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FORMATO DE GUÍA DE PRÁCTICA DE LABORATORIO / TALLERES / CENTROS DE SIMULACIÓN – PARA DOCENTES CARRERA: INGENIERÍA ELÉCTRICA

ASIGNATURA: TEORÍA DE CONTROL II

INTEGRANTES:

José Aguilar, Fanny Villamagua, Nathalia Peralta

NRO. PRÁCTICA:

02

TÍTULO PRÁCTICA: SISTEMAS DE CONTROL EN ESPACIO DE ESTADOS

OBJETIVO GENERAL: Diseñar sistemas de control en espacio de estados. OBJETIVO ESPECÍFICO: 1. Identificar plantas que pueden ser controladas a través de realimentación de estados y/o la implementación de observadores. 2. Diseñar sistemas de control por realimentación de estados, tanto para regulación como para seguimiento. 3. Diseñar servosistemas de tipo 1 con plantas que incluyen o no integradores. 4. Diseñar observadores de orden completo para sistemas en espacio de estados. 5. Diseñar observadores de orden mínimo para sistemas en espacios de estados. 6. Simular los modelos en el Toolbox Simulink de Matlab y registrar-tabular sus respuestas. 7. Analizar y comparar los resultados diseñados-calculados y los medidos y/o simulados. 8. Establecer criterios técnicos y/o conclusiones. 1. Diseñe un sistema de control por realimentación de estados que realice regulación y seguimiento para un sistema de tercer orden y compruebe el funcionamiento por medio de simulación. 2. Diseñe un sistema de control por realimentación de estados que realice regulación o seguimiento para un servosistema de tipo 1 cuya planta incluye integrador y compruebe el funcionamiento por medio de simulación. 3. Diseñe un sistema de control por realimentación de estados que realice regulación o seguimiento para un servosistema de tipo 1 cuya planta no incluye integrador y compruebe el funcionamiento por medio de simulación. Si en el punto 2 escoge regulación, en este punto debe escoger seguimiento y viceversa. 4. Para la planta del punto 1, diseñe observadores de orden completo y compare las estimaciones con los estados del sistema, para varias INSTRUCCIONES: condiciones iniciales. 5. Para la planta del punto 1, diseñe observadores de orden mínimo suponiendo que un estado es la salida y ésta es medible y compare las estimaciones con los estados del sistema, para varias condiciones iniciales. 6. Realice las simulaciones correspondientes para cada sistema-planta de los puntos anteriores. 7. Implemente los sistemas de control de los puntos 4 y 5. 8. Analice y compare los resultados diseñados, calculados, medidos y/o simulados, según corresponda 9. Elabore un informe con los resultados, cálculos (Funciones de Transferencia del Controlador, del Observador, del ControladorObservador), análisis, gráficas, simulaciones y marco teórico, requeridos para el desarrollo de la práctica. ACTIVIDADES POR DESARROLLAR 1. MARCO TEÓRICO: 1.1. CONCEPTOS DE ESPACIOS DE ESTADOS El Espacio de Estados es una representación de espacios de estados un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de infinito orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir

del número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial (esto último solo puede hacerse cuando el sistema dinámico es lineal e invariante en el tiempo). 1.1.1. ECUACIÓN DE ESTADO Y ECUACIÓN DE SALIDA En toda la literatura se reporta que luego de plantear la definición de espacio de estado llegan a las siguientes ecuaciones: 𝑥′(𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) que son la ecuación de estado y la ecuación de la salida respectivamente. Si las funciones vectoriales 𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) y/o 𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) involucran explícitamente el tiempo “t”, el sistema se denomina: sistema variante con el tiempo. Si se linealizan las ecuaciones mencionadas alrededor del estado de operación, tenemos las siguientes ecuaciones de estado y de salida linealizadas: 𝑥′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝐶(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐷(𝑡)𝑢(𝑡) en donde A(t) se denomina matriz de estado, B(t) matriz de entrada, C(t) matriz de salida y D(t) matriz de transmisión directa. Un diagrama de bloques que representa estas dos últimas ecuaciones se da a continuación.

Fig. 1 Representación de la ecuación de estado y la de salida. Si las funciones vectoriales 𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) y 𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) no involucran el tiempo “t” explícitamente, el sistema de denomina sistema invariante con el tiempo. En este caso, las ecuaciones se simplifican a: 𝑥′(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡) en donde la primera ecuación es la ecuación de estado del sistema lineal e invariante con el tiempo, y la segunda ecuación, es la ecuación de salida para el mismo sistema. 1.1.2.

FORMAS CANÓNICAS

Un sistema de control es completamente controlable o de estado completamente controlable, si es posible transferir al sistema desde un estado inicial arbitrario a cualquier estado deseado en un tiempo finito. También puede decirse que será completamente controlable, si cada variable de estado se puede controlar en un tiempo finito por una señal de control que no esté sujeta a ningun tipo de restricción. 𝑥((𝑘 + 1)𝑇) = 𝐺𝑥(𝑘𝑇) + 𝐻𝑢(𝑘𝑇) Siendo la se;al u(kT) constante en un intervalo de tiempo 𝑘𝑇 ≤ 𝑡 ≤ (𝑘 + 1)𝑇. En este caso, la controlabilidad de estado completo implica que existe una señal de control constante entre cada tiempo de muestreo que transfiere al sistema, desde un estado x(kT) cualquiera a un estado deseado xf en como mucho n periodos de muestreo, desde n es el tamaño del vector de estados. OBTENCIÓN DE LA FORMA CANÓNICA CONTROLABLE • Considérese el sistema: 𝑥(𝑘 + 1) = 𝐺𝑥(𝑘) + 𝐻𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝐶𝑥(𝑘) + 𝐷𝑢(𝑘) una matriz de transformación T=MW con

entonces el sistema ̂ 𝑢(𝑘) 𝑥̂(𝑘 + 1) = 𝐺𝑥̂(𝑘) + 𝐻 ̂ 𝑢(𝑘) 𝑦(𝑘) = 𝐶̂ 𝑥(𝑘) + 𝐷 Con ̂ = 𝑇 −1 𝐻, 𝐶̂ = 𝐶𝑇, 𝐷 ̂=𝐷 𝐺̂ = 𝑇 −1 𝐺𝑇, 𝐻

está en Forma Canónica Controlable. OBTENCIÓN DE LA FORMA CANÓNICA OBSERVABLE • Usando la transformación 𝑄 = (𝑊𝑁 ∗ )−1 donde 𝑁 = [𝐶 ∗ ∶

𝐺∗𝐶 ∗ ∶ … ∶

(𝐺 ∗ )𝑛−1 𝐶 ∗ ]

entonces el sistema ̂ 𝑢(𝑘) 𝑥̂(𝑘 + 1) = 𝐺𝑥̂(𝑘) + 𝐻 ̂ ̂ 𝑦(𝑘) = 𝐶 𝑥(𝑘) + 𝐷 𝑢(𝑘) con 𝐺 = 𝑄 −1 𝐺𝑄, 𝐻 = 𝑄 −1 𝐻, 𝐶 = 𝐶𝑄, 𝐷 = 𝐷 está en Forma Canónica Observable. 1.1.3.

