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“AÑO DE LA LUCHA CONTRA LA CORRUPCIÓN E IMPUNIDAD"

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA DE SISTEMAS

CURSO

: ANÁLISIS NUMÉRICO

DOCENTE

: Mg .POÉMAPE ROJAS, GLORIA

TITULO

: PRACTICA N°1

CICLO

: VI

INTEGRANTES : AYALA HERNÁNDEZ AZUCENA BARDALES TANTA ESTEFANY SORET LEIVA, JULISSA TERÁN MEJIA LESLY

GUADALUPE -2019

2

INDICE Ejercicio 1 ………………………………………………………………………………………………..4 El feminicidio Ejercicio 2 ………………………………………………………………………………………………..4 Ejercicio 3 ………………………………………………………………………………………………..5 Ejercicio 4 ………………………………………………………………………………………………..5 Ejercicio 5 ………………………………………………………………………………………………..6 Ejercicio 6 ………………………………………………………………………………………………..6 Ejercicio 7 ………………………………………………………………………………………………..9 Ejercicio 8 ………………………………………………………………………………………………..9 Ejercicio 9 ………………………………………………………………………………………………..14 Ejercicio 10 ………………………………………………………………………………………………15 Ejercicio 11……………………………………………………………………………………………….17 Ejercicio 12 ………………………………………………………………………………………………18 Ejercicio 13 ………………………………………………………………………………………………23 Ejercicio 14 ………………………………………………………………………………………………24 Ejercicio 15 ………………………………………………………………………………………………24 Ejercicio 16 ………………………………………………………………………………………………27 Ejercicio 17 ………………………………………………………………………………………………27 Ejercicio 18 ………………………………………………………………………………………………35

3

EJERCICIO 1: Sea f ( x )=x∗exp ⁡( x ); se sabe que x*=1.15 y que el error de x es 0.01. Estime cuál sería el error al evaluar la función. 

f ( x )=x∗exp ⁡( x ) df ( x )=exp ( x ) +exp ( x )∗x df ( x )=exp (1.15) +exp( 1.15)∗(1.15)=6.7901



E f ¿=|0.01|×|6.7901|=0.0679



( 6.7901 ±0.0679 )=(6.7222 ; 6.858)

EJERCICIO 2: Se tiene un rectángulo cuyo largo mide 35 ± 0.2 m y su ancho 24 ± 0.3 m a = Largo b = Ancho a) El Perímetro máximo y mínimo  P=2 a+ 2b Pmáx =2 ( 35.2 )+2 ( 24.3 ) =70.4+48.6 Pmáx =119m 

Pmín =2 ( 34.8 ) +2 ( 23.7 )=69.6+ 47.4 Pmín =117 m

b) El perímetro promedio P prom=

Pmáx + P mín 119+117 = =118 m 2 2

c) El intervalo del perímetro Perímetro ∈(117 ; 119) d) El error absoluto del perímetro EA perímetro =¿ Pmín −P prom ∨¿ EA perímetro =¿ 117 m−118 m∨¿ EA per =1 m 4

EJERCICIO 3: En el ejercicio anterior, calcular: a) El área máxima y mínima  A=a∗b Amáx =( 35.2 ) ( 24.3 ) Amáx =855.36 m 2 Amín =( 34.8 )( 23.7 ) Amín =824.76 m 2 b) El área promedio A prom =

A máx + Amín 855.36+824.76 2 = =840.06 m 2 2

c) El intervalo del área Área∈(824.76 ; 855.36) d) El error relativo del área ER Área =¿ A mín − A prom ∨ ¿ ¿ A prom ER Área =

824.76 m2−840.06 m2 840.06 m2

ER Área =0.0182 m2

EJERCICIO 4: En un experimento se introducen dos líquidos en un matraz y se quiere hallar la masa total del líquido. Se conocen: M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 530 ± 10 g M1 = Masa del matraz 1 = 75 ± 2 g M2 = Masa del matraz 2 + contenido = 860 ± 20 g M2 = Masa del matraz 2 = 89 ± 1 g Solución: 

La Masa de líquido será: M = M1 − m1 + M2 − m2 = 1226g

5



Su error: ∆ M = ∆M + ∆m + ∆M + ∆m = 33g



El resultado se expresará: M = 1226 ± 33 g

EJERCICIO 5: Para medir la altura de un árbol, L, se mide la longitud de su sombra, L1, la altura de un objeto de referencia, L2, y la longitud de su sombra, L3. Realizadas las medidas resultan: L3=200 ± 2 cm, L2=100. 0± 0.4 cm, L3=10.3 ± 0.2cm . Hallar la altura del árbol con su error.

