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Universidad Nacional de Trujillo Departamento de Matemáticas Practica Nº 1 de Álgebra Lineal

⎡ 2 −3 −5 ⎤ 1.- Si A = ⎢⎢ −1 4 5 ⎥⎥ ⎢⎣ 1 −3 −4 ⎥⎦ Hallar A5 B7

y

⎡ −1 3 5 ⎤ B = ⎢⎢ 1 −3 −5⎥⎥ ⎢⎣ −1 3 5 ⎥⎦

2.- Calcule A2 , A3 , A4 y A5 donde ⎡0 ⎢0 A=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

1 0 0⎤ 0 1 0 ⎥⎥ 0 0 1⎥ ⎥ 0 0 0⎦

3.-Usando las matrices ⎡3 7 ⎤ ⎡0 1 ⎤ y A=⎢ B=⎢ ⎥ ⎥ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 2⎦ Verifique que AB = 0 siendo A ≠ 0 y B ≠ 0 (Este ejercicio muestra que en matrices no es valida la propiedad de números reales: ad = 0 entonces a = 0 0 b = 0 ) 4.-Usando las matrices ⎡0 1 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡2 5⎤ A=⎢ B=⎢ C=⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣0 2⎦ ⎣3 4 ⎦ ⎣3 4⎦ Verifique que la ley de cancelación no es valida para las matrices, observando que AB = AC no implica que B = C , aunque A ≠ 0 5.-Demuestre que si A es invertible y AB = AC entonces B = C De una explicación de porque este ejercicio no se contradice con el ejercicio 4. 6.-Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden. ¿Es ( AB) 2 = A2 B 2 una identidad matricial valida? Justificar su respuesta

Definición.-Se dice que una matriz A diferente de la matriz nula es nilpotente si existe un entero k tal que Ak = 0 El índice de nilpotencia se define como el entero mas pequeño para el que Ak = 0 . 7.-Determine cuales de las siguientes matrices son nilpotentes ⎡ 1 −1 0 ⎤ A= ⎢⎢1 −1 0 ⎥⎥ ⎣⎢ 2 −2 0 ⎦⎥

⎡ 0 −5 10 ⎤ B= ⎢⎢ 0 1 2 ⎥⎥ ⎣⎢ 0 3 6 ⎥⎦ 8.-Demostrar que la matriz

⎡ 6 0 −1⎤ C.- ⎢⎢ 2 3 2 ⎥⎥ ⎣⎢1 3 1 ⎥⎦

⎡1 1 3⎤ D.- ⎢⎢ 5 2 6 ⎥⎥ ⎣⎢ −2 −1 −3⎦⎥

⎡ 2 −2 −4 ⎤ A= ⎢⎢ −1 3 4 ⎥⎥ es idempotente. ⎢⎣ 1 −2 −3⎥⎦ 9.- ¿Qué puede afirmarse acerca de la inversa de una matriz involutiva? ⎡ −5 − 8 0 ⎤ 10.-Si A y B son matrices involutivas y AB = BA = ⎢⎢ 3 5 0 ⎥⎥ . ⎢⎣ 1 2 −1⎥⎦ 2 Hallar la traza de la matriz M = (A + B ) .

a − b −1⎤ ⎡ 1 ⎢ 11.-Si la matriz A = 2 b ⎥⎥ es simétrica. 3 ⎢ ⎢⎣b − x a − x 4 ⎥⎦ 2 Hallar A . 12.- Determine cuales de las siguientes matrices son ortogonales: ⎡1 ⎡ 3 −2 1⎤ ⎢ ⎥ B= ⎢⎢ 0 a.- A = ⎢10 0 1⎥ ⎢⎣ 0 ⎢⎣ 0 1/ 2 1⎥⎦ b.- ¿Qué se puede afirmar acerca de ortogonal?

0 0⎤ 0 −1⎥⎥ 1 0 ⎥⎦ la inversa de una matriz

13.-Justificar que AB no es necesariamente simétrica aunque A y B sean simétricas.