DEL ESPACIO DE ESTADOS A LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

La función de transferencia de un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo puede ser obtenida de la siguiente manera: Tomando la transformada de Laplace de 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) + 𝐵𝑈(𝑡) se obtiene: 𝑠𝑋(𝑠) = 𝐴𝑋(𝑠) + 𝐵𝑈(𝑠) Luego, factorizando X(s): 𝑠𝑋(𝑠) − 𝐴𝑋(𝑠) = 𝐵𝑈(𝑠) (𝑠𝐼 − 𝐴) 𝑋(𝑠) = 𝐵𝑈(𝑠) Con I la matriz identidad del tamaño de A: 1 𝐼 = [0 0 Despejando X(s):

0 1 0

0 0] 1

𝑋(𝑠) = (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵𝑈(𝑠) NOTA: La notación (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 se refiere a la matriz inversa de (𝑠𝐼 − 𝐴), por ejemplo, para Q: 1 𝑎 𝑏 𝑑 −𝑏 𝑄=[ ] 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑒𝑠: [𝑄]−1 = [ ] 𝑐 𝑑 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 −𝑐 𝑎 sustituyendo X(s) por en la ecuación de salida 𝑌(𝑠) = 𝐶𝑥(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠) Queda 𝑌(𝑠) = 𝐶((𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵𝑈(𝑠)) + 𝐷𝑈(𝑠) Como la función de transferencia está definida como la relación de salida sobre la entrada de un sistema, tomamos 𝑌(𝑠) 𝐺(𝑠) = 𝑈(𝑠) y se sustituyen las expresiones previas por Y(s) con respecto a U(s), quedando 𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐷 Claramente G(s) debe tener q por p dimensiones, así como un total de qp elementos. Entonces para cada entrada hay q funciones de transferencias con uno por cada salida. Esta es la razón por la cual la representación de espacios de estados puede fácilmente ser la elección preferida para sistemas de múltiples entradas, múltiples salidas (MIMO, por sus siglas en inglés: Multiple-Input, Multiple-Output). 1.1.4.

DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA AL ESPACIO DE ESTADOS

Relación entre la representación en espacio de estados y la función de transferencia • En primer lugar, la respuesta impulsional partiendo de x(0)=0 es:

Los coeficientes de la respuesta impulsional definen la función de transferencia:

Usando la suma de una serie geométrica matricial se llega a: 𝐺(𝑧) = 𝐷 + 𝐶(𝑧𝐼 − 𝐺)−1 𝐻 Partiendo de que la función de transferencia viene dada por: 𝐺(𝑧) = 𝐷 + 𝐶(𝑧𝐼 − 𝐺)−1 𝐻 se ve que los polos de G(z) son los mismos que los de: 𝐺(𝑧) = 𝐷 + 𝐶(𝑧𝐼 − 𝐺)−1 • Usando la regla de Cramer para inversión de matrices se ve que el denominador de Gp(z) es: 𝐷(𝑧) = 𝑑𝑒𝑡(𝑧𝐼 − 𝐺) • D(z) es el polinomio característico de G. • Por tanto los polos de G(z) son los autovalores de G. 1.1.5.

CONTROLABILIDAD

Se dice que un sistema es controlable en el tiempo to si puede transferir desde cualquier estado inicial x(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito. Controlabilidad completa del estado de sistemas en tiempo continuo. Sea el sistema en tiempo continuo 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 Donde:

(1)

x = vector de estados (vector de dimensión n) u = señal de control (escalar) A = matriz de n x n B = matriz de n x 1

Se dice que el sistema descrito mediante la Ecuación (1) es de estado controlable en t = to, si es posible construir una señal de control sin restricciones que transfiera un estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito. Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable. Ahora se obtendrá la condición para controlabilidad completa del estado. Sin pérdida de generalidad, se supone que el estado final es el origen en el espacio de estados y que el tiempo inicial es cero, o to = 0. La solución de la Ecuación (1) es

Aplicando la definición de controlabilidad completa del estado recién establecida, se tiene que

o bien

Si se descompone la función exponencial en una serie y se sustituye en la ecuación queda:

Si se define

(2) entonces se convierte en

(3) Si el sistema es de estado completamente controlable, entonces, dado cualquier estado inicial x(0), la Ecuación (3) debe satisfacerse. Esto requiere que el rango de la matriz n x n

sea n. De este análisis, se puede concluir la condición para controlabilidad completa del estado de la forma siguiente. El sistema obtenido mediante la Ecuación (6.1.1) es de estado completamente controlable si y sólo si los vectores B, AB, … son lineal mente independientes, o la matriz n x n es de rango n.

El resultado recién obtenido se extiende al caso en el que el vector de control u es de dimensión r. Si el sistema se describe por 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 donde u es un vector de dimensión r, se demuestra que la condición para controlabilidad completa del estado es que la matriz n x n

sea de un rango n, o que contenga n vectores columna linealmente independientes. A esta matriz se le conoce con el nombre de “Matriz de Controlabilidad M”. 1.1.6.

OBSERVABILIDAD

El concepto de observabilidad es el dual del de controlabilidad, y trata con la posibilidad de estimar los estados del sistema desde el conocimiento de sus entradas y salidas. Considere el sistema LTI 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢; 𝐴 ∈ 𝑅𝑛 x 𝑛 ; 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢; 𝐴 ∈ 𝑅𝑛 x 𝑛 ;

𝐵 ∈ ℝ𝑛x𝑞 𝐵 ∈ ℝ𝑛x𝑞

Observabilidad: La ecuación de estado 1, o el par (A; C), se dice observable si para cualquier estado inicial x(0) conocido, existe un tiempo finito t1 > 0 tal que el conocimiento de la entrada u(t) y la salida y(t) sobre [0;t1] es suficiente para determinar de forma única el estado inicial x(0). De otro modo, la ecuación se dice no observable. 1.2. REALIMENTACIÓN DE ESTADOS

Fig. 2 Diagrama de realimentación de estados Ventajas de la realimentación del estado:  

Se usa toda la información del sistema para calcular la entrada manipulada. No se usan derivadores de difícil realización física, sino elementos proporcionales.

Fig. 3 Realimentación de estados Objetivo:

