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´ ´ PRACTICAS DE ANALISIS FUNCIONAL Departamento de An´alisis Matem´atico Curso 2003/2004

Profesores responsables : Pablo Galindo (AA) y (AB) Fuensanta Andreu (BA) Enrique Ll´orens (BB)

Pr´ actica Pr´ actica Pr´ actica Pr´ actica Pr´ actica

1 2 3 4 5

Espacios normados: Generalidades . . . . Aplicaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones Integrales . . . . . . . . . . . . . Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . Operadores Compactos. Teor´ıa Espectral

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. 1 . 7 . 11 . 16 . 21

Curso 2003/2004

1

Pr´ actica 1 Espacios normados: Generalidades En esta primera pr´ actica se estudian algunos de los conceptos fundamentales sobre espacios normados. La mayor´ıa de los problemas se proponen para comprobar que algunas funciones son normas y para comparar distintos tipos de convergencias, que corresponden a normas diferentes. Ejemplo 1.1 Probar que, en todo espacio normado (X, k.k),

2

1

(x + y) ≤ 1 kxk2 + 1 kyk2

2

2 2 para cualesquiera x, y ∈ X. ————————————————————Soluci´ on Aplicamos la desigualdad triangular:

2 2 2

1

(x + y) ≤ 1 (kxk + kyk)2 = kxk + kyk + 2kxkkyk .

2

4 4 Como, para cualesquiera n´ umeros reales a, b, 0 ≤ (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab tenemos que 2ab ≤ a2 + b2 . Por tanto, 2kxkkyk ≤ kxk2 + kyk2 , y queda entonces

2 2 2 2 2

1

(x + y) ≤ kxk + kyk + 2kxkkyk ≤ 2kxk + 2kyk

2

4 4 lo que completa la prueba. Ejemplo 1.2 (n) (n) (n) (n) Encontrar una sucesi´ on (x(n) )∞ = (ξ1 , ξ2 , . . .), ξj ∈ R, que pertenezca a n=1 , donde cada x `1 , y que sea convergente en `∞ pero no en `1 . ————————————————————Soluci´ on Es importante observar primero que si la sucesi´on (x(n) )∞ n=1 converge a x en `∞ , entonces la converge a 0, con lo cual basta encontrar el ejemplo de una sucesi´on que sucesi´on (x(n) − x)∞ n=1 converge a 0. Adem´ as, tanto la convergencia en el espacio `∞ como en el espacio `1 implica la convergencia coordenada a coordenada; por ello, hay que buscar una sucesi´on (x(n) )∞ n=1 ∈ `1 que converja coordenada a coordenada a 0 pero que no converja a 0 en `1 . (n) (n) (n) (n) Sea xn = (ξ1 , ξ2 , . . .) definida por ξi = 0 si i ≤ n y ξi = n/i2 si i ≥ n + 1. Para cada n ∈ N, se cumple que x(n) ∈ `∞ y kx(n) k∞ = n/(n + 1)2 , y, por otro lado, x(n) ∈ `1

An´alisis Funcional

pr´actica 1:

Espacios normados: Generalidades

2

P∞ y kx(n) k1 = n i=n+1 i12 . Se deduce que l´ımn→∞ kx(n) k∞ = l´ımn→∞ n/(n + 1)2 = 0, si bien l´ımn→∞ kx(n) k1 6= 0 puesto que ! 1 1 1 1 n2 (n) kx k1 ≥ n + + · · · + ≥ ≥ (n + 1)2 (n + 2)2 (2n)2 4n2 4 para todo n ∈ N. Ejemplo 1.3 Estudiar si las sucesiones de funciones definidas por xn (t) = tn − tn+1 e yn (t) = tn − t2n convergen en C([0, 1]) donde la norma viene definida por kxk = supt∈[0,1] |x(t)|. ————————————————————Soluci´ on Para empezar, como la convergencia en la norma implica la convergencia puntual,es conveniente saber si la sucesi´ on de funciones (xn )∞ on continua, digamos n=1 converge puntualmente a alguna funci´ x. Si esto es as´ı, esa funci´ on x ser´ a el posible l´ımite en la norma del espacio. Posteriormente, hay que calcular la norma de la diferencia entre los valores de la sucesi´on y ese posible l´ımite; es decir, kxn − xk, y, por u ´ltimo, verificar si esta sucesi´on de normas tiende a 0. Para hallar la norma de una funci´on, es necesario calcular el m´ aximo del m´odulo de la funci´on; en otras palabras, hay que hallar el m´aximo absoluto M y el m´ınimo absoluto m de la funci´on en [0, 1]: el m´aximo del m´odulo es entonces m´ ax{M, −m}. Dado que las funciones que aparecen son derivables, se puede empezar estudiando las ra´ıces de sus derivadas. Es evidente que xn (1) = 0 para todo n ∈ N y es f´acil ver que, para cada t ∈ [0, 1[, se tiene l´ımn→∞ xn (t) = l´ımn→∞ tn − tn+1 = 0. Por tanto, la sucesi´on (xn )∞ n=1 converge puntualmente a 0. Para comprobar que la convergencia se verifica en la norma es necesario ver que l´ımn→∞ kxn − 0k = 0. Comenzaremos calculando la norma de las funciones. Si xn (t) = tn − tn+1 , entonces la derivada n . Como x00n (t) = n(n−1)tn−2 −(n+1)ntn−1 , x0n (t) = ntn−1 −(n+1)tn s´ olo se anula en el punto t = n+1 n n n−2 n n−1 se deduce que x00n ( n+1 ) = n(n − 1) n+1 − (n + 1)n n+1 < 0 con lo cual en ese punto hay un m´aximo relativo. No existen m´ınimos relativos. En los extremos del intervalo se tiene x(0) = 0 y nn nn+1 n ) = (n+1) mientras que el m´ınimo es 0 y, x(1) = 0. Luego el valor m´ aximo es xn ( n+1 n − (n+1)n+1 por consiguiente, kxn k =

nn (n+1)n

−

nn+1 (n+1)n+1 .

Se concluye que

nn nn+1 − =0 n→∞ (n + 1)n (n + 1)n+1

l´ım kxn k = l´ım

n→∞

y la sucesi´on (xn )∞ n=1 converge a 0 en el espacio C([0, 1]). En el segundo caso, es tambi´en sencillo comprobar que la sucesi´on (yn )∞ n=1 converge puntualmente a 0. Por otro lado, vamos a calcular la norma de la funci´on yn . Como yn (t) = tn − t2n se cumple 1 . Calculando la que yn0 (t) = ntn−1 − 2nt2n−1 con lo cual la derivada se anula en el punto t = 21/n 1 00 segunda derivada se comprueba que yn ( 21/n ) < 0. Por tanto, en ese punto hay un m´aximo relativo y no existen m´ınimos relativos. Por anularse la funci´on en los extremos del intervalo, se deduce que 1 1 ) y el del m´ınimo 0. Por tanto, kyn k = yn ( 21/n ) = 14 . el valor del m´ aximo absoluto es yn ( 21/n ∞ Obviamente la sucesi´ on de normas kyn k no converge a 0 con lo cual la sucesi´on (yn )n=1 no converge a 0 en la norma del espacio C([0, 1]). Ejemplo 1.4 Probar que la sucesi´ on de funciones medibles en [0, 1] cuyos primeros t´erminos son χ[0,1] , χ[0,1/2] , χ[1/2,1] , χ[0,1/4] , χ[1/4,1/2] , χ[1/2,3/4] , . . .; k kp -converge, pero no converge puntualmente para ning´ un punto de [0, 1].