14.-Demuestre mediante un ejemplo que AB podría ser simétrica cuando A es simétrica y B es simétrica. 15.-Demuestre que si A es simétrica entonces A2 es simétrica. 16.- Si A2 es simétrica, ¿A es simétrica? 17.- Si A es una matriz simétrica nxn y B es una matriz nxm ,demostrar que BT AB es simétrica. Definición.-Sea A una matriz nxm . La matriz transpuesta hermitiana AH ,es la matriz mxn que se obtiene tomando el complejo conjugado de sus elementos en AT . Propiedades: 1.- ( AH ) H = A 2.- ( A ± B) H = AH ± B H 3.- (λ A) H = λ AH 4.- ( AB) H = B H AH Definición: Una matriz A cuadrada nxn para la cual AH = A es llamada matriz Hermitiana. 18.-Determine si la matriz 3 + 2i ⎤ ⎡ 2 es hermitiana. A=⎢ −6 ⎥⎦ ⎣3 − 2i 19.-Demuestre que si A es hermitiana entonces A2 es hermitiana

20.-Demuestre que B H AB es hermitiana si A es hermitiana. 21.-Demuestre que toda matriz cuadrada se puede escribir como la suma de una matriz simétrica y de una antisimetrica. Definición.- Una matriz de probabilidad es una matriz cuadrada que satisface las siguientes propiedades: 1.-Sus elementos son no negativos 2.-La suma de los elementos de cada una de sus filas es uno. Ejemplo: ⎡1 1 2⎤ ⎢6 6 3⎥ ⎢ ⎥ A = ⎢ 0 1 0 ⎥ es una matriz de probabilidad. ⎢1 1 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣5 5 5⎦ 22.-Sea P una matriz de probabilidad. Demuestre que P 2 es una matriz de probabilidad.

23.- Cuales de las siguientes son matrices elementales ⎡1 0 0 ⎤ ⎡0 1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡2 0⎤ ⎢ ⎥ A.- ⎢ B.- ⎢ C.- ⎢0 1 −3⎥ D.- ⎢⎢1 0 0 ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎣3 1 ⎦ ⎣0 2⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦

24.-En los siguientes problemas determine si la matriz dada se encuentra en la forma escalonada por filas (pero no en la forma escalonada reducida por filas ), en la forma escalonada reducida por filas o en ninguna de las dos. a)

b) ⎡2 0 0 ⎤ ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦

⎡1 1 0 ⎤ ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦

e)

c) 1 ⎡ 0 1 0⎤ ⎢0 1 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0 0 ⎥⎦

f) ⎡0 1 0 0 ⎤ ⎢1 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0 0 ⎥⎦

⎡1 0 0 0 ⎤ ⎢0 0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0 1 ⎥⎦

d) 1 0 1 4⎤ ⎡ ⎢0 1 0 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 1 1 6 ⎥⎦ g) ⎡1 0 1 2 ⎤ ⎢0 1 3 4 ⎥ ⎣ ⎦

25.- Hallar el rango de las siguientes matrices

a.-

⎡ 0 4 10 1 ⎤ ⎢ 4 8 18 7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢10 18 40 17 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 7 17 3 ⎦

⎡14 12 6 8 2 ⎤ ⎢ 6 104 21 9 17 ⎥ ⎥ b.- ⎢ ⎢7 6 3 4 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣35 30 15 20 5 ⎦

⎡1 ⎢0 ⎢ c.- ⎢ 0 ⎢ ⎢1 ⎢⎣ 4

4⎤ 5 ⎥⎥ 0 1 3 6⎥ ⎥ 2 3 14 32 ⎥ 5 6 32 77 ⎥⎦

0 0 1 0

1 2

26.- ¿A que es igual el rango de la matriz

⎡1 x 0 −1 2 3 ⎤ A = ⎢ 2 −1 0 x 5 7 ⎥ para diferentes valores de x? ⎢ ⎥ ⎢⎣1 0 0 −6 1 2 ⎥⎦ 27.¿ Para que valor de x el rango de la matriz

⎡ x 1 0 x⎤ ⎢0 x x 1⎥ ⎥ A= ⎢ ⎢1 x x 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x 0 1 x⎦

es menor que cuatro?