Cálculo de K para conseguir la dinámica dada por Ar. • Características: Sistema con 𝑛 x 𝑛 ecuaciones y 𝑛 x 𝑚 incógnitas • Conclusiones: No todas las matrices Ar son posibles – se debe usar una base del espacio de estado en la que las ecuaciones sean compatibles y sencillas de resolver. 1.3. SERVOSISTEMAS DE TIPO 1 El servosistema (o servomecanismo) es un sistema de control retroalimentado en el que la salida es algún elemento mecánico, sea posición, velocidad o aceleración. Por tanto, los términos servosistema o sistema de control de posición, o de velocidad o de aceleración. Estos servosistemas se utilizan ampliamente en la industria moderna. Por ejemplo, con el uso de servosistemas e instrucción programada se puede lograr la operación totalmente automática de máquinas herramientas. Diseño de servosistemas En esta sección se analizará el método de asignación de polos para el diseño de servosistemas de tipo 1. El método se limitará a sistemas que tengan una señal de control u escalar y una salida y también escalar. A continuación, se presentará el problema de diseñar un servosistema de tipo 1 cuando la planta contiene un integrador. Después, se expondrá el diseño de los servosistemas de tipo 1 cuando la planta no tiene integrador. 1.3.1. CUANDO LA PLANTA INCLUYE INTEGRADOR La planta se define mediante: 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 Dónde: x=vector de estado para la planta (vector de dimensión 𝑛) u=señal de control (escalar) y=señal de salida (escalar) A=matriz de coeficientes constantes 𝑛 × 𝑛 B=matriz de coeficientes constantes 𝑛 × 1 C=matriz de coeficientes constantes 1 × 𝑛 Como ya se ha dicho, se supone que la señal de control u y la señal de salida y son escalares. Mediante una elección adecuada de un conjunto de variables de estado, es posible seleccionar la salida igual a una de las variables de estado. (Véase el método presentado en el Capítulo 2 para obtener una representación en el espacio de estados de la función de transferencia en la cual la salida y es igual a 𝑥1 .) La figura 4 siguiente muestra una configuración general del servosistema de tipo 1 cuando la planta tiene un integrador. Se supone que 𝑦 = 𝑥1 . En el análisis que se efectúa, se supone que la entrada de referencia r es una función escalón.

Fig.4 Servosistema de tipo 1 cuando la planta tiene un integrador. En este sistema se utiliza el siguiente esquema de control mediante realimentación del estado: La función de transferencia de la planta se obtiene mediante

𝑢 = −[0

𝑘2

𝑥1 𝑥2 . 𝑘3 … … … . . 𝑘𝑛 ] .. + 𝑘1 (𝑟 − 𝑥1 ) . [𝑥𝑛 ] 𝑢 = −𝐊𝐱 + 𝑘1 𝑟

Dónde: 𝐊 = [𝑘1 1.3.2.

𝑘2

… … … . . 𝑘𝑛 ]

CUANDO LA PLANTA NO INCLUYE INTEGRADOR

La planta no tiene integrador (planta de tipo 0), el principio básico del diseño de un servosistema de tipo 1 es insertar un integrador en el camino directo entre el comparador de error y la planta, tal como se muestra en la Figura 5. (El diagrama de bloques de la Figura 5 es una forma básica del servosistema de tipo 1 donde la planta no tiene integrador.) A partir del diagrama se obtiene 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 𝒚 = 𝑪𝒙 𝑢 = −𝐊𝐱 + 𝑘1 𝜉 𝜉̇ = 𝑟 − 𝑦 = 𝑟 − 𝐂𝐱 Dónde: x=vector de estado para la planta (vector de dimensión 𝑛) u=señal de control (escalar) y=señal de salida (escalar) A=matriz de coeficientes constantes 𝑛 × 𝑛 B=matriz de coeficientes constantes 𝑛 × 1 C=matriz de coeficientes constantes 1 × 𝑛

Fig.5 Servosistema de tipo 1 La planta obtenida mediante la Ecuación es de estado completamente controlable. 𝐺𝑝 (𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 Para evitar la posibilidad de que el integrador insertado se cancele por un cero de la planta en el origen, se supone que 𝐺𝑝 (𝑠) no tiene un cero en el origen. Supóngase que la entrada de referencia (función escalón) se aplica en 𝑡 = 0. En este caso, para 𝑡 > 0, la dinámica del sistema se describe mediante una ecuación: 𝑥̇ (𝑡) 𝑨 0 𝑥(𝑡) 𝑩 𝟎 [ ̇ ]=[ ][ ] + [ ] 𝑢(𝑡) + [ ] 𝑟(𝑡) 0 −𝐶 0 𝜉(𝑡) 1 𝜉 (𝑡)

Considerando que 𝑟(𝑡) es una entrada escalón para 𝑡 > 0 𝑥̇ 𝑒 (𝑡) 𝑨 0 𝑥𝑒 (𝑡) 𝑩 [ ̇ ]=[ ][ ] + [ ] 𝑢𝑒 (𝑡) 0 −𝐶 0 𝜉𝑒 (𝑡) 𝜉𝑒 (𝑡) Dónde: 𝑥 (𝑡) Se define un nuevo vector de error 𝑒(𝑡) de dimensión (𝑛 + 1) mediante 𝐞(𝑡) = [ 𝑒 ] = (𝑛 + 1)-vector 𝜉𝑒 (𝑡) Lo cual: ̂ 𝑢𝑒 𝐞̇ = 𝐴̂e + B 𝐴 0 𝐴̂ = [ ] −𝐶 0 𝐵 𝐵̂ = [ ] 0 Se convierte en: ̂𝑒 𝑢𝑒 = −𝐾 ̂ −𝐾 [𝐾 𝐾= 𝐼] La ecuación de estado del error se puede obtener sustituyendo la Ecuación: ̂𝐾 ̂ )e 𝐞̇ = (𝐴̂ + B

Fig.6 Servosistema de tipo 1 con observador de estado 1.4. OBSERVADORES DE ESTADO En el método de asignación de polos para el diseño de sistemas de control, se supuso que todas las variables de estado estaban disponibles para su realimentación. Sin embargo, en la práctica no todas las variables de estado están accesibles para poder realimentarse. Entonces, se necesita estimar las variables de estado que no están disponibles. La estimación de variables de estado no medibles se denomina normalmente observación. Un dispositivo (o un programa de computador) que estima u observa las variables de estado se llama un observador de estado, o, simplemente, un observador. Observador de estado. Un observador de estado estima las variables de estado basándose en las mediciones de las variables de salida y de control. Por lo tanto, el concepto de observabilidad analizado en la Sección 9.7 juega un papel importante. Como se verá más adelante, los observadores de estado pueden diseñarse si y sólo si se satisface la condición de observabilidad. En el análisis que sigue de los observadores de estado, se utilizará la notación x˜ para designar el vector de estado observado. En muchos casos prácticos, el vector de estado observado x˜ se usa en la realimentación del estado para generar el vector de control deseado. Sea el sistema definido mediante. 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 El observador es un subsistema para reconstruir el vector de estado de la planta. El modelo matemático del observador es básicamente el mismo que el de la planta, salvo que se incluye un término adicional que contiene el error de estimación para compensar las imprecisiones en las matrices A y B y la falta del error inicial. El error de estimación o error de observación es la diferencia entre la salida medida y la salida estimada. El error inicial es la diferencia entre el estado inicial y el estado estimado inicial. De esta forma, se define el modelo matemático del observador como:

𝑥̃̇ = 𝐴𝑥̃ + 𝐵𝑢 + 𝑘𝑒 (𝑦 − 𝐶𝑥̃) 𝑥̃̇ = (𝐴 − 𝑘𝑒 𝐶) 𝑥̃ + 𝐵𝑢 + 𝑘𝑒 𝑦 Donde 𝑥̃ es el estado estimado y 𝐶𝑥̃ es la salida estimada. Las entradas al observador son la salida 𝑦 y a entrada de control 𝑢. La matriz 𝐾𝑒 , que se llama matriz de ganancia del observador, es una matriz de ponderación al término de corrección que involucra la diferencia entre la salida medida 𝑦 y la salida estimada 𝐶𝑥̃. Este término corrige de forma continua la salida del modelo y mejora el comportamiento del observador. La Figura 7 muestra el diagrama de bloques del observador de estado de orden completo del sistema.