An´alisis Funcional

pr´actica 1:

Espacios normados: Generalidades

3

————————————————————Soluci´ on Lo esencial en este ejemplo es percatarse, por un lado, que la medida de los intervalos donde las funciones no se anulan tiende a 0 puesto que esto implica que la sucesi´on p-converge a 0 y, por otro, que la sucesi´ on de funciones aplicada en cada punto concreto repite infinitamente los valores 0 y 1. Aunque no es estrictamente necesario, s´ı que resulta conveniente disponer de una f´ormula para la sucesi´on: ´esta es xn = χ[j/2k ,(j+1)/2k ] , siendo n = 2k + j, k = 0, 1, 2, . . . y j = 0, 1, 2, . . . , 2k − 1. La p-norma de cada funci´ on es Z kxn kp =

1 p

1/p

χ 0

[j/2k ,(j+1)/2k ]

=

1
1/p . 2k


1/p Es evidente que la sucesi´ on de normas es decreciente y, como l´ımk→∞ 21k = 0, su ´ınfimo es 0. Por tanto, l´ımk→∞ kxn kp = 0, con lo cual la sucesi´on (xn )∞ n=1 converge a 0 en Lp (0, 1). Por otro lado, fijado t ∈ [0, 1], para cada k = 0, 1, 2, . . . existe j = 0, 1, 2, . . . , 2k − 1 tal que t ∈ [j/2k , (j + 1)/2k ] y as´ı χ[j/2k ,(j+1)/2k ] (t) = 1. Se sigue que la sucesi´on (xn (t))∞ n=1 tiene una subsucesi´on constantemente igual a 1. Por otro lado, es evidente que si k ≥ 2, entonces existe j = 0, 1, 2, . . . , 2k − 1 tal que t ∈ / [j/2k , (j + 1)/2k ] y as´ı χ[j/2k ,(j+1)/2k ] (t) = 0. Se deduce que existe ∞ una subsucesi´ on de (xn (t))n=1 constantemente igual a 0. Por tanto, la sucesi´on (xn (t))∞ n=1 no converge.

1

Problemas

Ejercicio 1.1 Probar que en un espacio normado la clausura de Bδ (x) es Bδ0 (x) y que el interior de Bδ0 (x) es Bδ (x). ¿Es eso cierto en un espacio m´etrico cualquiera? Ejercicio 1.2 Probar que en todo espacio normado el di´ ametro de una bola es igual al doble del radio. Ejercicio 1.3 Probar que para dos vectores x e y cualesquiera se verifica
kxk ≤ m´ax kx + y||, kx − yk Ejercicio 1.4 Probar que un subconjunto A de un espacio normado es acotado si y s´olo si para cualquier sucesi´on {xn } en A y cualquier sucesi´ on {λn } en K que tiende a 0, la sucesi´on {λn xn } tiende a 0. Ejercicio 1.5 Sea X = {x ∈ C([−1, 1]) : x(t) = x(−t) para todo t ∈ [−1, 1]} considerado como subespacio del espacio C([−1, 1]) con la norma supremo. Demostrar que X es un espacio de Banach. Ejercicio 1.6 En el espacio (C([0, 1]), k.k∞ ) se considera el conjunto M := {f ∈ C([0, 1]) : 0 = f (0) f (1) = 1}. Estudiar si M es un conjunto cerrado. ¿Es M acotado? ¿Es M compacto?

An´alisis Funcional

pr´actica 1:

Espacios normados: Generalidades

4

Ejercicio 1.7 Probar que el espacio C([0, 1]) con la norma sucesi´on de funciones {fn }∞ n=1 , donde   1, 0, fn (t) =  αn t + βn ,

kf k =

R1 0

|f (t)|dt no es completo. (Considerar la

si t ∈ [0, 1/2], si t ∈ [1/2 + 1/n, 1], si t ∈ [1/2, 1/2 + 1/n]

elegir αn y βn convenientemente.) Ejercicio 1.8 Probar que todo subespacio vectorial propio de un espacio normado tiene interior vac´ıo. Deducir que no existen espacios de Banach de dimensi´ on numerable. (Aplicar el teorema de Baire.) Ejercicio 1.9 Probar que ϕ es denso en c0 . ¿Es ϕ un espacio de Banach? Ejercicio 1.10 Para cada p ≥ 1, se define `p =

{{xn }∞ n=1 |xn

∈ K,

∞ X

|xn |p converge }.

n=1

(a) Probar que `p es un subespacio vectorial de c0 . ¿Es cerrado? (b) Probar que si p ≤ q, entonces `p es un subconjunto de `q . Ejercicio 1.11 (n) (n) (n) (n) Encontrar una sucesi´ on {x(n) }∞ = (x1 , x2 , . . .), xj ∈ R, que pertenezca a n=1 , donde cada x cada uno de los dos espacios indicados y que sea (a) convergente en `∞ pero no en `2 (b) convergente en `2 pero no en `1 (c) convergente en c0 pero no en `1 (d) convergente en c0 pero no en `2 Ejercicio 1.12 Consideremos la sucesi´ on de funciones xn (t) =

tn+1 tn+2 − . n+1 n+2

Estudiar su convergencia en los espacios (C([0, 1]), k k0 ) y (C 1 ([0, 1]), k k1 ). Ejercicio 1.13 Sea x0 ∈ [a, b]. Probar que kf kx0 = |f (x0 )| + kf 0 k0 es una norma en C 1 ([a, b]) equivalente a kf k1 = kf k0 + kf 0 k0 . Ejercicio 1.14 Probar que L2 (R) 6⊂ L1 (R) y que L1 (R) 6⊂ L2 (R). ¿Qu´e ocurre si en lugar de R consideramos los espacios L2 (I) y L1 (I), donde I es un subconjunto de medida finita?

An´alisis Funcional

pr´actica 1:

Espacios normados: Generalidades

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Ejercicio 1.15 Supongamos que I es un intervalo acotado en Rn y sea {fn }∞ on en Lp (I). Probar n=1 una sucesi´ que se cumplen las siguientes implicaciones. fn → f uniformemente ⇒ fn → f en la norma k kp ⇒ fn → f en la norma k k1 . Probar que los rec´ıprocos no son ciertos. Ejercicio 1.16 Probar que la sucesi´ on {nχ[0,1/n] }∞ n=1 converge puntualmente pero no converge en el espacio Lp (0, 1). Ejercicio 1.17 Probar que la identidad de (C 1 ([a, b]), k k1 ) en (C 1 ([a, b]), k k0 ) es continua pero que las dos normas 2 no son equivalentes. (Considerar la sucesi´on definida por sennn x en [−π, π]. )

2

Problemas complementarios

Ejemplo 1.5 Consideremos el espacio c con la norma k.k∞ . Sea ei la sucesi´on cuyos t´erminos son todos 0 excepto el i-´esimo que es 1. Explicar si se puede escribir toda sucesi´on x = (χi ) ∈ c como x=

∞ X

χi ei .

i=1

————————————————————Soluci´ on La respuesta es negativa. Basta considerar la sucesi´on constante (1, 1, 1, ...) = (1) ∈ c Est´a claro que n X

1ei = (1, ..., 1, 0, 0, ...).

i=1

Por tanto

n

X

1ei

(1, 1, 1, ...) −

i=1

= k(1, 1, 1, ...) − (1, ..., 1, 0, 0, ...)k∞ = 1

∞

Luego

n

X

i 1e l´ım (1, 1, 1, ...) − n→∞

i=1

Si fuera (1, 1, 1, ...) =

= 1.