28.- Determine todos los valores de α para los cuales la inversa de la matriz ⎡1 1 0 ⎤ ⎢1 0 0 ⎥ exista . ¿ Hallar A-1 ? ⎢ ⎥ ⎢⎣1 2 α ⎥⎦ 29.-¿Es la inversa de una matriz simétrica no singular siempre simétrica? Explicar. 30.- a.- ¿ Ocurre que (A+B)-1= A-1+B-1 ? 1 b.- ¿Ocurre que (cA)-1 = A-1 ? c 31.-Si A y B son no singulares ¿Son no singulares A+B ,A-B y –A ? Explicar 32.-Usando el método de eliminación Gaussiana, encontrar las soluciones si existen, para los siguientes sistemas de ecuaciones:

A.-

⎧ 2 x1 + 4 x2 + 8 x3 − 2 x4 = 4 ⎪ x + x + 3x =5 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ 4 x1 + 6 x2 + 14 x3 − 2 x4 = 14 ⎪⎩ x1 − x2 + x3 + 2 x4 = 11

B.⎧ x1 + 2 x2 + 4 x3 = 2 ⎪ ⎨ 2 x1 + 3 x2 + 7 x3 = 3 ⎪3 x − x + 5 x = 1 3 ⎩ 1 2

C.-

⎧6 x1 − 3 x2 − 4 x3 = 0 ⎪6 x − 9 x + 4 x = 0 ⎪ 1 2 3 ⎨ 3 x2 − 4 x3 = 0 ⎪ ⎪⎩ x1 + x2 + x3 = 1

33.-Resolver el ejercicio 32 usando el método de Eliminación de GaussJordan.

34.-Sea A una matriz 3x3. Supongamos que ⎡1⎤ x= ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ⎣⎢ −3⎦⎥ es una solución del sistema homogéneo Ax = 0 .¿Es A singular o no singular ? Justifique su respuesta. Todo sistema homogéneo Ax = 0 de ecuaciones lineales es consistente, ya que x1 = 0 , x2 = 0,............., xn = 0 siempre es una solución. Esta solución se conoce como solución trivial; si existen otras soluciones, se dice que son soluciones no triviales. 35.- ¿Para que valores de λ tiene el sistema (λ − 1) x + 2 y = 0 2 x + (λ − 1) y = 0 una solución no trivial?. 36.-Demuestre que el sistema homogéneo a11 x1 + a12 x2 = 0 a21 x1 + a22 x2 = 0

tiene un numero infinito de soluciones si y solo si

a11a22 − a12 a21 = 0

37.- Considere el sistema homogéneo

2 x − 3 y + 5z = 0 −x + 7 y − z = 0 4 x − 11 y + kz = 0 ¿Para que valor de k tendrá el sistema homogéneo soluciones no triviales? 38.-Encontrar todas las soluciones de los sistemas homogéneos x − 2y + z + w = 0

a)

+ 2 z − 2w = 0 4y − z − w = 0 5x + 3z − w = 0 3x

x +y−z =0

b)

4 x − y + 5z = 0 −2 x + y − 2 z = 0 3x + 2 y − 6 z = 0

Teorema: Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con más variables que ecuaciones siempre tiene infinitas soluciones. 39.- Sin utilizar lápiz ni papel, determine cuales de los sistemas homogéneos que siguen tienen soluciones no triviales x1 + 3x2 + 5 x3 + x4 = 0 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 x1 + x2 = 0 4 x1 − 7 x2 − 3x3 − x4 = 0 x2 + 4 x3 = 0 2 x1 + 2 x2 = 0 3 x1 + 2 x2 + 7 x3 + 8 x4 = 0 5 x3 = 0 40.- Hallar los valores de a y b para que el sistema de ecuaciones lineales 3x − 2 y + z = b

5x − 8 y + 9z = 3 2 x + y + az = −1 tenga: i) Solución única

ii) Infinitas soluciones

iii) No tenga solución.