Fig.7 Diagrama de bloque del sistema y del observador de estado de orden completo, cuando la entrada u y la salida y son escalares. 1.4.1.

ORDEN COMPLETO

OBSERVADOR DE ESTADO DE ORDEN COMPLETO El orden del observador de estado que se analizará aquí es igual al del sistema. 𝑥̇ − 𝑥̃̇ = 𝐴𝑥 − 𝐴𝑥̃ − 𝑘𝑒 (𝐶𝑥 − 𝐶𝑥̃) 𝑥̇ − 𝑥̃̇ = (𝐴 − 𝑘𝑒 𝐶) (𝑥 − 𝑥̌) ̌ como el vector de error 𝑒, o bien: Se define la diferencia entre 𝑥 y 𝒙 ̌ 𝑒=𝑥−𝒙 Entonces, la Ecuación se convierte en: 𝑒̇ = (𝐴 − 𝑘𝑒 𝐶)𝑒 A partir de la Ecuación se ve que el comportamiento dinámico del vector de error está determinado por los valores propios de la matriz 𝐴 − 𝐾𝑒𝐶. Si la matriz 𝐴 − 𝐾𝑒𝐶 es estable, el vector de error convergerá a cero para cualquier ̃(𝑡) convergerá a 𝑥(𝑡) sin tomar en cuenta los valores de 𝑥(0) y 𝑥̃(0). Si se eligen vector de error inicial 𝑒(0). Es decir, 𝒙 los valores propios de la matriz 𝐴 − 𝐾𝑒𝐶 de tal forma que el comportamiento dinámico del vector de error sea asintóticamente estable y suficientemente rápido, entonces cualquier vector de error tenderá a 0 (el origen) con una velocidad adecuada. Problema dual. El problema de diseñar un observador de orden completo está en determinar la matriz de ganancias del observador 𝑲𝑒 de forma que la dinámica de error sea asintóticamente estable con una velocidad de respuesta suficiente. (La estabilidad asintótica y la velocidad de respuesta de la dinámica de error se determinan mediante los valores característicos de la matriz 𝑨 − 𝑲𝑒𝑪.) Por tanto, el diseño del observador de orden completo se convierte en

determinar un 𝑲𝑒 apropiado tal que 𝑨 − 𝑲𝑒𝑪 tenga los valores propios deseados. Por tanto, el problema es el mismo que en el caso de asignación de polos. Considérese el sistema definido mediante: 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 Efectos de la adición del observador sobre el sistema en lazo cerrado. En el proceso de diseño por asignación de polos, se supuso que el estado x(t) estaba disponible para su realimentación. Sin embargo, en la práctica x(t) puede no ser medible, por lo que se necesitará diseñar un observador y usar el estado observado x˜(t) para su realimentación, tal como se muestra en la Figura 5. Por tanto, el proceso de diseño se convierte en un proceso de dos etapas: la primera es la determinación de la matriz de ganancias de realimentación K que genera la ecuación característica deseada y la segunda es la determinación de la matriz de ganancias del observador 𝐾𝑒 para obtener la ecuación característica deseada del observador. Se examinan a continuación los efectos del uso del estado observado 𝑥̃(𝑡) en lugar del estado real 𝑥(𝑡) en la ecuación característica de un sistema en lazo cerrado.

Fig.4 Sistema de control realimentado con estado observado ̃ Para el control mediante realimentación del estado basado en el estado observado 𝒙 ̃ 𝑢 = −𝐾𝒙 Con este control, la ecuación de estado resulta. 𝑥̇ = 𝐴𝑥 − 𝐵𝐾𝑥̃ = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥 + 𝐵𝐾(𝑥 − 𝑥̃) La diferencia entre el estado real 𝑥(𝑡) y el estado observado 𝑥̃𝑡) se definió como el error 𝑒(𝑡): ̃(𝒕) 𝑒̇ (𝑡) = 𝒙(𝒕) − 𝒙 La sustitución del vector de error 𝒆(𝑡): 𝑥̇ = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥 + 𝐵𝐾𝑒 Obsérvese que la ecuación del error del observador 𝑒̇ = (𝐴 − 𝐾𝑒𝐶)𝑒 Combinando: 𝐴 − 𝐵𝐾 𝐵𝐾 𝑥 𝑥̇ [ ]=[ ][ ] 0 𝐴 − 𝐾𝑒 𝐶 𝑒 𝑒̇ Describe la dinámica del sistema de control mediante realimentación del estado observado. La ecuación característica para el sistema es: 𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 −𝐵𝐾 | |=0 0 𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐾𝑒 𝐶

|𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾||𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐾𝑒 𝐶| = 0 1.4.2.

ORDEN MÍNIMO

OBSERVADOR DE ESTADO DE ORDEN MÍNIMO. Los observadores analizados hasta ahora se diseñan para reconstruir todas las variables de estado. En la práctica, algunas de las variables de estado se miden con precisión. Tales variables de estado medidas con precisión no necesitan estimarse. Suponga que el vector de estado x es un vector de dimensión n y que el vector de salida y es un vector de dimensión m medible. Dado que las m variables de salida son combinaciones lineales de las variables de estado, no necesitan estimarse n variables de estado, sino sólo n - m variables de estado. Así el observador de orden reducido se convierte en un observador de (n-m)-ésimo orden. Tal observador (n-m)-ésimo orden es el observador de orden mínimo.

Fig. 5 Realimentación con un observador de Orden mínimo Para ofrecer la idea básica del observador de orden mínimo, sin complicaciones matemáticas innecesarias, presentaremos el caso el caso en que la salida es un escalar (es decir m =1) y obtendremos la ecuación de estado para el observador mínimo. Considere el sistema. 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 en donde el vector de estado x se divide en dos partes xa (un escalar) y xb [un vector de dimensión (n – 1)]. Aquí la variable de estado xa es igual a la salida y y, por tanto, se mide directamente y xb es la parte que no se puede medir del vector de estado. De este modo, el estado y las ecuaciones de salida se vuelven. 𝑥𝑎̇ 𝐴𝑎𝑎 […] = [ … 𝑥𝑏̇ 𝐴𝑏𝑎

⋮ … ⋮

𝑦 = [1 En donde: Aaa Aab Aba Abb Ba Bb

= = = = = =

escalar matriz de 1  (n – 1) matriz de (n – 1)  1 matriz de (n – 1)  (n – 1) escalar matriz de (n – 1)  1