∞

∞ X

ei

i=1

por definici´on de serie (1, 1, 1, ...) = l´ım

n→∞

n X

ei

i=1

luego deber´ıa ser

n

X

i 1e l´ım (1, 1, 1, ...) − n→∞

i=1

= 0.

∞

An´alisis Funcional

pr´actica 1:

Espacios normados: Generalidades

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Ejercicio 1.18 Consideremos el espacio `∞ con la norma k.k∞ . Denotaremos por ei la sucesi´on cuya coordenada i-´esima es 1 y las dem´ as 0. P∞ ¿Se puede escribir toda sucesi´ on x = (ξi )∞ i=1 ∈ `∞ como x = i=1 ξi ei ? Justificar la respuesta. (Tener en cuenta la noci´ on de separabilidad) Ejercicio 1.19 Probar que una bola abierta de un espacio normado es homeomorfa a todo el espacio. Probar que un espacio normado es separable si y s´ olo si su bola unidad abierta es separable. Ejercicio 1.20 R1 Si f : [0, 1] → R es continua y tal que 0 xn f (x)dx = 0 para todo n = 0, 1, 2, 3, . . ., entonces f (x) = 0 para todo x ∈ [a, b]. (Utilizar el teorema de aproximaci´on de Weierstrass.) Ejercicio 1.21 Probar que en todo espacio normado separable de dimensi´on infinita X, existe una sucesi´on (xn )∞ n=1 formada por vectores linealmente independientes tal que X = LIN {xn : n ∈ N}. (Aplicar que todo subespacio de dimensi´ on finita es cerrado.) Ejercicio 1.22 Probar que si S es un conjunto infinito, entonces

B(S), k k∞




no es separable.

Ejercicio 1.23 Estudiar la continuidad en las normas k k0 y k k1 del funcional no lineal definido en C 1 ([0, π]) por Rπ la expresi´on F (y) = 0 (y 0 )2 .

An´alisis Funcional

Curso 2003/2004

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Pr´ actica 2 Aplicaciones Lineales Ejemplo 2.1 Probar que los espacios c y c0 son isomorfos. ————————————————————Soluci´ on Para cada x = {xn } ∈ c sea `(x) = l´ımn xn . Entonces ` es una forma lineal en c y como |`(x)| ≤ kxk para todo x ∈ c, se tiene que ` es continua y que k`k ≤ 1. Definimos la aplicaci´ on T : c → c0 (T x)1 = `(x) y (T x)n = xn−1 − `(x) , n > 1. Se comprueba f´ acilmente que T est´ a bien definida, es lineal y adem´as que kT xk ≤ 2kxk. Veamos ahora que kT xk ≥ 21 kxk. En el caso de que

1 2 kxk

≤ |`(x)|, resulta que

1 kxk ≤ |(T x)1 | ≤ kT xk 2 Supongamos ahora que |`(x)| = 21 kxk − δ, para alg´ un δ > 0 . Sea m ∈ N tal que |xm | > kxk − δ. Entonces se tiene que 1 |(T x)m+1 | = |xm − `(x)| ≥ |xm | − |`(x)| > kxk 2 con lo cual queda probado que kT xk ≥ 12 kxk. Notemos que de la desigualdad anterior se deduce que el n´ ucleo de T se reduce a 0 y por lo tanto que T es inyectiva. Veamos que es suprayectiva. Dado y ∈ c0 sea xn = y1 + yn+1 . Entonces x ∈ c , x1 = y1 y T x = y. Ejemplo 2.2 ∞ Sea (an )n=1 una sucesi´ on acotada P∞ en un espacio de Banach E. Demostrar que la aplicaci´on T : `1 → E definida por T (x) = n=1 an xn es lineal, continua y que kT k = supn kan k. ————————————————————Soluci´ on Sea M = supn kan k. Dado m ∈ N se tiene que si x = (xn )∞ n=1 ∈ `1 , entonces m m ∞ X

X

X

an xn ≤ kan k · |xn | ≤ M |xn | = M kxk1 ; n=1

n=1

n=1

por lo tanto, se cumple que kT xk ≤ M kxk1 , con lo cual T es continua y kT k ≤ M . Por otra parte, dado  > 0 sea m ∈ N tal que kam k > M − . Consideremos el vector em cuyas componentes son todas nulas salvo la m-´esima que vale 1. Entonces T (em ) = am luego kT k > M − . Como  es arbitrario se tiene que kT k ≥ M .

An´alisis Funcional

pr´actica 2:

Aplicaciones Lineales

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Ejemplo 2.3 Probar que en todo espacio normado de dimensi´on infinita existen formas lineales que no son continuas. ————————————————————Soluci´ on Sea {ei }i∈I una base de Hamel del espacio E. Podemos suponer que todos los vectores ei son de norma 1. Elijamos una sucesi´ on de vectores de la base {ein }∞ n=1 distintos. Para definir una forma lineal en E es suficiente dar sus valores sobre los vectores de la base y extenderla linealmente. Adem´ as, como nos interesa que no sea continua, la definiremos de forma que no est´e acotada en la bola unidad cerrada. Definimos ϕ(ei ) = 0 si i 6= in , n = 1, 2, ... ϕ(ein ) = n para n = 1, 2, ... Pm Para cada x ∈ E, P podemos escribir x = k=1 αk eβk , donde βk ∈ I, m ∈ N y αk ∈ K. Entonces m definimos ϕ(x) = k=1 αk ϕ(eβk ). Puesto que supn ϕ(ein ) = +∞ se sigue que ϕ no es continua. Ejemplo 2.4 Sean X e Y espacios normados de dimensi´on m y n respectivamente. Si U : X → Y es un k=1,m operador lineal cuya matriz asociada es (ajk )j=1,n , calcular su norma como operador de `∞ (m) en `∞ (n). ————————————————————Soluci´ on Dado x ∈ `∞ (m), sea y = U x, entonces kU xk = m´ ax |yj | ≤ m´ax 1≤j≤n

1≤j≤n

m X

|ajk | · |xk | ≤ kxk∞ m´ax

1≤j≤n

k=1

m X

|ajk |;

k=1

luego kU k ≤ m´ax

1≤j≤n

Pm Consideremos j0 tal que k=1 |aj0 k | = M . zk = sign(aj0 k ), 1 ≤ k ≤ m, se tiene que kU k ≥ kU zk ≥ m´ ax | 1≤j≤n

m X k=1

m X

|ajk | = M.

k=1

Entonces si definimos el vector z ∈ `∞ (m) por

ajk zk | ≥

m X k=1

aj0 k zk =

m X

|aj0 k | = M ;

k=1

luego kU k = M .

1

Problemas

Ejercicio 2.1 R1 Probar que el funcional ϕ : Lp (0, 1) → R definido ϕ(f ) = 0 f (x) dx es continuo y calcular su norma. Ejercicio 2.2 R1 Probar la continuidad del funcional J(y) = 0 (y(t) + 2y 0 (t)) dt en el espacio (C 1 [0, 1] , k k1 ).