41.- Determinar los valores de k para que el sistema de ecuaciones lineales x + y − z =1

2 x + 3 y + kz = 3 x + ky + 3 z = 2 tenga: i) Solución única

ii)Infinitas soluciones

iii)No tenga solución.

42.-Usando el método de Eliminación Gaussiana resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a) 2 x − 3 y − 7 z + 5u + 2v = −2

b) x − 2 y + 3z − 4w = 4

x − 2 y − 4 z + 3u + v = −2

− y − z + w = −3

2x − 4 z + 2u + v = 3 x − 5 y − 7 z + 6u + 2v = −7

x + 3 y − 3w = 1 −7 y + 3 z + w = − 3

43.-Sea

⎡ 2 −1 2 ⎤ A = ⎢⎢ 2 1 1 ⎥⎥ ⎢⎣1 −3 0 ⎥⎦

c)

2 x + 4 y + 6 z = 18 4 x + 5 y + 6 z = 24 2 x + 7 y + 12 z = 40

¿Para cuales ternas ( y1 , y2 , y3 ) tiene una solución el sistema Ax =Y? 44.-Sea

⎡ 3 −6 ⎢ −2 4 A =⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣ 1 −2

2 −1⎤ 1 3 ⎥⎥ 1 1⎥ ⎥ 1 0⎦

¿ Para cuales cuaternas ( y1 , y2 , y3 , y4 ) tiene solución el sistema de ecuaciones Ax = Y ? 45.-Para la matriz

⎡ 1 −1 1⎤ A = ⎢⎢ 2 0 1⎥⎥ ⎣⎢ 3 0 1⎥⎦ Encontrar matrices elementales E1 , E2 ,....., Ek tales que

Ek Ek −1........E1 A = I

46.-Sea

⎡ 1 2 1 0⎤ A = ⎢ −1 0 3 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 −2 1 1 ⎥⎦ Hallar una matriz escalonada reducida por filas R que sea equivalente a la matriz A y una matriz invertible P de orden 3x3 tal que R = PA . 47.-Encontrar la inversa de las siguientes matrices, en caso exista

⎡ 2 5 −1⎤ i.- A = ⎢ 4 −1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 6 4 1 ⎥⎦ 48.-Sea

ii.-

⎡1 −1 2 ⎤ A = ⎢3 2 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 1 −2 ⎥⎦

⎡5 0 0 ⎤ A = ⎢⎢1 5 0 ⎥⎥ ⎢⎣0 1 5 ⎥⎦ ¿Para que x existe un escalar c tal que Ax = cx ?

49.-Determinar si la matriz

⎡1 ⎢0 A=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

2 3 4⎤ 2 3 4 ⎥⎥ 0 3 4⎥ ⎥ 0 0 4⎦

es invertible y hallar A−1 en caso exista.

50.-Considere el sistema

2 x1 + 3x2 − x3 = a x1 − x2 + 3x3 = b

3 x1 + 7 x2 − 5 x3 = c Encuentre las condiciones sobre a, b y c para que el sistema sea inconsistente ? 51.- Considere el sistema

x1 + x2 + 2 x3 = a x1

+x3 = b

2 x1 + x2 + 3 x3 = c Demuestre que para que este sistema sea consistente a, b y c deben satisfacer la ecuación c = a + b . 52.- ¿Para que valores de a el sistema que sigue no tiene soluciones?, ¿Tiene una única solución?, ¿Tiene infinitas soluciones? x + 2 y − 3z = 4

3x − y + 5 z = 2 4 x + y + (a 2 − 14) z = a + 2 53.-Resolver cada uno de los siguientes sistemas por el método de eliminación de Gauss-Jordan 5 x1 + 2 x2 + 6 x3 = 0 −2 x1 + x2 + 3x3 = 0

x1 − 2 x2 + x3 − 4 x4 = 1 x1 + 3 x2 + 7 x3 + 2 x4 = 2

x1 − 12 x2 − 11x3 − 16 x4 = 5 54.-Resolver cada uno de los sistemas del ejercicio 45 mediante eliminación gaussiana.

