [AGOSTO 2013] Equipo Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3 Sucursal 4 LED 32′ BA455 23 67 43 4 LED BX567 56 20 32 43 Smartphone 10 65 67 65 Tablet 10′ 45 3 23 76 Notebook 67 65 43 80

Notebook $ 5.600,00 $ 120,00 $ 800,00 $ 6.520,00

Si A y B son las matrices correspondientes a estas tablas: a) Calcular e interpretar el producto AB. ¿Cuál es la sucursal que obtuvo la máxima ganancia? b) ¿Se puede calcular BA? ¿Tiene interpretación práctica BA? Nota: hacer el producto de matrices de órdenes grandes puede implicar demasiado trabajo de cálculo. En estos casos se puede utilizar la ayuda de calculadoras o de un software. En el siguiente link hay un tutorial para hacer cálculos entre matrices con wxMaxima. (Descarga de wxMaxima) Ejemplo determinantes

El determinante de A=⎛⎜⎝3–1–1210312⎞⎟⎠ es: det(A)=3.∣∣∣1012∣∣∣–(–1).∣∣∣2032∣∣∣+(–1).∣∣∣2131∣∣∣ det(A)=3.2–(–1).4+(–1).(–1) det(A)=11 La regla de Sarrus es una forma práctica de calcular determinantes, sólo aplicable para matrices de 3×3 Consideremos el siguiente esquema en el cual agregamos al final de una matriz de 3×3 las filas 1 y 2. El determinante se calcula sumando los productos indicados por las flechas que que van de izquierda a derecha y restando los productos indicados por las flechas que van de derecha a izquierda:

Para la matriz considerada en el ejemplo anterior:

Ejercicio para el lector 3 En una ciudad hay tres empresas de telefonía celular (A, B y C) que controlan el mercado.

Inicialmente cada empresa tiene una fracción de la clientela que denominaremos a0, b0 y c0. Entonces resulta: a0+b0+c0=1 (no hay otras empresas)

La figura resume el porcentaje de clientes que cambian de empresa durante un período de seis meses. Este modelo matemático se basa en los siguientes supuestos: – El porcentaje de cambio entre las empresas se mantiene constante con el tiempo. – Los clientes seguirán siendo consumidores de una de estas tres empresas. – No se incorporan nuevos clientes al sistema. Llamemos X0=⎛⎜⎝a0b0c0⎞⎟⎠ al vector de estado inicial, y X1=⎛⎜⎝a1b1c1⎞⎟⎠ al vector que indica la fracción de la clientela que corresponde a cada empresa al cabo de un semestre. Veamos cómo puede obtenerse X1 a partir de X0 . De acuerdo con la figura, podemos deducir que al cabo de un período (semestre) la empresa A conservará 70% de su clientela propia. ¿Qué porcentaje de su clientela conservarán las empresas B y C al cabo de un semestre?

Según los datos, finalizado el 1º semestre la fracción de la clientela que tiene A puede obtenerse así: 0,70a0+0,10b0+0,10c0=a1 ¿Qué ecuaciones permiten obtener b1 y c1 ? Resulta entonces el siguiente sistema: ⎧⎪⎨⎪⎩0,70a0+0,10b0+0,10c0=a10,15a0+0,85b0+0,10c0=b10,15a0+0,05b0+0,80c0=c1 El lector puede comprobar que este sistema puede expresarse mediante un producto de matrices como sigue: ⎛⎜⎝0,700,100,100,150,850,100,150,050,80⎞⎟⎠⎛⎜⎝a0b0c0⎞⎟⎠=⎛⎜⎝a1b1c1⎞⎟⎠ O sea: MX0=X1[1] La matriz M∈R3×3 , que caracteriza la evolución del sistema, se denomina matriz de transición. ¿Qué características presenta esta matriz de transición? 1) Todos sus elementos son números reales comprendidos entre 0 y 1. 2) La suma de los elementos de cada columna es 1. Las matrices cuadradas que cumplen estas dos condiciones se denominan matrices estocásticas o matrices de probabilidad. Como la matriz de transición se mantiene para el 2º período, la fracción de clientes para el tiempo t=2 puede calcularse como: MX1=X2[2] De [1] y [2] se deduce que: X2=M2X0 Si los porcentajes de cambio de clientela no cambian en los períodos siguientes, entonces M no cambia cuando se pasa del estado (n–1) al estado n . Por lo tanto:

O sea, para obtener cómo se distribuyen los clientes luego de n períodos, podemos proceder así: Xn=MnX0 Suponiendo que inicialmente las tres empresas se reparten por partes iguales la clientela, les pedimos que calculen (usando wxMaxima) cómo resulta la distribución de clientes: 1. Al cabo de 3 años. 2. Al cabo de 10 años 3. Al cabo de 15 años Observen luego de hacer los cálculos que en la medida en que el tiempo pasa, las cuotas de mercado de las empresas tienden a estabilizarse. 4. Responder las mismas preguntas suponiendo que inicialmente las cuotas de mercado de las empresas A, B y C son respectivamente: 0,5 , 0,35 y 0,15. 5. ¿Se produce el mismo fenómeno de estabilización en este caso?