An´alisis Funcional

pr´actica 2:

Aplicaciones Lineales

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Ejercicio 2.3 Dados los puntos t1 , ..., tn del intervalo [a, b] y los umeros reales c1 , ..., cn , calcular la norma del Pnn´ funcional Ψ : C([a, b]) → R definido por Ψ(f ) = k=1 ck f (tk ) , f ∈ C([a, b]). Ejercicio 2.4 P∞ Sea ϕ : c0 → R la funci´ on definida por ϕ(x) = n=1 21n xn . Probar que ϕ es continua y calcular su norma. Demostrar que no existe x ∈ c0 de norma 1 tal que kϕk = |ϕ(x)|. Ejercicio 2.5 Sea ϕ una aplicaci´ on lineal entre dos espacios normados E y F . Probar que ϕ es continua si, y s´olo si, cuando {an }∞ on acotada en E, la sucesi´on {ϕ(an )}∞ a acotada en F . n=1 es una sucesi´ n=1 est´ Ejercicio 2.6 Sea E = C 1 [0, 2π] y consideremos el operador T : E → C([0, 2π]) definido por T f = f +f 0 . Estudiar la continuidad de T en E con las normas k k0 y k.k1 . Ejercicio 2.7 Sea σ una funci´ on real continua en [a, b]. Probar que el funcional Ψ : C([a, b]) → R definido Rb Rb Ψ(f ) = a σ(t)f (t) dt es continuo y que su norma es igual a a |σ(t)| dt. Ejercicio 2.8 Sea k una funci´ on continua en [a, b] × [a, b] y sea U : C([a, b]) → C([a, b]) el operador definido Rb (U f )(s) = a k(s, t)f (t) dt. Probar que "Z # b

kU k = m´ ax

|k(s, t)| dt : s ∈ [a, b] . a

Ejercicio 2.9 Sean X e Y espacios normados de dimensi´on m y n respectivamente. Si U : X → Y es un j=1,n operador lineal cuya matriz asociada es (ajk )k=1,m , calcular su norma como operador de `1 (m) en `1 (n). Ejercicio 2.10 P∞ P∞ ∞ q Consideremos una matriz infinita (aik )i,k=1 tal que Sea p el i=1 k=1 |aik | < ∞ , q > 1. conjugado de q. Probar que la correspondencia que a cada sucesi´ o n x = {x } ∈ ` le asocia la i p P∞ sucesi´on Ax = y = {yi }, donde yi = k=1 aik xk , i = 1, 2, ..., define un operador lineal continuo A : `p → `q . Ejercicio 2.11 Probar que si E es un espacio normado sobre K, entonces E es isom´etrico a L(K, E). Ejercicio 2.12 Probar que si el operador U del problema 8 lo consideramos definido en L1 (a, b) y con valores en L1 ([a, b]), es continuo y su norma vale "Z # b

kU k = m´ ax

|k(s, t)| ds : t ∈ [a, b] a

(Proceder como en el problema 8 utilizando la continuidad uniforme de k en [a, b] × [a, b] ) Ejercicio 2.13 Probar que si el operador U del problema 8 lo consideramos definido en L1 (a, b) y con valores en C([a, b]), es continuo y su norma vale kU k = m´ax [|k(s, t)| : s, t ∈ [a, b]] .

An´alisis Funcional

pr´actica 2:

Aplicaciones Lineales

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Ejercicio 2.14 Probar que si el operador U del problema 8 lo consideramos definido en L2 ([a, b]) y con valores en L2 ([a, b]), es continuo y su norma est´ a mayorada por kk(s, t)k2 .

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Problemas complementarios

Ejercicio 2.15 Calcular la norma del operador T : C[0, 1] → C[0, 1] definido por 1

Z

et+s x(s) ds.

(T x)(t) = 0

Ejercicio 2.16 Se define el funcional T : C([−1, 1]) → R por Z

1

T (f ) =

xf (x) dx. −1

Calcular la norma. Ejercicio 2.17 Sea X el subespacio de C([0, 1]) generado por las funciones t2 y 1. (a) Probar que si x(t) = αt2 +β, con α, β ∈ R y t ∈ [−1, 1]; entonces kxk∞ = m´ax{|α+β|, |β|}. (b) Se define f : X → K por f (x) = α + β, donde x ∈ X es x(t) = αt2 + β. Demuestra que f es lineal, continua y calcula su norma. Ejercicio 2.18 Dada α = (αn )∞ n=1 ∈ `1 se define T : c0 → c0 por ∞   X ∞ T (xn )∞ αk xk = . n=1 k=n

n=1

Demostrar que T es una aplicaci´ on lineal continua y calcular su norma. Ejercicio 2.19 Sea X = {f : C([0, +∞[) tales que l´ımx→∞ f (x) = 0} dotado con la norma k.k∞ . Comprobar que T : X → X definido por T (f )(x) = f (x) sen x es un operador lineal y continuo y calcular su norma. Ejercicio 2.20 Sea 1 ≤ p < ∞ y sea φ ∈ L2p ([0, 1]). Para cada x ∈∈ L2p ([0, 1]) se define (T x)(t) := φ(t)x(t) p.c.t. t ∈ [0, 1]. Demostrar que T define una aplicaci´on lineal y continua entre los espacios de Banach L2p ([0, 1]) y Lp ([0, 1]), y calcular su norma. ¿Qu´e ocurre si p = ∞?. (Examen de Septiembre de 2001).

An´alisis Funcional

Curso 2003/2004

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Pr´ actica 3 Ecuaciones Integrales Ejemplo 3.1 Resolver la ecuaci´ on 1

Z

5s 1 x(s) = + 6 2

stx(t) dt 0

por el m´etodo de aproximaciones sucesivas. ————————————————————Soluci´ on Partiendo de la funci´ on x0 (s) = 1 , y del n´ ucleo k(s, t) = 5s xn+1 (s) = + 6

st 2

calculamos

1

Z

k(s, t)xn (t) dt 0

y se van obteniendo las funciones   13 73 433 2593 15553 93313 559873 s, s, s, s, s, ... 1, s, s, 12 72 432 2592 15552 93312 559872 A la vista de la sucesi´ on obtenida, parece razonable pensar que la funci´on x(s) = s es la soluci´on de la ecuaci´on. Para comprobarlo evaluamos el miembro de la derecha en la ecuaci´on integral para x(t) = t y nos da efectivamente s. Ejemplo 3.2 Resolver la ecuaci´ on Z

s

x(t)dt

x(s) = 1 + 0

por el m´etodo de aproximaciones sucesivas. ————————————————————Soluci´ on Tomando x0 (s) = 0 entonces por la f´ ormula recurrente se tiene Z s x1 (s) = 1 + 0 dt = 1 0

Z

s

x2 (s) = 1 +

1 dt = 1 + s 0

Z x3 (s)

=

s

1+

(1 + t) dt = 1 + s + 0

Z x4 (s)

=

1+

s

(1 + t + 0

s2 2

t2 s2 s3 ) dt = 1 + s + + 2 2! 3!

se tiene entonces que xn (s) = 1 + s +

s2 s3 sn−1 + + ... + 2! 3! (n − 1)!