Un sistema de ecuaciones que es muy sensible a pequeños cambios en los coeficientes se llama sistema mal condicionado.

55.-Dado el sistema ⎧ x1 + x2 = 3 ⎨ ⎩ x1 + 1, 0001x2 = 2,9990 a.-Encuentre la solucion exacta del sistema b.-Esprese los coeficientes en forma decimal con tres cifras.Encuentre las soluciones exactas de este nuevo sistema. c.-Compare las soluciones ¿Es el sistema dado un sistema mal condicionado?

56.-Dado el sistema ⎧ x1 + x2 = −2 ⎨ ⎩ x1 + 1, 015 x2 = 1 a.-Encuentre la solución exacta del sistema. b.-Redondee 1,015 a 1,02 y resuelva el nuevo sistema. c.-Redondee 1,015 a 1,01 y resuelva el nuevo sistema. d.-¿Es el sistema dado un sistema mal condicionado?

57.-Sea x1 y x2 soluciones del sistema no homogéneo Ax=b . Demostrar que su diferencia x1 − x2 es una solución del sistema homogéneo Ax=0. 58.-Sea x una solución particular al sistema no homogéneo Ax = b y sea y otra solución de Ax = b. Demostrar que existe una solución h al sistema homogéneo Ax = 0 tal que y = x +h. 59.-Demuestre que para todo numero real θ la matriz ⎡ senθ cos θ ⎢cos θ − senθ ⎢ ⎢⎣ 0 0 es invertible y encuentre su inversa.

0⎤ 0 ⎥⎥ 1 ⎥⎦

Una matriz cuadrada A= ( aij ) se llama matriz diagonal si todos sus elementos fuera de la diagonal principal son cero, esto es aij = 0 si i ≠ j . 60.- Demuestre que una matriz diagonal es invertible si y solo si cada uno de los elementos de la diagonal principal es diferente de cero.

61.-Calcule la inversa de la matriz

⎡2 0 0⎤ A= ⎢⎢ 0 3 0 ⎥⎥ ⎣⎢ 0 0 4 ⎥⎦ 62.-Sea ⎡ a11 ⎢0 ⎢ A =⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢⎣ 0

0⎤ . ⎥⎥ . . . ⎥ ⎥ . . . ⎥ . . ann ⎥⎦

0 . . a22 . . . . 0

una matriz diagonal tal que sus componentes en la diagonal principal son todos diferentes de cero. Calcular A-1 63.-Suponga que A es una matriz cuadrada que satisface A2 − 3 A + I = 0 Demuestre que A−1 = 3I − A . ⎡a b⎤ 64.-Sea A = ⎢ ⎥ donde ac ≠ 0 .Escriba la matriz A como un producto ⎣0 c ⎦ de tres matrices elementales y concluya que A es invertible. ⎡a b c ⎤ 65.-Sea A= ⎢⎢ 0 d e ⎥⎥ donde adf ≠ 0 .Escriba la matriz A como un ⎢⎣ 0 0 f ⎥⎦ producto de matrices elementales y concluya que A es invertible.

66.-Demuestre que una matriz triangular superior o triangular inferior es invertible si y solo si cada uno de los elementos de la diagonal principal es diferente de cero. 67.-Demuestre que la inversa de una matriz triangular superior invertible es una matriz triangular superior. 68.- Demuestre que la inversa de una matriz triangular inferior invertible es una matriz triangular inferior. 69.-Demuestre que las siguientes matrices son invertibles y escríbalas como un producto de matrices elementales.