𝐴𝑎𝑏 𝑥𝑎 𝐵𝑎 … ] . [⋯] + [ ⋯ ] 𝑢 𝐴𝑏𝑏 𝑥𝑏 𝐵𝑏 𝑥𝑎 ⋮ 0] ∙ [ ⋯ ] 𝑥𝑏

A partir de la ecuación de estados, la ecuación para la parte medida del estado se vuelve

x a  A aa xa  A ab x b  Ba  o bien

x a  A aa xa  Ba   A ab x b

Los términos del primer miembro de la ecuación se pueden medir. La ecuación funciona como la ecuación de salida. Nuevamente a la ecuación de estados, la ecuación de la parte no medida se convierte

x b  A ba x a  A bb x b  B b Considerando que los términos Abaxa y Bb son cantidades conocidas, la ecuación anterior describe la dinámica de la parte no medida del estado. Por lo que: 𝑛̃̇ = (𝐴𝑏𝑏 − 𝑘𝑒 𝐴𝑎𝑏 )𝑛̃ + [(𝐴𝑏𝑏 − 𝑘𝑒 𝐴𝑎𝑏 )𝑘𝑒 + 𝐴𝑏𝑎 − 𝑘𝑒 𝐴𝑎𝑎 ]𝑦 + (𝐵𝑏 − 𝑘𝑒 𝐵𝑎 )𝑢 La ecuación característica para el observador de orden mínimo se obtiene a partir de la siguiente ecuación: [𝑆𝐼 − 𝐴𝑏𝑏 + 𝑘𝑒 𝐴𝑎𝑏 ] = (𝑠 − 𝑢1)(𝑠 − 𝑢2) ⋯ (𝑠 − 𝑢𝑛−1 )

Donde u1, u2…un-1 son valores propios para el observador de orden mínimo. La matriz de ganancia del observador Ke se determina seleccionado primero los valores propios deseados para el observador de orden mínimo y después empleado el procedimiento desarrollado por el observador de orden completo con las modificaciones adecuadas. 𝛼̂𝑛−1 − 𝑎̂𝑛−1 𝛼̂𝑛−1 − 𝑎̂𝑛−1 𝛼 ̂ − 𝑎 ̂ 𝑛−2 ̂ ∗)−1 [𝛼̂𝑛−2 − 𝑎̂𝑛−2 ] 𝐾𝑒 = 𝑄̂ [ 𝑛−2 ] = (𝑤 ̂𝑁 ⋮ ⋮ 𝛼̂1 − 𝑎̂1 𝛼̂1 − 𝑎̂1 En donde podemos obtener: ̃ = [𝐴𝑎𝑏 ∗ ⋮ 𝐴𝑏𝑏 ∗ 𝐴𝑎𝑏 ∗⋮ (𝐴𝑏𝑏 ∗)𝑛−2 𝐴𝑎𝑏 ∗] 𝑁 𝑎̂𝑛−2 𝑎̂𝑛−3 ⋯ 𝑎̂1 1 𝑎̂𝑛−3 𝑎̂𝑛−4 ⋯ 1 0 ̂ = 𝑄̂ ⋮ 𝑊 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎̂1 1 ⋯ 0 0 [ 1 0 ⋯ 0 0] FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL CONTROLADOR BASADO EN OBSERVADOR DE ORDEN MÍNIMO Con la ecuación dada de orden mínimo la siguiente la cual es la siguiente: 𝑛̃̇ = (𝐴𝑏𝑏 − 𝑘𝑒 𝐴𝑎𝑏 )𝑛̃ + [(𝐴𝑏𝑏 − 𝑘𝑒 𝐴𝑎𝑏 )𝑘𝑒 + 𝐴𝑏𝑎 − 𝑘𝑒 𝐴𝑎𝑎 ]𝑦 + (𝐵𝑏 − 𝑘𝑒 𝐵𝑎 )𝑢 Donde definimos de forma análoga lo siguiente: 𝐴̂ = 𝐴𝑏𝑏 − 𝑘𝑒 𝐴𝑎𝑏 𝐵̂ = 𝐴̂𝑘𝑒 + 𝐴𝑏𝑎 − 𝑘𝑒 𝐴𝑎𝑎 𝐹̂ = 𝐵𝑏 − 𝑘𝑒 𝐵𝑎 Estas ecuaciones definen observador de orden mínimo: 𝑛̃̇ = 𝐴̂ñ + 𝐵̂ 𝑦 + 𝐹̂ 𝑢 ñ = 𝑥̃𝑏 − 𝐾𝑒 𝑦

𝑢 = −𝑘𝑥̃ = −[𝐾𝑎

𝐾𝑏 ] [

𝑦 𝑥̃𝑏 ] = −𝐾𝑏 ñ − (𝐾𝑎 + 𝐾𝑏 𝐾𝑒 )𝑦

Y ahora como tenemos u remplazamos en la ecuacion de ñ punto 𝑛̃̇ = 𝐴̂ñ + 𝐵̂ 𝑦 + 𝐹̂ [−𝐾𝑏 ñ − (𝐾𝑎 + 𝐾𝑏 𝐾𝑒 )𝑦] Entonces tenemos la siguientes ecuaciones: 𝐴̃ = 𝐴̂ − 𝐹̂ 𝑘𝑏 ̃ 𝐵 = 𝐵̂ − 𝐹̂ (𝐾𝑎 + 𝑘𝑏 𝐾𝑒 ) 𝐶̃ = −𝑘𝑏 ̃ 𝐷 = −(𝐾𝑎 + 𝑘𝑏 𝐾𝑒 ) Y entonces podemos escribir las ecuaciones de la siguiente manera: 𝑛̃̇ = 𝐴̃ñ + +𝐵̃ 𝑦 ̃𝑦 𝑢 = 𝐶̃ ñ − 𝐷 Entonces se define el controlador basado en observador de orden minimo. Si se considera como u como salida y –y como la entrada entonces: −1 ̃ ] 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) = [𝐶̃ (𝑠𝐼 − 𝐴̃) 𝐵̃ + 𝐷 −1 ̃ ] (−𝑌(𝑠)) 𝑈(𝑠) = − [𝐶̃ (𝑠𝐼 − 𝐴̃) 𝐵̃ + 𝐷

Entonces despejamos y obtenemos la función de transferencia del controlado observador: 𝑈(𝑠) −1 ̃] = − [𝐶̃ (𝑠𝐼 − 𝐴̃) 𝐵̃ + 𝐷 −𝑌(𝑠) 2. DISEÑO Y CÁLCULOS:

Esquema de la planta a tratar en el espacio de estado, red RLC de tercer orden, donde se utilizará los siguientes valores para cada componente: 𝑅 = 1[Ω]

𝐶1 = 200[𝑢𝐹]

𝐶2 = 500[𝑢𝐹]

𝐿 = 500(𝑚𝐻)

Fig. 1: Red RLC de tercer orden

A partir de este modelo de planta se obtiene su función de transferencia y su representación en variables de estado:

Función de transferencia: 𝑉2 (𝑆) 𝐻(𝑆) = 𝑈(𝑆) 1 = 𝑅𝐿𝐶1 𝐶2 𝑆 3 + 𝐿𝐶2 𝑆 2 + 𝑅(𝐶1 + 𝐶2 )𝑆 + 1

Modelo en variables de estado:

− 𝑥̇ =

1 ̇ 0 𝐶1 𝑅 0

0

1 [ 𝐿

−

1 𝐿

1 𝐶1 1 1 ∗ 𝒙 + [𝐶1 𝑅] ∗ 𝑢(𝑡) 𝐶2 0 0 0 ]