An´alisis Funcional

pr´actica 3:

Ecuaciones Integrales

12

por lo tanto xn (s) →

∞ X sn = es n! n=0

Es f´acil comprobar que es es la soluci´ on de la ecuaci´on integral dada. Ejemplo 3.3 Calcular la soluci´ on de la ecuaci´ on 1

Z

(1 − 3st)x(t)dt

x(s) = 1 + 0

por medio del n´ ucleo resolvente. ————————————————————Soluci´ on Considerando el operador 1

Z (Kx)(s)

(1 − 3st)x(t)dt

= 0

de L2 ([0, 1]) en L2 ([0, 1]) , sabemos que su norma est´a mayorada por la norma del n´ ucleo k(s, t) = 1−3st que vale √12 < 1, por lo tanto la ecuaci´ on tiene una soluci´on. R1 Si k1 (s, t) = 1 − 3st y kn+1 (s, t) = 0 k(s, u)kn (u, t)du sabemos que la soluci´on de la ecuaci´on viene dada por Z 1 Z 1 X ∞ x(s) = 1 + R(s, t)1dt = 1 + ( kn (s, t))1dt 0

0

n=1

Calculemos los n´ ucleos iterados Z 1 3 k2 (s, t) = (1 − 3sx)(1 − 3xt)dx = 1 − (s + t) + 3st 2 0 Z 1 3 1 1 k3 (s, t) = (1 − 3sx)(1 − (x + t) + 3xt)dx = (1 − 3st) = k1 (s, t) 2 4 4 0 De forma similar se obtiene que k4 (s, t) = 14 k2 (s, t) y en general kn (s, t) =

1 kn−2 (s, t) 4

por lo tanto el n´ ucleo resolvente es R(s, t)

= =

1 1 1 1 + ...)k1 (s, t) + (1 + + + ...)k2 (s, t) = + 14 16 4 16 4 3 8 ((1 − 3st) + (1 − (s + t) + 3st)) = − 2(s + t) 3 2 3

(1 +

La soluci´ on de la ecuaci´ on ser´ a Z x(s)

=

1+ 0

1

8 8 ( − 2(s + t))dt = − 2s 3 3

cuya comprobaci´ on es inmediata.

An´alisis Funcional

pr´actica 3:

Ecuaciones Integrales

13

Ejemplo 3.4 Resolver la ecuaci´ on integral x(s) = sen s +

1 2

1

Z

(1 − s + 0

s3 t2 )x(t) dt 2

————————————————————Soluci´ on Puesto que el n´ ucleo k(s, t) = 1 − s +

s3 t2 2

es degenerado escribimos

x(s) = sen s + α(1 − s) + βs3 donde 1 α= 2

Z

1

x(t)dt

1 β= 4

y

0

(∗) Z

1

t2 x(t)dt

0

Sustituyendo en esos valores la expresi´ on de x(s) en (*) obtenemos un sistema para determinar α y β . Z 1 cos 1 α β 1 1 (sen t + α(1 − t) + βt3 )dt = − + + α= 2 0 2 2 4 8 Z 1 1 cos 1 sen 1 α + 2β − 24 β= t2 (sen t + α(1 − t) + βt3 )dt = + + 4 0 4 2 48 queda por lo tanto el sistema   

β=

β 8

1 2

−

cos 1 2

+

α 4

cos 1 4

+

sen 1 2

+

α+2β−24 48

α=

+

cuya soluci´on es α = 0.317321

,

β = 0.0651367

Sustituyendo en (*) la soluci´ on de la ecuaci´on es x(s) = sen s + 0.317321(1 − s) + 0.0651367s3 Vamos a comentar ahora otro m´etodo de obtenci´on de soluciones aproximadas de ecuaciones. Dada la ecuaci´ on Ax = y con y ∈ X y A invertible en L(X), el m´etodo consiste en resolver la ecuaci´on Bx1 = y1 , en la que B invertible en L(X) y y1 ∈ X se eligen de forma que k y − y1 k y k A − B k sean suficientemente peque˜ nos. Es razonable pensar que la soluci´on de esa ecuaci´on nos proporcione una buena aproximaci´ on de la soluci´ on de la ecuaci´on inicial. Obviamente la elecci´on de B y de y1 se hace de forma que la resoluci´ on de la segunda ecuaci´on sea m´as sencilla que la de la inicial. A este respecto las ecuaciones integrales con n´ ucleo degenerado nos proporcionan soluciones aproximadas de las ecuaciones integrales de Fredholm, como veremos en el ejemplo 5. Vamos a dar una estimaci´ on de la distancia entre las soluciones de las dos ecuaciones. Si x y x1 son las soluciones de las ecuaciones Ax = y y Bx1 = y1 , respectivamente, se tiene que x1 − x = (x1 − A−1 y1 ) + (A−1 y1 − A−1 y) = A−1 (A − B)x1 + A−1 (y1 − y) de donde k x − x1 k≤k A−1 kk A − B kk x1 k + k A−1 kk y − y1 k Ejemplo 3.5 Resolver la ecuaci´ on integral x(s) = sen s +

1 2

Z

1

(1 − s. cos st)x(t) dt. 0

An´alisis Funcional

pr´actica 3:

Ecuaciones Integrales

14

————————————————————Soluci´ on Si 1 (Kx)(s) = 2 entonces k K k= m´ ax

1

Z

k(s, t)x(t)dt, 0

 Z 1  1 1 | 1 − s cos(st) | dt : s ∈ [0, 1] = < 1 2 0 2

luego la ecuaci´ on integral tiene una soluci´on. Vamos a aproximar el n´ ucleo k(s, t) = 1 − s cos st por otro n´ ucleo degenerado para lo cual desarrollamos en serie de Taylor alrededor de (0, 0) la funci´on cos(st). De cos(st) = 1 −

s2 t2 s4 t4 + + ... 2 24

se deduce que 1 − s cos(st) = 1 − s +

s3 t2 2

Tomando como n´ ucleo degenerado k1 (s, t) = 1 − s + x1 (s) = sen s +

, vamos a resolver la ecuaci´on

1

Z

1 2

s3 t2 s5 t4 − + ... 2 24

k1 (s, t)x1 (t)dt 0

Esta ecuaci´on la hemos resuelto en el ejemplo 4 y su soluci´on es x1 (s) = sen s + 0.317321(1 − s) + 0.0651367s3 Esta funci´on es por lo tanto una soluci´on aproximada de la ecuaci´on inicial y lo que vamos a determinar ahora es una cota del error. Recordemos que si T es un operador de norma menor que 1, entonces el operador I − T es invertible y 1 k(I − T )−1 k ≤ . 1 − kT k En nuestro caso, si (K1 x)(s) =

1 2

Z

1

k1 (s, t)x(t) dt 0

escribimos A = I − K y B = I − K1 . Como al sustituir el n´ ucleo k por k1 consideramos la misma funci´on dato, y(s) = sen s, se tiene que y = y1 ; por lo tanto kx − x1 k ≤ kA−1 k kA − Bk kx1 k = k(I − K)−1 k kK − K1 k kx1 k. Ahora bien k(I − K)−1 k
| = kukkvk, es decir, verifican la desigualdad de Cauchy-Schwartz con igualdad, ¿qu´e podemos saber de estos vectores? Estudiar la misma cuesti´ on para la igualdad ku + vk = kuk + kvk. Sean x, y elementos de X con norma uno. Si kx − yk ≥ ε, ¿c´omo puede acotarse de la norma del punto medio 12 (x + y)?. Ejercicio 4.2 Sea P 2 ([0, 1]) el subespacio del espacio de Hilbert L2 ([0, 1]) formado por los polinomios complejos de grado menor o igual que 2 y sea B = {1, x, x2 }. (a) Obtener, por el m´etodo de Gram-Schmidt, una base ortonormal de P 2 ([0, 1]) a partir de B. (b) Calcular la norma de 1 − ix2 . Ejercicio 4.3 Sea X un espacio vectorial en el cual hay definidos dos productos escalares h, i y (, ). Probar que los dos productos coinciden si, y s´ olo si, hx, xi = (x, x) para todo x ∈ X. (Utilizar la identidad polar.) Ejercicio 4.4 Demostrar que para cada f ∈ L2 ([a, b]) y cada n ∈ N existe un u ´nico polinomio pn de grado menor o igual que n verificando kf − pk2 ≥ kf − pn k2 para todo polinomio p de grado menor o igual que n. Ejercicio 4.5 Sea Ω un subconjunto medible de Rn y sea χA la funci´on carater´ıstica de A ⊂ Ω. Demostrar que PA f = χA f es una proyecci´on en el espacio L2 (Ω). ¿Qu´e condiciones deben cumplir los subconjuntos A y B para que PA + PB sea tambi´en una proyecci´on? Ejercicio 4.6 Sea Y el subespacio de L2 (R) formado por las funciones que se anulan casi por todas partes en el semieje ]0, +∞[. Calcular la distancia de Y a la funci´on g(x) := e−|x| .