⎡1 1 1 ⎤ a.- A = ⎢⎢0 2 3⎥⎥ ⎢⎣5 5 1⎥⎦

⎡3 2 1 ⎤ b.- B= ⎢⎢ 0 2 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦

⎡2 ⎢0 d.- D= ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

⎡2 ⎢0 e.- E= ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0⎤ 0 ⎥⎥ 0 −4 0 ⎥ ⎥ 0 0 5⎦

0 3

0 0

⎡0 −1 0 ⎤ c.- C= ⎢⎢0 1 −1⎥⎥ ⎢⎣1 0 1 ⎥⎦

1 0 0⎤ 2 1 0 ⎥⎥ 0 2 1⎥ ⎥ 0 0 2⎦

70.-Demuestre que el producto de matrices triangulares inferiores con unos en la diagonal es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal. Sugerencia: Suponga que L y M son triangulares inferiores con unos en la diagonal ,el producto LM denótelo con B y demuestre que n

bij = ∑ lik mki = 1 k =1

y

n

bij = ∑ lik mkj = 0

si j > i

k =1

71.-Demuestre que el producto de matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior. 72.-En los siguientes problemas encuentre una matriz triangular inferior L con unos en la diagonal y una matriz triangular superior U tal que A = LU ⎡2 1 7⎤ ⎡ 3 9 −2 ⎤ ⎢ ⎥ 1.- ⎢ 4 3 5 ⎥ 2.- ⎢⎢ 6 −3 8 ⎥⎥ ⎢⎣ 4 6 5 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 1 6 ⎥⎦

⎡ 1 2 −1 ⎢ 0 −1 5 3.- ⎢ ⎢2 3 1 ⎢ ⎣ 1 −1 6

4⎤ 8 ⎥⎥ 4⎥ ⎥ 4⎦

⎡ 2 3 −1 ⎢4 7 2 4.- ⎢ ⎢ −2 5 −2 ⎢ ⎣ 0 −4 5

73.-Usando la factorizacion LU resolver los sistemas de ecuaciones lineales Ax=b ⎡1 4 6⎤ i.- A= ⎢ 2 −1 3⎥ ; ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 2 5 ⎥⎦

⎡ −1⎤ b= ⎢ 7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

⎡2 1 7⎤ ii.- A= ⎢ 4 3 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 1 6 ⎥⎦

⎡6 ⎤ ; b = ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦

6⎤ 1 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 2⎦

⎡ 3 9 −2 ⎤ iii. - A= ⎢⎢ 6 −3 8 ⎥⎥ ; ⎢⎣ 4 6 5 ⎥⎦

⎡3⎤ b= ⎢⎢10 ⎥⎥ ⎢⎣ 4 ⎥⎦

⎡ 1 2 −1 ⎢ 0 −1 5 iv. - A = ⎢ ⎢2 3 1 ⎢ ⎣ 1 −1 6

4⎤ ⎡ 3 ⎤ ⎢ −11⎥ ⎥ 8⎥ ⎥ ; b= ⎢ ⎢ 4 ⎥ 4⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 4⎦ ⎣ −5 ⎦

⎡ 2 3 −1 6 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢ 4 7 2 1⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ v.- A= ; b= ⎢ ⎥ ⎢ −2 5 −2 0 ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 −4 5 2 ⎦ ⎣4⎦ 74.- En los siguientes problemas encuentre una matriz de permutación P y matrices triangulares inferior y superior L y U tales que PA = LU. ⎡0 2 4⎤ i.- A= ⎢⎢1 −1 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 3 2 ⎥⎦ ⎡0 2 4⎤ iii.- A= ⎢⎢1 −1 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 3 2 ⎥⎦

v.-

⎡0 ⎢5 A= ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣0

0 −2 0 −6

⎡ −1⎤ ; b= ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 4 ⎥⎦

;

3⎤ 4 ⎥⎥ ; 0 1 −2 ⎥ ⎥ 4 −2 5 ⎦

⎡ −1⎤ b= ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎡ −2 ⎤ ⎢4⎥ b= ⎢ ⎥ ⎢5⎥ ⎢ ⎥ ⎣7⎦

⎡ 0 5 −1⎤ ii.- A= ⎢⎢ 2 3 5 ⎥⎥ ⎢⎣ 4 6 −7 ⎥⎦

;