−

𝑦 = [0 1

0] ∗ 𝒙

Donde: 𝑉1 = 𝑥1 , 𝑉2 = 𝑥2 𝑦 𝑖𝐿 = 𝑥3

Ahora reemplazamos los valores de los componentes en las ecuaciones para obtener los parámetros fundamentales que gobiernan la planta en lazo cerrado: Función de transferencia: Modelo en variables de estado: 𝑉2 (𝑆) 𝐻(𝑆) = 𝑈(𝑆) −5 ̇ 0 −5 5 𝑥̇ = [ 0 0 2 ] ∗ 𝒙 + [0] ∗ 𝑢(𝑡) Lazo abierto 2 −2 0 0 1 𝐻= 0.05𝑆 3 + 0.25𝑆 2 + 0.7𝑆 + 1 𝑦 = [0 1 0] ∗ 𝒙 Lazo cerrado: 𝐻𝐿𝐶 =

0.05𝑆 3

1 + 0.25𝑆 2 + 0.7𝑆 + 2

Una vez conocida la función HLC se procede a ver la ubicación de los polos de la planta y verificar si se puede aproximar a una planta de segundo orden: 𝐻𝐿𝐶 =

0.05𝑆 3

1 + 0.25𝑆 2 + 0.7𝑆 + 2

Análisis de los polos: el tercer polo debe estar por lo menos a una distancia de 5veces la parte real de los polos dominantes en este caso, complejos conjugados: 0.05𝑆 3 + 0.25𝑆 2 + 0.7𝑆 + 2 = (𝑠 − 4)(𝑠 − 0.5 − 𝑗3.1225)(𝑠 − 0.5 + 𝑗3.1225) Se observa que la planta cumple con el criterio, por lo tanto se desprecia el tercer polo y se considera una planta de segundo orden: (𝑠 − 0.5 − 𝑗3.1225)(𝑠 − 0.5 + 𝑗3.1225) = 𝑠 2 + 𝑠 + 10 1 𝐻𝐿𝐶 = 2 𝑠 + 𝑠 + 10

En Matlab se gráfica y se obtiene dos de los parámetros más relevantes que son el tiempo de asentamiento (ts), tiempo pico (tp) y el porcentaje de sobre disparo (%OS); como se muestra en la fig.2.

Fig. 2: respuesta de la planta en lazo cerrado

Con los cual se obtiene los siguientes datos: 𝑡𝑠 = 7.43 𝑠𝑒𝑔 %𝑂𝑆 = 45.6 % 𝑡𝑝 = 1.24 𝑠𝑒𝑔 Ahora, se realizó este previo análisis para tener una noción del comportamiento de la planta para así poder implementar un control por realimentación de estado, un observador de orden completo y un observador de orden mínimo, bajo un tiempo de respuesta más rápido que el de la planta, y a su vez la reubicación de los polos están en función de dicho tiempo y otras variables más, que se detallara más adelante. 1) Se diseñará un sistema de control por realimentación de estados que realice regulación y seguimiento para el sistema de tercer orden ya explicado anteriormente: 

Regulación

Una vez conocido el comportamiento de la planta se desarrollará un control por realimentación de estados 𝑲, donde ubicaremos los polos de la planta en función del 𝑡𝑠 𝑦 %𝑂𝑆 impuestos 𝑡𝑆 = 3.5𝑠𝑒𝑔,

%𝑂𝑆 = 5% Desarrollo 𝜉=

%𝑂𝑆 − ln ( 100 )

= 0.690 %𝑂𝑆 √𝜋 2 + ln2 ( 100 ) 4 𝜔𝑛 = = 1.6560 𝜉𝑡𝑆

Polinomio característico de segundo orden pero con el tercer polo alejado mínimo 5 𝜉𝜔𝑛 (𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 ) ∗ (𝑠 + 5𝜉𝜔𝑛 ) = 𝑠 3 + 8𝑠 2 + 15.804𝑠 + 15.6716 Para realizar la realimentación de estados se utilizará los siguientes polos 𝑺𝟏 = −𝟏. 𝟏𝟒𝟐𝟗 + 𝒋𝟏. 𝟏𝟗𝟖𝟓 𝑺𝟐 = −𝟏. 𝟏𝟒𝟐𝟗 − 𝒋𝟏. 𝟏𝟗𝟖𝟓 𝑺𝟑 = −𝟓. 𝟕𝟏𝟒𝟑 Se tiene el modelo de la planta en variables de estado −5 𝐴=[ 0 2 𝐶 = [0

0 −5 5 𝐵 = [0] 0 2 ], −2 0 0 𝐷 = [0] 1 0],

Se desea hacer una realimentación del vector de estado K, que ubique los polos del sistema en: 𝑺𝟏,𝟐 = −𝟏. 𝟏𝟒𝟐𝟗 ± 𝒋𝟏. 𝟏𝟗𝟖𝟓,

𝑺𝟑 = −𝟓. 𝟕𝟏𝟒𝟑

Determinar la controlabilidad y observabilidad 𝑀 = [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2 𝐵] 5 −25 75 𝑀 = [0 0 20 ] 0 10 −50 Rango de M = 3 por lo tanto el sistema es controlable 𝐴∗ 𝐶 ∗ 𝐴∗ 2 𝐶 ∗ ] 0 0 4 𝑁 = [1 0 −4] 0 2 0

𝑁 = [𝐶 ∗

Rango de N = 3 por lo tanto el sistema es observable Se utilizara el metodo de ackerman para determinar 𝑲 𝑲 = [0 0

1][𝑩 𝑨𝑩 𝑨𝟐 𝑩]−𝟏 𝝓𝑨

La ecuacion caracteristica es: 𝑠 3 + 8𝑠 2 + 15.804𝑠 + 15.6716 Se reemplaza para obtener: 𝝓𝑨 = 𝑨𝟑 + 8𝑨𝟐 + 15.804𝑨 + 15.6716𝑰

31.6516 30 65.98 𝝓𝑨 = [ 12 −16.3284 3.6080 ] −26.3920 −3.6080 −46.3284 Finalmente: 5 −25 75 −1 31.6516 30 65.98 𝑲 = [ 0 0 1] [ 0 0 20 ] [ 12 −16.3284 3.6080 ] 0 10 −50 −26.3920 −3.6080 −46.3284 𝑲 = [0.6 −0.8164 0.1804] Con estos valores se realiza la realimentación de estados:

Fig. 3: sistema regulador

Y se verifica si el sistema está regulando las variables de estado frente a condiciones iniciales:

Fig. 4: comportamiento de las variables de estado del regulador

Como se observa el sistema regula las variables de estado frente a condiciones iniciales, en un tiempo determinado de 3.5 segundo, estas variables se encuentran alrededor del ±2% de la línea de referencia que en este caso es cero.