An´alisis Funcional

pr´actica 4:

Espacios de Hilbert

18

Ejercicio 4.7 n Sea Φ : `2 → C definida por Φ(x) = 2x1 . Calcula la distancia del vector x = (2− 2 ) al n´ ucleo de Φ. Ejercicio 4.8 Dado el subespacio G := {x = (xn ) ∈ `2 : x1 = x2 } de `2 , se pide probar que G es cerrado y calcular su distancia al punto x = ( n1 ). Ejercicio 4.9 R1 2 Sea H = {f ∈ L2 (R) : o f (t)dt = 0}. Hallar la distacia de la funci´on e−t a H. Ejercicio 4.10 R 2π (a) Probar que Y = {f ∈ L2 (0, 2π) : 0 f (x)dx = 0} con la norma k k2 es un espacio de Hilbert. (b) Sea Φ : Y → R, dado por Φ(f ) =

R 2π 0

Ejercicio 4.11 P∞ Sea Φ : `2 → C definida por Φ(x) = n=1

xf (x)dx. Calcular k Φ k. xn 2n−1 ,

siendo x = {x}∞ n=1 ∈ `2 .

(a) Demostrar que Φ es lineal y continua. (b) Calcular el vector y ∈ `2 que representa a Φ. (c) Calcular la norma de Φ. Ejercicio 4.12 Sea {en : n ∈ N} una base ortonormal en el espacio de Hilbert X. Un operador T : X → X se dice que es diagonal respecto de esa base si existe una sucesi´on de escalares (αn )∞ n=1 tal que T en = αn en para todo n ∈ N. (a) Demostrar que T es continuo si, y s´olo si, (αn )∞ n=1 ∈ `∞ . (b) ¿Bajo qu´e condiciones un operador diagonal es una proyecci´on? Ejercicio 4.13 Sea Ω ⊂ Rn medible de medida positiva y sea φ : Ω → C una funci´on medible y acotada. Se define el operador multiplicaci´ on por Mφ (f ) = φf para todo f ∈ L2 (Ω). (a) Demostrar que Mφ es lineal y continuo, y que kMφ k = sup{|φ(x)| : x ∈ Ω}. (b) Probar que Mφ∗ = Mφ . Ejercicio 4.14 ∞ Sean X e Y espacios de Hilbert separables y sean {en }∞ n=1 y {fn }n=1 bases ortonormales de X e Y , respectivamente. (a) Dado T ∈ L(X, Y ) se definen ajk = (T  ek , fj ) con j, k ∈ N. Demostrar que si x = P∞ P∞ P∞ α e , entonces T x = a α admite una representaci´on k=1 k k j=1 k=1 jk k fj (con lo cual T matricial similar a la de los operadores entre espacios de dimensi´on finita, representaci´on que depende de las bases ortonormales elegidas). Demostrar que si {αk }∞ k=1 ∈ `2 , entonces ∞ X ∞ ∞ 2 X X 2 a α ≤ kT k |α|2 . jk k j=1 k=1

k=1

(b) Demostrar que si (ajk )j,k∈N es una matriz infinita verificando que existe C > 0 tal que ∞ X ∞ ∞ 2 X X ajk αk ≤ C |α|2 j=1 k=1

k=1

An´alisis Funcional

pr´actica 4:

Espacios de Hilbert

19

2 para toda sucesi´ on {αk }∞ k=1 ∈ `2 , entonces define un operador T ∈ L(X, Y ) con kT k ≤ C. P∞ P∞ 2 (c) Demostrar que si (ajk )j,k∈N es una matriz infinita verificando j=1 k=1 |ajk | < ∞, P P ∞ ∞ entonces define un operador T ∈ L(X, Y ) con kT k2 ≤ j=1 k=1 |ajk |2 .

Ejercicio 4.15 Sea S = {eα }α∈I un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert X. Probar que para cada x ∈ X, existe a lo sumo una cantidad numerable de ´ındices α ∈ I para los cuales (x, vα ) 6= 0. (Considerar el conjunto de ´ındices {α : |(x, vα )| ≥ n1 } para cada n ∈ N. ) Ejercicio 4.16 En el espacio de Hilbert `2 se considera la sucesi´on (wn ) dada por   w1 := √12 , √12 , 0, 0, ...   w2 := 0, 0 √12 , √12 , 0, 0, ... .. .  2n−1  z }| { wn := 0, . . . , 0, √12 , √12 , 0, 0, ... Estudiar si el conjunto {wn : n ∈ N} es un sistema ortonomal en este espacio. Calcular la serie de Fourier asociada al vector   1 1 x := 1, , , . . . 2 3 P∞ respecto de (wn ). ¿Se cumple que x = n=1 < x, wn > wn ? ¿Es {wn : n ∈ N} un sistema ortonormal completo? Ejercicio 4.17 Calcula el operador conjugado del operador A : `2 → `2 definido por A(x) := (0, x1 , x2 , . . .) donde x = (xn ) ∈ `2 . Ejercicio 4.18 Probar que el operador T : L2 (R) → L2 (R), que transforma la funci´on f ∈ L2 (R) en la funci´on T f definida por T (f )(t) := f (t + 1) es lineal y continuo, y calcular su operador conjugado. Ejercicio 4.19 Sea F una funci´ on acotada, integrable en [a, b] × [a, b]. Probar que la aplicaci´on que a cada f de L2 ([a, b]) le asocia la funci´ on T f definida por Z T f (s) :=

b

F (s, t)f (t)dt a

es un operador lineal continuo T : L2 ([a, b]) → L2 ([a, b]), y calcular su conjugado.

An´alisis Funcional

pr´actica 4:

2

Espacios de Hilbert

20

Problemas Complementarios

Ejercicio 4.20 Sea (X, k k) un espacio normado real cuya norma verifica la ley del paralelogramo. Demostrar que p existe un producto escalar en X tal que kxk = (x, x) para todo x ∈ X. (Utilizar la identidad polar.) Ejercicio 4.21 Sea (H, k.k) un espacio de Hilbert real,. Sean u, v ∈ H dos vectores ortogonales y con norma 1. Calcular para cada x ∈ H a) d(x, ru ), es decir, la distancia entre el punto x y la recta ru := {tu : t ∈ R}. b) d(x, πu,v ), es decir, la distancia entre el punto x y el plano πu,v := {tu + sv : t, s ∈ R}. (Examen de Septiembre de 2001).

An´alisis Funcional

Curso 2003/2004

21

Pr´ actica 5 Operadores Compactos. Teor´ıa Espectral Ejemplo 5.1 Sea T : L2 (a, b) → L2 (a, b) el operador integral definido por b

Z (T x)(s) =

k(s, t)x(t) dt, a

siendo k una funci´ on de L2 ([a, b]2 ). Probar que T es un operador compacto. ————————————————————Soluci´ on La idea de la demostraci´on es aproximar el n´ ucleo por medio de n´ ucleos degenerados (los que definen operadores integrales de rango finito). Para ello, primero construiremos una base ortogonal en el espacio L2 ([a, b]2 ) formada por funciones de variables separadas. Como sabemos que la serie de Fourier de la funci´ on k respecto de esa base converge en la media a k, ser´a entonces suficiente tomar sumas parciales para obtener n´ ucleos degenerados kn que aproximen k. Por u ´ltimo, hay que verificar que los operadores integrales T generados por los n´ u cleos k convergen a T en el espacio n n   L L2 ([a, b]) . Denotaremos por (., .) el producto escalar en L2 (a, b) y por h., .i el producto en el espacio L2 ([a, b]2 ). 2 Sea (ep )∞ p=1 una base ortonormal de L2 ([a, b] ).