⎡0 2 3 ⎢ 0 4 −1 iv.- A= ⎢ ⎢2 0 3 ⎢ ⎣ 1 −4 5

vi.-

⎡ 0 −2 3 ⎢ 0 4 −3 A= ⎢ ⎢ 1 2 −3 ⎢ ⎣ −2 −4 5

⎡10 ⎤ b= ⎢⎢ −3⎥⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ 1⎤ 5 ⎥⎥ ; 1⎥ ⎥ 6⎦ 1 ⎤ 2 ⎥⎥ 2 ⎥ ⎥ −10 ⎦

⎡3⎤ ⎢ −1⎥ b= ⎢ ⎥ ⎢2⎥ ⎢ ⎥ ⎣4⎦ ⎡6 ⎤ ⎢1 ⎥ ; b= ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣5 ⎦

75.-Utilizando la factorizacion PA=LU resuelva los sistemas de ecuaciones Ax =b , donde las matrices A y b son las del ejercicio 74. ⎡ −1 2 1 ⎤ 76.-Demuestre que la matriz A= ⎢⎢ 2 −4 −2 ⎥⎥ tiene mas de una ⎢⎣ 4 −8 −4 ⎥⎦ factorizacion LU. ⎡ 3 −3 2 5 ⎤ ⎢ 2 1 −6 0 ⎥ ⎥ tiene mas de una 77.- Demuestre que la matriz A= ⎢ ⎢ 5 −2 −4 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 −4 8 5 ⎦ factorizacion LU.

78.-Encuentre una factorizacion LU para cada matriz singular ⎡ −1 2 3 ⎤ i.- ⎢⎢ 2 1 7 ⎥⎥ ⎢⎣ 1 3 10 ⎥⎦

⎡ −1 1 ⎢ 2 −1 ii.- ⎢ ⎢0 3 ⎢ ⎣1 3

6⎤ 2 ⎥⎥ 1 5⎥ ⎥ 5 13⎦ 4 0

⎡ 2 −1 ⎢3 2 iii.- ⎢ ⎢1 3 ⎢ ⎣4 5

7⎤ 6 ⎥⎥ 0 −1⎥ ⎥ 1 5⎦

1 1

79.-Encuentre una factorizacion LU para cada matriz no cuadrada

⎡ 1 2 3⎤ i.- ⎢ ⎥ ⎣ −1 2 4 ⎦

⎡ 2 1⎤ ii.- ⎢⎢ −1 4 ⎥⎥ ⎢⎣ 6 0 ⎥⎦

⎡ 4 −1 2 1 ⎤ iii.- ⎢⎢ 2 1 6 5 ⎥⎥ ⎢⎣ 3 2 −1 7 ⎥⎦

80.-Determine la verdad o falsedad de las siguientes justificar sus respuestas.

⎡5 1 ⎢ −2 4 ⎢ iv.- ⎢ 1 6 ⎢ ⎢ −2 2 ⎢⎣ 5 −3 afirmaciones,

3⎤ 2 ⎥⎥ 1⎥ ⎥ 0⎥ 1 ⎥⎦

a.- El producto de dos matrices elementales es una matriz elemental. b.-El inverso de una matriz elemental es una matriz elemental. c.-Toda matriz se puede escribir como el producto de matrices elementales. d.-Toda matriz cuadrada se puede escribir como un producto de matrices elementales . e.-Toda matriz invertible se puede escribir como el producto de matrices elementales. f.-Toda matriz cuadrada se puede escribir como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior. g.-Para toda matriz cuadrada A existen matrices invertibles L y U tales que A=LU, donde L es triangular superior con unos en la diagonal y U es triangular superior. h.-Para toda matriz invertible A, existen matrices invertibles L y U tales que A = LU, donde L es triangular inferior con unos en la diagonal y U es triangular superior.

i.-Para toda matriz invertible A existe una matriz de permutación P tal que PA=LU ,donde L y U son como en la parte i. j.-El producto de matrices de permutación es una matriz de permutación.

Trujillo, Octubre del 2008