SOLUCIÖN: L2 L3

Por semejanza:

L=L1

Por lo tanto

L=200

Su error será

EL EL1 EL2 EL3 ≈ + + |L| |L1| |L2| |L3|

100 =2000 cm 10

EL 2 0.4 0.2 = + + =0.034 |L| 200 100 10.3 EL=0.034|L|=0.034 (2000) EL=68

Finalmente

L=2000 ± 68 cm.

EJERCICIO 6: Dos pequeños objetos que se encuentran en un suelo horizontal separados por una distancia de 40m son lanzados en el mismo instante verticalmente hacia arriba con velocidades de 120 y 180m/s. Calcular la distancia entre los dos objetos cuando el más rápido se encuentra a la máxima altura que puede alcanzar. Si todos los datos se conocen con una precisión del 1%.Calcular el error absoluto obtenido. Para facilitar los cálculos, tome g=10m/s^2. Se supone ausencia de rozamiento.

6

Resolución: Objeto A: v 0 A cuando

Tiempo invertido por B en alcanzar la altura máxima:

Objeto B: v 0 B (¿ v 0 A )

llega a la altura máxima su velocidad es nula

v 0 B−g t B =0

tB=

v0 B g

Y xB

´r BA (t) ´r A (t)

´r B (t) A

B

X

Tomamos la posicion inicial del objeto A como origen de coordenadas. Posicion de ambos objetos en cualquier instante

r⃗ A ( t )=(0 , y A )

1 y A ( t )=v 0 A t− g t 2 2

r⃗ B ( t )=( x B , y B )

1 y B ( t )=v 0 B t− g t 2 2

r⃗ AB ( t )=⃗r B ( t )−⃗r A ( t )=( x B , y B− y A )

Distancia AB en cualquier instante:

|r⃗ AB ( t )|=√ x B2 +( y B− y A )2 =+ √ x B2+(v 0 B−v 0 A )2 t 2 Cuanto t=t B

1 y A ( t B ) =v 0 A t B − g t 2B 2 1 y B ( t B )=v 0 B t B− g t 2B 2 7

|r⃗ BA ( t B )|=+ √ x B2+( v 0 B−v 0 A )2 t 2B Porcentaje error:

1

7.0 %

∆ v0A

( ms )=¿

v0 B

m =¿ s

( )

x B ( m )=¿

120

180

1.2

|r⃗ BA ( t B )|=+ √ 402 +(180−120)2 182

1.8

|r⃗ BA ( t B )|=1081m 40

0.4

|r⃗ BA ( t B )|=(180 ± 80)m

m =¿ s2

( )

10

0.1

t B ( s )=¿

18

0.36

1081

76

g

|r⃗ BA ( t B )|=(180 ± 80)m

∆ r AB ( m )=¿

Calculo de Errores Y xB

´r BA (t) ´r A (t)

´r B (t) A

B

X

Variable auxiliar

u=x2B +( v 0 B −v 0 A )2 t 2B ∂u ∂u ∂u ∂u ∆ xB + ∆ v0 B + ∆ v0 A + ∆ tB ∂ xB ∂ v0 B ∂ v0 A ∂ tB

| | | | | | | | | √ | | | √ | √

∆ u=

|r⃗ BA (t B ) =

u

∆ ⃗r BA (t B ) =

∂ u 1 ∆ u= ∆u ∂u 2 u

∂u ∆ x B=2 x B ∆ x B ∂ xB

∂u ∆ v 0 B=2(v 0 B −v0 A )t 2B ∆ v 0 B ∂ v0 B

| |

| | 8

tB=

v0B 1 ∆ t B= ∆ v0B+ 2 ∆ g g g

v0 B g

∂u ∆ v 0 A =2(v 0 B −v 0 A ) t 2B ∆ v 0 A ∂ v0 A

∂u ∆ t B=2(v 0 B−v 0 A )2 t B ∆ t B ∂ tB

| |

| |

EJERCICIO 7: Se tiene una placa de forma rectangular, usando un instrumento de medida con una precisión de 0.1 se midió el largo del rectángulo (25.6 m). Usando otro instrumento de medida de precisión 0.2 se midió el ancho del rectángulo 112.4 m). Si se desea calcular el perímetro del rectángulo. ¿Cuál sería el error absoluto de su perímetro?

a=25,6 ± 0,1

b

b=12,4 ± 0,2

a

PERIMETRO

P=2 a+ 2b P=2 ( 25,6 cm ) +2(24,8 cm) P=51,2 cm+24,8 cm P=76 cm.