(a) Demostraremos que las funciones definidas por φpq (s, t) = ep (s)eq (t), donde p, q ∈ N, forman una base ortonormal de L2 ([a, b]2 ). Es evidente que el teorema de Fubini implica que b

Z

b

Z

a

Z

|φpq (s, t)|2 ds dt =

a

!

b

|ep (s)|2 ds

Z ·

a

!

b

|eq (t)|2 dt

a

y que b

Z

b

Z

hφp1 q1 , φp2 q2 i =

Z φp1 q1 (s, t)φp2 q2 (s, t) ds dt =

a

a

Z

a

!

b

ep1 (s)ep2 (t) ds

= a

Z ·

b

Z b

  ep1 (s)eq1 (t) ep2 (s)eq2 (t) ds dt =

a

!

b

eq2 (t)eq1 (t) ds

= (ep1 , ep2 ) · (eq2 , eq1 )

a

de donde se deduce que {φpq : p, q ∈ N} es un conjunto ortonormal. Para probar que, en realidad, es una base ortonormal de L2 ([a, b]2 ), basta demostrar que para cada z ∈ L2 ([a, b]2 ) se cumple la identidad de Parseval; es decir, Z

b

Z

b 2

|z(s, t)| dt ds = a

a

∞ X ∞ X

|hz, φpq i|2 .

q=1 p=1

Sea z ∈ L2 ([a, b]2 ); como la funci´ on |z|2 es integrable en el producto [a, b] × [a, b], por el teorema de Fubini se verifica

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pr´actica 5:

Operadores Compactos. Teor´ıa Espectral

22

(i) para casi todo s ∈ [a, b], la funci´ on t → |z(s, t)|2 es integrable en [a, b]. Rb (ii) la funci´ on s → a |z(s, t)|2 dt es integrable en [a, b]. Sea zs la funci´ on definida por zs (t) = t). Por (i), para casi todo s ∈ [a, b], se cumple que Pz(s, ∞ zs ∈ L2 (a, b) y, consecuentemente, zs = q=1 (zs , eq ) eq . Aplicando la identidad de Parseval a zs se deduce que Z b ∞ X 2 |z(s, t)| dt = |(zs , eq )|2 . a

q=1

Se define ahora, para cada q ∈ N, la funci´on yq (s) = (zs , eq ) = funci´on medible. Por lo anterior, para casi todo s ∈ [a, b], Z b ∞ X |z(s, t)|2 dt = |yq (s)|2 . a

Rb a

z(s, t)eq (t) dt; se trata de una

q=1

Por (ii), esta funci´ on es integrable en [a, b], luego, por una parte, podemos aplicar el teorema de la convergencia mon´ otona e intercambiar la serie con la integral llegando a Z bX Z b Z b ∞ ∞ Z b X 2 2 |z(s, t)| dt ds = |yq (s)| ds = |yq (s)|2 ds, a

a

a q=1

q=1

a

y, por otra parte, se sigue que cada yq ∈ L2 ([a, b]) con lo cual, aplicando la identidad de Parseval, obtenemos ∞ ∞ Z b ∞ Z b Z b ∞ X X 2 X 2 X 2 2 kyq k2 = |(yq , ep )| = yq (s)ep (s) ds = z(s, t)ep (t)ep (s) dt ds = |hz, φpq i|2 . p=1

a

p=1

Por tanto, Z

b

Z

p=1

b 2

|z(s, t)| dt ds = a

a

∞ Z X q=1

a

a

b

|yq (s)|2 ds =

a

∞ X

p=1

kyq k22 =

q=1

∞ X ∞ X

|hz, φpq i|2 .

q=1 p=1

(b) Veamos que existe una sucesi´ on de n´ ucleos degenerados (kn )∞ n=1 tales que Z b Z b l´ım |k(s, t) − kn (s, t)|2 dt ds = 0. n→∞

a

a

P∞ P∞ Por el apartado (a), dada k ∈ L2 ([a, b]2 ), podemos escribir k = q=1 p=1 hk, φpq i φpq , donde la convergencia es la del espacio L2 ([a, b]2 ). Se define, para cada n ∈ N, la funci´on kn (s, t) =

n X n X

hk, φpq i φpq (s, t) =

q=1 p=1

n X n X

hk, φpq i ep (s)eq (t),

q=1 p=1

que, obviamente, es una combinaci´ on lineal de funciones con variables separadas; en otras palabras, se trata de un n´ ucleo degenerado. Por otro lado, la convergencia en L2 ([a, b]2 ) implica que Z b Z b l´ım |k(s, t) − kn (s, t)|2 dt ds = 0. n→∞

a

a

(c) Vamos a probar que existe una sucesi´on de operadores de rango finito (Tn )∞ n=1 tales que l´ım kT − Tn k = 0.

n→∞

An´alisis Funcional

pr´actica 5:

Operadores Compactos. Teor´ıa Espectral

23

Consideremos la sucesi´ on de n´ ucleos degenerados (kn )∞ n=1 obtenida en (a). Se define el operador Rb integral Tn : L2 (a, b) → L2 (a, b) por (Tn x)(s) = a kn (s, t)x(t) dt. Es evidente que cada Tn es un operador de rango finito. Sabemos que el operador T − Tn verifica 2

Z

b

Z

kT − Tn k ≤ a

b

|k(s, t) − kn (s, t)|2 dt ds

a

con lo cual (c) se deduce de (b). Finalmente,  de (c)resulta que existe una sucesi´on de operadores compactos que converge a T en el espacio L L2 (a, b) y, como consecuencia, tambi´en T es compacto.

En el siguiente ejemplo mostraremos un operador compacto que no tiene ning´ un valor propio. Recordemos que la no existencia de valores propios en un operador compacto entre espacios de Banach implica que el u ´nico valor espectral es el 0. Ejemplo 5.2 Rs Sea T : C([0, 1]) → C([0, 1]) el operador definido por T x(s) = 0 x(t) dt. Demostrar (a) El operador T es compacto. (b) σ(T ) = {0}. (c) σp (T ) = ∅. ————————————————————Soluci´ on (a) Sea A ⊂ C[0, 1] un conjunto acotado y comprobemos que T (A) es precompacto en el espacio C[0, 1]. Por el teorema de Ascoli-Arzel` a, tenemos que ver que es acotado y equicontinuo. Sea M > 0 tal que kxk∞ ≤ M para todo x ∈ A. Rs Si x ∈ A, entonces |T x(s)| ≤ 0 |x(t)| dt ≤ sM ≤ M para todo s ∈ [0, 1], con lo cual kT xk∞ ≤ M y el conjunto T (A) es acotado. ε Para cada ε > 0 consideremos δ = M . Si x ∈ A y |s1 − s2 | < δ, entonces Z s2 Z s1 Z s1 |T x(s1 ) − T x(s2 )| ≤ x(t) dt − x(t) dt = x(t) dt ≤ kxk∞ |s1 − s2 | < M δ = ε. 0