2)

Diseñe un sistema de control por realimentación de estados que realice regulación o seguimiento para un servosistema de tipo 1 cuya planta incluye integrador y compruebe el funcionamiento por medio de simulación. La planta es la siguiente: 1 𝐺(𝑠) = 3 𝑠 + 6𝑠 2 + 5𝑠 Los polos en lazo cerrado se basa en un tiempo de establecimiento y en un porcentaje de sobre disparo impuesto 𝑡𝑆 = 3.5𝑠𝑒𝑔,

%𝑂𝑆 = 5% Donde la ubicación de los polos queda de la siguiente manera: 𝑺𝟏 = −1.1429 + 𝑗1.1985 𝑺𝟐 = −1.1429 − 𝑗1.1985 𝑺𝟑 = −5.7143 Para este caso la entrada de referencia es cero, entonces se debe observar la regulación de las variables de estado. Se define las variables de estado 𝑥1 , 𝑥2 𝑦 𝑥3 del modo siguiente: 𝑥1 = 𝑦 𝑥2 = 𝑥̇ 1 𝑥3 = 𝑥̇ 2 La representación en espacio de estados queda: 0 1 0 0 𝐴 = [0 0 1 ] , 𝐵 = [ 0] 0 −5 −6 1 𝐶 = [1 0 0] La señal de control u se obtiene: 𝑢 = −(𝑘2 𝑥2 + 𝑘3 𝑥3 ) + 𝑘1 (𝑟 − 𝑥1 ) Como la señal de referencia en cero ya que en este apartado se consideró únicamente un sistema regulador se tiene: 𝑢 = −(𝑘2 𝑥2 + 𝑘3 𝑥3 ) + 𝑘1 (−𝑥1 ) 𝑢 = −(𝑘2 𝑥2 + 𝑘3 𝑥3 + 𝑘1 𝑥1 ) 𝑢 = −𝒌𝑥 Donde: 𝒌 = [𝑘1 𝑘2 𝑘3 ] 𝑲 = [0 0 1][𝑩 𝑨𝑩 𝑨𝟐 𝑩]−𝟏 𝝓𝑨 La ecuacion caracteristica es: 𝑠 3 + 8𝑠 2 + 15.804𝑠 + 15.6716 Se reemplaza para obtener: 𝝓𝑨 = 𝑨𝟑 + 8𝑨𝟐 + 15.804𝑨 + 15.6716𝑰 15.6716 10.8040 2 𝝓𝑨 = [ 0 5.6716 −1.1960 ] 0 5.98 −12.8476 Finalmente: 0 0 1 −1 15.6716 10.8040 2 [ ] 𝑲 = 0 0 1 [0 1 −6] [ 0 5.6716 −1.1960 ] 1 −6 31 0 5.98 −12.8476

𝑲 = [15.6716 10.8040 2] Se simulara el circuito en simulink para diferentes condiciones iniciales para observar el regulamiento.

Fig. 5: servo sistema tipo1 con integrador

A continuación se muestra el comportamiento de la planta y se observa que mediante el control por realimentación de estado K el sistema regula las variables de estado en el tiempo establecido de 3.5 segundos

𝑥1 = 10 𝑥2 = −20 𝑥3 = 5

𝑥1 = 5 𝑥2 = −5 𝑥3 = 1

3)

Diseñe un sistema de control por realimentación de estados que realice regulación o seguimiento para un servosistema de tipo 1 cuya planta no incluye integrador y compruebe el funcionamiento por medio de simulación. Si en el punto 2 escoge regulación, en este punto debe escoger seguimiento y viceversa. Para este apartado se utilizará el mismo modelo RLC de tercer orden sin integrador: 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 𝑦 = 𝑪𝒙 𝑢 = −𝑲𝒙 − 𝐾𝑖𝜉 ̇𝜉 = 𝑟 − 𝑦 = 𝑟 − 𝑪𝒙 Donde: −5 0 −5 5 𝐴=[ 0 𝐵 = [0] , 𝐶 = [0 1 0], 0 2 ], 2 −2 0 0 Ahora se tiene la ecuación de error del estado obtenido mediante: ̂𝒆 + 𝑩 ̂ 𝑢𝑒 𝒆̇ = 𝑨 −5 0 −5 0 5 𝑩 𝑨 𝟎 0 0 0 2 ̂=[ ̂ = [ ] = [ 0] 𝑨 𝑩 ]=[ ], 2 −2 0 0 0 −𝑪 0 𝟎 0 −1 0 0 0 La señal de control se obtiene mediante ̂𝒆 𝑢𝑒 = −𝑲 Donde: ̂ = [𝑲 𝑘𝑖 ] = [𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑘𝑖 ] 𝑲 Se diseña la ubicación de los polos (𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 ) ∗ (𝑠 + 5𝜉𝜔𝑛 ) ∗ (𝑠 + 5𝜉𝜔𝑛 ) = 𝑠 4 + 48𝑠 3 + 746𝑠 2 + 2453𝑠 + 10527 𝑠1 = −4 − 3.2122𝑖 𝑠2 = −4 + 3.2122𝑖

𝑠3 = −20 𝑠4 = −20 ̂ Utilizando Matlab se determina la matriz de ganancia de realimentación de estado 𝑲 ̂ = [1.7429 2.5561 4.7518 −4.4776] 𝑲 𝑲 = [1.40 2.5561 4.7518] 𝐾𝑖 = 4.4776 Se presenta el modelo en Simulink:

Fig. 6: servo sistema tipo uno sin integrador

En la figura 8 se puede apreciar el comportamiento de las variables de estado frete a una señal de referencia, dos de las tres variables de estado realizan seguimiento a la señal de referencia, pero la tercera variable de estado se regula, todas en el tiempo establecido de 3.5 segundos Simulación del sistema

Fig.7: respuesta del servosistema tipo 1 sin integrador

4)

Para la planta del punto 1, diseñe observadores de orden completo y compare las estimaciones con los estados del sistema, para varias condiciones iniciales. El modelo en variables de estado es: −5 0 −5 5 𝐴=[ 0 𝐵 = [0] , 𝐶 = [0 1 0], 0 2 ], 2 −2 0 0 Donde se mantiene la ubicación de los polos definido anteriormente mediante el tiempo de establecimiento y el porcentaje de sobre disparo: 𝑡𝑆 = 3.5𝑠𝑒𝑔,

%𝑂𝑆 = 5% El cual nos indica donde debemos colocar los polos de la planta: 𝑺𝟏 = −𝟏. 𝟏𝟒𝟐𝟗 + 𝒋𝟏. 𝟏𝟗𝟖𝟓 𝑺𝟐 = −𝟏. 𝟏𝟒𝟐𝟗 − 𝒋𝟏. 𝟏𝟗𝟖𝟓 𝑺𝟑 = −𝟓. 𝟕𝟏𝟒𝟑 Ahora se diseñará un observador de orden completo y este debe tener una respuesta más rápida que el modelo de la planta: 𝑡𝑠 𝑡𝑆(𝑜𝑛𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟) = = 1.16 𝑠𝑒𝑔 3

%𝑂𝑆 = 5% El cual haciendo el mismo procedimiento se calcula los polos del observador: %𝑂𝑆 − ln ( ) 100 𝜉= = 0.690 %𝑂𝑆 √𝜋 2 + ln2 ( ) 100 4 𝜔𝑛 = = 4.9681 𝜉𝑡𝑆