ERROR ABSOLUTO Ea P=2( Ea a)+ 2( Ea b) Ea P=2 ( 0,1 cm ) +2(0,2 cm) Ea P=0,2cm+0,4 cm Ea P=0,6 cm.

FINALMENTE

PERIMETRO=76 cm± 0,6 cm

EJERCICIO 8: Considere la siguiente función f ( x )=x 3−x −1. a) Grafique o tabule la función para hallar sus raíces. 9

b) Encontrar un intervalo de longitud 1 que aísle la raíz positiva. c) Sin resolver, calcule cuantas iteraciones se debe realizar para satisfacer una tolerancia de 0.0015. d) Haga 3 iteraciones del método de Bisección e indique la solución luego de 4 iteraciones y el máximo error que se espera. e) Haga 3 iteraciones del Método de falsa posición. f) Haga 3 iteraciones del Método de punto fijo. g) Haga 3 iteraciones del Método de Newton-Rapson.

Solución: a) Tabule : f ( x )=x 3−x−1.

b) Raíz en (1,2) +

-1

1.5

c) MEPn=

x 3 2 1 0 1 2 3

F(x) -25 -7 -1 -1 -1 5 23

+

2

b−a 2−1 1 = n = n 2n 2 2

MEPn ≤tol

; tol=0.0015 n=¿ iteraciones

1 ≤ 0.0015 2n 666.67 ≤ 2n 2.824 ≤ n log 2 n ≥ 9.381 n=9 Respuesta: Se deben realizar 9 iteraciones para satisfacer una tolerancia de 0.0015 d) Método de bisección:

10



1° Iteración: (1,2) c=1.5 f ( c ) =f ( 1.5 )=+ ¿ MEP=

b−a 2−1 = =0.5 2 2

-1 

+

+

1.5

2

2° Iteración: (1,1.5) c=1.25 f ( c ) =f ( 1.25 )=−¿ MEP=0.25 + 1



1.25

1.5

3° Iteración: (1.25 ,1.5) c=1.375 f ( c ) =+¿ MEP=0.125

1.25 

+

+

1.375

1.5

4° Iteración: (1.25 ,1.375) c=1.3125 f ( c ) =−¿ MEP=0.0625 Solución:c=1.3125 (raíz aproximada) MEP=0.0625 Raiz ∈ 1.3125 ±0.0625 11

MEPn=

b−a 2n

MEP9 =

2−1 =0.00195 29

e) MÉTODO DE FALSA POSICIÓN: 

1° Iteración: (1,2) c=

bf ( a ) −af (b) f ( a ) −f (b)

c=

2 (−1 )−1(5) =1.1667 −1−5



Error : MEP=b−a=2−1=1 Error: |f ( c )|=|f ( 1.167 )|=|−0.578|=0.5777 + 1 -



1.167 -

2

2° Iteración: (1.167,2) c=



2 (−0.578 )−1.167 ( 5 ) =1.2533 −0.578−5

Error: MEP=2−1.167=0.833 error =|f ( 1.253 )|=|−0.286|=0.2858 +



1.16 3° Iteración: (1.253, 2) c=

1.253 -

2 (−0.286 )−1.253 ( 5 ) =1.2937 −0.286−5

MEP=0.7467 Error: |f (1.293 )|=|−0.131|=0.1313 12

2

Solución: La Raíz Aproximada sería: 1.2937 MEP: 0.7467 Error: 0.1313 f) MÉTODO PUNTO FIJO 

Punto fijo: x 0=1.5

Hallamos un G(x) que converja en 1.5: f ( x )=x 3−x −1

X0

EA

1.5

-

g ( x )=√3 x+1

0

1 g' ( x )= ¿ 3

1 1.3572 0.1428 2 1.3309 0.0263

'

g (1.5 )=0.181

3 1.3259

 0.181