0

s2

Por tanto, el conjunto T (A) es equicontinuo. (b) Sea λ 6= 0; entonces T − λI = −λ(I − λ1 T ). Como λ1 T es un operador de Volterra, sabemos que el operador I − λ1 T es invertible, con lo cual T − λI es invertible y λ ∈ ρ(T ). Para probar que 0 ∈ σ(T ), supongamos que 0 ∈ ρ(T ). Entonces el operador T es invertible y compacto. Como I = T −1 T , la aplicaci´ on identidad en C[0, 1] es compacta. El teorema de Riesz implica que el espacio C[0, 1] tiene dimensi´on finita, lo cual es una contradicci´on. (c) Supongamos que 0 ∈ σp (T ); es decir, que existe x 6= 0 tal que T x = 0. Tenemos pues que Rs T x(s) = 0 x(t) dt = 0 para todo s ∈ [0, 1]. Por el teorema fundamental del c´alculo infinitesimal, (T x)0 (s) = x(s) para todo s ∈ [0, 1]. Por otra parte, T x es una funci´on constante, con lo cual su derivada es la funci´ on id´enticamente 0. Se concluye que x = 0, lo cual es una contradicci´on. Por tanto, 0 ∈ / σp (T ) y σp (T ) = ∅.

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pr´actica 5:

Operadores Compactos. Teor´ıa Espectral

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Ejemplo 5.3 n+1 ∞ Para cada x = (ξn )∞ n=1 ∈ `2 se define T x = ( 2n ξn )n=1 . Probar que T define un operador de `2 en `2 que es continuo pero no compacto. ————————————————————Soluci´ on Veamos primero que T x ∈ `2 para todo x ∈ `2P . Sea x = (ξn )∞ n=1 ∈ `2 . Para cada n ∈ N, ∞ n+1 2 2 2 se cumple que | 2n ξ | ≤ |ξ | y como la serie |ξ | converge, por mayoraci´on, tambi´en n n n n=1 P∞ n+1 2 converge la serie | ξ | , con lo cual T x ∈ ` . Por consiguiente, T : `2 → `2 est´a bien n 2 n=1 2n definida y, evidentemente, es una aplicaci´ on lineal. Adem´as, la desigualdad anterior tambi´en implica que kT xk2 ≤ kxk2 , para todo x ∈ `2 , de donde se deduce que la aplicaci´on lineal T es continua. La no compacidad de T se deduce f´acilmente del estudio de su espectro. Consideremos las n

sucesiones en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .), donde n ∈ N. Entonces, para cada n ∈ N, se verifica n+1 es un valor propio del operador. Este espectro no puede T en = n+1 2n en , con lo cual cada 2n corresponder a un operador compacto porque los puntos de σ(T )\{0} no son aislados. En efecto, ∞ on de n´ umeros distintos de modo supongamos que T es compacto; entonces ( n+1 2n )n=1 es una sucesi´ n+1 n+1 ∞ que 2n ∈ σ(T )\{0}. Luego si la sucesi´ on ( 2n )n=1 converge, su l´ımite debe ser 0 y esto contradice 1 que l´ımn→∞ n+1 2n = 2 .

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Problemas

Ejercicio 5.1 Probar que si T es un operador compacto y λ es un valor propio no nulo, entonces el subespacio de vectores propios Vλ = ker(T − λI) es finito dimensional. Ejercicio 5.2 Demostrar que si T : X → Y es compacto e invertible, entonces X e Y tienen dimensi´on finita. Ejercicio 5.3 Supongamos que T : X → Y es un operador compacto y que ImT es completo. Probar que T es de rango finito. Ejercicio 5.4 P∞ Consideremos el operador T : `2 → `2 definido por T x = n=1 ξnn en , donde x = (ξn )∞ n=1 . Probar que T es compacto. Estudiar la existencia de T −1 y su dominio. ¿Es continuo T −1 ? Ejercicio 5.5 P∞ Probar que el operador T : `2 → `2 definido por T x = n=1 ξn en+1 , donde x = (ξn )∞ n=1 , es continuo e inyectivo y que 0 es un valor espectral que no es propio. Ejercicio 5.6 P∞ Sea T : `2 → `2 el operador definido por T x = n=1 ξn+1 en , donde x = (ξn )∞ n=1 . Probar que todo λ ∈ C tal que | λ |< 1 es un valor espectral de T . ¿Es T un operador compacto? Ejercicio 5.7 Rb Sea T : L2 (a, b) → L2 (a, b) el operador definido por (T x)(s) = a cos(s − t)x(t) dt. Hallar los valores propios de T . Ejercicio 5.8 P∞ Consideremos T : `2 → `2 el operador definido por T x = n=1 ξ2n−1 en , siendo x = (ξn )∞ n=1 . 1 √ ¿Cu´ales de los n´ umeros λ = 0, λ = 2+i y λ = son valores espectrales? 2 3

An´alisis Funcional

pr´actica 5:

Operadores Compactos. Teor´ıa Espectral

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Ejercicio 5.9 Consideremos el operador lineal T : L2 (R) → L2 (R) definido por (T f )(x) = −f (−x) Se pide: (a) Demostrar que es continuo y autoadjunto/sim´etrico. (b) Calcular el espectro de T . Ejercicio 5.10 Sean M1 y M2 los subespacios de `2 definidos por M1 = {x = (ξn )∞ n=1 ∈ `2 : ξ2k = 0, k = 1, 2, ...} y M2 = {x = (ξn )∞ ∈ ` : ξ = 0, k = 1, 2, ...}. Probar que ` la suma ortogonal de M1 2 2k−1 2 es P n=1 ∞ y M2 . Estudiar el espectro del operador T : `2 → `2 definido por T x = n=1 ξn+2 en . Ejercicio 5.11 Sea (en )∞ n=1 una base ortonormal del espacio de Hilbert X. Calcular el espectro del operador lineal 1 e2n y T e2n−1 = (i + n1 )e2n−1 , n = 1, 2, .... continuo T : X → X definido por T e2n = 2n

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Problemas Complementarios

Ejercicio 5.12 P∞ Sea T el operador de c0 (⊂ `∞ ) en `2 definido por T x = n=1 ξnn en , donde x = (ξn )∞ n=1 . Sea X = c0 e Y = ImT . Probar que T : X → Y no es compacto, sin embargo existe una sucesi´on (Tn )∞ n=1 de operadores compactos de X en Y que convergen a T en L(X, Y ). Ejercicio 5.13 Sea T un operador continuo en un espacio de Hilbert. Probar que un vector x 6= 0 es un vector propio si, y s´ olo si, | hx, T xi |= kT xk · kxk. Ejercicio 5.14 Supongamos que X e Y son espacios de Banach y que T : X → Y es un operador compacto. Si ImT = Y , probar que Y es de dimensi´ on finita. Ejercicio 5.15 Sea T : L2 ([0, 1]) → L2 ([0, 1]) definido por T x(t) = tx(t). ¿Es T compacto? Ejercicio 5.16 Demostrar que en los espacios de sucesiones c y c0 un conjunto cerrado Q es compacto si, y s´olo si, es acotado y existe l´ımn→∞ ξn uniformemente para x = (ξn )∞ n=1 ∈ Q. (Definir un isomorfismo entre c y C(K), donde K = { n1 |n ∈ N} ∪ {0}. ) Ejercicio 5.17 Probar las siguientes afirmaciones. (a) Todo conjunto precompacto en un espacio m´etrico es separable. (b) Sean X e Y espacios normados. Si T : X → Y es compacto, entonces ImT es separable.
(c) No existen operadores compactos y sobreyectivos en L `∞ .

An´alisis Funcional