Polinomio característico de segundo orden pero con el tercer polo alejado mínimo 5 𝜉𝜔𝑛 (𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 ) ∗ (𝑠 + 5𝜉𝜔𝑛 ) = 𝑠 3 + 24𝑠 2 + 142.2338𝑠 + 423.1332 Para realizar la realimentación de estados se utilizará los siguientes polos 𝑺𝟏 = −𝟑. 𝟒𝟐𝟗 + 𝒋𝟑. 𝟓𝟗𝟓𝟓 𝑺𝟐 = −𝟑. 𝟒𝟐𝟗 − 𝒋𝟑. 𝟓𝟗𝟓𝟓 𝑺𝟑 = −𝟏𝟕. 𝟏𝟒𝟑 Ya definido los polos de controlador y los polos del observador se procederán a calcular cada componente para armar el sistema controlador observador: El vector de realimentación K ya calculado era: 𝑲 = [0.6 −0.8164 0.1804] Ahora también se utilizará la fórmula de Ackermann para encontrar la matriz de ganancia Ke 𝑪 −𝟏 0 𝑲𝒆 = 𝝋(𝑨) [ 𝑪𝑨 ] [0] 𝑪𝑨𝟐 1 Donde 𝜑(𝑠) = (𝑠 + 3.429 − 𝑗3.5955 )(𝑠 + 3.429 − 𝑗3.5955 )(𝑠 + 17.143) 𝜑(𝑠) = 𝑠 3 + 24𝑠 2 + 142.2338𝑠 + 423.1332 Por lo tanto 𝝋(𝑨) = 𝑨3 + 24𝑨2 + 142.2338𝑨 + 423.1332𝑰

0 1 𝑲𝒆 = + 24𝑨 + 142.2338𝑨 + 423.1332𝑰) [0 0 2 −2 46.9642 190 −166.1690 0 1 𝑲𝒆 = [ 76 327.1332 256.4676 ] [0 0 66.4676 −256.4676 137.1332 4 −4 −11.7411 𝑲𝒆 = [ ] 19 16.6169 (𝑨3

2

0 −1 0 2] [ 0 ] 0 1 0 −1 0 2] [0] 0 1

Simulación:

Fig. 8: observador de orden completo

Ahora se analiza cómo responde el sistema a varias condiciones iniciales: Se observa que aun variando las condiciones iniciales de la planta el observador realiza una correcta estimación de las variables de estado en el tiempo impuesto de aproximadamente 1 segundo,

𝑋1 = 10,

𝑋2 = 5,

𝑋3 = −8

𝑋1 = −5,

𝑋1 = −20,

𝑋2 = 1,

𝑋2 = 6,

𝑋3 = −15

𝑋3 = 15

5. Para la planta del punto 1, diseñe observadores de orden mínimo suponiendo que un estado es la salida y ésta es medible y compare las estimaciones con los estados del sistema, para varias condiciones iniciales. La ecuación característica para el observador de orden mínimo es: |𝑠𝐼 − 𝐴𝑏𝑏 + 𝐾𝑒 𝐴𝑎𝑏 | = (𝑠 + 4)(𝑠 + 4) = 𝑠 2 + 8𝑠 + 16 Para la matriz de ganancia del controlador K se mantiene: 𝑲 = [0.4 11.7591 8.7159] Se utiliza la fórmula de Ackermann para determinar la matriz de ganancia del observador de orden minino 𝐾𝑒. 𝑨𝒂𝒃 −𝟏 0 𝑲𝒆 = ∅(𝑨𝒃𝒃 ) [ − − − ] [ ] 1 𝑨𝒂𝒃 𝑨𝒃𝒃 Donde ∅(𝑨𝒃𝒃 ) = 𝑨𝟐𝒃𝒃 + 8𝑨𝒃𝒃 + 16𝑰 Como: | 𝑥1 0 −5 5 −5 𝑥𝑎 − − | − − − − − − − − − − − −] ̃ = [− −] = [ 𝑥̃ ] 𝒙 𝑨=[ ] 𝐵=[ 2 0 0 2 0 | ̃𝒃 𝒙 𝑥̃3 −2 0 0 2 | Donde: 0 𝐴𝑎𝑎 = −5, 𝑨𝒂𝒃 = [0 −5], 𝑨𝒃𝒂 = [ ], 2

𝑨𝒃𝒃 = [

0 2 ], −2 0

𝐵𝑎 = 5,

0 22 0 2 1 𝑲𝒆 = {[ ] + 8[ ] + 16 [ −2 0 −2 0 0

0 𝑩𝒃 = [ ] 0

0 0 ]} [ 1 10

1.2 𝑲𝒆 = [ ] −1.6 Simulación:

Se analizara el sistema para varias condiciones iniciales: 𝑋1 = 0, 𝑋2 = −20, 𝑋3 = 5

−5 −1 0 ] [ ] 1 0

𝑋1 = 0,

𝑋2 = −10,

𝑋3 = 8

𝑋1 = 0,

𝑋2 = 30,

𝑋3 = 10

Se observa como las dos variables a estimar x1 y x2 hacen una estimación correcta frente a la variación de las condiciones iniciales de la planta en el tiempo establecido de aproximadamente 1.5 segundos

2.1. SIMULACIONES

3. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES: 

Cuando realizamos la práctica no todas las variables necesariamente necesitan ser observadas, entonces habrá algunas que se podrán medir directamente y con buena precisión, por lo cual no será necesario un observador que estime todos los estados, sino que estime algunos de ellos.



En nuestra vida diaria nosotros dependemos de un control de servo mecanismos, en cualquier lugar ya sea para motores o con respecto a la economía que de igual forma depende mucho de los controladores, en caso de una industria pasa lo mismo es decir requiere de los controles ya que en caso de no existir estos controladores la industria va a desaparecer.



El programa Simulink ha resultado de mucha utilidad a la hora de analizar, modelar y simular los modelos matemáticos obtenidos. Una vez se ha diseñado el modelo en lazo abierto y en lazo cerrado sólo ha hecho falta ir cambiando el valor del controlador K e ir probando. Así, se han verificado muchos controladores distintos, de forma rápida y fácil, hasta llegar a los resultados finales aquí mostrados.



Por lo que respecta al controlador con observador, cabe destacar que presenta una buena respuesta en la señal de control. A pesar de ello, la solución obtenida sigue presentando oscilaciones, además de la aparición de saturación que genera picos de sobrepaso y más lentitud al sistema.

4. BIBLIOGRAFIA Nise, N. S., & Romo, J. H. (2002). Sistemas de control para ingeniería. Compañía Editorial Continental. Kuo, B. C. (1996). Sistemas de control automático. Pearson Educación. Díaz-López, F. E. (2013). Ecuaciones de Estado. Basicamente, 12(1).

Dorf, R. C., Bishop, R. H., Canto, S. D., Canto, R. D., & Dormido, S. (2005). Sistemas de control moderno (p. 386). Pearson Prentice Hall. Lewis, P. H., Yang, C., Bencomo, S. D., & Canto, R. D. (1999). Sistemas de control en ingeniería (Vol. 400). Prentice Hall. Smith, C. A., Corripio, A. B., & Basurto, S. D. M. (1991). Control automático de procesos: teoría y práctica (No. 96818-3791-6. 01-A3 LU. AL-PCS. 1.). Limusa. Bolton, W., & Ramírez, F. J. R. (2001). Ingeniería de control. Marcombo. Ogata, K. (2003). Ingeniería de control moderna. Pearson Educación. Espinosa, J. J. (2003). Control lineal de sistemas multivariables. Corporación Universitaria de Ibagué. MARTINEZ RODRIGUEZ, J. L., & MORALES RODRIGUEZ, J. E. S. U. S. (2010). Control aplicado con variables de estado. Ediciones Paraninfo, SA.

_______________________________ Ing. Ítalo Mogrovejo P. Mgs Docente UPS de Electrónica Digital